高中数学人教A版（课件）必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.3 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点) 2掌握二倍角公式及其变形公式的应用(难点) 3二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系(易 混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材 P132P133例 5 以上内容，完成下列问题 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 2 _ C2

2、 cos 2 _ T2 tan 2 _ 2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2.余弦的二倍角公式的变形 3正弦的二倍角公式的变形 (1)sin cos 1 2sin 2 ，cos _ (2)1 sin 2 _ sin 2 2sin (sin cos )2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( ) (2)存在角 ，使得 sin 2 2sin 成立( ) (3)对于任意的角 ，cos 2 2cos 都不成立( ) 上一页上一页返回首页返回

3、首页下一页下一页 【解析】 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角 的正切公式，要求 2 k(kZ)且 4 k(kZ)，故此说法错误 (2).当 k(kZ)时，sin 22sin . (3).当 cos 1 3 2 时，cos 22cos . 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2已知 cos 1 3，则 cos 2 等于_ 【解析】 由 cos 1 3，得 cos 22cos 212 1 3 217 9. 【答案】 7 9 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

4、 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 利用二倍角公式化简三角函数式 化简求值. (1)cos4 2 sin4 2 ； (2)sin 24cos 24cos 12； (3)12sin2 750； (4)tan 15013tan 2 150 2tan 150 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】 (1)cos4 2 sin4 2 cos2 2 sin2 2 cos2 2 sin2 2 cos . (2)原式1 2 2sin 24co

5、s 24 cos 12 1 2sin 12cos 12 1 4 2sin 12cos 12 1 4sin 6 1 8. 原式1 8. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)原式cos(2750)cos 1 500 cos(436060)cos 601 2. 原式1 2. (4)原式2tan 215013tan2 150 2tan 150 1tan 2 150 2tan 150 1 tan（2150） 1 tan 300 1 tan（36060） 1 tan 60 3 3 . 原式 3 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 二倍角公式的灵活运用： (1)公式的逆用： 逆用公

6、式， 这种在原有基础上的变通是创新意识的体现 主 要形式有： 2sin cos sin 2，sin cos 1 2sin 2， cos sin 2 2sin ，cos 2 sin2 cos 2， 2tan 1tan2 tan 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有 目的地活用公式主要形式有： 1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2， 1cos 2 2cos2 ，cos2 1cos 2 2 ，sin2 1cos 2 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1.求下列

7、各式的值： (1)sin 12cos 12； (2) 2tan 150 1tan2150； (3) 1 sin 10 3 cos 10； (4)cos 20cos 40cos 80. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 (1)原式 2sin 12cos 12 2 sin 6 2 1 4. (2)原式tan(2150)tan 300tan(36060) tan 60 3. (3)原式cos 10 3sin 10 sin 10cos 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 10cos 10 4（sin 30cos 10cos 30sin 10） 2sin 10co

8、s 10 4sin 20 sin 20 4. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (4)原式2sin 20cos 20cos 40cos 80 2sin 20 2sin 40cos 40cos 80 4sin 20 2sin 80cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 1 8. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 利用二倍角公式解决求值问题 (1)已知 sin 3cos ，那么 tan 2 的值为( ) A2 B2 C3 4 D3 4 (2)已知 sin 6 1 3，则 cos 2 3 2 的值等于( ) A7 9 B1 3 C7 9 D1 3 上一页上一页返

9、回首页返回首页下一页下一页 (3)(2016 天津高一检测)已知 cos 3 4，sin 2 3， 是第三象限角， 2 ， . 求 sin 2 的值；求 cos(2)的值 【精彩点拨】 (1)可先求 tan ，再求 tan 2； (2)可利用2 322 3 及 3 2 6 求值； (3)可先求 sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和的余弦公式求 cos(2 ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)因为 sin 3cos ， 所以 tan 3， 所以 tan 2 2tan 1tan2 23 132 3 4. (2)因为 cos 3 sin 2 3 sin 6 1

10、 3， 所以 cos 2 3 2 2cos2 3 12 1 3 217 9. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (1)D (2)C (3)因为 是第三象限角，cos 3 4， 所以 sin 1cos2 7 4 ， 所以 sin 22sin cos 2 7 4 3 4 3 7 8 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 因为 2 ， ，sin 2 3， 所以 cos 1sin2 5 3 ， cos 22cos2 12 9 161 1 8， 所以 cos(2)cos 2cos sin 2sin 1 8 5 3 3 7 8 2 3 56 7 24 . 上一页上一页返回首页返回

11、首页下一页下一页 直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin (或 cos ) 同角三角函数的关系 cos (或 sin ) 二倍角公式 sin 2(或 cos 2) (2)sin (或 cos ) 二倍角公式 cos 212sin2 (或 2cos2 1) (3)sin (或 cos ) 同角三角函数的关系 cos （或sin ）， tan 二倍角公式 tan 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2(1)已知 2 ， ，sin 5 5 ，则 sin 2 _，cos 2 _，tan 2 _ (2)已知 sin 4 sin 4 1 6，且 2 ， ，求 tan 4 的值

12、 【解析】 (1)因为 2 ， ，sin 5 5 ，所以 cos 2 5 5 ，所以 sin 22sin cos 2 5 5 2 5 5 4 5，cos 212sin 2 1 2 5 5 23 5，tan 2 sin 2 cos 2 4 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 4 5 3 5 4 3 (2)因为 sin 4 sin 2 4 cos 4 ， 则已知条件可化为 sin 4 cos 4 1 6， 即1 2sin 2 4 1 6， 所以 sin 2 2 1 3， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以 cos 21 3.因为 2 ， ，所以 2(，2)， 从而

13、 sin 2 1cos222 2 3 ， 所以 tan 2 sin 2 cos 22 2， 故 tan 4 2tan 2 1tan22 4 2 1（2 2）2 4 2 7 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 利用二倍角公式证明 求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B； (2)cos2 (1tan2 )cos 2 . 【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余 弦的和、差角公式转化为右边形式 (2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化 上一页上一页返回首页返回首页

14、下一页下一页 【自主解答】 (1)左边1cos（2A2B） 2 1cos（2A2B） 2 cos（2A2B）cos（2A2B） 2 1 2(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B) cos 2Acos 2B右边， 等式成立 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)法一：左边cos2 1 sin2 cos2 cos2sin2cos 2右边 法二：右边cos 2cos2sin2 cos2 1 sin2 cos2 cos2(1tan2)左边 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 证明问题的原则及一般步骤： (1)观察式子两端的结构

15、形式， 一般是从复杂到简单， 如果两端都比较复杂， 就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想 (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差 异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法 消除差异，达到证明的目的 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3证明： 1sin 2 2cos2 sin 2 1 2tan 1 2. 【导学号：00680072】 【证明】 左边sin 2 cos2 2sin cos 2cos2 2sin cos （sin cos ）2 2cos （sin cos ） sin cos 2cos 1 2tan 1 2右

16、边 所以 1sin 2 2cos2 sin 2 1 2tan 1 2成立 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 倍角公式的灵活运用 探究 1 在化简1sin cos 1sin cos 1cos sin 1cos sin 时，如何灵活使用 倍角公式？ 【提示】 在化简时，如果只是从 的关系去整理，化简可能感觉无从下 手，但如果将 看成 2 的倍角，可能会有另一种思路， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 原式 2sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 sin 2 2sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 c

17、os 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 cos 2 2 sin . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究2 如何求函数f(x)2cos2x12 3 sin xcos x(xR)的最小正周期？ 【提示】 求函数 f(x)的最小正周期， 可由 f(x)(2cos2x1) 3(2sin xcos x)cos 2x 3sin 2x2sin 6 2x ，知其最小正周期为. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 求函数 f(x)5 3cos2x 3sin2x4sin xcos x，x 4 ，7 24 的最小 值，并求其单调减区间 【精彩点拨】 化简f（x）的解析式 f（x）Asin

18、（x）Bx的范围 求最小值，单调减区间 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 f(x)5 31cos 2x 2 31cos 2x 2 2sin 2x 3 32 3cos 2x2sin 2x 3 34 3 2 cos 2x1 2sin 2x 3 34 sin 3 cos 2xcos 3 sin 2x 3 34sin 3 2x 3 34sin 2x 3 ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4 x7 24 ， 6 2x 3 4 ， sin 2x 3 1 2， 2 2 ， 所以当 2x 3 4 ，即 x7 24 时， f(x)取最小值为 3 32 2. 因为 ysin 2x

19、 3 在 4 ，7 24 上单调递增， 所以 f(x)在 4 ，7 24 上单调递减 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质解决这类问题经常 是先利用公式将函数表达式化成形如 yAsin(x)的形式，再利用函数图象 解决问题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4求函数 ysin4x2 3sin xcos xcos4 x 的最小正周期和最小值，并写出 该函数在0， 上的单调递减区间 【解】 ysin4x2 3sin xcos xcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2 3sin xcos x cos 2x

20、3sin 2x 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 2sin 2x 6 ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 所以 T2 2 ，ymin2. 由 2k 2 2x 6 2k3 2 ，kZ， 得 k 3 xk5 6 ，kZ， 又 x0，所以令 k0，得函数的单调递减区间为 3 ，5 6 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1sin 2230cos 2230的值为( ) A 2 2 B 2 4 C 2 2 D1 2 【解析】 原式1 2sin 45 2 4 . 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2已

21、知 sin x1 4，则 cos 2x 的值为( ) A7 8 B1 8 C1 2 D 2 2 【解析】 因为 sin x1 4， 所以 cos 2x12sin2 x12 1 4 27 8. 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3. cos 12sin 12 cos 12sin 12 的值为( ) 【导学号：00680073】 A 3 2 B1 2 C1 2 D 3 2 【解析】 原式cos2 12sin 2 12cos 6 3 2 . 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知 tan 1 3，则 sin 2 cos2 1cos 2 _ 【解析】 si

22、n 2cos2 1cos 2 2sin cos cos2 12cos21 2sin cos cos2 2cos2 tan 1 2 5 6. 【答案】 5 6 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5求下列各式的值： (1)cos 5 cos 2 5 ； (2)1 2cos 2 8 . 【解】 (1)原式 2sin 5 cos 5 cos 2 5 2sin 5 sin 2 5 cos 2 5 2sin 5 sin 4 5 4sin 5 sin 5 4sin 5 1 4. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)原式 12cos2 8 2 2cos2 8 1 2 1 2cos 4 2 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入