2020-2021高二上学期寒假作业5+圆锥曲线（理）.docx

1、1已知圆 22 1 (3):1Cxy和圆 22 2 (3):9Cxy，动圆M同时与圆 1 C及圆 2 C相 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A 2 2 1 8 y x B 2 2 1 8 y x (1x) C 2 2 1 8 x y D 2 2 1 8 y x (1x) 【答案】B 【解析】设动圆的圆心M的坐标为( , )x y，半径为r， 则由题意可得 1 |1MCr， 2 |3MCr，相减可得 2112 | 2 |MCMCCC， 所以点M的轨迹是以 1 C， 2 C为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22a ，3c ，所以 22 2 2bca， 故点M的轨迹方程 2 2 1 8 y x

2、 (1)x 2 已知点P是椭圆 22 1 43 xy 一点 1 F， 2 F是椭圆的焦点， 且 12 120PFF， 则 12 PFF 的面积为 【答案】 3 3 5 【解析】由 22 1 43 xy ，可知2a ，3b ， 所以 22 1cab，从而 12 | 22FFc 在 12 PFF中，由余弦定理得 222 211212112 |2|c s| oPFPFFFPFFFPFF， 即 22 211 |42|PFPFPF 作业作业5 5 圆锥曲线 由椭圆定义得 12 | 24PFPFa 联立可得 1 6 | 5 PF 所以 21 11212 11633 3 |sin2 22525 PF F S

3、PFFFPFF 一、选择题 1已知椭圆 22 22 :1 xy E ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作x轴的垂线，交椭圆 于,A B两点若等边 1 ABF的周长为4 3，则椭圆的方程为（ ） A 22 1 32 xy B 22 1 36 xy C 22 1 23 xy D 22 1 94 xy 2已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为2 20yx，则双曲线 C的离心率为（ ） A3 B3 C2 2 D9 3抛物线 2 2(0)xpyp=的焦点坐标为（ ） A(,0) 2 p B 1 (0,) 8p C(0,) 2 p D 1 (,

4、0) 8p 4若过椭圆 22 1 42 xy 内一点 (1,1)P的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A210 xy B 230 xy C230 xy D230 xy 5已知F是椭圆 22 :1 95 xy C的左焦点，P为C上一点， 4 (1, ) 3 A，则|PAPF的 最小值为（ ） A10 3 B11 3 C4 D13 3 6已知 1 F， 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 12 FPF 2 3 ， 设椭圆和双曲线的离心率分别为 1 e， 2 e，则 1 e， 2 e的关系为（ ） A 22 12 31 4 ee B 22 12 41 4 33 ee

5、C 22 12 13 4 ee D 22 12 34ee 7光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光线从椭圆的一个焦点出 发， 被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点； 光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后 的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cmn mn 有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲 线间连续反射，则光线经过2 ()k k N次反射后回到左焦点所经过的路径长为（ ） A()k am B2 ( )k am C()k am D2 ()k am 8设椭圆 22 2

6、2 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是椭圆上一点， 12 |PFPF，( 1 2 2 )， 12 2 FPF，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A 2 (0, 2 B 25 , 23 C 25 , 33 D 5 ,1) 3 二、填空题 9如图，在平面直角坐标系xOy中，点,A F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右顶点 和右焦点，点,B C分别是椭圆的上、下顶点若ABCF，则该椭圆离心率为_ 10如图所示，在平面直角坐标系xOy中， 1 F， 2 F分别为双曲线 2 2 2 1 y x b (0b)的左、 右焦点，过点 1 F，作圆 22 1

7、xy的切线，与双曲线左、右两支分别交于A，B两点若 2 | |F BAB，则b的值为 三、解答题 11P为椭圆 22 1 259 xy 上一点， 1 F、 2 F为左右焦点，若 12 60FPF （1）求 12 FPF的面积； （2）求P点的坐标 12 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知等腰梯形ABCD，ABDC，4ADBC， 8AB，6DC ，以,A B为焦点的双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 过 ,C D两点 （1）求双曲线的方程； （2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程 13如图，A地在B地北偏东45方向，相距2 2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似 看成直线

8、)l相距4 km已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l 的距离， 现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)， 分别向A地、 B地送电 （1）试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长 度最短?并求出最短长度 一、选择题 1 【答案】A 【解析】由题意可得等边 1 ABF的边长为 4 3 3 ，则 4 3 3 AB ， 由椭圆的定义可得 12 4 32 3 22 3 33 aAFAF ，即 3a ， 由 12 34 3 22 23 FFc ，即有1c，则

9、 22 2bac ， 则椭圆的方程为 22 1 32 xy 2 【答案】A 【解析】 22222 2 2883 bc bacaa aa 3 【答案】D 【解析】 2 2(0)xpyp=， 2 1 2 yx p =，焦点坐标 1 (,0) 8p 4 【答案】C 【解析】设弦两端点为 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy ， 两式相减得 1212 1212 1 2()2 yyxx k xxyy ，即直线为 1 1(1) 2 yx ， 化简得+230 xy 5 【答案】D 【解析】设椭圆 22 :1 95 xy C的右焦点为 (

10、2,0) F ， 由 4 (1, ) 3 A，则 5 | 3 AF ， 根据椭圆的定义可得| 26PFPFa ， 所以 513 | | 6 | 6 | 6 33 PAPFPAPFAF 6【答案】A 【解析】设椭圆方程为 1 22 22 1 1 xy ab ，双曲线方程为 22 22 22 1 xy ab ， 不妨设P在第一象限，则有 121 2PFPFa， 122 2PFPFa， 112 PFaa， 212 PFaa， 12 2FFc， 222 12121212 2 4()()2()()cos 3 caaaaaaaa 222222 121212 223aaaaaa， 22 12 31 4 ee

11、 ，故选 A 7 【答案】D 【解析】由已知，如图光线从 1 F出发，若先经过双曲线上一点B反射，则等价于光线从 2 F 设出经过点B再到达椭圆上一点A反射回到 1 F； 同理，若先出发经过椭圆上一点A反射，则光线沿着直线 2 AF方向到达双曲线上一点B反 射后回到 1 F，则可知，光线从 1 F出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回 1 F， 则讨论光线反射两次后返回 1 F的过程，如图， 12 2AFAFa， 21 2BFBFm，两式相减，可得 11 2()AFBFABam， 所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2()am， 又光线经过了 * 2 ()k kN次反射，则

12、返回 1 F时所经过的路径长为2 ()k am 8 【答案】B 【解析】设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，由椭圆的定义可得 12 |2PFPFa， 可设 2 |PFt，可得 1 |PFt， 即有(1)2ta， 由 12 2 FPF，可得 222 12 |4PFPFc， 即为 222 (1)4tc， 由 2 ，可得 2 2 2 1 (1) e ， 令1m，可得1m， 即有 22 2 22 122111 2() (1)22 mm mm ， 由 1 2 2 ，可得 3 3 2 m，即 112 33m ， 则当2m时，取得最小值 1 2 ；当 3 2 m 或3时，取得最大值 5 9 ， 即

13、有 2 15 29 e，解得 25 23 e ， 所以椭圆离心率的取值范围为 25 , 23 二、填空题 9【答案】 51 2 【解析】由已知可得( ,0)A a，(0, )Bb，(0,)Cb，( ,0)F c， 则有 AB b k a ， CF b k c ， 又因为ABCF，可得1 b b a c ，即 222 bacac ， 2 10ee ，1()0,e， 解得 51 2 e 10 【答案】13 【解析】如图所示，设直线AB与圆切于点T，连接OT， 2 AF， 则在 1 OTFRt中，| 1OT ， 1 |OFc， 1 |TFb，于是 21 cos b FFA c 由已知及双曲线的定义，

14、 得 1112 | | | 2AFBFABBFBF， 21 | 2 | 4AFAF 在 12 AFF中，由余弦定理得 2222 1212 21 121 |3 cos 2| |2 F FFAFAFc F A FFAFc ， 于是 2 32cb 又 22 1cb ，所以 2 220bb，解得13b ， 因为0b，所以13b 三、解答题 11 【答案】 （1）3 3； （2） 5 13 3 3 (,) 44 P或 5 133 3 (,) 44 P或 5 13 3 3 (,) 44 P 或 5 133 3 (,) 44 P 【解析】5a ，3b，4c （1）设 11 |PFt， 22 |PFt，则 1

15、2 10tt 222 121 2 2cos608ttt t ， 由2，得 1 2 12t t 12 1 2 113 sin60123 3 222 F PF St t （2）设( , )P x y，由 11 1 24 2 F PF Sc yy ，得43 3y ， 3 33 3 44 yy ，将 3 3 4 y 代入椭圆方程解得 5 13 4 x ， 5 13 3 3 (,) 44 P或 5 133 3 (,) 44 P或 5 13 3 3 (,) 44 P 或 5 133 3 (,) 44 P 12【答案】（1） 22 1 412 xy ；（2）2e，3yx 【解析】（1）等腰梯形ABCD，AB

16、DC，4ADBC，8AB，6DC ， 等腰梯形的高为 22 4115 ， 可得( 4,0)A ，(4,0)B，(3, 15)C，( 3, 15)D ， 则 2 7158CA ， 2 1154CB ， 由24aCA CB，即2a ， 又8AB，即4c ， 22 2 3bca ， 则双曲线的方程为 22 1 412 xy （2）双曲线的离心率2 c e a ；渐近线方程为3yx 13 【答案】 （1） 2 8xy； （2） 变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 7 km 2 的位置， 最短长度为6 km 【解析】 （1）由已知可得，曲线形公路PQ所在曲线是以(0,2)B为焦点，l为准线的抛物 线

17、， 故以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴， 线段BK的中点O为原点， 建立平面直 角坐标系xOy，如图， 则(0,2)B，(2,4)A 设抛物线方程为 2 2xpy(0p )，由2BO，知4p ， 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为 2 8xy （根据坐标系建立的不同，答案不唯一） （2）要使架设电路所用电线长度最短，即|MAMB最小 如图所示，过M作MHl，垂足为H， 依题意得| |MBMH，所以| |MAMBMAMH， 故当,A M H三点共线时，|MAMH取得最小值，即|MAMB取得最小值，此时 1 (2, ) 2 M， 变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 7 km 2 的位置，才能使得所用电线长度最短， 最短长度为6 km