1、. 中档大题规范练中档大题规范练 中档大题规范练中档大题规范练 1 三角函数三角函数 1.(2016 浙江)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B. (1)证明：A2B； (2)若ABC 的面积 Sa 2 4 ，求角 A 的大小. (1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B， 故 2sin Acos Bsin Bsin(AB) sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是 sin Bsin(AB).又 A，B(0，)， 故 0AB，所以 B(AB)或 BAB， 因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B. (2
2、)解 由 Sa 2 4得 1 2absin C a2 4 ， 故有 sin Bsin C1 2sin A 1 2sin 2Bsin Bcos B， 由 sin B0，得 sin Ccos B. 又 B，C(0，)，所以 C 2 B. 当 BC 2时，A 2； 当 CB 2时，A 4. 综上，A 2或 A 4. 2.(2016 北京)已知函数 f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2x 2? ? ? ? 2 2 sin 2x 2 2 cos
3、2x 2sin? ? ? ? 2x 4 ， 由 0，f(x)的最小正周期为 ，得2 2，解得 1. (2)由(1)得 f(x) 2sin? ? ? ? 2x 4 ， . 令 22k2x 4 22k，kZ， 解得3 8 kx 8k，kZ， 即 f(x)的单调递增区间为? ? ? ? 3 8 k， 8k (kZ). 3.已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)将函数 yf(x)的图象向左平移 4个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的最大值及取得最大值时 x
4、 的集合. 解 (1)f(x)2cos x(sin xcos x)1 sin 2xcos 2x 2sin(2x 4)， 令 2k 22x 42k 2(kZ)， 解得 k 8xk 3 8 (kZ)， 故函数 f(x)的单调递增区间为k 8，k 3 8 (kZ). (2)由已知，得 g(x) 2sin(x 4)， 当 sin(x 4)1，即 x 42k 2(kZ)， 也即 x2k 4(kZ)时，g(x)max 2. 当x|x2k 4(kZ)时，g(x)的最大值为 2. 4.(2016 四川)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cos A a cos B b sin C c
5、. (1)证明：sin Asin Bsin C； (2)若 b2c2a26 5bc，求 tan B. (1)证明 根据正弦定理，可设 a sin A b sin B c sin Ck(k0)， 则 aksin A，bksin B，cksin C. 代入cos A a cos B b sin C c 中，有 cos A ksin A cos B ksin B sin C ksin C，变形可得 . sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C.所以 sin Asin Bsin C. (2)解 由已
6、知，b2c2a26 5bc，根据余弦定理，有 cos Ab 2c2a2 2bc 3 5. 所以 sin A 1cos2A4 5. 由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以4 5sin B 4 5cos B 3 5sin B. 故 tan Bsin B cos B4. 5.已知向量 m( 3sin x，cos x)，n(cos x，cos x)，xR，设 f(x)m n. (1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间； (2)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 a1，bc2，f(A)1，求ABC 的面积. 解 (1)f(x)m n 3sin xcos xcos2x 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2 sin(2x 6) 1 2， 由 22k2x 6 22k，kZ， 可得， 3kx 6k，kZ， 函数 f(x)的单调递增区间为 3k， 6k，kZ. (2)f(A)1，sin(2A 6) 1 2， 0A， 62A 6 13 6 ， 2A 6 5 6 ，A 3. 由 a2b2c22bccos A， 得 1b2c22bccos 343bc， bc1，SABC1 2bcsin A 3 4 .
