泉州市2020-2021学年度高二上学期教学质量检测数学试卷及答案.pdf

1、1 保密保密启用前启用前 2020-2021 学年学年度上学期泉州市高中度上学期泉州市高中教学质量监测教学质量监测 高二数学参考答案与评分细则高二数学参考答案与评分细则 20211 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 数列 n a中，若 162 n n a n ，则 4 a A 1 2 B2C2 2D8 【命题意图】本题主要考查数列的概念，数列与函数的关系等基础知识，注重基础知识的考查， 关注对数学运算等核心素养的考查 【试题简析】 4

2、 44 2. 16242 2 a故选 B 2 已知(1 3 5) ，a，(2 6) x， ，b，0a b，则x的取值范围为 A(4)，B(10)，C( 4)，D(10)， 【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算，数量积的运算，解不等式等基础知识，渗透考 查化归与转化思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的考查 【试题简析】由0a b可得1 23 650 x ，解得4x 选 A 3 若直线210 xy 与直线30 xay垂直，则a A2B 1 2 C 1 2 D2 【命题意图】本小题主要考查直线与直线的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；体现基 础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注

3、 【试题简析】因为直线210 xy 的斜率为2，所以直线30 xay的斜率为 1 2 ，所以 2a 选 D 4 若椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为 A 1 2 B 5 5 C 2 2 D5 2 【试题简析】因为短轴长是焦距的2倍，即2bc，所以 22 5abcc， 所以 5 5 c e a 选 B 5 记正项等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 4a， 42 5SS，则 6 S A2B21C32D63 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，同时也注重考查数列 的性质，体现性质简化运算的思路；考查数列的基本

4、量法、连续相等项和的性质， 体现对数学运算等核心素养的考查 【试题简析】解法解法 1：等比数列 n a为正项数列，所以0q，由 42 5SS，得1q， 则 4 24 2 2 1 15 1 Sq q Sq ，解得 2q ，又 3 4a，所以 3 1 2 4 1 4 a a q ， 故 6 6 6 1 12 2163 12 S 故选 D 解法解法 2：已知 42 5SS，可设 24 ,5Sx Sx， 因为 n a是正项等比数列， 所以 24264 ,SSSSS也是等比数列，即 6 ,5,5xxx Sx是等比数列， 则 6 54 4 4 Sxx xx ，解得 6 21Sx； 又 42 5SS，解得2

5、q， 所以 33 212 2 44 3, 42 aa xSaa qq 故 6 2121 363Sx故选 D 6 已知抛物线 2 :4E yx的焦点为F， 准线为l， 过E上一点P作l的垂线， 垂足为M，MF交 E于点N， 若 6 PFM，则 | | MN NF A. 1 2 B. 3 2 C. 2 3 3 D.2 【命题意图】本题考查抛物线的定义及标准方程，直线与抛物线的位置关系等基础知识，渗透考 查化归与转化思想，数形结合思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的 3 考查 【试题简析】过点N做NAl交l于A， 因为| |PMPF，所以 6 PFMPMF 因为/ /PMx轴，所以 6 P

6、MFMFO 又因为/ /NAx轴，所以 6 MNA ，所以 |22 3 |33 MN NA 因为| |NANF，所以 |2 3 |3 MN NF ，故选 C 7 三棱锥PABC中，6890ABACBAC，若5 2PAPBPC，则点B到平 面PAC的距离为 A3 2B 30 41 41 C 15 34 17 D6 【命题意图】本题考查空间中点到平面的距离，多面体的体积等基础知识，渗透考查化归与转化 思想，关注对数学运算，空间想象等数学核心素养的考查 【试题简析】 依题意可得，P在平面ABC的射影刚好是直角三角形ABC的斜边BC上的中点O， 如图中所示，易得5OAOBOCOP. 解法一： 111

7、(6 8)540 332 P ABCABC VSOP ， 由已知得，等腰三角形PAC的腰5 2PA ，底边8AC ， 所以 2 2 1 4 34 22 PAC AC SACPA ， 记d为点B到平面PAC的距离， 则 11 4 3440 33 P ABCB PACPAC VVSdd ，解得 15 34 17 d . 解法二：建立如图空间直角坐标系，(0, 0,0), (0,6,0),(8,0,0), (4,3,5)ABCP, (8,0,0),(4,3,5),(0,6,0)ACAPAB ， 设 111 ( ,)x y zm为平面PAC的一个法向量, 4 则有 0 0 AC AP m m ，即 1

8、 111 80 4350 x xyz 取(0, 5,3)m, B到平面PAC的距离 3015 34 1734 AB d m m . 8 若(0)OAmn ， ， 4 (0)OBp n ， ，(0 4 0)F，1AFm ，1BFp ，则mp的 最小值为 A1B2C3D6 【命题意图】本题考查空间直角坐标的运算，解不等式等基础知识，渗透考查化归与转化思想， 函数与方程思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的考查 【试题简析】由 1 1 AFm BFp 得， 222 222 (4)21 4 (4)21 mnmm ppp n ， 整理得 2 2 164 2()830mpnn nn 令 4 tn

9、n ，则 22 2 16 8nt n ，且(, 44,)t 所以 22 2()822(4)66mpttt，从而3mp，选 C. 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目 要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 在无穷数列 n a中，若 * pq aapqN，总有 11 qp aa ，此时定义 n a为“阶梯数列”设 n a为“阶梯数列”，且 14 1aa， 5 3a ， 89 2 3a a ，则 A

10、1 7 aB 84 2aaC 10 103 3SD 2020 1a 【命题意图】本小题为数列新概念题，考查从题干中提取有用信息的能力，考查数学抽象、逻辑 推理和数学运算等核心素养 【试题简析】根据“阶梯数列”的定义知， 14 1aa，有 25 3aa，重复递推，得 36 aa， 47 1aa，选项 A 正确； 5 582 3aaa， 又 89 2 3a a ， 解得 9 2a， 则 369 2aaa， 且 8 4 3 3 1 a a ， 选项 B 错误； 数列 n a各项依次是 1 1a， 2 3a， 3 2a； 4 1a， 5 3a， 6 2a；可知 n a是以3为周期的数列，因此 10 3

11、 1321103 3 S， 20203 673 11 1 aaa，选项 C，D 正确. 故选 ACD 10.已知双曲线 22 1 2 :1(0) 2 xy Cb b 与椭圆 22 2: 1 84 xy C有相同的左右焦点 1 F， 2 F，且在第一 象限相交于点P，则 A. 1 |2PF B. 1 C的渐近线方程为yx C. 直线2yx与 1 C有两个公共点 D. 12 PFF的面积为2 2 【命题意图】本题考查双曲线与椭圆的定义及标准方程，双曲线的渐近线等基础知识，同时渗透 对双曲线和椭圆相关性质的考查，考查数形结合思想，化归与转化思想，注重考查 数学运算，逻辑推理，直观想象等数学核心素养

12、【试题简析】因为 22 2: 1 84 xy C，所以 12 | 4FF ， 因为双曲线 1 C与椭圆 2 C有相同的焦点， 所以 2 422b ，故 1 C的渐近线方程为yx ， 所以选项 B 正确； 因为直线2yx与渐近线yx平行，所以直线2yx与 1 C只有一个公共点， 故选项 C 错误； 在 12 PFF中，设 1 |PFm， 2 |PFn，则 4 2 2 2 mn mn ，解得： 3 2 2 m n ， 6 即 1 | 3 2PF ， 2 |2PF ，故选项 A 错误； 因为 2 |2PF ，所以 2 PFx轴， 所以 1 2 122 1 | 2 2 2 PF F SFFPF ，故选

13、项 D 正确 所以答案是 BD 11已知(1 0)A ，(4 0)B，圆C： 22 4xy，则以下选项正确的有 A圆C上到B的距离为 2 的点有两个 B圆C上任意一点P都满足2PBPA C若过A的直线被圆C所截得的弦为MN，则MN的最小值为2 3 D若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则BD的最小值为42 2 【命题意图】本题主要考查点与圆，直线与圆，圆与圆等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推 理能力；考查数形结合思想；关注学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养 【试题简析】因为B到圆C的最小距离为 2，所以不存在两个点到B的距离为 2，选项 A 错误； 设()P xy， 22 (4)20

14、8PBxyx， 22 (1)52PAxyx， 所以2PBPA，选项 B 正确； 因为过A的直线被圆C所截得的最短弦为与AC垂直的弦， 所以最短弦为 2 2 22 3rAC，选项 C 正确； 因为点D的轨迹是圆心为(0 0)，半径为2 2的圆， 所以BD的最小值为42 2，选项 D 正确 所以答案是 BCD 12已知图 1 中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别 沿着ABBCCDDA，把ABFBCGCDHADE，向上 折起， 使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直， 再顺次连 接EFGH，得到一个如图 2 所示的多面体，则 AAEF是正三角形 图 1 图 2 7 B平面AEF

15、平面CGH C直线CG与平面AEF所成角的正切值为2 D当2AB 时，多面体ABCDEFGH的体积为 8 3 【试题简析】因为,E F在平面ABCD的射影分别为ABAD，中点, 所以在图 2 中， 1 2 EFBD，由图 1 可知， 1 2 AFAEBD， 故 A 正确； 对于 B 和 C，解法一解法一，可建立如图空间直角坐标系， 设4AC 则有 (2,0,0),( 2,0,0),(1, 1,2),(1,1,2),( 1,1,2),( 1, 1,2)ACEFGH 可知，(1,1,2)CG ，平面AEF的一个法向量( 2,0,1)m， 平面CGH的一个法向量( 2,0, 1)n，10=m n，

16、所以平面AEF和平面CGH不相互垂直，所以 B 错误； 记直线CG与平面AEF所成角为， 6 sincos, 3 CG CG CG m m m 所以tan2，故 C 正确； 解法二解法二：连接,OE OF，易得,OC EH FG之间的关系是平行 且相等，从而可证得OFCGCHOEEF，且平面 / /OEF平面CGH ， 而四面体OAEF为正四面体，由正四面体的性质可知， 相邻两个面所成的角的余弦值为 1 3 ， 所以平面AEF和平面CGH不相互垂直，所以 B 错误； 同时，正四面体的侧棱和底面所成角的正弦值为 6 3 ，从而正切值为2，故 C 正 确；对于 D，当2AB 时，下底面面积为4，上

17、底面面积为2，高为1，所以所求 8 多面体的体积为 110 4 1(42) 1 33 V ，故 D 错误. 所以正确答案是 AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13圆心为(1 0)，半径为2的圆的标准方程是 【试题简析】 22 (1)4xy 14已知( 2, 1,3) a，(1, 3,2)b，则cos ，a b 【命题意图】本小题主要考查空间向量的坐标运算，向量的模及夹角等基础知识；考查推理论证 能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查逻辑推理、直观想象、数 学运算等 【试题简析】 2 1( 1)( 3)

18、3 21 cos 2419194 ， a b a b ab 15已知双曲线 22 2 :1(0) 2 3 xy Ea a 的左焦点为F，点P在E上且在第一象限，线段PF的中 点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，若 6 PFO ，则E的离心率为，E 的标准方程为 【命题意图】本题考查双曲线定义及标准方程，双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考 查解析问题几何化思想，数形结合思想，划归与转化思想，关注对数学运算，逻辑 推理，直观想象等数学核心素养的考查 【试题简析】设线段PF的中点为M，双曲线的右焦点为A， 焦距为2c，连接OM，AP，则/ /APOM，且 | 2| 2APOMc， 又因

19、为| 2PFPAa，所以| 22PFac， 在PFA中，因为 6 PFA ，所以| 2 3PFc，所以222 3acc，解得： 31 2 e 因为 31 2 c a ，又因为 222 2 3bca，所以 2 4a ，所以E的标 准方程为 22 1 42 3 xy 16设正项数列 n a的前n项和 1 3 6 nnn Saa，则 n a ； 9 若对任意的 * nN，不等式248( 1)n nn Ska 恒成立，则k的取值范围是 【命题意图】本小题主要考查数列 n S和 n a的递推关系，能从 n S的递推关系中求出 n a的通项 公式，考查数列不等式的参数取值范围等基础知识，体现分类与整合、化

20、归与转化 和函数与方程的数学思想；关注数学运算和逻辑推理等核心素养的考查 【试题简析】已知 2 111 3 662 nnnnn Saaaa，得 2 111 11 (2) 62 nnn Saan， 两式相减，得 22 111 1111 6262 nnnnnnn aSSaaaa，即 111 3 nnnnnn aaaaaa，又 n a是正项数列，故 1 3 nn aa， 又由 2 1111 11 62 Saaa，解得 1 3a， 所以数列 n a是首项 1 3a，公差3d的等差数列， 则3313 n ann；代入，得 2 13 3 62 nnn Saann 不等式248( 1)n nn Ska 对任

21、意 * nN恒成立，即 2 16( 1)nnnk n ， 则 16 ( 1)1 nk n n ， 当n为奇数， 6 1 1 kn n ， 因为，n为奇数时，1 16 n n 的最大值为 46 5 ，故 46 5 k ； 当n为偶数， 1 1 6 n nk ， 因为，n为偶数时， 6 1 1 n n 的最小值为9，故9k 综上，知k的取值范围是 46 9 5 k ， 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（10 分） 等差数列 n a满足 2 2a ， 15 6aa （1）求

22、 n a的通项公式； 10 （2）若2 n a n b ，求数列 n b的前n项和 n S 【命题意图】本小题主要考查等差数列的通项、等比数列的定义与前n项和等基础知识；考查运 算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等体现基 础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注 【试题解析】（1）设等差数列 n a的公差为d 由 2 2a ， 15 6aa得 1 1 2 246 ad ad ， ， .2 分（各 1 分） 解得 1 1 1. a d ，.3 分 所以 1 (1) n aandn.5 分 （2） 因为22 n an n b ， 所以数列 n b是首项为2，公比

23、为2的等比数列.7 分 所以 1 2(12 ) 22 12 n n n S .10 分（公式 2 分，化简 1 分） 备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分 18（12 分） 已知直线l：220mxym（mR），圆C： 22 2680 xyxy （1）若l与圆C相切，求切点坐标； （2）若l与圆C交于A，B，且OAOB，求ABC的面积 【命题意图】本题主要考查点与圆，直线与圆，圆与圆等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推 理能力；考查数形结合思想；关注学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养 【试题解析】 解法一：（1） 由 22 2680 xyxy得 22 (1)(3)2xy，. 1

24、 分 所以圆C的圆心(1 3)C ，半径2r 11 点C到直线AB的距离 22 3221 11 mmm d mm .2 分 由l与C相切得dr，即 2 1 2 1 m m ，.3 分 解得1m .4 分 此时，l：0 xy 联立 22 0 2680 xy xyxy ， ， .5 分 解得切点坐标为(2 2)，.6 分 （2） 因为OAOB，所以O在AB的垂直平分线上， 因为点A，B在圆C上，所以C也在AB的垂直平分线上，.7 分 所以 11 3 AB OC k k ，. 8 分 所以 1 3 m ，直线AB的方程为380 xy.9 分 因为圆心C到直线AB的距离 2 198 10 5 13 d

25、 ，.10 分 所以 22 4 10 2 5 ABrd. 11 分 所以 14 25 ABC SAB d .12 分 解法二：（1） 由220mxym得(2)20m xy， 所以直线l过定点(2 2)，.2 分 因为 22 22226280，所以点(2 2)，在圆C上.4 分 所以若l与圆C相切，则其切点坐标必为(2 2)，. 6 分 （2）由（1）知，可不妨假设(2 2)A ，.7 分 因为2 2OAOB，所以A，B是圆C与圆 22 8xy的交点，. 8 分 两圆相减得直线AB的方程为380 xy.9 分 12 由 22 2680 xyxy得 22 (1)(3)2xy， 所以圆心(1 3)C

26、 ，半径2r .10 分 因为点C到直线AB的距离 2 198 10 5 13 d ，.11 分 所以 22 4 10 2 5 ABrd 所以 14 25 ABC SAB d .12 分 备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分 19. （12 分） 已知抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点为F，直线3x 与E相交所得线段的长为6 2 （1）求E的方程； （2）若不过点F的直线l与E相交于AB，两点，请从下列三个条件中任选两个作为补充条 件，并尝试依据补充条件，求l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原 因） AB中点的纵坐标为3； ABF的重心在直线 2y 上； |

27、 | 13AFBF 【命题意图】本题考查抛物线定义及标准方程，直线与抛物线位置关系，考查数形结合思想，化 归与转化思想，考查学生的运算求解能力，根据自选条件解决问题的能力，关注学 生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养 【试题简析】 解法一：（1）因为直线3x 与E相交所得线段的长为6 2， 所以E过点(3,3 2)，.2 分 即18 6p ，所以 3p ，.3 分 E的标准方程为： 2 6yx. 4 分 13 （2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于AB，两点，AB的中点的纵坐标为0， 不管选，均不符合，.5 分 故直线l的斜率一定存在，设 l : (0)ykxb k ， 1122 ()()

28、A xyB xy， 由（1）可知， 3 (0) 2 F， 联立 2 6 ykxb yx 得： 2 660kyyb， .6 分 所以 12 6 yy k .7 分 若选： 因为AB中点的纵坐标为3，所以 12 3 2 yy ，即 12 6yy，. 8 分 所以 6 6 k ，即1k .9 分 因为| | 13AFBF ，所以 1212 313xxpxx， 所以 12 10 xx，.10 分 又因为 1212 2xxyyb， 所以2b ，.11 分 故直线AB的方程为： 2yx .12 分 若选： 因为ABF的重心在直线 2y 上，所以 12 2 3 yy ，.8 分 即 12 6yy， 所以 6

29、 6 k ，即1k .9 分 因为| | 13AFBF ，所以 1212 313xxpxx， 所以 12 10 xx，.10 分 所以直线AB的中点坐标为(5,3)，又1k ，. 11 分 故直线AB的方程为： 20 xy .12 分 14 若选择，则无法得到直线l的方程，理由如下： 根据条件，得 12 12 3 2 0 2 3 yy yy ，.8 分 化简得： 12 6yy，.9 分 所以 6 6 k ，即1k .10 分 两个条件等价，所以相当于只有一个条件，只能计算出直线的斜率，条件不 够，无法计算出b的值，故选无法得到直线l的方程（备注：言之有 理，即可得分）.12 分 解法二：（1）

30、同解法一 （2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于AB，两点的中点的纵坐标为0，不管 选，均不符合，.5 分 故直线l的斜率一定存在，设l的斜率为 (0)k k ， 1122 ()()A xyB xy， 因为AB，在E上， 所以 2 11 2 22 6 6 yx yx ，即 22 1212 6()yyxx， 所以 1212 12 ()() 6 () yyyy xx ，.6 分 所以 12 6 yy k .7 分 若选： 因为AB中点的纵坐标为3，所以 12 3 2 yy ，即 12 6yy，. 8 分 所以 6 6 k ，即1k . 9 分 因为| | 13AFBF ，所以 1212 313

31、xxpxx， 所以 12 10 xx，.10 分 所以直线AB的中点坐标为(5,3)，又1k ，. 11 分 故直线AB的方程为： 20 xy .12 分 15 以下同解法一 20（12 分） 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为3，E，F，G分别为棱 11 AD， 11 DC，AB上的点， 且 11 1AED FBG （1）求直线EG与平面DEF所成角的正弦值； （2）设直线 1 AA与平面EFG交于点H，求 1 HA HA 的值 【试题解析】（1）分别以 1 ,DA DC DD所以在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系Dxyz 则有(0,0,0)D，(2,0,3)E，(0,1,

32、3)F，(3,2,0)G. 1 分 备注：有两个坐标写对就可以得到第 1 分 所以(2,0,3)DE ，(0,1,3)DF ，(1,2,3)EG . 2 分 设 111 ( ,)x y zm为平面DEF的一个法向量 则有 0 0 DE DF m m ，即 11 11 230 30 xz yz .3 分 令 1 2z ，则(3, 6,2)m.4 分 16 记为直线EG与平面DEF所成的角 222222 1 326( 3)( 2) 3 14 sin 14 12( 3)36( 2) EG EG m m .6 分 （2）解法一）解法一：设(3,0, )Hh， 则( 2,1,0)EF ，(1,2,3)E

33、G ，(1,0,3)EHh .7 分 设 222 (,)xyzn为平面EFG的一个法向量 则有 0 0 EF EG n n ，即 22 222 20 230 xy xyz .8 分 令 2 1x ，则 5 (1, 2,) 3 n. 9 分 依题意可得，0EH n，即 5 1 102(3)0 3 h . 10 分 解得， 12 5 h ，即 12 5 HA ，则 1 123 3 55 HA .11 分 所以 1 4 HA HA .12 分 解法二解法二：设(3,0, )Hh，则( 2,1,0)EF ，(1,2,3)EG ，(1,0,3)EHh .7 分 设EHEFEG ，依题意有 12 02 3

34、03h ，.9 分 解得 2 5 1 5 12 5 h .10 分 即 12 5 HA ，则 1 123 3 55 HA .11 分 所以 1 4 HA HA .12 分 备注：第 2 问中，学生没有任何理论依据，直接猜出 1 4 HA HA ，可得 2 分 解法三解法三:分别延长 11 ,FE B A交于点N，连接NG交 1 AA于 H .7 分 17 由已知可得，,NEF EF平面EFG，所以N 平面EFG. 8 分 故NG 平面EFG，又HNG ，所以H平面EFG. 9 分 所以 H 为直线 1 AA与平面EFG的交点H.10 分 在平面图形 11 D FENA中，由三角形相似， 11

35、11 1 2 A NAE D FD E ， 所以 1 1 2 A N .11 分 在平面图形 1 NAHAG中，由三角形相似，所以 11 2 4 1 2 HAAG HAA N ，.12 分 21.（12 分） 在数列 n a, n b中， 21 65 nnn aaa ， * 1 3() nnn baa n N,且 2 1a , 2 2b （1）求 3 a, 1 b的值； （2）求 n b的通项公式； （3）设 1 13 (1)(1) n n nn b c bb ，记 n c 的前n项和为 n S，证明： 24 79 n S. 【命题意图】本小题主要考查非特殊数列的通项公式求法，考查等比数列的通

36、项公式，数列求和 的裂项相消法等基础知识，考查学生的运算求解能力，体现化归与转化思想、函数 与方程思想，考查数学运算核心素养 【试题简析】（1）由 232 3baa，可得 3 5a .1 分 由 312 65aaa可得， 1 0a .2 分 所以 121 31baa. 3 分 （2）由 21 65 nnn aaa ，得 211 326 nnnn aaaa，. 4 分 故 1211 11 326 2 33 nnnnn nnnnn baaaa baaaa （常数），.5 分 所以数列 n b是首项为 1 1b ，公比为2q的等比数列，.6 分 其通项公式为 1 2 n n b.7 分 18 （3）

37、 由（2），得 1 2 13 2 (1)(1)(21)(21) n n n nn nn b c bb 2 111 3 2121 nn ，.8 分 所以 1231 nnn Sccccc 112 111111111111 1 37315731156321212121 nnnn 12 1111 1 332121 nn .9 分 144 339 .10 分 因为数列 2 111 0 3 2121 n nn c ，所以 n S 为递增数列. 11 分 当1n时， n S取得最小值 11 2 7 Sc，所以 24 79 n S.12 分 备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分 22（12 分）

38、 已 知 圆E： 22 (3)16xy， 圆E的 弦AB过 点 (3 0)F ，连接AE，BE，过点F且与BE平行的直线 与AE交于点P，记点P的轨迹为曲线M （1）求M的方程； （2） 过点(1 0)N ，的直线l交M于C，D两点， 试探究是否存在定点Q， 使得 2 QCQC CD 为定值 【命题意图】本题考查曲线的轨迹方程，椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量 的基本运算等基础知识，考查学生运算求解能力，体现化归与转化思想，数形结合 思想，考查数学运算，逻辑推理，直观想象等素养 19 【试题简析】 （1） 因为/ /BEFP， 所以 | | APPF AEBE ， . 1 分

39、因为| | | 4AEBE ， 所以| |APPF.2 分 又因为| 4APPE， 所以| 4 | 2 3PFPEEF.3 分 由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以EF，为焦点的椭圆， 设其轨迹方程为： 22 22 1(0) xy ab ab 求得：2a ， 2 1b ，.4 分 故M的方程为： 2 2 1(0) 4 x yy.5 分 （备注：没有写出0y ，不扣分） （2） 解法一解法一：假设存在定点Q，使得 2 QCQC CD 为定值， 当直线l的斜率存在时，设l：(1)yk x， 1122 ()()C xyD xy， 联立 2 2 (1) 1 4 yk x x y 得： 2222 (14)8

40、440kxk xk，. 6 分 2 12 2 8 14 k xx k ， 2 12 2 44 14 k x x k ， 2 12 2 3 14 k y y k ，.7 分 根据椭圆的对称性可知，点Q在x轴上，设 0 (,0)Q x. 8 分 因为 2 ()QCQC CDQCQCCDQC QD ， 又因为 101 ()QCxxy ， 202 ()QDxxy ， 所以QC QD 2 12012012 ()x xx xxxy y 20 222 20 0 222 8443 _ 141414 k xkk x kkk 2 20 0 2 (18)4 14 x k x k .9 分 为使 2 QCQC CD

41、为定值，只需 2 20 0 2 (18)4 14 x k x k 与k无关， 只需 0 184 41 x ， 解得： 0 17 8 x ，即 17 (,0) 8 Q.10 分 经验算，取 17 (,0) 8 Q时， 233 64 QCQC CD 为定值 当直线l的斜率不存在时，:1l x ， 33 (1)(1) 22 CD， 若 17 (,0) 8 Q，同样有 2 QCQC CD 33 64 QC QD .11 分 综上，存在定点 17 (,0) 8 Q，使得 2 QCQC CD 为定值 33 64 .12 分 解法二：解法二：假设存在定点 00 (,)Q xy，使得 2 QCQC CD 为定

42、值， 设直线l的方程为：1xmy， 1122 ()()C xyD xy， 联立 2 2 1 1 4 xmy x y 得： 22 (4)230mymy，. 6 分 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，.7 分 12 2 8 4 xx m ， 2 12 2 44 4 m x x m ，.8 分 所以 2 ()QCQC CDQCQCCDQC QD 22 120120120120 ()()x xx xxxy yyyyy 2 2200 00 2222 82443 4444 xmym xy mmmm 2 2200 00 2 4182 4 mxmy xy m ，.9 分 因为 2 QCQC CD 为定值，所以 2 2200 00 2 4182 4 mxmy xy m 与m无关， 21 所以 0 0 20 184 14 y x ，. 11 分 解得： 0 0 17 8 0 x y ，此时 233 64 QCQC CD ， 所以存在定点 17 (,0) 8 Q，使得 2 QCQC CD 为定值 33 64 .12 分 （备注：直接写出定点定值，没有任何相应的理由、过程不给分）