优生联赛全国1卷区2020-2021学年高三上学期文科数学试题(有答案).docx

1、2020-2021 学年全国学年全国卷区优生联赛试卷卷区优生联赛试卷 文科数学文科数学 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 第卷 一、选择题 1已知a，bR，若 2 ,1,0 b aaab a ，则 20212021 ab的值为（ ）

2、A1 B0 C1 D1或 0 2已知m为实数，当m变化时， 31zmmi在复平面内对应的点不可能 在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某工厂生产甲、乙、丙三种产品的数量刚好构成一个公比为1q q 的等比数列，现从全体产品中按分 层抽样的方法抽取一个样本容量为 140 的样本进行调查，其中丙产品的数量为 20，则抽取的甲产品的数量 为（ ） A10 B20 C40 D80 4如图，在矩形ABCD中，点E为线段CD上一动点（不包括端点） ，将ADE沿AE翻折成PAE， 使得平面PAE 平面ABCE给出下列两个结论： 在平面ABCE内过点C有且只有一条直线与平面PAE平行；

3、在线段CD上存在点E使得PEAB 则下列判断正确的是（ ） A正确，错误 B错误，正确 C，都正确 D，都错误 5宋代著名类书太平御览记载： “伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦 ”乾为天，坤为地，震 为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情如图所示为太极 八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案八卦中的每一卦均由纵向排 列的三个爻组成，其中“”为阳爻， “”为阴爻现从八卦中任取两卦，则取出的两卦中有一卦恰有 一个阳爻，另一卦恰有两个阳爻的概率为（ ） A 3 14 B 3 28 C 9 28 D 3 7 6函数 22xx f

4、xee 的图象关于（ ） A点2,0对称 B直线2x对称 C点2,0对称 D直线2x对称 7直线l经过椭圆C的一个顶点和一个焦点，若椭圆C中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，则下列方程中可 能是椭圆C的方程的为（ ） A 22 1 1615 xy B 22 1 34 xy C 2 2 1 2 x y D 22 1 48 xy 8 设ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列条件能确定ABC是等腰三角形是 （ ） AcoscosaAbB BcosacB CcoscosaBbA D 2 2 tan tan Aa Bb 9已知数列 n a是首项为a的等比数列，且0a ， 1 1a ， 2

5、 2a ， 3 3a 也构成等比数列若数列 n a 唯一，则满足条件的实数a的个数为（ ） A0 B1 C2 D无数个 10已知函数 ln1 x fxe，设A，B为函数 yf x的图象上不同两点，直线AB的斜率k，则k 与 1 的大小关系是（ ） A1k B1k C有可能1k Dk与 1 的大小关系不确定 11如图，函数 sin0,0 2 f xx 在一个周期内的图象（不包括端点）与x轴，y轴 的交点分别为A，B，与过点A的直线另相交于C，D两点，E为图象的最高点，O为坐标原点，则 BCBDOE uuu ruuu ruuu r （ ） A 4 9 B 23 9 C 13 18 D 23 18

6、12已知点2,2P，若圆C： 22 2 560 xyrr上存在两点A，B，使得2PAAB uu ruu u r ，则r 的取值范围是（ ） A0,5 B 5 0, 2 C1,5 D 5 5, 2 第第卷卷 二、填空题 13已知非零向量a r 与b r 满足2ab r r ， 2aba r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为_ （用弧度制表示） 14已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点为 1 F，过 1 F的直线与双曲线的渐近线交于A、B 两点，以AB为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为_ 15已知实数x，y满足 2 210 xxy ，则 22 xy的最小

7、值为_ 16已知点M为棱长是 2 的正方体 1111 ABCDABC D的内切球O的球面上的动点，点N为 11 BC的中点， 若满足CMBN，则动点M的轨迹的长度为_ 三、解答题 （一）必考题 17在ABC中，sinsinsinBCA C （1）求角A； （2）若2 2ABAC uu u ruuu r ，2BC uuu r ，求ABC的面积 18如图，已知直三棱柱 222 ABCA B C的底面为正三角形，侧棱长都为 4， 1 A、 1 B、 1 C分别在棱 2 AA、 2 BB、 2 CC上，且 12 1A A ， 12 2B B ， 12 3CC ，过AB，AC的中点M，N且与直线 2 A

8、A平行的平 面截多面体 111222 ABCA B C所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面 （1）证明：中截面DEFG是梯形； （2）若直线 11 AC与平面 222 A B C所成的角为 45 ，求多面体 111222 ABCA B C的体积 19今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的成年人群 中随机抽取了 100 人， 按其免疫力指标分成如下五组：10,20，20,30，30,40，40,50，50,60， 其频率分布直方图如图 1 所示，今年十月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果经 临床检测， 将自身免疫力指标比较低的成年

9、人分为五组， 各组分别按不同剂量注射疫苗后， 其免疫力指标y 与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图 2 所示 （1）设今年五月该医院健康管理中心共接待 6000 名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低 于 30 的人数，并说明理由； （2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射 疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的 3 倍以健管中心抽取的 100 人作 为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？ 附：对于一组样本数据 11 ,x y， 22 ,xy，, nn xy，其回归直线

10、 y bxa的斜率和截距的最小二乘估计 值分别为 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，aybx 20已知动圆Q过定点2,0T，且与y轴截得的弦MN长为 4，设动圆圆心Q的轨迹为C （1）求轨迹C的方程： （2）设1,2P，过1,0F作不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，直线PA，PB分别与直线 1x相交于D，E两点，以线段DE为直径的圆为G，判断点F与圆G的位置关系，并说明理由 21已知函数 2 ln1 2 a f xxxx （1）若 f x在0,内是减函数，求a的取值范围； （2）若0a，证明： f x有且仅有一个零点

11、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 （二）选考题 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 tan 2sin 4 cos x y （为参数，且 22 ） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 4 2cos （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程： （2）设曲线 1 C与 2 C相交于A，B两点，点P的直角坐标为0,1，求PA PB的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 23f xxax （1）当1a 时，求不等式 8f x 的解集； （2）若对

12、任意xR， 21f xa恒成立，求实数a的取值范围 2020-2021 学年全国学年全国卷区优生联赛试卷卷区优生联赛试卷 文科数学答案文科数学答案 第卷 一、选择题 1 【答案】A 【解析】由己知得0a ，则0 b a ，0b，于是 2 1a ，解得1a 或1a 根据集合中元素的互异性可知1a 应舍去，因此1a，故 2021 202120212021 101ab 2 【答案】D 【解析】设,zxyi x yR， 又 31zmmi，所以3xm，1ym，得4yx， 复数z在复平面内对应的点在直线4yx上 又直线4yx不经过第四象限，所以复数z对应的点不可能在第四象限 3 【答案】D 【解析】由题意

13、甲、乙、丙三种产品的数量，不妨设其样本数量分别是 1 a， 1 a q， 2 1 a q， 其中 1 0a ，0q 且1q ， 根据已知 22 1 22 111 20 1401 a qq aa qa qqq ，解得 1 2 q （ 1 3 q 舍去） ， 所以样本中甲产品的比例为 4 7 ，故甲产品的数量为 80，选 D 4 【答案】A 【解析】在AB上取点F，使AFEC，则四边形AECF为平行四边形，得/CF AE，从而/CF平 面PAE，结论正确： 作PMAE，垂足为M，因为平面PAE 平面ABCE，平面PAE 平面ABCAE，则PM 平 面ABCE，所以PMAB 假设PEAB，则AB 平

14、面PAE，从而ABAE，这与BAE为锐角矛盾，所以假设不成立，结论 错误，选 A 5， 【答案】C 【解析】由八卦图可知，八卦中有 1 卦有三个阳爻，有 3 卦恰有一个阳爻，有 3 卦恰有两个阳爻，有 1 卦 没有阳爻 设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻，另一卦恰有两个阳爻”为事件A 因为 9 28 P A ，选 C 6 【答案】C 【解析】设 xx g xee，则 2f xg x， 因为 gxg x，则 g x为奇函数，其图象关于坐标原点轴对称， 所以 f x的图象关于点2,0对称，选 C 7 【答案】B 【解析】设直线l经过椭圆的顶点B和焦点F，ODBF，交BF于D，则 22 BFbca

15、在RtOFB中，由等面积法易得OFOBBFOD，即 1 2 bcab，2ac， 经检验，椭圆 22 1 34 xy 满足要求，选 B 8 【答案】C 【解析】对 A、D 选项，由正弦定理均可得sincossincosAABB，所以sin2sin2AB 又因为A，0,B，所以22AB或22AB，即AB或 2 AB， 所以ABC是等腰三角形或直角三角形 对 B 选项，由余弦定理得 222 cos 2 acb aB c a ， 2222 2aacb， 222 abc， 故ABC为直角三角形 对 C 选项，由正弦定理得sincossincosABBA，所以sin0AB，得AB，能确定ABC是 等腰三角

16、形，故选 C 9 【答案】B 【解析】设 n a的公比为q，由 1 1a ， 2 2a ， 3 3a 也构成等比数列 得 2 2 213aqaaq， 2 4310aqaqa （*） 由0a 得 2 440aa ，故方程（*）必有两个不同的实根 而 n a唯一，知方程（*）必有一根为 0，代入（*）得 1 3 a ，故选 B 10 【答案】B 【解析】设点 11 ,A x f x， 22 ,B xf x，不妨设 12 xx，则 12 12 f xf x k xx 设 g xf xx，则 1 ln1ln 1 x x g xex e ，所以 g x在R上是减函数 因为 12 xx，则 12 g xg

17、 x，即 1122 f xxf xx，即 1212 f xf xxx， 则 12 12 1 f xf x xx ，即1k 故选 B 11 【答案】A 【解析】设 f x的最小正周期为T，由图知， 31113 4632 T ，则2T ，所以 2 T 因为 1 1 3 f ，则 32 ，即 6 ，所以 sin 6 f xx 由题设，点 5 ,0 6 A ， 1 0, 2 B ， 1 ,1 3 E ，则 51 , 62 BA uur ， 1 ,1 3 OE uuu r 因为 f x的图象关于点A对称，则A为线段CD的中点， 所以 514 22 1829 BCBDOEBA OE uuu ruuu ru

18、uu ruur uuu r ，选 A 12 【答案】C 【解析】取AB的中点D，则CDAB因为2PAAB uuruu u r ，则5PDAD， 设CDd，则 2 222 5PCdrd 因为点2,2P，5,6C，则 222 526225PC， 所以 222 255drd，得 22 25 1 24 dr 因为0dr，则 22 25 01 24 rr，解得15r，选 C 第第卷卷 二、填空题 13 【答案】 【解析】设向量a r 与b r 的夹角为， 因为2ab r r ，则 22 2 2244cosabaaa bbb r rrr rrr r 由 2aba r r r 得 20aba r rr ，则

19、cos1 又0,，所以 14 【答案】2 【解析】据题意，以AB为直径的圆过坐标原点，则90AOB， 由渐近线的对称性知，渐近线方程为yx ，所以 222 2 22 11 bca e aa ， 故2e 15 【答案】 51 2 【解析】由已知得0 x， 1 1 2 yx x ，所以 2 2222 2 1 151151 44422 xyxxx xx ， 当且仅当 2 2 51 44 x x ，即 4 1 5 x 时取得等号 16 【答案】 4 5 5 【解析】如图，正方体 1111 ABCDABC D的内切球O的半径1R ， 由题意，取 1 BB的中点H，连结CH，则CHNB，DCNB， NB平

20、面DCH，动点M的轨迹就是平面DCH截内切球O的交线， 也即平面DCHG截内切球O的交线， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长是 2， O到平面DCH的距离为 5 5 d ，截面圆的半径 22 2 5 5 rRd， 所以动点M的轨迹的长度为截面圆的周长 4 5 2 5 r 三、解答题 （一）必考题 17 【答案】 （1） 3 A ； （2） 3 2 【解析】 （1）在ABC中，sinsinBA C，sinsinsinA CCA C， 即sincoscossinsinsincoscossinACACCACAC，整理得2cossinsin0ACC， 1 cos 2 A ， 3 A （2）由

21、2 2ABAC uu u ruuu r ，得 22 2cos8ABACAB ACA uuu ruuu ruuu r uuu r 由余弦定理得 222 2cos4ABACAB ACABC uu u ruuu ruu u r uuu ruuu r 由得4cos4AB ACA uu u r uuu r ， 又 1 cos 2 A ，故2AB AC uu u r uuu r 13 sin 22 ABC SAB ACA uuu r uuu r 18 【答案】 （1）证明见解析： （2）2 3 【解析】 （1）证明：依题意 121212 /A AB BCC， 又 12 1A A ， 12 2B B ， 1

22、2 3CC ， 因此四边形 1221 A A B B， 1221 A A C C均是梯形， 由 2/ AA平面MEFN， 2 AA 平面 22 AA B B，且平面 22 AA B B平面MEFNME， 可得 2/ AAME，即 12/ A ADE 同理可证 12/ A AFG，所以/DE FG 又M，N分别为AB，AC的中点， 则D，E，F，G分别为 11 AB， 22 A B， 22 A C， 11 AC的中点， 即DE，FG分别为梯形 1221 A A B B， 1221 A A C C的中位线 因此 1212 13 22 DEA AB B， 1212 1 2 2 FGA AC C， 故

23、DEFG，所以中截面DEFG是梯形 （2）解法一：由直线 11 AC与平面 222 A B C所成的角为 45 ， 过 1 A作AC的平行线交 2 CC于点H，则 11 45C AH， 故 1 2AH ，所以底面正三角形的边长为 2 多面体 111222 ABCA B C的体积 1 1 12221122112221221221 12 11 3 33 A B CA B CAB B C CAA B CA B CB B C C VVVSSA A 四边形 11 533 12 3 33 解法二：由直线 11 AC与平面 222 A B C所成的角为 45 过 1 A作AC的平行线交 2 CC于点 H，则

24、 11 45C AH， 故 1 2AH ，所以底面正三角形的边长为 2 直三棱柱 222 ABCA B C的体积为 222222 2 4 3 ABC A B CA B C VSAA 由对称性知，多面体 111222 ABCA B C的体积为直三棱柱 222 ABCA B C的体积的一半， 故 1 1 1222 2 3 A BCA B C V 19 【答案】 （1）2040 人： （2）80 个单位 【解析】 （1）由频率分布直方图知，免疫力指标在10,20中的频率为0.026 100.26 同理，在20,30，30,40，40,50，50,60中的频率分别为 0.4，0.24，0.08，0.0

25、2 故免疫力指标不低于 30 的频率为0.24 0.08 0.020.34 由样本的频率分布， 可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于 30 的人数为6000 0.342040 （2）由散点图知，5 组样本数据, x y分别为10,30，30,50，50,60，70,70，90,90， 且x与y具有线性相关关系， 因为50 x ，60y ， 则 222222 10 3030 5050 6070 7090 905 50 607 10305070905 5010 b ， 7 605025 10 a ， 所以回归直线方程为0.725yx 由直方图知，免疫力指标的平均值为 26402482 15253

26、5455527 100100100100100 由27 381y ，得0.72581x，解得80 x 据此估计，疫苗注射量不应超过 80 个单位 20 【答案】 （1） 2 4yx； （2）点F在圆G上，详见解析 【解析】 （1）设,Q x y，因为动圆Q过定点2,0且与y轴截得的弦MN的长为 4， 所以 2 22 2 MN xTQ ， 所以 22 22 22xxy，整理得 2 4yx 所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是 2 4yx （2）设直线l的方程为10 xtyt，代入 2 4yx，得 2 440yty 设点 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ，则 12 4yy

27、t， 12 4y y 已知点1,2P，则 1 2 11 24 2 1 4 PA y k yy ，直线PA的方程为 1 4 21 2 yx y 令1x，得 1 11 248 2 22 y y yy ，所以点 1 1 24 1, 2 y D y 同理，点 2 2 24 1, 2 y E y 则 1 1 24 2, 2 y FD y uuu r ， 2 2 24 2, 2 y FE y uur 则 1212 12 121212 4222224 24 444 1 222222 yyyyyy FD FE yyyyyy uuu r uur 12 12 28 40 22 y y yy 故点F在圆G上， 21

28、 【答案】 （1）1,； （2）证明见解析 【解析】 （1） ln1fxxax 因为 f x在0,内是减函数，则当0 x时， 0fx恒成立， 即ln10 xax ，即 ln1x a x 恒成立， 设 ln1x g x x ，则 22 1ln1lnxx gx xx 由 0g x，得ln0 x，即01x， 所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，从而 max 11g xg 因为 ag x恒成立，所以a的取值范围是1, （2）解法一：若0a， 0,1x时， 2 ln10 2 a f xxxx，故 yxf在0,1上没有零点 1,x时， ln10fxxax ， yf x在1,上单调递增 又 1

29、0f，1,x时， 0f x ，故 yf x在1,上没有零点 所以 f x有且仅有一个零点， 解法二： 2 1 ln1ln 22 aa f xxxxxxx x 设 1 ln 2 a xxx x ， 2 11 10 2 a x xx ， 故 yx单调递增，故在0,至多只有一个零点 又 10，所以 f x有且仅有一个零点 （二）选考题 22 【答案】 （1） 1 C：1yx， 2 C： 22 1 42 xy ； （2）4 【解析】 （1）因为 2sin sincos4 tan1 coscos y ，tanx，则1yx 所以曲线 1 C的普通方程是1yx 由 2 2 4 2cos ，得 222 2co

30、s4将 222 xy，cosx代入得 22 24xy， 所以曲线 2 C的直角坐标方程是 22 1 42 xy （2）因为直线 1 C过点0,1P，倾斜角为 45 ，则直线 1 C的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数） 代入 22 24xy，得 2 2 2 2 14 22 t t ，即 2 34 240tt 设方程的两根为 1 t， 2 t，由参数t的几何意义知， 1 2 4 3 PAPBt t 23 【答案】 （1） 13 ,1 3 ； （2）,2 【解析】 （1）当1a 时， 123f xxx 当1x时， 123358,f xxxx ，此时原不等式无解； 当31x 时， 12374,8f xxxx ，此时原不等式恒成立； 当3x时， 12335f xxxx，由 3 358 x x ，得 13 3 3 x 综上分析，原不等式解集是 13 ,1 3 （2）因为 33333f xxaxxxaxxaxa， 当30 x 且30 xax，即3x时取等号，则 min3f xa 因为对任意xR， 21f xa恒成立，则 min21f xa，即321aa 所以 30 321 a aa 或 30 321 a aa ，解得32a 或3a，即2a 所以a的取值范围是,2