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2021版 一次函数压轴题专题突破5:一次函数与最值问题(含解析).pdf

1、一次函数压轴题之线段最值一次函数压轴题之线段最值 1如图 1,在平面直角坐标系中,直线 l1:yx+b 与直线 l2:yx8 交于点 A,已知点 A 的横坐标 为5,直线 l1与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,直线 l2与 y 轴交于点 D (1)求直线 l1的解析式; (2)将直线 l2向上平移 6 个单位得到直线 l3,直线 l3与 y 轴交于点 E,过点 E 作 y 轴的垂线 l4,若点 M 为垂线 l4上的一个动点, 点 N 为 x 轴上的一个动点, 当 CM+MN+NA 的值最小时, 求此时点 M 的坐标及 CM+MN+NA 的最小值; 2在平面直角坐标系中,直线 AB 与

2、 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,与直线 OC:yx 交于 C (1)如图 1 若直线 AB 的解析式:y2x+12 求点 C 的坐标; 求OAC 的面积; (2)如图 2,作AOC 的平分线 ON,若 ABON,垂足为 E,且 OA4,P、Q 分别为线段 OA、OE 上的动点, 连接 AQ 与 PQ,是探索 AQ+PQ 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由 3如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A(4,0) ,C(0,3) ,直线 yx+交 OA 于点 D, 交 BC 于点 E,动点 P 从点 O 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 OAAB 运

3、动,到点 B 停止,设PDE 的面 积为 S(平方单位) ,点 P 的运动时间为 t(秒) (1)求点 D 和点 E 的坐标; (2)求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围; (3)当点 P 在边 AB 上运动,且 PD+PE 的值最小时,直接写出直线 EP 的表达式 4一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A(8,0)和点 B(0,6) (1)确定此一次函数的解析式 (2)求坐标原点 O 到直线 AB 的距离 (3) 点 P 是线段 AB 上的一个动点, 过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M, 作 PN 垂直于 y 轴于 N, 记 LPM+PN, S=PM PN

4、问 L 和 S 是否存在最大值和最小值?若存在,求出此时 P 点到原点 O 的距离,若不存在请说明理由 5如图,在平面真角坐标系中,点 A 的坐标是(,0) ,点 B 的坐标是(0,1) 点 B 和点 C 关于原点 对称点 P 是直线 AB 位于 y 轴右侧部分图象上一点,连接 CP,已知 SBPCSABC, (1)求直线 AC 的解析式; (2)如图 2,AOC 沿着直线 AC 平移得AOC,平移后的点 A与点 C 重合点 F 为直线 AC 上的一动 点, 当 PF+FC的值最小时,请求出 PF+FC的最小值及此时点 F 的坐标; (3)如图 3,将PBC 沿直线 PA 翻折得PBG,点 N

5、 为平面内任意一动点,在直线 PA 上是否存在点 M,使 得以点 M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 6如图,在平面直角坐标系中,平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,AD 与 y 轴交于点 E,连接 BE,已知点 A(3,0) 、B(3,0) 、C(7,4) ,点 G 为对角线 BD 上一点,过点 G 作 y 轴的平行线交 BE 于点 F,点 M、 N 是直线 BE 上的两个动点(点 M 在点 N 的上方) ,且 MN,连接 GN、DM (1)求BDE 的面积; (2)若 GF,求 DM+MN+NG 的最小值,此时在 y 轴上

6、有一动点 R,当|GRNR|最大时,求点 R 的坐标; (3)在(2)的条件下,把GFB 绕点 B 逆时针旋转一个角 a(0180) ,在旋转过程中,直线 GF 与直线 BE、x 轴分别交于点 P、点 Q,当BPQ 是以 B 为顶点的等腰三角形时,求出 PQ 的长以及相应的旋转 角的度数 7如图,直线 ykx+b 与 x 轴和 y 轴交于 A、B 两点,AB4,BAO45 (1)如图 1,求直线 AB 的解析式 (2)如图 1,直线 y2x2 交 x 轴于点 E且 P 为该直线在直线 AB 上方一动点,当PAB 的面积等于 10 时,将线段 PE 沿着 x 轴平移得到线段 P1E1,连接 OP

7、1求 OP1+P1E1+的最小值 (3)如图 2,在(2)问的条件下,若直线 y2x2 与 y 轴的交点是 C,连接 CE1,得到OCE1,将OCE1 绕着原点 O 逆时针旋转(0180) ,旋转过程中直线 OC 与直线 AB 交于点 M,直线 CE1与直线 AB 交 于点 N,当CMN 为等腰三角形时,直接写出的值 8如图,在平面直角坐标系中,直线 yx+4 分别交 x 轴,y 轴于 A,B 两点,点 C 为 OB 的中点,点 D 在 第二象限,且四边形 AOCD 为矩形(有一个角是直角的平行四边形) (1)直接写出点 A,B 的坐标,并求直线 AB 与 CD 交点 E 的坐标; (2)动点

8、 P 从点 C 出发,沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动;同时动点 N 从点 A 出发, 沿线段 AO 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 O 运动,过点 P 作 PHOA,垂足为 H,连接 NP设点 P 的运动 时间为 t 秒 若NPH 的面积为 1,求 t 的值; 点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点,问 BP+PH+HQ 是否有最小值?如果有,直接写出相应的点 P 的坐标和 BP+PH+HQ 的最小值;如果没有,请说明理由 9已知直线 yx+6 与 x 轴,y 轴分别相交于点 A,B,将OBA 对折,使点 O 的对应点 E 落在直线 AB 上,折痕交 x 轴于点

9、 C (1)求点 C 的坐标和直线 BC 的函数表达式; (2)若已知 x 轴上有一点 D(4,0) ,点 M 为直线 AB 上一点,点 N 为直线 BC 上一点,是否存在这样的点 M、N,使得以点 A、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 M 的坐标:若不存在,说明理 由; (3)已知 y 轴上有点 P(0,2) ,点 Q 为直线 BC 上一点,点 K 为直线 yx 上一点,是否存在合适的点 Q,K,使得 PQ+KQ 最小?若存在,求出 PQ+KQ 的最小值以及此时 K 点的坐标;若不存在,请说明理由 10在平面直角坐标系 xoy 中,直线 yx+m(m0)与 x 轴,y

10、轴分别交于 A,B 两点,点 P 在直线 AB 上 (1)如图 1,若 m+1,点 P 在线段 AB 上,POA60,求点 P 的坐标; (2)如图 2,以 OP 为对角线作正方形 OCPD(O,C,P,D 按顺时针方向排列) ,当点 P 在直线 AB 上运动时, 的值是否会发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由; (3)如图 3,在(1)的条件下,Q 为 y 轴上一动点,连 AQ,以 AQ 为边作正方形 AQEF(A,Q,E,F 按顺时 针方向排列) ,连接 OE,AE,则 OE+AE 的最小值为 11如图,一次函数 ykx+b 的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B(0

11、,2) ,与正比例函数 yx 的图 象交于点 C(4,c) (1)求 k 和 b 的值; (2)如图 1,点 P 是 y 轴上一个动点,当|PAPC|最大时,求点 P 的坐标; (3)如图 2,设动点 D,E 都在 x 轴上运动,且 DE2,分别连结 BD,CE,当四边形 BDEC 的周长取最小值 时直接写出点 D 和 E 的坐标 12如图 1,在平面直角坐标系中,直线 l: y与 x 轴交于点 A,且经过点 B(2,m) ,已知点 C(3, 0) (1)求直线 BC 的函数解析式; (2)在线段 BC 上找一点 D,使得ABO 与ABD 的面积相等,求出点 D 的坐标; (3)y 轴上有一动

12、点 P,直线 BC 上有一动点 M,若APM 是以线段 AM 为斜边的等腰直角三角形,求出点 M 的坐标; (4)如图 2,E 为线段 AC 上一点,连结 BE,一动点 F 从点 B 出发,沿线段 BE 以每秒 1 个单位运动到点 E 再沿线段 EA 以每秒个单位运动到 A 后停止,设点 F 在整个运动过程中所用时间为 t,求 t 的最小值 1 【解答】解:(1)点 A 的横坐标为5, A(5,3) , 将点 A 代入 yx+b, b4, 直线 l1的解析式 yx+4; (2)l2:yx8 与 y 轴的交点 D(0,8) , 将直线 l2向上平移 6 个单位得到直线 l3,直线 l3与 y 轴

13、交于点 E, E(0,2) , 过点 E 作 y 轴的垂线 l4, 点 D 是点 C 关于直线 l4的对称点,作点 A 关于 x 轴的对称点 A(5,3) , 连接 AD交 x 轴、l4于点 N、M,则此时 CM+MN+NA 最小,最小值为:AD, CM+MN+NAMD+MN+ANAD, AD; CM+MN+NA 的值最小为; 2 【解答】解:(1)联立 AB、OC 的函数表达式得:, 点 C(4,4) ; 直线 AB 的解析式:y2x+12 令 y0,则 x6,即 OA6, SOACOAyC6412; (2)ON 是AOC 的平分线,且 ABON, 则点 A 关于 ON 的对称点为点 C,A

14、OOC4, 当 C、Q、P 在同一直线上,且垂直于 x 轴时,AQ+PQ 有最小值 CP, 设:CPOPx,则 2x24216, 解得:x2CP 3 【解答】解:(1)yx+,当 y0 时,x3,即点 D(3,0) , 当 y3 时,x1,故点 E(1,3) , 故:D(3,0) ,E(1,3) ; (2)如图 1,当点 P 在 OD 段时,此时 0t, SPDOC3t+; 当点 P 在 DA 段时,此时t2, 同理可得:S3t; 当点 P(P)在 AB 段时,此时 2t, SS梯形 DABESADPSBEP61(2t4)3(72t)2t; 故 S时 2t; (3)在 x 轴上取点 D 的对称

15、点 D(5,0) ,连接 DE 交 AB 于点 P,则此时 PD+PE 的值最小, 将点 E、D的坐标代入一次函数表达式:ykx+b 得:,解得:, 故直线 EP 的表达式为:yx+ 4 【解答】解:(1)设一次函数解析式为 ykx+b, 函数图象经过点 A(8,0)和点 B(0,6) , , 解得 所以,函数解析式为 yx+6; (2)设点 O 到 AB 的距离为 h, 点 A(8,0)和点 B(0,6) , OA8,OB6, 由勾股定理得,AB10, SAOB10h86, 解得 h4.8, 所以,坐标原点 O 到直线 AB 的距离为 4.8; (3)设 AMx, 则 OMOAAM8x, P

16、Mx 轴,PNy 轴, 四边形 OMPN 是矩形, PNOM8x, PMAMtanBAOxx, LPM+PNx+8xx+8, 点 P 是线段 AB 上的一个动点, 点 M 在线段 OA 上, 0 x8, 0, 当 x0 时,L 值最大,最大值为 8,此时,点 P 到原点 O 的距离为 8, x8 时,L 值最小,最小值为 6,此时,点 P 到原点 O 的距离为 6 5 【解答】解:(1)点 B 和点 C 关于原点对称,则点 C(0,1) , 将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式:ymx+n 得:,解得:, 故直线 AC 的表达式为:yx1; (2)过点 C作直线 lx 轴,过点 P 作 PF

17、l,垂足为点 F,交 AC 于点 F, tanABO,故ABO60,BAO30, OAB30FCF,FFFC, 则 PF+FCPF+FFPF,即此时,PF+FC最小,最小值为 PF, SBPCSABC,则|xP|xA|, 故点 P(,) , ACCC2,则点 C(,2) , 则点 F(,2) , 点 F(,) , PF+FC最小值 PF; (3)存在,理由: 当 GMPM 时, 如图ABC60ABG, GBH60,GBBC2, 则 GHGBsinGBH2sin60, 故点 G(,2) ; M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形, 点 M 位置如下图所示,设点 M(m,m+1) , 将点 A、B

18、的坐标代入一次函数:ysx+t 得:,解得:, 故直线 AB 的表达式为:yx+1, GMAB,则设直线 GM 的表达式为:yx+b, 将点 G 的坐标代入上式得:2()+b,解得:b1, 故:直线 GM 的表达式为:yx1, 联立并解得:x, 故点 M(,) ; 当 GMGP 时, 同理可得:点 M(,) ; 综上,点 M(,)或(,) 6 【解答】解:(1)四边形 ABCD 是平行四边形, CDAB,CDAB6 C(7,4) D(1,4) 设直线 AD 解析式为 ykx+b,将 A(3,0) ,D(1,4)代入得,解得, 直线 AD 解析式为 yx+3,令 x0,得 y3, E(0,3)

19、SBDESABDSABE64633 (2)设直线 BE 解析式为 yk1x+b1,将 B(3,0) 、E(0,3)代入得,解得, 设直线 BE 解析式为 yx+3, 设直线 BD 解析式为 yk2x+b2,将 B(3,0) 、D(1,4)代入得,解得, 设直线 BD 解析式为 y2x+6, 设 G(m,2m+6) ,F(m,m+3) ,由题意得 GF2m+6(m+3)m+3,解得 m, G(,3) ,F(,) ; 如图 1,OBOE3 OBE45 OEOBBE MN, 点 M 分别向右向下平移个单位得到点 N, 作点 D 关于直线 BE 得对称点 D1,连接 D1M,过点 N 作 D2ND1M

20、 且 D2ND1M, D1(1,2) ,D2(,) , DM+MN+NGMN+D2N N+GN, 当 D2、N、G 在同一直线上时,D2N N+GND2G 为最小值, D2G, DM+MN+NG 的最小值为 当点 R、N、G 在同一直线上时,|GRNR|最大, 点 R 是直线 D2G 与 y 轴的交点 设直线 D2G 解析式为 yk3x+b3,将 D2(,) ,G(,3) ,代入得,解得, 直线 D2G 解析式为 yx+,令 x0,得 y R(0,) (3)BPQ 为等腰三角形,PBQ45或 135, BQP22.5或 45或 67.5或 90 BFG 中,BFG180GFE18045135,

21、BFBE 在旋转过程中,直线 GF 与 x 轴的交点 Q 在点 B 左侧时,BQP90,BPQ 不可能为等腰三角形 当点 Q 在点 B 右侧时,分三种情况: 如图 2,BQPPBQ45, BPQ90 BFGBFG135 BFQ18013545, FBQ90, FBFOBE+OBF45+90135,即旋转角135; 在BFQ 中,FBQ90,BFQBQF45, BQBF, PBQOBE45, BPQ180PBQBQF90, PQBQsinPBQsin45(舍去) ; 如图 3,BQPBPQ67.5,BFG135, BFQ45, FBQ180BFQBQP1804567.567.5, OBF180F

22、BQ18067.5112.5 旋转角OBE+OBF45+112.5157.5 过点 B 作 BMPQ 于 M,FBQBQP67.5, FQFB, 在 RtFBM 中,BFM45, BMFMBF,MQFQFM, BPQBQP, BPBQ BMPQ PQ2MQ2()33 如图 4,BQPBPQ22.5时,BFG135, BFP45, FBQBFPBQP4522.522.5 旋转角EBO+FBQ45+22.567.5; 过点 B 作 BMPQ 于 M,BQPBPQ22.5, BPBQ BMPQ PQ2MQ FBQBQP, FQBF, BFP45, FMBFcosBFPcos45 PQ2MQ2(+)3

23、+3 BQP90时, 旋转角180,0180 不符合题意 综上所述,PQ3+3,67.5或 PQ33,157.5 7 【解答】解:(1)由 k0, BAO45, BOAO AB4, A(4,0) ,B(0,4) , yx4, (2)如图 1: P 为直线 y2x2 在直线 AB 上方一动点, 设点 P(m,2m2) ,点 P 在直线 AB 上方,且PAB 的面积等于 10, OAB 的面积等于 8,点 P 位于 x 轴上方 由 S梯形 APFO+SAOBSPBFSPAB得 10 解得 m3; P(3,4) ; E(1,0) , PEP1E12, 作 P1关于 y 轴的对称点 P2,过 E1作

24、E1DAB 于 D,过 P2作 P2Gx 轴于 G,连接 OP2,过点 E1作 E1P3OP2, 且使 E1P3OP2,此时 P3、E1、D 成一直线时,E1P3+DE1的值最小,即 OP2+DE1的值最小, 此时,OP1+P1E1+最小 OP2DE1, AE1D45 DE1O135 P2OA135, P2OG45 点 P2的横坐标与纵坐标互为相反数,点 P1的横、纵坐标相等, P1(4,4) ,E1(2,0) , OP2OP1,DE1AE, OP1+P1E1+最小就是求 OP2+DE1, 当 OP2DE1时,OP2+DE1的值最小, P2OGAE1D45, OP1OP2P2G4 P2(4,4

25、) ,P1(4,4) ,E1(2,0) , AE1OAOE1422, OP1+P1E1+的最小值为 5+2 (3)由题意得:C(0,2) ,OCOE1,COE190, CMN 为等腰三角形,分四种情况: CNMNCM45(如图 2) ,旋转角45; CNMCMN67.5(如图 3) ,旋转角67.5; CMNNCM45(如图 4) ,旋转角90; CMNNCM22.5(如图 5) ,旋转角157.5 综上所述,旋转角45,67.5,90,157.5时,CMN 是等腰三角形 8 【解答】解:(1)A 是直线 yx+4 与 x 轴的交点, 令 y0 得 x3 A(3,0) 又B 是直线 yx+4

26、与 y 轴的交点, 令 x0,解得 y4 B(0,4) 由题意知,点 C 为 OB 的中点,且四边形 AOCD 为矩形 直线 CD 的方程为 y2 直线 AB 与 CD 交点为 E, 联立,解得 E(1.5,2) (2)分两种情况讨论: 第一种情况当 0t1.5 时,如图 1, 根据题意可知:经过 t 秒,CPt,ANt,HOCPt,PHOC2, NH32t, S NPHPHNH,且NPH 的面积为 1, 2(32t)1, 解得:t1; 第二种情况:当 1.5t3 时,如图 2, 根据题意可知:经过 t 秒,CPt,ANt,HOCPt,PHOC2, AH3t, HNANAHt(3t)2t3,

27、S NPHPHNH,且NPH 的面积为 1, 2(2t3)1 解得:t2; 当 t1 或 2 时,存在NPH 的面积为 1; BP+PH+HQ 有最小值,最小值为 如图 3,连接 PB、CH,则四边形 PBCH 是平行四边形, BPCH BP+PH+HQCH+HQ+2 要使 CH+HQ 的值最小,只须 C、H、Q 三点共线即可, 点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点, Q(6,4) 又点 C(0,2) 直线 CQ 的解析式为:yx+2 令 y0,得 x2, H(2,0) , 所求点 P 的坐标为 P(2,2) 根据勾股定理可得 CQ 此时,BP+PH+HQCH+HQ+PHCQ+2 9 【解答

28、】解:(1)连接 CE,则 CEAB, yx+6 与 x 轴,y 轴分别相交于点 A,B, 则点 A、B 的坐标分别为:(8,0) 、 (0,6) ,则 AB10, 设:OCa,则 CEa,BEOB6, AE1064,CA8a, 由勾股定理得:CA2CE2+AE2,即(8a)2a2+42, 解得 a3, 故点 C(3,0) ; 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式:ykx+b 并解得: 直线 BC 的表达式为:y2x+6; (2)AD4,设点 M(m,m+6) ,点 N(n,2n+6) , 当 AD 是平行四边形的边时, 则 MNAD,且 MNAD, 即:m+62n+6,mn4, 解得:m,

29、 故点 M(,)或(,) ; 当 AD 是平行四边形的对角线时, 由中点公式可得: m+n6+6,m+62n+60, 解得:m, 故点 M(,) ; 综上,点 M(,)或(,)或(,) ; (3)在 BA 上取 BPBP,则点 P是点 P 关于直线 BC 的对称点, 过点 P作 PK直线 yx 交于点 K,交 BC 于点 Q,则 PQ+KQ 为最小,最小值为 PK, 点 P(0,2) ,设BAO, 则 tan,则 cos,PB624, xPPBcos4, 故点 P(,) , PK直线 yx,则直线 PK 的表达式为:yx+s, 将点 P的坐标代入上式并解得:s, 故直线 BP的表达式为:yx+

30、, 将上式与 yx 联立并解得:x, 故点 K(,) , PQ+KQ 为最小值 PK 为: 10 【解答】解:(1)如图 1 所示:过点 P 作 PGOA,垂足为 G yx+m, A(m,0) ,B(0,m) OBOAm+1 PAG45 又PGA90, PGGA POG60,PGO90 PGOG (+1)OG+1 OG1, PG 点 P 的坐标为(1,) (2)的值不变 如图 2 所示,过点 O 作 OMOP 交 PC 的延长线与 M,连接 BM 四边形 OCPD 是正方形, OCPC,OCP90, OPC45 MOP90, OMPOPM45, OPOM A(m,0) 、B(0,m) , OA

31、OBm BOAMOP90, POAMOB OAOB,POAMOB,OPOM, POAMOB(SAS) , OAPOBM135, MBP90, C 为 PM 的中点, BCCPOP, (3)如图 3 所示:过 E 作 EK 垂直 y 轴与 K,设 Q(0,a) 可证明OAQKQE OQKEa,AOKQ+1 E(a,a+1) 点 E 在直线 yx+1 上运动, 点 B 在直线 yx+1 上 设直线 yx+1 交 x 轴与 N N(1,0) BNO45 作点 O 关于直线 yx+1 的对称点 O1,连接 AO1,交直线 yx+1 与 E1,连接 OE1、O1N、O1E OE1O1E1 OE1+AE1

32、O1AO1E+AE, OE+AE 的最小值为线段 O1A 的长 BNOBNO145,ONO1N, ANO190 在 RtO1NA 中,O1A+ 故答案为:+ 11 【解答】解:(1)把点 C 坐标代入 yx, 解得:c6,则点 C(4,6) , 一次函数交 y 轴于点 B, 函数表达式为:ykx+2, 把点 C 坐标代入上式,解得:k1, 故:k1,b2, 一次函数表达式为:yx+2; (2)当点 P 运动到点 B 的位置时,|PAPC|最大, 则点 P 坐标为(0,2) ; (3)以下各点的坐标分别为:B(0,2) ,C(4,6) , 过点 C 作 CGDE,使 GCDE, 则:四边形 DE

33、CG 为平行四边形, 作点 G 作关于 x 轴的对称点 F,连接 BF,交 x 轴于 D,点 D 即为所求点, 则点 G 坐标为(2,6) ,点 F 坐标为(2,6) , 则:DFDGEC,DB+CEBD+DGBD+DFBF,即:BD+CE 最小, 而:DE、BC 长度为常数, 故:在图示位置时,四边形 BDEC 的周长取最小值, 把点 B、F 点坐标代入一次函数表达式:ymx+b, 解得:BF 所在的直线表达式为:y4x+2, 令:y0,则 x, 则:点 D 和 E 的坐标分别为(,0) 、 (,0) , 由勾股定理得:BC4,CE,BD, 则:四边形 BDEC 的周长取最小值2+4+2 1

34、2 【解答】解:(1)将点 B 坐标代入直线 l 的表达式得:m3,点 B(2,3) , 令 y0,则 x2,即点 A(2,0) , 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式:ykx+b 得:,解得:, 故:直线 BC 的表达式为:y3x+9; (2)过点 O 作 ODAB 交 BC 于点 D,则 D 点为所求, 直线 AB 表达式得 k 值为,则直线 OD 的表达式为 yx, 将直线 BC 与 OD 表达式联立并解得:x, 即:点 D 的坐标为(,) ; (3)过点 P 作 x 轴的平行线分别于过点 A、M 与 y 轴的平行线于点 G、H, 设点 P 的坐标为(0,n) 、点 M(m,93m) , GPA+GAP90,GPA+HPM90,HPMGAP, 又 PAPM,GH90,AGPPHM(AAS) , GPHM2,GAPH, 即:, 解得:m或, 即点 M 的坐标为(,)或(,) ; (4)t+BE+AE, 过点 A 作倾斜角为 45 度的直线 l2,过点 E 作 EFl2交于点 F, 则:EFAE,即 tBE+EF, 当 B、E、F 三点共线且垂直于直线 l2时,t 最小,即:tBF, 同理,直线 l2的表达式为:yx2,直线 BF 表达式为:yx+1, 将上述两个表达式联立并解得:x,即:点 F(,) , tBF

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