盐城市､南京市2019届高三年级第一次模拟考试数学试题.doc

1、高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数数 学学 2019.01 注意事项：注意事项： 1 本试卷共 4 页， 包括填空题 （第 1 题第 14 题） 、 解答题 （第 15 题第 20 题） 两部分 本 试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答 案写在答题纸 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 参考公式：参考公式： 锥体的体积公式：V1 3Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一一 填空题填空题:本大

2、题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题分不需写出解答过程，请把答案写在答题 纸的指定位置上纸的指定位置上 1若集合 A(，1，B1，1，2，则 AB 2设复数 zai(其中 i 为虚数单位)，若 z z2，则实数 a 的值为 3某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次 为 2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，其 中样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n 4从 1，2，3 中选 2 个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是 偶数的概率为 5如图所示的流程图中，若输入 x

3、的值为4，则输出 c 的值 为 6若双曲线x 2 2 y2 m1 的离心率为 2，则实数 m 的值为 7已知 yf(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)ex1，则 f(ln2)的值为 8已知等比数列an为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a2 2，S37，则 a5的值为 开始 输入x 是 否 结束 0 x 2cx 输出c 第 5 题 2xx C 第 9 题 A B P E F 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 9如图，PA平面 ABC，ACBC，PA4，AC 3，BC1，E，F 分别为 AB，PC 的中点， 则三棱锥 BEFC 的体积为 10设 A(x，y)|

4、3x4y7，点 PA，过点 P 引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切线 PA， PB，若APB 的最大值为 3，则 r 的值为 11设函数 f(x)sin(x 3)，其中 0若函数 f(x)在0，2上恰有 2 个零点，则 的取值 范围是 12若正实数 a，b，c 满足 aba2b，abca2bc，则 c 的最大值为 13设函数 f(x)x3a2x(a0，x0)，O 为坐标原点，A(3，1)，C(a，0)，若对此函数图 象上的任意一点 B，都满足OA OBOA OC成立，则 a 的值为 14若数列an满足 a10，a4n1a4n2a4n2a4n33， a4n a4n1 a4n1 a4n 1 2

5、，其中 nN *，且 对任意 nN*都有 anm 成立，则 m 的最小值为 二二 解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内 15 (本小题满分 14 分) 在 ABC 中， 设 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边， 记 ABC 的面积为 S， 且 2SAB AC （1）求角 A 的大小； （2）若 c7，cosB4 5，求 a 的值 16(本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，

6、E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)， 且 ADDE，F 为棱 B1C1上的中点，且 A1FB1C1 求证：（1）平面 ADE平面 BCC1B1； （2）A1F/平面 ADE 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 17 (本小题满分 14 分) 盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对 环境进行了大力整治， 目前盐城市的空气质量位列全国前十， 吸引了大量的外地游客 某 旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园，数据显示，近期公园 中每天空气质量指数近似满足函数 f(x)mlnxx 600 x x21446(4x22，mR)，其中 x

7、 为每天的时刻，若在凌晨 6 点时，测得空气质量指数为 29.6 （1）求实数 m 的值； （2）求近期每天在4，22时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 18(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间的距离为 8， 直线 l：yk(xm)(mR)与椭圆 C 相交于 P、Q 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2 若 m0，求 k1k2的值； 若 k1k21 4，求实数 m 的值 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 19 (本小题满分 1

8、6 分) 若函数 yf(x)在 xx0处取得极大值或极小值，则称 x0为函数 yf(x)的极值点 设函数 f(x)x3tx21(tR) （1）若函数 f(x)在(0，1)上无极值点，求 t 的取值范围； （2）求证：对任意实数 t，在函数 f(x)的图象上总存在两条切线相互平行； （3）当 t3 时，若函数 f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，问：这样的平 行切线共有几组？请说明理由 20 (本小题满分 16 分) 已知数列an，其中 nN* （1）若an满足 an1anqn 1(q0，nN*) 当 q2，且 a11 时，求 a4的值； 若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足

9、 2srt，且 ar，as，at成等差数列，求 q 的值 （2）设数列an的前 n 项和为 bn，数列bn的前 n 项和为 cn，cnbn23，nN*， 若 a11，a22，且|an12anan2|k 恒成立，求 k 的最小值 盐城市、南京市盐城市、南京市 20201818 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题数学附加题 2019.01 注意事项：注意事项： 高三数学试题第 5 页（共 4 页） 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的 答案写在答题纸 上对应题目

10、的答案空格内考试结束后，交回答题纸 21 【选做题】 【选做题】本本题包括题包括 A、B、C 三小题三小题，请选定其中请选定其中两小两小题，题，并在并在答题答题纸纸相应相应的的区域内作区域内作 答答若若多做，则按作答的前两多做，则按作答的前两小小题评分，解答应写出文字说明题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演证明过程或演 算步骤算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换矩阵与变换（本（本小题满分小题满分 10 分分） 直线 l：2xy30 经过矩阵 M a 0 1 d 变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征值 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本（本小题满分小题满分 10 分分

11、） 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2cos，以极点为 O 原点，极轴 Ox 所在的直线 为 x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 x2 3 2 t， y1 2t (t 为参数)，求直线 l 被 圆 C 截得的弦长 C选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲（本（本小题满分小题满分 10 分分） 已知正实数 x，y，z，满足 xyz3xy，求 xyyzzx 的最小值 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答 卷纸指定区域内卷纸指定区域内 作答解答作答解答 应写出文字

12、说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD， AD1， PAAB 2， 点 E 是 棱 PB 的中点 （1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）求二面角 BECD 的余弦值 23(本小题满分 10 分) 已知数列an满足 a11，a23，且对任意 nN*，都有 a1C0na2C1na3C2nan1Cnn (an21) 2n 1成立 （1）求 a3的值； （2）证明：数列an是等差数列 盐城市盐城市南京南京市市 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年

13、级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2019.01 说明说明: 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则 第 22 题 B A C P E D 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续 部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共一、填空

14、题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在答不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上）题纸的指定位置上） 1 1， 1 2 1 3 80 4 1 3 5 4 6 6 7 3 8 16 9 3 6 10 1 11 5 6， 4 3) 12 8 7 13 6 2 14 8 二、解答题（二、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分本

15、小题满分 14 分分) 解： （1）由 2SAB AC，得 bcsinAbccosA因为 cosA0，所以 tanA1 因为A(0，)，所以A 4 6 分 （2）ABC 中，cosB4 5，所以 sinB 1cos 2A3 5， 所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 7 2 10 10 分 由正弦定理 a sinA c sinC，得 a 2 2 7 7 2 10 ， 解得a 5 14 分 16(本小题满分本小题满分 14 分分) 证明： （1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面 高三数学试题第 8 页（共 4 页） ABC 2 分 因为 AD平面 ABC，所以 B

16、B1AD 又因为 ADDE，在平面 BCC1B1中，BB1与 DE 相交，所以 AD平面 BCC1B1 又因为AD平面ADE，所以平面ADE平面 BCC1B1 6 分 （2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面 A1B1C1 8 分 因为 A1F平面 A1B1C1，所以 BB1A1F 又 因 为A1F B1C1， BB1B1C1 B1， 所 以A1F 平 面 BCC1B1 10 分 在(1)中已证得 AD平面 BCC1B1，所以 A1F/AD 又 因 为A1F 平 面ADE ， AD 平 面ADE ， 所 以A1F/ 平 面 ADE 14 分 17(本小题满分本小题满分 14 分分) 解

17、： （1）由 f(6)29.6，代入 f(x)mlnxx 600 x x21446(4x22，mR)， 解得m 12 5 分 （2）由已知函数求导，得 f(x)12x x 600 144x2 (x2144)2(12x) 1 x 600(12x) (x2144)2 令f(x)0，得x 12 9 分 列表得 x (4，12) 12 (12，22) f(x) 0 f(x) 增 极大值 减 所以函数在 x12 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 时 12 分 答： （1） 实数 m 的值为 12； （2） 空气质量指数最高的时刻为 12 时

18、 14 分 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1）因为椭圆 C 的两个焦点间距离为 2，两准线间的距离为 2 a2 c 8， 所以 a2，c1，所以 b23， 所以椭圆的方程为 x2 4 y2 3 1 3 分 （2）设 P(x0，y0)，由于 m0，则 Q(x0，y0)， 由 x02 4 y02 3 1，得y023 3x02 4 ， 5 分 所以k1k2 y0 x02 y0 x02 y02 x024 33x0 2 4 x024 3 4 8 分 （3）由（1）得 A(2，0) 方法一：设 P(x1，y1)，设直线 AP 的方程为 AP：yk1(x2)， 联立 x2 4 y2 31

19、 yk1(x2) ，消去 y，得(34k12)x216k21x16k21120， 所以xA x1 16k2112 34k12 ， 10 分 所以 x1 68k21 34k12， 代入 yk1(x2)得 y1 12k1 34k12， 所以P( 68k21 34k12 ， 高三数学试题第 10 页（共 4 页） 12k1 34k12) 12 分 由 k1k21 4， 得 k2 1 4k1， 所以 Q( 24k212 112k12， 12k1 112k12) 13 分 设 M(m，0)，由 P，Q，M 三点共线，得PM QM， 即 12k1 34k12( 24k212 112k12m) 12k1 1

20、12k12( 68k21 34k12m)， 化简得(m1)(16k124)0，所以m 1 16 分 方法二：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 x2 4 y2 31 yk(xm) ，消去 y，得(34k2)x28mk2x4m2k2120， 所以x1x2 8mk2 34k2 ，x1 x2 4m2k212 34k2 10 分 而 k1k2 y1 x12 y2 x22 k(x1m) x12 k(x2m) x22 k 2x 1x2m(x1x2)m 2 x1x22(x1x2)4 1 4， 13 分 化简得 k2(3m212) 4m2k216mk216k2 1 4，即 m 2k2mk22k20

21、 因为 k20，所以 m2m20，解得 m1 或 m2(舍去) 当 m1 时，0， 所以，m 1 16 分 19 (本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1）由函数 f(x)x3tx21，得 f(x)3x22tx由 f(x)0，得 x0，或 x2 3t 因为函数 f(x)在(0，1)上无极值点，所以2 3t0 或 2 3t1， 高三数学试题第 11 页（共 4 页） 解得 t0 或 t3 24 分 （2）令 f(x)3x22txp，即 3x22txp0，4t212p 当 pt 2 3时， 0， 此时 3x 22txp0 存在不同的两个解 x 1， x2 8 分 设这两条切线方程为分别为

22、y(3x122tx1)x2x13tx121 和 y(3x222tx2)x2x23 tx221 若两切线重合，则2x13tx1212x23tx221， 即 2(x12x1x2x22)t(x1x2)，即 2(x1x2)2x1x2t(x1x2) 而 x1x22t 3，化简得 x1 x2 t2 9，此时(x1x2) 2(x 1x2) 24x 1x24t 2 9 4t 2 9 0， 与 x1x2矛盾，所以，这两条切线不重合 综 上 ， 对 任 意 实 数t ， 函 数f(x) 的 图 象 总 存 在 两 条 切 线 相 互 平 行 10 分 （3）当 t3 时 f(x)x33x21，f(x)3x26x

23、由（2）知 x1x22 时，两切线平行 设 A(x1，x133x121)，B(x2，x233x221)， 不妨设 x1x2，则 x11 过 点A的 切 线 方 程 为y (3x12 6x1)x 2x13 3x12 1 11 分 所以，两条平行线间的距离 d|2x2 32x 1 33(x 2 2x 1 2)| 19(x122x1)2 |(x2x1)2(x1x2) 22x 1x23(x1x2)| 19(x122x1)2 4， 化简得(x11)619(x11)2 12， 13 分 令(x11)2(0)，则 319(1)2， 即(1)( 21)9(1)2，即(1)( 2810)0 显然 1 为一解，2

24、8100 有两个异于 1 的正根，所以这样的 有 3 解 高三数学试题第 12 页（共 4 页） 因为 x110，所以 x1有 3 解， 所以满足此条件的平行切线共有3 组 16 分 20(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1） 由 a4a34， a3a22， a2a11， a11， 累加得 a48 3 分 因 an1anqn 1，所以 n2 时，a nan1q n2，a 2a11 (i)当 q1 时，ann1a1 (n2)又因为 a1满足 ann1a1，所以 ann1 a1 (nN*) 因为 2srt，所以 2asarat，所以 q1 满足条件 (ii)当 q1 且 q0 时，an

25、1q n1 1q a1 (n2) 又 因 为a1满 足an 1qn 1 1q a1， 所 以an 1qn 1 1q a1 (n N*) 5 分 因为 2srt， 若存在 r，s，t 满足条件，即 2asarat，化简得 2qsqrqt， 则 2qr sqts2 qrt2s2， 此时 rts，这与 r，s，t 互不相等矛盾 所以q1且q0不满足条 件 7 分 综上所述，符合条件q的值为 1 8 分 （2）由 cnbn23，nN*，可知 cn1bn33，两式作差可得：bn3bn2bn1 又因为 a11，a22，所以 b11，b23， 从而 c11，c24，可得 b34，b47，故 b3b2b1，

26、所以bn 2 bn 1 bn对一切的nN*恒成 立 11 分 高三数学试题第 13 页（共 4 页） 对 bn3bn2bn1，bn2bn1bn两式进行作差可得 an3an2an1 又 由b3 4 ， b4 7 ， 可 知 a3 1 ， a4 3 ， 故an2 an1 an， (n2)13 分 又由 a 2 n2an1an3(an1an) 2a n1 (an2an1)(an1an) 2a n1 (an2an1) a 2 n1anan2，n2， 所以|an 2 2 an 1an 3| |an 1 2 anan 2|， 15 分 所以当 n2 时，|a 2 n1anan2|5，当 n1 时|a 2

27、n1anan2|3， 故k的最小值为 5 16 分 高三数学试题第 14 页（共 4 页） 南京市南京市、盐城市、盐城市 2019 届高三年级第届高三年级第一一次模拟考试次模拟考试 数学数学附加题附加题参考参考答案答案及评分标准及评分标准 2019.01 说明：说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续 部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，

28、表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答答 卷纸卷纸 指定区域内指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：设直线 l 上一点(x，y)，经矩阵 M 变换后得到点(x，y)， 所以 a 0 1 d x y x y ，即 xax yxdy，因变换后的直线还是直线 l，将点(x，y)代入直 线 l 的方程， 于是 2a

29、x(xdy)30，即(2a1)xdy30， 所以 2a12， d1， 解得 a3 2， d1， 6 分 所以矩阵 M 的特征多项式 f() a 1 0 d (a)(d)0， 解 得 a或 d ， 所 以 矩 阵 的M的 特 征 值 为 3 2 与 1 10 分 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 高三数学试题第 15 页（共 4 页） 解：由 2cos，得 22cos，所以 x2y22x0， 所 以 圆C的 普 通 方 程 为 (x 1)2 y2 1 ， 圆 心C(1 ， 0) ， 半 径r 1 3 分 又 x2 3 2 t， y1 2t， 消 去 参 数t ， 得 直 线l

30、方 程 为x 3 y 2 0， 6 分 所以圆心到直线 l 的距离 d |12| 12( 3)2 1 2， 所以直线l被圆C截得的弦长为212(1 2) 2 3 10 分 C选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解：因为 xyz3xyz，所以 1 xy 1 yz 1 xz32 分 又因为(xyyzzx)( 1 xy 1 yz 1 xz)(111) 29，6 分 所以 xyyzzx3 当且仅当 xyz1 时取等号， 所以xyyzzx的最小值为 3 10 分 22 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 解： （1）因 PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两

31、两垂直， 以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 又因 PAAB 2，AD1， 所以 A(0，0，0)，B( 2，0，0)，C( 2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 2)， 2 分 因为 E 是棱 PB 的中点，所以 E( 2 2 ，0， 2 2 )， 所以EC ( 2 2 ，1， 2 2 )，PD (0，1， 2)， 高三数学试题第 16 页（共 4 页） 所以 cosEC ，PD 11 1 21 1 2 12 6 3 ， 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为 6 3 6 分 （2）由（1）得EC ( 2 2 ，1， 2 2 )，BC (0，

32、1，0)，DC( 2，0，0)， 设平面 BEC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，所以 2 2 x1y1 2 2 z10， y10 令 x11，则 z11，所以面 BEC 的一个法向量为 n1(1，0，1)， 设平面 DEC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，所以 2 2 x2y2 2 2 z20， 2x20 令 z2 2，则 y21，所以面 DEC 的一个法向量为 n2(0，1， 2)， 所以 cosn1，n2 2 11 12 3 3 由图可知二面角 BECD 为钝角， 所以二面角BECD 的余弦值为 3 3 10 分 23 （本小题满分 （本小题满分 10 分）分） 解： （1）

33、在 a1C0na2C1na3C2nan1Cnn(an21) 2n 1 中， 令 n1， 则 a1C01a2C11a31， 由 a11， a23， 解得 a35 3 分 （2）若 a1，a2，a3，ak是等差数列，则公差为 2，即 ak2k1 当 n3 时， 由 （1） 知 a11， a23， a35， 此时结论成立 4 分 假设当 nk(k3)时， 结论成立， 即 a1， a2， a3， ， ak是等差数列， 则公差为 2 5 分 由 a1C 0 k1a2C 1 k1a3C 2 k1akC k1 k1(ak11) 2 k2，k3， 对该式倒序相加，得(a1ak)2k 12(a k11) 2 k2， 所以 ak1aka112，即 ak12k12(k1)1， 高三数学试题第 17 页（共 4 页） 所以当 nk1 时，结论成立 根据，可知数列an是等差数 列 10 分