2021届郑州市高三第一次质量预测理科数学试题及答案.pdf

1、2 0 2 1 届高三摸底联考 第 1页（共 4页） 2020-2021 学年高三数学一测理科评分参考学年高三数学一测理科评分参考 一、选择题（共一、选择题（共 6060 分）分） 题号123456789101112 答案CCBDADDBACDB 二、填空题二、填空题( (共共 2020 分分) ) 13.4；14. ( ,2)；15. 3；16. ? . 202 20/11/17 21:51:37；用户： ； 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分）分） 17.17.解： （1）在ABC中，因为 b =?, =2,? = ?， 由余弦定理b2= ?2? 2 2?，2 分 得 2 2 52

2、22 2 aa ，化简得 2 230aa 4 分 所以3,a 或1.a （舍）6 分 （2）在ABC中，由正弦定理 ? ? = ?， 得 ? sin? = 2 ?,所以 sinC = ? ? 8 分 在ADC中，因为 cos?ADC = ? ,所以? 为钝角， 而? ? ? ? ? = ?,所以? 为锐角. 故 cosC =? sin2? = 2 ? ? ，10 分 因为 cos?ADC = ?，所以 sin?ADC = ? ?. 11 分 从而 sin?DAC = sin(?ADC ? ?C) = 2 ? 2? 12 分 18.18.()证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD

3、 ABCABC 是等边三角形，OBOBACAC1 分 ABD 与CBD 中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD = CD ACD 是直角三角形，AC 是斜边，ADC=90 DO = ? 2 ?DO2? ?2= ?2= ?2OB OD. 3 分 又 DO AC = O，OB 平面 ACD4 分 又 OB 平面 ABC，平面 ABC 平面 ACD. 6 分 ()由题知，点 E 是 BD 的三等分点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2 则 O （0， 0， 0） ， A （1， 0， 0） ， C （ ?， 0， 0） ， D （0， 0， 1） ， B （0， ?， 0）

4、 ， E（?， ? ? , ? ? ） 第 2页（共 4页） AD ? ? = ( ?,?,?)，AE ? ? = ?, ? ? , 2 ? ，AC ? ? = ( 2,?,?)8 分 设平面ADE的法向量为? ?= (?,?,?)，则 ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ?，即 ? ?= ? ? ? ? ? 2 ? ?= ?， 取? ?= (?, ?,?)同理可得：平面 ACE 的法向量为n?= (?,?, ? 2 )10 分 ? ? ? ? ?,?= ? ? ? ? = ? ? 二面角 DAEC 的余弦值为? ?12 分 19.()解：由题意可知 ? = 2 2 ， ?2

5、? ? ?2 = ?，?2= ?2? 2， 解得?2= ?，?2= ?，所以椭圆方程为? 2 ? ? ?2 ? = ?4 分 ()证明：设点 ?(?,?)，?(?2,?2)，因为 ? ?，所以? ?2 ? ?2? ?22 = ?， 所以y?y2 (y? y2) ? ? = x?x2? 2(x? x2) ， 当 k 存在的情况下，设 MN:y = kx ? m， 联立 y = kx ? m, x2? 2y2= ? 得(? ? 2k2)x2? kmx ? 2m2 ? = ?， 由 ? ?，得 ?k2 m2? ? ? ?， 由根与系数的关系得x? x2= km ?2k2，x?x2 = 2m2? ?2

6、k2， 8 分 所以y? y2= k(x? x2) ? 2m = 2m ?2k2，y?y2 = k2x?x2? km(x? x2) ? m2= m2?k2 ?2k2 ， 代入式化简可得 k2? km ? (m ?)(?m ? ?) = ?， 即(2k ? m ?)(2k ? ?m ? ?) = ?，所以 m = ? 2k 或 m = 2k? ? ， 所以直线方程为 y = kx ? ? 2k 或 y = kx 2k? ? ， 所以直线过定点(2,?)或( 2 ?, ? ?)，又因为(2,?)和 A 点重合，故舍去， 所以直线过定点 ?( 2 ? , ? ? ). 12 分 20.20.解：()

7、? ? = ? ? ?, ? ? ?，则 ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? (? ? ? ) 当 ? = e 时，令? ? ?,得 ? ? ? ? ?香 令? ? ?,得 ? ? ?香 综上，当 ? ? ?,? 时，? ? 单调递减；当 ? ? ?, ? 时，? ? 单调递增? 4 分 ()当 ? ? ? 时，? ? 单调递增，? ? 的值域为 R R，不符合题意； 第 3页（共 4页） 当 ? = ? 时，则 f ? 2 = ? 2 ? ? 2? ?，也不符合题意 当 ? ? ? 时，由（1）可知，?(?)?= ? ?，故只需 ? ? ? 8 分 令 ? = ? ?

8、，上式即转化为 lnt t ?， 设 ? ? = ? ? ? ?，则? = ? ? ， 因此 ? ? 在 ?,? 上单调递增，在 ?, ? 上单调递减， 从而?(?)?= ? ? = ?，所以 lnt t ? 因此，lnt = t ? t = ?，从而有? ? = ? = ? ? = ? 故满足条件的实数为 ? = ?12 分 21.21.() 5 名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为2 ?，则三次抽取中， “甲” 恰有一次被抽取到的概率 P 为 P=? ?2 ? (? ? )2= ? ?2? 4 分 () 第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是 ? 人. 设表示第一次抽取

9、到的无支教经验的教师人数，可能的取值有 ?,?,2，则有： ? ? = ? = ?2 2 ? 2= ? ?；? ? = ? = ?2 ? ? ? ? 2 = ? ?；? ? = 2 = ? 2 ? 2= ? ?. 设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有 ?,?,2，则有： ? = ? = ?2 2 ? 2? ?2 2 ? 2? ?2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 2? ? 2 ? 2= ? ?； ? = ? = ?2 2 ? 2? ?2 ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2? ? ? ? ?

10、? 2 = ? ?； ? = 2 = ?2 2 ? 2? ? 2 ? 2? ?2 ? ? ? ? 2 ? ?2 2 ? 2? ? 2 ? 2? ? = ? ?. 因为 ? = ? ? ? = ? ? ? = 2 ， 故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 ? 人. 8 分 (III)按照先 A 后 B 的顺序所需人数期望最小. 设 X 表示先 A 后 B 完成任务所需人员数目，则 X12 ?(? ?) E X = ? 2 ? ?= 2 ? 设 ? 表示先 B 后 A 完成任务所需人员数目，则 ?12 第 4页（共 4页） ?2(? ?2) E ? = ?2? 2 ? ?2= 2 ?2，

11、E ? E X = ? ?2? ? 故按照先 A 后 B 的顺序所需人数期望最小. 12 分 22.解：()由 cos , 1 sin , x y 可得?2? (? ?)2= ?2? ? ?2? = ?， 所以曲线C的普通方程为?2? (? ?)2= ?， 由? ? ? ? ? =?，可得? ? 2 ? ? ? 2 ? =?，所以 ? 2 ? ? ? 2 ? ? = ?， 所以直线l的直角坐标方程为 ? ? 2 ? = ?. 5 分 ()曲线C的方程可化为?2? ?2 2? = ?，所以曲线C的极坐标方程为2sin， 由题意设 A ?, ? ? ,B ?2, ? ? ，将 = ? ?代入 2s

12、in，可得 1 1 将 = ? ?代入sin ? ? ? =?，可得?2= 2,所以 AB = ? ?2= ? 10 分 23. ()依题意，得,4)( xxf则 ? ? ? 2,解得 ? ? 2或? ? ? 故不等式 ? ? ? 2 的解集为 ? | ? ? 2 或 ? ? ? 5 分 ()依题意，4 )( 1 4)( 22 ax bab xaxxf 因为 )( 1 )( 1 )( 1 222 bab aax bab xax bab x 2 4 )( 1 , )(2 abab babbaba 故 故4 4 )( 1 2 22 a a bab a，当且仅当 ? =2, ? = 2 2 时，等号成立10 分