2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1 2 y D 1 4 y 2 （4 分）在复平面内，复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）在 5 (2)x 的展开式中， 4 x的

2、系数为( ) A5 B5 C10 D10 4 （4 分）已知直线:20l xay，点( 1 , 1)A 和点(2,2)B，若/ /lAB，则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 5 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 6 （4 分）已知向量a，b满足| 1a ，( 2,1)b ，且| 2ab，则(a b ) A1 B0 C1 D2 7 （4 分）已知，是两个不同的平面， “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面， C存在平面，m，n，且/ /mn 第 2 页（共 24 页） D存在直线l，l，l 8 （4 分）已

3、知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ，则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df（1）f（2） 9 （4 分） 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann，*nN， 前n项和为. n S给出下列三个结论： 存在正整数m，()n mn，使得 mn SS； 存在正整数m，()n mn，使得2 mnmn aaa a； 记 12 (1 nn Ta aa n，2，3，)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 10 （4 分）如图所示，在圆锥内放入两个球 1 O， 2 O，它们都与圆锥相

4、切（即与圆锥的每条 母线相切） ，切点圆（图中粗线所示）分别为 1 C， 2. C这两个球都与平面a相切，切点分 别为 1 F， 2 F， 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，1F， 2 F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30， 1 C， 2 C的半径分别为 1，4，点M为 2 C上的一个定点，点P为椭圆上的一个动 点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) 第 3 页（共 24 页） A6 B8 C3 3 D4 3 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，

5、每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）在“互联网”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合， 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有 16 人，则该样本 中的高三学生人数为 12 （5 分）设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列，则数列 n a的公 比为 13 （5 分）已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点( 3,4)M ，则双曲线的 渐近线方程为 ； 12 |MFMF 第 4

6、页（共 24 页） 14（5 分） 已知函数( )f x是定义域R的奇函数， 且0 x时，( )1 x f xae， 则a ，( )f x 的值域是 15 （5 分）已知圆 22 :(5)(2)2Pxy，直线: l yax，点(5,22)M，点( , )A s t给 出下列 4 个结论： 当0a ，直线l与圆P相离； 若直线l圆P的一条对称轴，则 2 5 a ； 若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一动点，若90MAN，则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解

7、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （15 分）在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BCC B为矩形，AC 平面 11 BCC B，D，E分 别是棱 1 AA， 1 BB的中点 （）求证：/ /AE平面 11 BC D； （）求证： 1 CC 平面ABC； （）若 1 2ACBCAA，求直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值 17 （14 分）若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一 组这样的三个条件并解答下列问题： （）求A的大小； （）求cosB和a的值 第 5 页（共 24 页） 条件： 3 3 s

8、in 14 C ； 条件： 7 3 ac； 条件：1ba； 条件： 5 cos 2 bA 18 （14 分）某公司在2013 2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 注：年返修率 年返修台数 年生产台数 （） 从2013 2020年中随机抽取

9、一年， 求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的 概率； （）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀现从 2013 2020年中随机选出 3 年，记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数求的 分布列和数学期望； （）记公司在2013 2015年，2016 2018年，2019 2021年的年生产台数的方差分别为 2 1 s， 2 2 s， 2 3 s若 22 31 smax s， 2 2 s，其中 2 1 max s， 2 2 s表示 2 1 s， 2 2 s，这两个数中最大的数请 写出a的最大值和最小值 （只需写出结论） （注 2222 12 1 :(

10、)()() n sxxxxxx n ，其中x为数据 1 x， 2 x， n x的平均数） 19 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点(2, 3)C （）求椭圆W的方程及其长轴长； （）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交 x轴于点Q若ACQ的面积比BDQ的面积大2 3，求点D的坐标 20 （14 分）已知函数( ) lnx f x x （）求函数( )f x的单调区间； （）设( )( )g xf xx，求证：( )1g x； 第 6 页（共 24 页） （）设 22 ( )( )241h xf

11、xxaxa若存在 0 x使得 0 () 0h x ，求a的最大值 21（14 分） 设A是由(2)nn n个实数组成的n行n列的数表， 满足： 每个数的绝对值是 1， 且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表” （）判断如下数表 1 A， 2 A是否是“4 阶非负数表” ； 数表 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数表 2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （）对于任意“5 阶非负数表” A，记( )R s为A的第s行各数之和(15)s剟，证明：存在 i，j，1k，2，3，4，5，使得( )( )( ) 3R iR

12、 jRk ?； （）当 * 2 ()nNk k时，证明：对与任意“n阶非负数表” A，均存在k行k列，使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k 第 7 页（共 24 页） 2020-2021 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）抛物线 2 yx的准线方程是( ) A 1 2 x B 1 4 x C 1

13、2 y D 1 4 y 【解答】解：抛物线 2 yx的焦点在x轴上，且开口向右，21p ， 1 24 p ， 抛物线 2 yx的准线方程为 1 4 x 故选：B 2 （4 分）在复平面内，复数 1 i i 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： (1)11 1(1)(1)22 iii i iii ， 复数 1 i i 对应的点的坐标为 1 1 ( , ) 2 2 ，位于第一象限 故选：A 3 （4 分）在 5 (2)x 的展开式中， 4 x的系数为( ) A5 B5 C10 D10 【解答】解： 5 (2)x 的展开式的通项为 5 15 2 rr r

14、TC x r ， 所以 4 x的系数为 1 5 210C 故选：D 4 （4 分）已知直线:20l xay，点( 1 , 1)A 和点(2,2)B，若/ /lAB，则实数a的值为( ) A1 B1 C2 D2 【解答】解：直线:20l xay，点( 1, 1)A 和点(2,2)B， 直线AB的斜率为 21 1 21 ， 第 8 页（共 24 页） 若/ /lAB，则 1 1 a ，求得1a ， 故选：B 5 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( ) A2 B4 C6 D12 【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的两个顶点为正方体的顶点，另外两个顶点是正方体 棱的中点， 其直观图

15、如图所示： 故该三棱锥的体积为： 11 3222 32 故选：A 6 （4 分）已知向量a，b满足| 1a ，( 2,1)b ，且| 2ab，则(a b ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：向量a，b满足| 1a ，( 2,1)b ，且| 2ab， 22 24aa bb， 即1254a b， 则1a b 故选：C 第 9 页（共 24 页） 7 （4 分）已知，是两个不同的平面， “/ /”的一个充分条件是( ) A内有无数直线平行于 B存在平面， C存在平面，m，n，且/ /mn D存在直线l，l，l 【解答】解：由内有无数直线平行于，不一定得到/ /，与也可能相交， 如图： 故A错误；

16、 若存在平面，使，不一定得到/ /，与也可能相交， 如图： 故B错误； 存在平面，m，n，且/ /mn，不一定得到/ /，与也可能相交， 如图： 故C错误； 存在直线l，l，l，由直线与平面垂直的性质，可得/ /，故D正确 故选：D 8 （4 分）已知函数 2 ( )12sin () 4 f xx ，则( ) A( )f x是偶函数 B函数( )f x的最小正周期为2 C曲线( )yf x关于 4 x 对称 Df（1）f（2） 第 10 页（共 24 页） 【解答】解： 2 ( )12sin ()cos2()cos(2)sin2 442 f xxxxx ， 则函数( )f x为奇函数，函数的周

17、期 2 2 T ， 当 4 x 时，( )sin2()sin()1 42 f x 为最大值，则 4 x 是对称轴， f（1）sin2 ，f（2）sin4 ，则f（1）f（2） ， 故正确的是C， 故选：C 9 （4 分） 数列 n a的通项公式为 2 3 n ann，*nN， 前n项和为. n S给出下列三个结论： 存在正整数m，()n mn，使得 mn SS； 存在正整数m，()n mn，使得2 mnmn aaa a； 记 12 (1 nn Ta aa n，2，3，)则数列 n T有最小项 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解：若存在正整数m，()n mn，使得 mn

18、SS，则0 mn SS， 即 12 0 mmn aaa ， 令0 n a ，解得0n （舍)或3n ，即 3 0a ， 所以存在2m ，3n ，使得 mn SS， 故选项正确； 因为2 mnmn aaa a，即 2 ()0 mn aa， 即 mn aa，且0 m a ，0 n a ， 记 2 3ynn，对称轴为 3 2 n ， 而1n ，2，3，故只有 1 1n ， 2 2n 时，有 12 nn aa， 但此时 12 1320aa 不成立， 故不存在正整数m，()n mn，使得2 mnmn aaa a，故选项错误； 因为 12 (1 nn Ta aa n，2，3，)， 第 11 页（共 24

19、页） 则 1 2a ， 2 2a ， 3 0a ，且当2n时， n a单调递增， 所以当3n 时，0 n a ，而 3 0T ， 故当3n 时，0 n T ，又 2 4T ， 1 2T ， 所以数列 n T有最小项 1 2T ，故选项正确 故选：C 10 （4 分）如图所示，在圆锥内放入两个球 1 O， 2 O，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条 母线相切） ，切点圆（图中粗线所示）分别为 1 C， 2. C这两个球都与平面a相切，切点分 别为 1 F， 2 F， 丹德林()G Dandelin利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，1F， 2 F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dan

20、delin双球若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30， 1 C， 2 C的半径分别为 1，4，点M为 2 C上的一个定点，点P为椭圆上的一个动 点，则从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是( ) A6 B8 C3 3 D4 3 【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P，连接VP交 1 C于Q，交 2 C于点R， 第 12 页（共 24 页） 连接 1 OQ， 11 O F， 1 PO， 1 PF， 2 O R， 在 1 O PF与 1 O PQ中， 111 OQO Fr，其中 1 r为半径， 11 90OQPO FP ， 1 O P为公共边， 所以 1 O PF 1 O

21、 PQ，所以 1 PFPQ， 设P沿圆锥表面到达M的路径长为d， 则 1 PFdPQdPQPRQR， 当且仅当P为直线VM与椭圆的交点时取等号， 2121 862 tan30sin303 2 ORORrr QRVRVQ ， 故从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是 6 故选：A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）在“互联网”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合， 实现线上、线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学生人数如图所示采用分层 抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，

22、在抽取样本中，高一学生有 16 人，则该样本 第 13 页（共 24 页） 中的高三学生人数为 12 【解答】解：根据直方图知，抽样比例为 161 80050 ， 所以应该抽取高三人数为 1 60012 50 （人) 故答案为：12 12 （5 分）设等比数列 n a的前n项和为. n S若 1 S、 2 S、 3 a成等差数列，则数列 n a的公 比为 3 或1 【解答】解： 1 S， 2 S， 3 a成等差数列， 213 2SSa ，又数列 n a为等比数列， 2 1111 2()aa qaa q ， 整理得： 2 111 230a qa qa， 又 1 0a ， 2 230qq， 解得：

23、3q 或1 故答案为：3 或1 13 （5 分）已知双曲线 2 2 1 2 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点( 3,4)M ，则双曲线的 渐近线方程为 2yx ； 12 |MFMF 【解答】解：双曲线 2 2 1 2 y x 的渐近线方程为：2yx ， 双曲线的焦点坐标(3，0)， M在双曲线上， 所以 12 |22MFMFa ， 第 14 页（共 24 页） 故答案为：2yx ；2 14 （5 分）已知函数( )f x是定义域R的奇函数，且0 x时，( )1 x f xae，则a 1 ， ( )f x的值域是 【解答】解：根据题意，函数( )f x是定义域R的奇函数，则(0)

24、0f， 又由0 x时，( )1 x f xae，则(0)10fa ，解可得1a ， 在区间(，0上，( )1 x f xe，有1( ) 0f x ， 又由( )f x为奇函数，则有1( )1f x ，即函数的值域为( 1,1)， 故答案为：1，( 1,1) 15 （5 分）已知圆 22 :(5)(2)2Pxy，直线: l yax，点(5,22)M，点( , )A s t给 出下列 4 个结论： 当0a ，直线l与圆P相离； 若直线l圆P的一条对称轴，则 2 5 a ； 若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一动点，若90MAN，则t的最

25、大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：当0a 时，直线:0l y ， 故圆的半径2r 小于点P到直线的距离， 所以当0a ，直线l与圆P相离，故选项正确； 因为圆的对称轴过圆心，故直线l过点(5,2)， 又直线: l yax，所以 2 5 a ，故选项正确； 考虑极限情况：M，N为切点时比M，N为割点时的MAN更大， 故直线l的斜率最大时，点M，N均应为切点，过M作圆的切线， 则52,22 AA xy， 所以 227 21211 232052 a ，故选项错误； 设(52cos ,22sin )N，(5,22)M， 第 15 页（共 24 页） 则MN的中点 2 (5co

26、s 2 Q， 22 2sin ) 22 ， 而90MAN，则点A为以MN为直径的圆上， 设半径为r， 2 44sinMN，则1sinr， 所以t最大时应该是点Q的纵坐标加半径，即 22 2sin1sin 22 t， 令 22 ( )21 22 g xxx， 1x ，1， 令10, 2x，得 2 22 ( )2(1) 22 f，0, 2， 2 2 ( )22 2 f ， 当 2 2 时， 2225 28 ( )()22 2424 max ff ， 所以t的最大值为 5 28 4 ，故选项正确； 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证

27、明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （15 分）在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BCC B为矩形，AC 平面 11 BCC B，D，E分 别是棱 1 AA， 1 BB的中点 （）求证：/ /AE平面 11 BC D； （）求证： 1 CC 平面ABC； （）若 1 2ACBCAA，求直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值 【解答】解： （）证明：在三棱柱ABC 中， 11 / /AABB，且 11 AABB 因为点D，E分别时棱 1 AA， 1 BB的中点， 所以 1 / /ADB E，且 1 ADB E 第 16 页（共 24 页） 所以四边形 1

28、 AEB D是平行四边形 所以 1 / /AEDB 又因为AE 平面 11 BC D， 1 DB 平面 11 BC D， 所以/ /AE平面 11 BC D （）证明：因为AC 平面 11 BCC B， 1 CC 平面 11 BCC B， 所以 1 ACCC 因为侧面 11 BCC B为矩形， 所以 1 CCBC 又因为ACBCC，AC 平面ABC，BC 平面ABC， 所以 1 CC 平面ABC （）解：分别以CA，CB， 1 CC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系Cxyz， 由题意得(2A，0，0) (2B，0，0)， 1(0 B，2，2)， 1(0 C，0，2)，(

29、2D，0，1) 所以 111 ( 2,2,2),(0,2,0),(2,0, 1)ABC BC D 设平面 11 BC D的法向量为(nx，y，) z，则 11 1 0, 0, n C B n C D 即 20, 20 y xz 令1x ，则0y ，2z 于是(1n ，0，2) 所以 210 cos, 10|52 2 n AB n AB nAB 所以直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值为 10 10 第 17 页（共 24 页） 17 （14 分）若存在ABC同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一 组这样的三个条件并解答下列问题： （）求A的大小； （）求cosB和a的值 条件

30、： 3 3 sin 14 C ； 条件： 7 3 ac； 条件：1ba； 条件： 5 cos 2 bA 【解答】解：若选择， （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ，由正弦定理可得 sin3 sin 2 aC A c ， 因为1ba，所以ab，可得0 2 A ，可得 3 A （）在ABC中， 7 3 ac，所以ac，所以0 2 C ， 因为 3 3 sin 14 C ，可得 2 13 cos1 14 Csin C， 所以 33 31131 coscos()cos()sinsincoscos 2142147 BACACACAC ， 所以 2 4 3 sin1 7 Bcos B， 第

31、 18 页（共 24 页） 由正弦定理可得 4 33 72 ba ，可得78ba， 因为1ba，所以7a 若选择， （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ，由正弦定理可得 sin3 sin 2 aC A c ， 在ABC中， 5 cos 2 bA ， 所以 2 A ， 可得 2 3 A （）在ABC中， 7 3 ac， 所以ac， 所以0 2 C ， 因为 3 3 sin 14 C ，可得 2 13 cos1 14 Csin C， 所以 33 311311 coscos()cos()sinsincoscos 21421414 BACACACAC ， 所以 2 5 3 sin1 1

32、4 Bcos B， 因为 5 cos 2 bA ， 所以 5 2 5 1 2 b ， 由正弦定理可得 3 5 sin 2 7 sin5 3 14 bA a B 18 （14 分）某公司在2013 2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年生产台数（单位：万台） 3 4 5 6 6 9 10 10 a 年返修台数（单位：台） 32 38 54 58 52 71 80 75 b 年利润（单位：百万元） 3.85 4.50 4.20 5.50 6.10 9.65 10.00 11.50 c 第 1

33、9 页（共 24 页） 注：年返修率 年返修台数 年生产台数 （） 从2013 2020年中随机抽取一年， 求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的 概率； （）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀现从 2013 2020年中随机选出 3 年，记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数求的 分布列和数学期望； （）记公司在2013 2015年，2016 2018年，2019 2021年的年生产台数的方差分别为 2 1 s， 2 2 s， 2 3 s若 22 31 smax s， 2 2 s，其中 2 1 max s， 2 2 s表示 2 1 s， 2 2

34、 s，这两个数中最大的数请 写出a的最大值和最小值 （只需写出结论） （注 2222 12 1 :()()() n sxxxxxx n ，其中x为数据 1 x， 2 x， n x的平均数） 【解答】解： （）由图表知，2013 年 2020年中，产品的平均利润小于 100 元/台的看人 发只有 2015 年，2016 年， 从 2013 年 2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不小于 100 元/台的概率为 6 0.75 8 P （）由图表得，2013 2020年中，返修率超过千分之一的年份只有 2013 年和 2015 年， 的所有可能取值为 1，2，3， 12 62 3 8 3 (

35、1) 28 C C P C ， 21 62 3 8 15 (2) 28 C C P C ， 30 62 3 8 5 (3) 14 C C P C ， 的分布列为： 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 31559 ( )123 2828144 E （）a的最大值为 13，最小值为 7 第 20 页（共 24 页） 19 （14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点(2, 3)C （）求椭圆W的方程及其长轴长； （）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交 x轴于点Q若ACQ的面积比BDQ的面积大2

36、3，求点D的坐标 【解答】解： （）由已知可得： 22 222 3 2 43 1 c a ab abc ， 解得4a ，2b ，2 3c ， 故椭圆的方程为： 22 1 164 xy ，且长轴长为28a ； （）因为点D在x轴下方，所以点Q在线段AB（不包括端点）上， 由（）可知( 4,0)A ，(4,0)B， 所以AOC的面积为 1 432 3 2 ， 因为ACQ的面积比BDQ的面积大2 3， 所以点Q在线段OB（不包括端点）上，且OCQ的面积等于BDQ的面积， 所以OCB的面积等于BCD的面积， 所以/ /ODBC， 设( , )D m n，0n ， 则 033 422 n m ， 因为点

37、D在椭圆W上，所以 22 1 164 mn ， 解得2m ，3n ， 所以点D的坐标为(2,3) 20 （14 分）已知函数( ) lnx f x x （）求函数( )f x的单调区间； （）设( )( )g xf xx，求证：( )1g x； （）设 22 ( )( )241h xf xxaxa若存在 0 x使得 0 () 0h x ，求a的最大值 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （）( ) lnx f x x ， 2 1 ( ) lnx fx x ， 令( )0fx，解得：xe， x，( )fx，( )f x的变化如下： x (0, ) e e ( ,)e ( )fx 0 (

38、)f x 递增 极大值 递减 故( )f x在(0, ) e递增，在( ,)e ； （）证明：( ) lnx f x x ，( ) lnx g xx x ， 2 22 11 ( )1 lnxlnxx g x xx ， 当(0,1)x时， 2 10 x，0lnx，故( )0g x， 当(1,)x时， 2 10 x，0lnx，故( )0g x， 故( )g x在(0,1)递增，在(1,)递减， 故( )g xg（1）1 ； （）( ) lnx f x x ， 22 ( )241 lnx h xxaxa x ， 当 1 0 2 a剟时，h（1） 2 242 (12 ) 0aaaa，即存在 1，使得h

39、（1）0； 当 1 2 a 时，由（）可知：1 lnx x x ，即1 lnx x x ， 故 22 ( )24h xxxaxa 2 22 21(21) ()4 24 aa xa 2 1 3 4 aa (21)(61) 0 4 aa ， 综上，对任意0 x ，( )0h x ， 即不存在 0 x使得 0 () 0h x ， 综上，a的最大值是 1 2 21（14 分） 设A是由(2)nn n个实数组成的n行n列的数表， 满足： 每个数的绝对值是 1， 第 22 页（共 24 页） 且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表” （）判断如下数表 1 A， 2 A是否是“4 阶非负数表” ；

40、 数表 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数表 2 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （）对于任意“5 阶非负数表” A，记( )R s为A的第s行各数之和(15)s剟，证明：存在 i，j，1k，2，3，4，5，使得( )( )( ) 3R iR jRk ?； （）当 * 2 ()nNk k时，证明：对与任意“n阶非负数表” A，均存在k行k列，使得 这k行k列交叉处的 2 k个数之和不小于k 【解答】 （）解：记( , )a i j为数表A中第i行第j列的数， 11 ( , ) nn ij a i j 为数表A中所有数的

41、和， 11 ( , ) ij a i j kk 为数表A中前k行k列交叉处各数之和 1 A是“4 阶非负数表” ； 2 A不是“4 阶非负数表” ； （）证明：由题意可知，( , )1a i j ，1，1i ，2，3，4，5，1j ，2，3，4，5，且 数表A是“5 阶非负数表” ， 所以( )(1R s s ，2，3，4，5)为奇数，且R（1）R（2）R（3）R（4）R（5）0， 不妨设R（1）R（2）R（3）R（4）R（5） ， 当R（3）0时，因为R（3）为奇数， 第 23 页（共 24 页） 所以R（3）1， 所以R（1）R（2）R（3）3R（3）3； 当R（3）0时，因为R（3）为奇

42、数， 所以R（3）1， 所以R（4）R（5）2R（3）2， 所以R（1）R（2）R（3）R（4）R（5）2， 又因为R（1） ，R（2） ，R（3）均为奇数， 所以R（1）R（2）R（3）3 （）证明：先证明数表A中存在1n 行n列(2 )n k，其所有数的和大于等于 0， 设 1 ( )( , )(1,2, ) n j R ia i j in ， 由题意可知 1 ( ) 0 n i R i ， 不妨设R（1）R（2）R（3）( )R n厖， 由于 11 111 ( )(1)( )( )(1) ( ) nnn iii nR inR iR inR n 1 1 ( )( ) 0 n i R iR

43、n ， 所以 1 11 1 ( )( ) 0 nn ii n R iR i n 厖； 由及题意，不妨设数表A前1n 行n列(2 )n k，其所有数的和大于等于 0， 下面考虑前21k行，证明存在21k行k列，其所有数的和大于等于k， 设 21 1 ( )( , )(1,2,2 ) i T ja i jj k k， 则 221 11 ( )( ) 0 ji T jR i kk ， 不妨设T（1）T（2）T（3）(2 )T厖k， 因为( )T j为21k个奇数的和， 所以( )T j为奇数(1j ，2，3，2 )k， 1当( ) 0T k ?时，因为( )T k为奇数， 所以( ) 1T k ?，

44、 所以 1 ( )( ) j T jT k 卥k 卥； 第 24 页（共 24 页） 2当( )0Tk时，因为( )T k为奇数， 所以( )1Tk ?， 所以 2 1 ( )( ) j T jT k k 刱k 刱， 所以 2 11 ( )( ) jj T jT j kk k 厖k； 在所设数表A下，证明前21k行前k列中存在k行k列，其所有数的和大于等于k， 设 1 ( )( , )(1,2,21) j R ia i j i k k， 则 21 11 ( )( ) ij R iT j kk 卥， 不妨设 R （1） R （2） R （3）(21) R 厖k， 1当( ) 1R k ?时， 1 ( )( ) i R iR k 卥k 卥， 2当( ) 0R k ?时，(21)(22)( ) 0RRRk刱剟k ?， 所以 21 11 ( )( ) ii R iR i kk k 卥卥， 所以 111 ( , )( ) iji a i jR i kkk 卥， 综上所述，对于任意“n阶非负数表” A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的 2 k个 数之和不小于k