扬州市2020—2021学年度第一学期高三适应性练习试题数学及答案.docx

1、高三数学试卷 第 1 页 20202021 学年度第一学期高三适应性练习试题学年度第一学期高三适应性练习试题 高三数学 高三数学 2021.1 （全卷满分（全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟）分钟） 一、一、 单项选择题单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题， 每小题小题， 每小题 5 5 分， 共分， 共 4040 分分. . 在每小题给出的选项中， 只有一项符合要求在每小题给出的选项中， 只有一项符合要求) ) 1已知集合 |(2)(1)0Axxx， | 20Bxx ，则AB （ ） A 1,0) B( 2, 1 C(0,2 D 1,2 2已知复数z满足(1

2、i)2iz，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 5 212xx展开式中，含 2 x项的系数为（ ） A70 B30 C150 D90 4如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB为分界线，裁去一部分图形而成，已知该分界线 是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为 2 3 R ，则A,B两点间的距离为（ ） AR B 2R C 3R D2R 5已知正ABC的边长为2，P是AB边上一点，且 2BPPA ，则)CP CA CB（ ） A1 B2 C4 D6 6过抛物线 2 4yx焦点F的直线l交抛物线于,A B两点（点A在第一象限） ，若

3、直线l的倾斜角 为60，则 | | AF BF 的值为（ ） A2 B3 C 3 2 D 5 2 7已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，若 32 5aa，则 42 8aa的最小值为（ ） A40 B20 C10 D 5 8已知函数 ln ,0 24 ,0 xx x f x xe x ，若 12 xx且 12 f xf x，则 12 xx的最大值为（ ） A 1 2 e e B21e C5e D 5 2 e 二、多项选择题二、多项选择题( (本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项

4、中，有多项符合题目要求. . 全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分) ) 9.下列说法中正确的是（ ） A.“ab”是“ 22 ab ”的既不充分又不必要条件; B. “2x ”是“1, ,4x成等比数列”的充分不必要条件; 高三数学试卷 第 2 页 C. “0,0mn”是“方程 22 1 xy mn 表示双曲线”的必要不充分条件; D. 对于函数( )f x，“(0)0f”是“函数( )f x为奇函数”的充要条件. 10. 已知函数( )sin()(0,|) 2 f xx 的部分图像如图所示， 则下列 说法中正

5、确的是（ ） A. ( )()f xfx B. ( )()f xfx C. 2 ( )() 3 f xfx D. 2 ( )() 3 f xfx 11如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，线段 11 B D上有两个动点 ,E F，且1EF ，则下列说法中正确的是（ ） A存在点,E F使得/AEBF B异面直线EF与 1 C D所成的角为60 C三棱锥BAEF的体积为定值 2 12 D 1 A到平面AEF的距离为 3 3 1216 世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题： “45 次方程 45434153 4594595364379545xxxxxxC

6、的根如何求？” ，法国数学家韦达利用三角知识 成功解决了该问题，并指出当2sinC时，此方程的全部根为 2 2sin(),(0,1,2,44) 45 k xk ， 根据以上信息可得方程 45434153 45945953643795450 xxxxxx的根可以是（ ） A3 B1 C3 D2 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13已知长方体的长、宽、高分别为10,8,6()cm，则该长方体的外接球的半径R ()cm 14某种型号的机器使用总时间x（年） （其中4,xxN ）与所需支出的维修总费用y（万元）的统

7、计数据如下表：根据表中数据可得y与x之间的线性回归方程为 0.7yxa，若该设备维修总费用超过 12 万元就报废，据此模型预 测该设备最多可使用_年.（填整数） 15几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为36o的等腰 三角形被称为“黄金三角形”.如图，已知五角星是由 5 个“黄金三角形”与 1 个正五 边形组成，且 51 2 BC AC . 记阴影部分的面积为 1 S，正五边形的面积为 2 S，则 1 2 = S S x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 高三数学试卷 第 3 页 16已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A， 以A

8、为圆心，b为半径的圆与双曲线的一 条渐近线交于,M N两点，若 2OMON （其中O为坐标原点） ，则双曲线的离心率为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，计小题，计 7070 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，ABC的面积为S，cossin 2 B abA （1）求B； （2）若5b ， ，求S 请在 5 3 3 a ，tan()23 4 A ， 222 bcabc 这三个条件中任选一个，补充在上面的 问题中，并加以解

9、答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 1 2 a ， * 1 1 2, nn SanN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 2 log nn ba，且 2 1 41 n n c b ，求数列 n c的前n项和 n T 19 （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是长方形，PABABCD平面平面，PADABCD平面平面， （1）证明：PA 平面ABCD； （2）若2,3PAADAB，E为PD中点， 求二面角ABEC的余弦值. 高三数学试卷 第 4 页 20

10、 （本小题满分 12 分） 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下 的频率分布表： 周末运动时间t（分钟） 30 40)， 40 50)， 50 60)， 60 70)， 70 80)， 80 90， 人数 300 600 900 450 450 300 （1）从周末运动时间在70 80)，的学生中抽取3人，在80 90，的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐 2人参加体能测试，记推荐的2人中来自70 80)，的人数为X，求X的分布列和数学期望； （2） 由频率分布表可认为： 周末运动时间t服从正态分布 2 ( ,)N ， 其中为周末运动

11、时间的平均数t， 近似为样本的标准差s，并已求得14.6s . 可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高 中生中随机抽取10名学生， 记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y， 求(2 )P Y （精确到0.001） ； 参考数据 1：当 2 ( ,)tN 时，()0.6827, (22 )0.9545,PtPt (33 )0.9973Pt . 参考数据 2： 82 0.81860.202,0.18140.033 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ,左右顶点分别为,A B，上下顶点分别为,C D， 四边

12、形ACBD的面积为4 3， （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，直线PB、QB分别交直线4x 于,M N两点， 判断BM BN是否为定值，并说明理由. 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln x f xeax， （其中a为参数） （1）若1a ，且直线1ykx与( )yf x的图象相切，求实数k的值； 高三数学试卷 第 5 页 （2）若对任意(0,)x，不等式( )lnf xaa成立，求正实数a的取值范围. 2020202020212021 学年度第一学期高三适应性练习学年度第一学期高三适应性练习 高三数学参考答案 高三数学参考答案 2021.

13、1 1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D 9、AB 10、AD 11、BCD 12、AC 13、5 2 14、20 15、5 16、 2 3 3 1717、解：、解： （1）在ABC中，因为cossin 2 B abA，所以由正弦定理得sincossinsin 2 B ABA， 因为sin0A，所以cossin 2 B B， 2 分 所以cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B ，所以 1 sin 22 B ， 4 分 因为(0, )B，所以 3 B 5 分 （2）选:由正弦定理得 5 3 5 3 sin sin 3 A ，即 1 sin 2 A，因

14、为ba，所以 6 A ， 所以 2 C ，所以ABC是直角三角形，所以 11 5 325 3 5 2236 Sab. 10 分 选:由tan()23 4 A 得 tantan tan1 4 23 1tan 1tantan 4 A A A A ，解得 3 tan 3 A 因为(0, )A，所以 6 A ， 所以 2 C ，所以ABC是直角三角形，所以 11 5 325 3 5 2236 Sab. 10 分 选：因为 222 bcabc，所以 222 1 cos 22 bca A bc ， 因为(0, )A，所以 3 A ，又 3 B ，所以ABC为正三角形，所以 25 3 4 S 10分 18、

15、解：、解： （1）因为 1 12 nn Sa ，所以 1 12 nn Sa ，(2)n 两式相减得 1 2 nn aa ，(2)n 2分 因为 1 1 2 a ， 1 12 nn Sa ，所以令1n ，则可得 21 11 (1) 24 aa 所以 2 1 1 2 a a 又 1 1 0 2 a ， 2 1 0 4 a ， 1 2 nn aa ，所以0 n a （ * nN） 高三数学试卷 第 6 页 所以 11 2 n n a a ， （ * nN） ， 5 分 所以数列 n a是首项为 1 2 、公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 ( ) 2 n n a 6 分 注：结果 1 ( ) 2

16、 n n a 对，但没有说明 2 1 1 2 a a 的扣 2 分 （2）因为 1 ( ) 2 n n a ，所以 1 2 log nn ban 7 分 所以 22 111111 (21)(21)2 2121 4141 n n c nnnn bn 9 分 所以 123nn Tcccc 1111111 ()()() 213352121nn L 11 (1) 22121 n nn 12 分 19、 （1）证明：四边形ABCD为长方形，AB AD， PADABCD平面平面，PADABCDAD平面平面，ABABCD 平面 AB 平面PAD 3 分 PAPAD 平面 ABPA. 同理ADPA， 又ABA

17、DA，,ABABCD ADABCD平面平面 PA 平面ABCD. 5 分 （2）以A为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为, ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系 6 分 则0,0,0 ,3,0,0 ,0,2,0 ,3,2,0 ,0,1,1 ,0,0,2 ,ABDCEP 设, ,mx y z为平面ABE的法向量， 0 0 m AB m AE 0 0 yz x ，令1y ，则1z ， 平面ABE的一个法向量0,1, 1m . 8 分 同理可求得平面BCE的一个法向量1,0,3n ， 10 分 3 20 cos, 20 m n m n m n . 二面角ABEC的大小为钝角 二面角AB

18、EC的余弦值为 3 20 20 . 12 分 注：错将二面角的余弦值写成 3 20 20 的扣 1 分 20、解：解： （1）随机变量X的可能取值为0,1,2， 021120 323232 222 555 133 (0), (1), (2) 10510 C CC CC C P XP XP X CCC ， 3 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 高三数学试卷 第 7 页 所以 1336 ()012 105105 E X 5 分 （2） 35 30045 60055 90065 45075 45085 300 58.5 3000 t 7 分 又43.958.5 14.6,87.75

19、8.5 14.6 22， 所以 0.68270.9545 (43.987.7)(2 )0.8186 2 PtPt 9 分 所以(P t或2 )1 0.81860.1814t ， 所以(10,0.1814)YB， 所以 228 10 (2)0.18140.8186P YC 11 分 45 0.033 0.2020.300 12 分 21、解、解： （1）由题意得 222 1 2 24 3 c a abc ab ， .2 分 解得23ab，所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . .4 分 （2）方法 1：若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x ， 此时可得 33 (1)(1) 22 PQ,

20、 ,，(4 3)M,-，(4 3)N,，所以 5BM BN . .5 分 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为)0)(1(kxky,代入 22 1 43 xy 整理得 2222 (34)84120kxk xk，易得0恒成立. 设 112212 ()(),(2)P x yQ x yx x ,， 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk ,， 7 分 由直线PB的方程 1 1 (2) 2 y yx x 可得点 1 1 2 (4,) 2 y M x ， 由直线QB的方程 2 2 (2) 2 y yx x 可得点 2 2 2 (4,) 2 y N x ， 所以 12 12

21、22 (2,),(2,) 22 yy BMBN xx .8 分 所以 2 121212 121212 22()1 444 222()4 yyx xxx BM BNk xxx xxx .9 分 222 22 2222 4128439 44445 4122 84(43)4 kkk kk kkkk 综上，BM BN为定值. .12 分 方法 2：显然直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为1 myx，代入 22 1 43 xy 整理得 22 (34)690mymy，易得0恒成立. 设 112212 ()(),(2)P x yQ x yx x ,，则 1212 22 69 3434 m yyy y mm

22、 ,， 7 分 由直线PB的方程 1 1 (2) 2 y yx x 可得点 1 1 2 (4,) 2 y M x ， 高三数学试卷 第 8 页 由直线QB的方程 2 2 (2) 2 y yx x 可得点 2 2 2 (4,) 2 y N x ， 所以 12 12 22 (2,),(2,) 22 yy BMBN xx .8 分 所以 1212 2 121212 224 44 22()1 yyy y BM BN xxm y ym yy .9 分 222 36 4495 9634mmm .12 分 22、解：、解： （1）若1a ，则( )ln(0) x f xex x， 1 ( ) x fxe x

23、 设切点 0 00 (,ln) x P x ex，则 0 0 0 00 ln11 x x ex e xx ，即 0 00 (1)ln0 x xex .2 分 令( )(1)ln(0) x xxex x，观察得(1)0， .4 分 又 1 ( )0 x xxe x ，所以( )x在(0,)上递增， 所以方程 0 00 (1)ln0 x xex的根仅有 0 1x ，所以1ke .5 分 注：观察出 0 1x 是 0 00 (1)ln0 x xex的根但没有交待唯一性的扣 1 分 （2）方法方法 1 1：（直接研究差函数的最小值）（直接研究差函数的最小值） 令( )lnln(0) x g xeaxa

24、a x，则( ) x x axea g xe xx , 令( )(0) x xxea x，则( )x在0,)上递增，且(0)0a ，( )(1)0 a aa e， 所以存在唯一 0 (0, )xa，使得 0 00 ()0 x xx ea，所以 当 0 (0,)xx时，( )0g x，故函数( )g x单调递减 当 0 (,)xx时( )0g x，故函数( )g x单调递增 所以 0 min00 ( )()lnln x g xg xeaxaa .7 分 00 0 1 (2ln)axx x .9 分 由( )0g x 恒成立得 00 0 1 (2ln)0axx x ，即 00 0 1 2ln0 x

25、x x ， 令 1 ( )2ln(0)h xxx x x ，则 2 12 ( )10h x xx ，所以( )h x在(0,)上递减 由(1)0h得( )0h x 的解为01x，所以 0 01x， .11 分 令( )(0,1) x xxex，则( ) x在(0,1)上递增， 所以 0 0 (0, ) x ax ee，所以0ae .12 分 方法方法 2 2： （构建同构式处理不等式）： （构建同构式处理不等式） 由( )lnf xaa得lnln x e ax a ，即lnln x lna eax ， 两边同时加x得 ln lnln x lnax xaexe 令( ) t ttge,则()()lnlnggxax， .9 分 ( )g t为单调增函数 lnlnxax，即lnlnaxx， 令( )lnh xxx,则 1 ( ) x h x x h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， min ( )(1)0h xh， ln1a ，解得0ae .12 分 高三数学试卷 第 9 页