1、. (四四)函数与导数函数与导数(2) 1(2016 课标全国丙)设函数 f(x)ln xx1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x(1，)时，11，证明：当 x(0,1)时，1(c1)xcx. (1)解 由题设，f(x)的定义域为(0，)， f(x)1 x1，令 f(x)0 解得 x1. 当 00，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)1，设 g(x)1(c1)xcx， 则 g(x)c1cxln c令 g(x)0，解得 x0 lnc1 ln c ln c . 当 x0，g(x)单调递增； 当 xx0时，g(x)0. 所以当 x(0,1)时，1(c1)xcx. 2(2016
2、课标全国甲)已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1) (1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)若当 x(1，)时，f(x)0，求 a 的取值范围 解 (1)f(x)的定义域为(0，)，当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1 x3， f(1)2，f(1)0，曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20. (2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xa?x1? x1 0，设 g(x)ln xa?x1? x1 ，则 g(x)1 x 2a ?x1?2 x22?1a?x1 x?x1?2 ，g(1)0. . 当 a
3、2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，) 单调递增， 因此 g(x)0； 当 a2 时，令 g(x)0 得， x1a1 ?a1?21，x2a1 ?a1?21.由 x21 和 x1x21 得 x1f(x)3 2对于任意的 x1,2成立 (1)解 f(x)的定义域为(0，)， f(x)aa x 2 x2 2 x3 ?ax22?x1? x3 . 当 a0 时，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增， x(1，)时，f(x)0 时，f(x)a?x1? x3? ? ? ? x 2 a? ? ? ? x 2 a . 01， 当 x(0,1)或 x? ? ?
4、 ? 2 a， 时， f(x)0，f(x)单调递增， 当 x? ? ? ? 1， 2 a 时，f(x)2 时，00，f(x)单调递增； 当 x? ? ? ? 2 a，1 时，f(x)2 时，f(x)在? ? ? ? 0， 2 a 内单调递增，在? ? ? ? 2 a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增 (2)证明 由(1)知，a1 时， f(x)f(x)xln x2x1 x2 ? ? ? ? 11 x 2 x2 2 x3 xln x3 x 1 x2 2 x31，x1,2 设 g(x)xln x，h(x)3 x 1 x2 2 x31，x1,2， 则 f(x)f(x)g(x)h(x) 由 g(x)x1 x 0，可得 g(x)g(1)1， 当且仅当 x1 时取得等号 又 h(x)3x 22x6 x4 . 设 (x)3x22x6， 则 (x)在 x1,2内单调递减 因为 (1)1， (2)10， 所以?x0(1,2)， 使得 x(1， x0)时， (x)0， x(x0， 2)时， (x)g(1)h(2)3 2， 即 f(x)f(x)3 2对于任意的 x1,2成立
