2021年上海市松江区高考数学一模试卷.docx

1、 第 1 页（共 15 页） 2021 年上海市松江区高考数学一模试卷年上海市松江区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）考分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 （4 分） 3 lim_ 32 n nn n 2 （4 分）若集合 | 13Axx ，1B ，2，3，4，则AB 3 （4 分）已知复数z满足(1)1(zii i 为虚数单位） ，则| z 4 （4 分）若 1 sin 3 ，则cos(2 ) 5 （4 分

2、）抛物线 2 4yx 的准线方程是 6 （4 分）已知函数( )f x图象与函数( )2xg x 的图象关于yx对称，则f（3） 7 （5 分）从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为 80 的样本，则学生甲被抽到 的概率 8 （5 分）在 26 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于 9 （5 分）在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 32 &2 | 0 cos&1 bca B ，则 角A 10（5 分） 从以下七个函数：yx， 1 y x ， 2 yx，2xy ，log_2yx，sinyx，cosyx 中选取两个函数记为( )f x和( )g x，构成函数(

3、)( )( )F xf xg x，若( )F x的图象如图所示， 则( )F x 11 （5 分）已知向量| | | 1abc，若 1 2 a b，且cxayb，则xy的最大值为 12 （5 分）对于定义域为D的函数( )f x，若存在_1x，_2xD且_1_2xx，使得 22 ( _1 )( _2 )2 ( _1_2)f xf xf xx， 则称函数( )f x具有性质M， 若函数( ) |log_21|g xx， 具(0 x，a有性质M，则实数a的最小值为 第 2 页（共 15 页） 二二.选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且

4、只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生应考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13（5 分） 已知两条直线_1l，_2l的方程为_1:10laxy 和_2:210lxy ， 则2a 是“直线_1_2ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 （5 分）在正方体_1 _1 _1_1ABCDABCD中，下列四个结论中错误的是( ) A直线_1BC与直线AC所成的角为60 B直线_1BC与平面_1ADC所成的角为60 C直线_1BC与直线_1AD所成的角为90 D直线_1B

5、C与直线AB所成的角为90 15 （5 分）设0 x ，0y ，若 1 21x y ，则 y x 的( ) A最小值为 8 B最大值为 8 C最小值为 2 D最大值为 2 16 （5 分）记_Sn为数列 _ an的前n项和，已知点( , _ )n an在直线102yx上，若有且 只有两个正整数n满足_Sn卥，则实数k的取值范围是( ) A(8，14 B(14，18 C(18，20 D(18， 81 4 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 76 分）分） 17（14分） 如图1， 在三棱柱_1 _1 _1ABCABC中， 已知ABAC，1ABAC，_12AA， 且_1AA平面

6、ABC，过_1A，_1C，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个 四棱锥（如图2) （1）求异面直线_1BC与_1AA所成角的大小（结果用反三角函数表示） ； （2）求四棱锥_1 _1BACCA的体积和表面积 第 3 页（共 15 页） 18 （14 分）已知函数 2 ( )3sin coscos1f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和值域； （2）若对任意xR， 2( ) ( )2 0fxk f x 的恒成立，求实数k的取值范围 19 （14 分）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件） ，经市场调查测 算，花费t（万元）进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之

7、间的关系为3 1 x t k （其 中k为常数） ，如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品 （1）要使促销后商品的利余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为 32（元/件） ，另有固定成本 3（万元） ，定义每件售出商品的平均 成本为 3 32 x （元)，若将商品售价定位： “每件售出商品平均成本的 1.5 倍“与“每件售出 商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润 最大？此时商品的剩余量为多少？ 20（16 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的右焦点坐标为(2,0)， 且长轴长为短

8、轴长的2 倍，直线l交椭圆于不同的两点M和N， （1）求椭圆的方程； （2）若直线l经过点(0,4)P，且OMN的面积为2 2，求直线l的方程； （3） 若直线l的方程为(0)yxtkk， 点M关于x轴的对称点为M， 直线MN，M N分 别与x轴相交于P、Q两点，求证：| |OPOQ为定值 第 4 页（共 15 页） 21 （18 分）对于由m个正整数构成的有限集 _1Ma，_2a，_3a，_am，记 ()_1_2_P Maaam，特别规定()0P ，若集合M满足：对任意的正整数 ()P Mk?，都存在集合M的两个子集A、B，使得Pk（A）P（B）成立，则称集合M 为“满集” （1）分别判断集

9、合_11M，2与_21M，4是否为“满集” ，请说明理由； （2）若_1a，_2a，_am由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列，求证：集 合M为“满集”的必要条件是_11a，1d 或 2； （3）若_1a，_2a，_am由小到大能排列成首项为 1，公比为 2 的等比数列，求证： 集合M是“满集” 第 5 页（共 15 页） 2021 年上海市松江区高考数学一模试卷年上海市松江区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共有填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5

10、 分）考分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 （4 分） 3 lim_ 32 n nn n 1 【解答】解： 311 lim_lim_1 2 3210 1( ) 3 n nn n nn 故答案为：1 2 （4 分）若集合 | 13Axx ，1B ，2，3，4，则AB 1，2 【解答】解： | 13Axx ，1B ，2，3，4， 1AB，2 故答案为：1，2 3 （4 分）已知复数z满足(1)1(zii i 为虚数单位） ，则| z 1 【解答】解：由(1)1zii ， 得 2 1(1) 1(1)(1) ii zi iii ， | 1z 故答案为 1

11、 4 （4 分）若 1 sin 3 ，则cos(2 ) 7 9 【解答】解： 1 sin 3 ， 22 27 cos(2 )cos2(12sin)12sin1 99 故答案为： 7 9 5 （4 分）抛物线 2 4yx 的准线方程是 1x 【解答】解：抛物线的方程 2 4yx ，24p，得1 2 p ， 因此，抛物线的焦点为( 1,0)F ，准线方程为1x 故答案为：1x 6（4 分） 已知函数( )f x图象与函数( )2xg x 的图象关于yx对称， 则f（3） log_23 第 6 页（共 15 页） 【解答】解：函数( )f x的图象与函数( )2xg x 的图象关于直线yx对称， 函

12、数( )f x与函数( )2xg x 互为反函数， ( )log_2f xx， f（3）log_23， 故答案为：log_23 7 （5 分）从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为 80 的样本，则学生甲被抽到 的概率 1 15 【解答】解：从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为 80 的样本， 基本事件总数 80 _1200nC， 学生甲被抽到包含的基本事件个数 791 _1200_1mCC， 学生甲被抽到的概率 791 80 _1199_11 _120015 mCC P nC 故答案为： 1 15 8 （5 分）在 26 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等

13、于 240 【解答】解：在 26 2 ()x x 的二项展开式中，通项公式为 12 3 16 2 rrr r TCx ， 令1230r，求得4r ，可得展开式的常数项为 44 6 2240C， 故答案为：240 9 （5 分）在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 32 &2 | 0 cos&1 bca B ，则 角A 5 6 【解答】解：在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且 32 & 2 | 0 cos&1 bca B ， 可得322 cosbcaB， 由正弦定理可得3sinsin2sincosBCAB， 即3sinsin()2sincosBABAB，可得 3 co

14、s 2 A ， 第 7 页（共 15 页） 所以 5 6 A 故答案为： 5 6 10（5 分） 从以下七个函数：yx， 1 y x ， 2 yx，2xy ，log_2yx，sinyx，cosyx 中选取两个函数记为( )f x和( )g x，构成函数( )( )( )F xf xg x，若( )F x的图象如图所示， 则( )F x 2sin x x 【解答】解：由图象可知，函数( )F x的定义域为R，故排除 1 y x ，log_2yx， 又( )F x的图象过定点(0,1)， 当0 x 时，( )1F x 且为增函数，当0 x 时，( )F x大于 0 与小于 0 交替出现， 故排除y

15、x， 2 yx， 2xy 过(0,1)，且当0 x 时，1y ，当0 x 时，01y 若包含cosyx，当0 x 时，1y ，2cos x yx不满足过点(0,1)， 只有2sin x yx满足 故答案为：2sin x x 11（5 分） 已知向量| | | 1abc， 若 1 2 a b， 且c x a y b， 则xy的最大值为 2 3 3 【解答】解：| |ab，且 1 2 a b， a与b的夹角为60， 设(1,0)a ，则 1 (2b ， 3) 2 ， cxayb， 1 ( 2 cxy， 3 ) 2 y， 又| 1c ， 第 8 页（共 15 页） 22 13 ()()1 22 xy

16、y，化简得 22 1xxyy， 2 2 () ()1 4 xy xyxy ，当且仅当 3 3 xy时，等号成立， 2 3 3 xy 故答案为： 2 3 3 12 （5 分）对于定义域为D的函数( )f x，若存在_1x，_2xD且_1_2xx，使得 22 ( _1 )( _2 )2 ( _1_2)f xf xf xx， 则称函数( )f x具有性质M， 若函数( ) |log_21|g xx， 具(0 x，a有性质M，则实数a的最小值为 2 22 【解答】解：设_1_2xx，由 22 ( _1 )( _2 )f xf x得， 22 |_2 _11| |_2 _21|logxlogx， 则 22

17、 1_2 _1_2 _21logxlogx，故 22 _2 _1_22logxx， 2222 _1_24( _12, _22)xxxx， 又 2 2 ( _1_2) |2_2( _1_2)2| |_2( _1_2)2|f xxlogxxlogxx， 22 _2( _1_2)21_2 _1logxxlogx ， 2 2 4 _1 _2 x x ， 22 2 4 _2( _14)21_2 _1 _1 logxlogx x ， 则 42 _2( _14 _14)3logxx， 42 _14 _148xx， _12 22x，故_22 22x， 2 22a，则实数a的最小值为2 22 故答案为：2 22

18、 二二.选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项分）每题有且只有一个正确选项.考生应考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13（5 分） 已知两条直线_1l，_2l的方程为_1:10laxy 和_2:210lxy ， 则2a 是“直线_1_2ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若2a ，则_1:21 0lxy 和_2:210lxy ， 1 _1_221 2 kk， 第 9 页（共 15 页）

19、 所以直线_1_2ll，满足充分性； 若直线_1_2ll，则1 1 ( 2)0a ，解得2a ，满足必要性 所以2a 是“直线_1_2ll”的充要条件 故选：C 14 （5 分）在正方体_1 _1 _1_1ABCDABCD中，下列四个结论中错误的是( ) A直线_1BC与直线AC所成的角为60 B直线_1BC与平面_1ADC所成的角为60 C直线_1BC与直线_1AD所成的角为90 D直线_1BC与直线AB所成的角为90 【解答】 解： 连接_1AB， _1ABC为等边三角形，_160ACB， 即直线_1BC与AC 所成的角为60，故选项A正确； 连接_1_1BD，_1_1_1_1ABBCCD

20、AD，四面体_1_1ABCD是正四面体， 点_1B在平面_1ADC上的投影为_1ADC的中心，设为点O，连接_1BO，OC，则 6 3 OCBC， 设直线_1BC与平面_1ADC所成的角为， 则 6 31 3 cos _1322 BC OC BCBC ，故选项B错误； 连接_1BC，_1/ /_1ADBC，且_1_1BCB C，直线_1BC与_1AD所成的角为90， 故选项C正确； 第 10 页（共 15 页） AB 平面_1 _1BCCB，_1ABBC， 即直线_1BC与AB所成的角为90， 故选项D正 确 故选：B 15 （5 分）设0 x ，0y ，若 1 21x y ，则 y x 的(

21、 ) A最小值为 8 B最大值为 8 C最小值为 2 D最大值为 2 【解答】解：由已知 1 21x y 可得 1 12 y x ， 1 () 2 x ， 所以 2 2 111 11 (12 )2 2() 48 y xxxxx x ， 当 1 4 x 时， 2 1 ( 2) 8 max xx，此时( )8 min y x ， 故选：A 16 （5 分）记_Sn为数列 _ an的前n项和，已知点( , _ )n an在直线102yx上，若有且 只有两个正整数n满足_Sn卥，则实数k的取值范围是( ) A(8，14 B(14，18 C(18，20 D(18， 81 4 【解答】解：由已知可得_10

22、2ann，由_12anan ，所以数列 _ an为等差数 列，首项为 8，公差为2， 所以 2 (1) _8( 2)9 2 n n Snnnn ， 当4n 或 5 时，_Sn取得最大值为 20， 因为有且只有两个正整数n满足_Sn卥， 所以满足条件的4n 和5n ， 因为_3_618SS， 所以实数k的取值范围是(18，20 故选：C 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 76 分）分） 17（14分） 如图1， 在三棱柱_1 _1 _1ABCABC中， 已知ABAC，1ABAC，_12AA， 且_1AA平面ABC，过_1A，_1C，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一

23、个 四棱锥（如图2) （1）求异面直线_1BC与_1AA所成角的大小（结果用反三角函数表示） ； （2）求四棱锥_1 _1BACCA的体积和表面积 第 11 页（共 15 页） 【解答】解： （1）_1/ /_1AACC，_1BCC即为异面直线_1BC与_1AA所成角， _1AA平面ABC，_1CC平面ABC， _190CCB 22 1 12CBABAC，_12CC， 2 tan_1 2 CCB，得 2 _1arctan 2 CCB， 即异面直线_1BC与_1AA所成角的大小为 2 arctan 2 ； （2） 2 14 _1 _11 2 33 VBACCA ； 11 11 1 BACBAAB

24、ACCAAC SSSSS 全 1111 1 11 215221 2 2222 1575 1222 2222 四棱锥_1 _1BACCA的体积为 4 3 ，表面积为 75 2 22 18 （14 分）已知函数 2 ( )3sin coscos1f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和值域； （2）若对任意xR， 2( ) ( )2 0fxk f x 的恒成立，求实数k的取值范围 第 12 页（共 15 页） 【解答】解：（1） 2 3cos213133 ( )3sin coscos1sin21sin2cos2sin(2) 2222262 x f xxxxxxxx ， 所以( )f x的最

25、小正周期 2 2 T ，值域为 1 2 ， 5 2 （2）记( )f xt，则 1 2t， 5 2 ， 由 2( ) ( )2 0fxk f x 恒成立，知 2 2 0tkt 恒成立，即 2 2kt t 恒成立， 因为0t ，所以 2 22t kt tt ，因为 2 ( )g tt t 在 1 2t， 5 2 时单调递增， 55417 ( )( ) 22510 max gtg， 所以k的取值范围是 17 10 k 19 （14 分）某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件） ，经市场调查测 算，花费t（万元）进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3 1 x t k （其

26、 中k为常数） ，如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品 （1）要使促销后商品的利余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为 32（元/件） ，另有固定成本 3（万元） ，定义每件售出商品的平均 成本为 3 32 x （元)，若将商品售价定位： “每件售出商品平均成本的 1.5 倍“与“每件售出 商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润 最大？此时商品的剩余量为多少？ 【解答】解： （1）由3 1 x t k ，当0t ，1x 时，得2k， 2 3 1 x t ，由 2 0.1 1t ，得19t， 故要使促销后

27、商品的剩余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至少为 19（万元） ； （2）设网店的利润为y（万元） ，由题意可得， 332 (1.5)(332) 2 xt yxxt xx 9932321321 50() 50242 2121212 ttt ttt 当且仅当 321 12 t t ，即7t 时取等号，此时30.25x 当促销费t为 7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为 42 万元，此时商品的剩余量 第 13 页（共 15 页） 为 0.25（万件） 20（16 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的右焦点坐标为(2,0)， 且长轴长为短轴长的2 倍，直线l交椭圆于

28、不同的两点M和N， （1）求椭圆的方程； （2）若直线l经过点(0,4)P，且OMN的面积为2 2，求直线l的方程； （3） 若直线l的方程为(0)yxtkk， 点M关于x轴的对称点为M， 直线MN，M N分 别与x轴相交于P、Q两点，求证：| |OPOQ为定值 【解答】解： （1）由题意可得2ab， 22 4ab， 解得2 2a ，2b ， 所以椭圆的方程为 22 1 84 xy ； （2）设点M，N的坐标为( _1M x，_1)y，( _2N x，_2)y， 直线l的方程为4yxk，联立方程 22 4 1 84 yx xy k ， 消去y可得： 22 (12)16240 xxkk， 则 2

29、 16 _1_2 12 xx k k ， 2 24 _1 _2 12 xx k ， 所以 2 2 2 18 2 23 _4( _1_2)4 _1 _22 2 212 SOMNxxxx k k ， 解得 14 2 k，所以直线l的方程为 14 4 2 yx ； （3）证明：由题意知M点的坐标为( _1M x，_1)y， 将yxtk代入椭圆方程可得： 222 (12)4280 xtxtkk， 第 14 页（共 15 页） 所以 2 4 _1_2 12 t xx k k ， 2 2 28 _1 _2 12 t xx k ， 所以 2 _1_2( _1_2)2 12 t yyxxt k k ， 对于直

30、线yxtk，令0y ，得 t x k ，所以| | t OP k ， 对于直线 _2_1 :_2(_2) _2_1 yy M N yyxx xx ，令0y ，得 _2( _2_1) _2 _2_1 yxx xx yy _1 _2_2 _1_1(_2)_2(_1) _2_1_2_1 xyxyxxtxxt yyyy kk 2_1 _2( _1_2)8 _2_1 xxt xx yyt kk ，所以 8 | |OQ t k ， 所以 8 | | | | 8 t OPOQ t k k 为定值， 故原结论成立 21 （18 分）对于由m个正整数构成的有限集 _1Ma，_2a，_3a，_am，记 ()_1_

31、2_P Maaam，特别规定()0P ，若集合M满足：对任意的正整数 ()P Mk?，都存在集合M的两个子集A、B，使得Pk（A）P（B）成立，则称集合M 为“满集” （1）分别判断集合_11M，2与_21M，4是否为“满集” ，请说明理由； （2）若_1a，_2a，_am由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列，求证：集 合M为“满集”的必要条件是_11a，1d 或 2； （3）若_1a，_2a，_am由小到大能排列成首项为 1，公比为 2 的等比数列，求证： 集合M是“满集” 【解答】解： （1）集合_1M是“满集” ，集合_2M不是“满集” ，理由如下： 对于集合_1M，(_1

32、)123P M ，且_1M共有 4 个子集：，1，2，1，2， 当k分别取 1，2，3 时，有1(1)()PP，2(2)()PP，3(1P，2)()P， 故集合_1M是“满集” ； 对于集合_2M，(_2)145P M ，且_1M共有 4 个子集：，1，4，1，4， 当2k时，不存在_2M的两个子集A，B，使得P（A）P（B）2， 故集合_2M不是“满集” ， （2）证明：_1a，_2a，_am由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列， _1_2_aaam，记_0()_1_2_P Maaamk， 集合M为“满集” ， 第 15 页（共 15 页） 对任意的正整数_0k刱，都存在集合M

33、的两个子集A、B，使得Pk（A）P（B） 成立， 当_0 1kk时，由_0 1P k（A）P（B） ，及P（B）0，知P（A）_0 k或P（A） _01k， 若P（A）_0 k， 则P（B）1， 此时 _1Aa，_2a，_am， _1Ba，_1 1a； 若P（A）_01k， 则在M的真子集中，P（A）_2_3_aaam最大， 必有_11a， 此时 _2Aa，_2a，_am，B ， 综上，可得_11a； 若3d，当_03kk时，_00_0 1( _0 1)1_0(1)d kkkk， 不存在集合M的两个子集A、B，使得_03Pkk（A）P（B）成立， 1d或 2， 综，可得集合M为“满集”的必要条

34、件是_11a，1d 或 2， （3）证明：由题设，可得1M ，2，4， 1 2 m ， 1 ()124221 mm P M ， 对任意21 m k?， * Nk，存在_1kk， * _1Nk，_1 0p，1， 使得2 _1_1pkk， 同理有_12 _2_2pkk，_22 _3_3pkk，其中_1iikk， * _iNk， _0pi，1，经过有限次的操作后， 必存在_1(0)ssmk?， 120 2 _1_12(2 _2_2)_122_2_12 _22_1 sss ppppspspp kkk ， 当_ _1_ _2_ _1pjpjpjm时， _1_2_ 2222 sjjjs k， 此 时 取2sA ， _1 2 j ， _2 2 j ， _ 2 js ，B ， 则 有P（ A ）P（ B ） _1_2_ 22220 sjjjs k， 集合M是“满集”