八省联考2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题（解析版）.doc

1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练 数学数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结

2、束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知,M N均为R的子集，且RM N，则MN R （ ） A. B. M C. N D. R 【答案】B 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出 Venn图，结合 Venn图即可确定集合的运算结果. 【详解】解法一： RM N, R MN，据此可得 R MNM. 故选：B. 解法二：如图所示，设矩形 ABCD 表示全集 R

3、， 矩形区域 ABHE 表示集合 M，则矩形区域 CDEH 表示集合 RM ， 矩形区域 CDFG表示集合 N，满足 RM N， 结合图形可得： R MNM.故选：B. 2. 在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这 3位同学，每人 1张，则恰有 1 位学生 分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为, ,A B C，他们的学号分别为1,2,3， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类， 如1,3,2表示

4、A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号. 三人可能拿到的卡片结果为： 1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,1,2 , 3,2,1，共 6 种， 其中满足题意的结果有 1,3,2 , 2,1,3 , 3,2,1，共 3 种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： 31 62 p .故选：C. 【点睛】方法点睛： 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏 (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 3. 关于x的方程 2 0

5、xaxb，有下列四个命题：甲：1x 是该方程的根；乙：3x 是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程 2 0 xaxb的两根，进而 可得出结论. 【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程 2 0 xaxb的一根为3， 由于两根之和为2，则该方程的另一根为1，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x 是方程 2 0 xaxb的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；

6、 若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程 2 0 xaxb的两根为1和3，两根同号，不合乎题 意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程 2 0 xaxb的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分 类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断. 4. 椭圆 22 22 10 1 xy m mm 的焦点为 1 F、 2 F，上顶点为A，若 12 3 F AF ，则m（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C 【

7、分析】分析出 12 F AF为等边三角形，可得出2ac，进而可得出关于m的等式，即可解得m的值. 【详解】在椭圆 22 22 10 1 xy m mm 中， 2 1am ，bm， 22 1cab ， 如下图所示： 因为椭圆 22 22 10 1 xy m mm 的上顶点为点A，焦点为 1 F、 2 F，所以 12 AFAFa， 12 3 F AF Q， 12 F AF为等边三角形，则 112 AFFF，即 2 122mac ， 因此，3m .故选：C. 5. 已知单位向量, a b满足 0a b ，若向量72cab，则sin, a c （ ） A. 7 3 B. 2 3 C. 7 9 D. 2

8、 9 【答案】B 【分析】 本题借助cos, a c a c ac 将 72cab 代入化简即可. 【详解】因为, a b是单位向量，所以1ab rr . 因为 72cab ，所以 222 7272723cababab . 所以 2 72 72 77 cos,= 3 aab a caa b a c acacacc 所以 2 72 sin,1 33 a c . 故选：B. 6. 239 111xxx的展开式中 2 x的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【分析】 239 111xxx的展开式中 2 x的系数是 2222 2349 CCCC，借助组合公式：

9、1 1 mmm nnn CCC ，逐一计算即可. 【详解】 239 111xxx的展开式中 2 x的系数是 2222 2349 CCCC 因为 1 1 mmm nnn CCC 且 23 23 CC，所以 22323 23334 CCCCC， 所以 222233 234445 CCCCCC， 以此类推， 2222323 23499910 10 9 8 120 3 2 1 CCCCCCC . 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式： 1 1 mmm nnn CCC ，以达到简化运算的作用. 7. 已知抛物线 2 2ypx上三点 (2,2), ,AB C， 直线,AB AC是圆 22 (2)

10、1xy两条切线， 则直线BC 的方程为（ ） A. 210 xy B. 3640 xy C. 2630 xy D. 320 xy 【答案】B 【分析】先利用点(2,2)A求抛物线方程，利用相切关系求切线 AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点 ,B C，即求出直线BC方程. 【详解】(2,2)A在抛物线 2 2ypx上，故 2 222p，即 1p ，抛物线方程为 2 2yx， 设过点(2,2)A与圆 22 (2)1xy相切的直线的方程为：22yk x，即 220kxyk ，则 圆心2,0到切线的距离 2 2022 1 1 kk d k ，解得 3k ，如图，直线:232AB yx， 直线:2

11、32AC yx . 联立 2 232 2 yx yx ，得 2 34 3 14168 30 xx， 故 168 3 3 AB x x ，由 2 A x 得 84 3 3 B x ，故 2 36 3 B y ， 联立 2 232 2 yx yx ，得 2 34 314168 30 xx， 故 168 3 3 AC x x ，由 2 A x 得 84 3 3 C x ，故 2 36 3 C y ， 故 2 362 36 4 33 BC yy ，又由 ,B C在抛物线上可知， 直线BC的斜率为 22 221 11 42 22 BCBC BC BCBC BC yyyy k xxyy yy ， 故直线B

12、C的方程为 2 36184 3 323 yx ，即3640 xy.故选：B. 【点睛】方法点睛： 求圆的切线的方程的求法： （1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 8. 已知5a且 5 e5e ,4 a ab且 4 4,3 b beec且 3 e3ecc ，则（ ） A. cba B. bca C. acb D. abc 【答案】D 【分析】 令 ,0 x e f xx x ，利用导数研究其单调性后可得 , ,a b c的大小. 【详解】因为 5 e5e ,5 a

13、 aa，故0a，同理0,0bc， 令 ,0 x e f xx x ，则 2 1 x ex fx x ， 当01x时， 0fx ，当1x 时， 0fx ， 故 f x在0,1为减函数，在 1,为增函数， 因为 5 e5e ,5 a aa，故 5 ee 5 a a ，即 5ff a，而05a， 故01a，同理01b，01c， 4ff b， 3ff c 因为 543fff，故 f af bf c， 所以01abc . 故选：D 【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其 单调性，此类问题，代数式变形很关键 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小

14、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知函数( )ln(1 )f xxx，则（ ） A. ( )f x在(0,)单调递增 B ( )f x有两个零点 C. 曲线( )yf x在点 11 , 22 f 处切线的斜率为1 ln2 D. ( )f x是偶函数 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域可判断 D，利用函数的导数的正负可判断 A，利用导数的几何意义可判断 C，根 据函数值的情况及零点

15、定义可判断 B. 【详解】由( )ln(1)f xxx知函数的定义域为( 1,) ， )ln(1) 1 ( x xf x x ， 当(0,)x时，ln(1)0,0 1 x x x ，( )0fx ， 故 ( )f x在(0,)单调递增，A 正确； 由(0)0f，当10 x 时，ln(1)0,( )ln(1)0 xf xxx， 当ln(1)0,( )0 xf x，所以 ( )f x只有 0 一个零点，B 错误； 令 1 2 x ， 1 )ln1ln2 1 2 1 ( 2 f ， 故曲线( )yf x在点 11 , 22 f 处切线的斜率为1 ln2 ， C 正确； 由函数的定义域为( 1,) ，

16、不关于原点对称知， ( )f x不是偶函数，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜 率，属于中档题. 10. 设 123 ,zzz为复数， 1 0z 下列命题中正确的是（ ） A. 若 23 zz，则 23 zz B. 若 1 21 3 z zz z，则 23 zz C. 若 23 zz，则 1 21 3 z zz z D. 若 2 1 21 z zz，则 12 zz 【答案】BC 【分析】取特殊值法可判断 AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断 BC. 【详解】由复数模的概念可知， 23 zz不能得到 23

17、zz ，例如 23 ,11iizz ，A错误； 由 1 21 3 z zz z可得 123 ()0z zz，因为 1 0z ，所以 23 0zz，即 23 zz，B 正确； 因为 21 21 |z zzz， 1 313 |z zzz，而 23 zz，所以 232 | |zzz，所以 1 21 3 z zz z，C 正确； 取 12 1,1zizi ，显然满足 2 1 21 z zz，但 12 zz，D 错误. 故选：BC 11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. /AECD B. / /CHBE C. DGBH D. BGDE 【答案】BCD 【分析】由平面展开图还原为

18、正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图， 由图形可知， AECD，故 A错误； 由/,HEHBCEBC，四边形BCHE为平行四边形，所以/ /CHBE，故 B 正确； 因为,DGHC DGBC,HCBCC,所以DG 平面BHC,所以DGBH，故 C正确； 因为/BG AH，而DEAH,所以BGDE，故 D正确. 故选：BCD 12. 设函数 cos2 ( ) 2sin cos x f x xx ，则（ ） A. ( )()f xf x B. ( )f x的最大值为 1 2 C. ( )f x在,0 4 单调递增 D. ( )f x在0, 4 单调递减 【答

19、案】AD 【分析】先证明 ( )f x为周期函数，周期为，从而 A 正确，再利用辅助角公式可判断 B 的正误，结合导数 的符号可判断 C D的正误 【详解】 ( )f x的定义域为R，且 cos2 ( ) 2sin cos x f x xx ， cos 22cos2 () 2sincos2sin cos xx f xf x xxxx ，故 A正确 又 2cos22cos2 ( ) 42sin cos4sin2 xx f x xxx ，令 2cos2 4sin2 x y x ， 则 2 42cos2sin24cos 2yxyxyx， 其中 22 2 cos,sin 44 y yy ， 故 2 4

20、 1 4 y y 即 2 4 15 y ，故 2 152 15 1515 y， 当 2 15 15 y 时，有 151 cos,sin 44 ，此时 cos 21x即 2 xk ， 故 max 2 15 15 y，故 B 错误 2 22 22sin24sin22cos 2 4 1 4sin2 ( ) 4sin24sin2 xxx x fx xx ， 当0, 4 x 时，( )0fx ，故 ( )f x在0, 4 为减函数，故 D 正确 当,0 4 x 时，1 sin20 x ，故3 1 4sin21x ， 因为2tx为增函数且2,0 2 x ，而14sinyt 在 ,0 2 为增函数， 所以

21、1 4sin2h xx 在,0 4 上为增函数， 故1 4sin20 x在,0 4 有唯一解 0 x， 故当 0,0 xx时， 0h x 即( )0fx，故( )f x在 0,0 x为减函数，故 C 不正确 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究 需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来 研究，注意辅助角公式在求最值中的应用 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面

22、上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积 为_ 【答案】61 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体 积. 【详解】圆台的下底面半径为 5，故下底面在外接球的大圆上， 如图所示，设球的球心为 O，圆台上底面的圆心为O， 则圆台的高 2222 543OOOQO Q， 据此可得圆台的体积： 22 1 355 4461 3 V .故答案为：61. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用 几何关系确定圆台的高度即可求得其体积. 14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2， 则该正

23、方形的两条邻边所在直线的斜率分别为_， _ 【答案】 (1). 1 3 (2). 3 【分析】 先设对角线的倾斜角，利用斜率定义列关系tan2，结合正方形性质求得直线OA与直线OB的倾斜 角，计算正切值求斜率即可. 【详解】正方形 OABC中，对角线 OB 所在直线的斜率为 2，建立如图直角坐标系， 设对角线 OB 所在直线的倾斜角为，则tan2， 由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为45，直线OB的倾斜角为45， 故 tantan452 11 tan45 1tantan45123 OA k ， tantan452 1 tan453 1tantan451 2 OB k . 故答案为： 1 3

24、；3. 【点睛】方法点睛： 求直线斜率的方法： （1）定义式：倾斜角为，对应斜率为tank =； （2）两点式：已知两点坐标 1122 ,A x yB x y，则过两点的直线的斜率 21 21 AB yy k xx . 15. 写出一个最小正周期为 2的奇函数( )f x _ 【答案】( )sinf xx 【分析】 根据奇函数性质可考虑正弦型函数( )sinf xAx，0A，再利用周期计算，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为 2，可考虑三角函数中的正弦型函数( )sinf xAx，0A， 满足()sin( )fxxf x ，即是奇函数； 根据最小正周期 2 2T ，可得. 故函数可以是

25、( )sinf xAx0A中任一个，可取( )sinf xx. 故答案为：( )sinf xx. 16. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差 2 0, n N n ，为使误差 n 在( 0.5,0.5)的概率不小于 0.9545，至少要测量_次（若 2 ,XN ， 则(| 2 )0.9545)PX） 【答案】32 【分析】 因为 2 0, n N n ，得到0， 2 n ，要使误差 n 在( 0.5,0.5)的概率不小于 0.9545， 则2 ,20.5,0.5 ，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 n 在( 0.5

26、,0.5)的概率不小于 0.9545， 则2 ,20.5,0.5 且0， 2 n ， 所以 2 0.5232n n .故答案为：32. 【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从 2 0, n N n 读出所需信息. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知各项都为正数的数列 n a满足 21 23 nnn aaa （1）证明：数列 1nn aa 为等比数列； （2）若 12 13 , 22 aa，求 n a的通项公式 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 3 2 n

27、n a （n N） 【分析】 （ 1 ） 两 边 同 时 加 上 1n a 即 可 得 到 数 列 1nn aa 为 等 比 数 列 ； （ 2 ） 利 用 待 定 系 数 法 构 造 211 33 nnnn aak aa ，通过整理解出1k ，进而得到 211 33 nnnn aaaa ，所以 n a是 以 1 1 2 a 为首项，3 为公比的等比数列，即可得到答案. 【详解】 （1）由 21 23 nnn aaa 可得： 2111 333 nnnnnn aaaaaa 因为各项都为正数，所以 12 0aa， 所以 1nn aa 是公比为 3 的等比数列. （2）构造 211 33 nnnn

28、aak aa ，整理得： 21 33 nnn akaka 所以1k ，即 211 33 nnnn aaaa 所以 11 303 nnnn aaaa ，所以 n a是以 1 1 2 a 为首项，3 为公比的等比数列. 所以 1 3 2 n n a （n N） 【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出 211 33 nnnn aak aa 是关 键. 18. 在四边形ABCD中，/AB CD，1ADCDBD （1）若 3 2 AB ，求BC； （2）若2ABBC，求cosBDC 【答案】 （1） 2 2 BC ； （2）cos3 1BDC. 【分析】 （1）利用余弦定理计

29、算得出cosABD，进而可得出cosBDC，然后在BCD中，利用余弦定理可计 算出BC； （2）设BCx，利用余弦定理结合BDCABD可得出关于x的方程，进而可解得x的值，即可求得 cosBDC. 【详解】 （1）在ABD中，由余弦定理可得 222 3 cos 24 ABBDAD ABD AB BD ， /CD AB，BDCABD， 在BCD中，由余弦定理可得 222 1 2cos 2 BCBDCDBD CDBDC， 2 2 BC ； （2）设BCx，则2ABx， 在ABD中， 2222 4 cos 24 ABBDADx ABDx AB BDx ， 在BCD中， 2222 2 cos 22 B

30、DCDBCx BDC BD CD ， 由（1）可知，BDCABD，所以，coscosBDCABD，即 2 2 2 x x ， 整理可得 2 220 xx，因为0 x，解得3 1x ， 因此，coscos3 1BDCABDx. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等

31、变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件 1，2，3需要调整的概率分别为 0.1，0.2，0.3， 各部件的状态相互独立 （1）求设备在一天的运转中，部件 1，2 中至少有 1个需要调整的概率； （2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望 【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析，0.6E X . 【分析】 (1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值； (2)首先确定 X可能的取值，然后分别求解其概

32、率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件 1 需要调整为事件 A，部件 2 需要调整为事件 B，部件 3 需要调整为事件 C， 由题意可知： 0.1,0.2,0.3P AP BP C. 部件 1，2 中至少有 1 个需要调整概率为： 1111 0.9 0.81 0.720.28P AP B . (2)由题意可知 X 的取值为 0，1,2,3. 且： 0111P XP AP BP C 1 0.11 0.21 0.30.504， 111P XP AP BP C 11P AP BP C 11P AP BP C 0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.3

33、 0.398， 21P XP A P BP C 1P AP BP C 1P AP C P B 0.1 0.2 0.70.1 0.8 0.30.9 0.2 0.3 0.092. 30.1 0.2 0.30.006P XP A P B P C， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P X 0.504 0.398 0.092 0.006 其数学期望：0.504 00.398 1 0.092 20.006 30.6E X 【点睛】思路点晴： 求离散型随机变量 X的数学期望的一般步骤： （1）先分析 X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到 X 的分布列； （3）

34、结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出 X的数学期望. 20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内 容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的 面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制） ，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多 面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角是 3 ，所以正四面体在各顶点 的曲率为23 3 ，故其总曲率为4 （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数 【答案】 （1）4

35、； （2）证明见解析. 【分析】 （1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱 数、面数分别为n、l、m，设第i个面的棱数为 i x，所以 12 2 m xxxl，按照公式计算总曲率即 可. 【详解】 （1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和. 可以从整个多面体的角度考虑， 所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知： 四棱锥共有 5个顶点，5 个面，其中 4 个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由 4个为三角形，1 个为四边形组成， 则其总曲率为：25424 . （2）设顶点数、棱数、面

36、数分别为n、l、m，所以有2n lm 设第i个面的棱数为 i x，所以 12 2 m xxxl 所以总曲率为： 12 2222 m nxxx 222nlm 24n lm 所以这类多面体的总曲率是常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键 21. 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时， | |AFBF （1）求C的离心率； （2）若B在第一象限，证明：2BFABAF 【答案】 （1）2； （2）见解析. 【分析】 （1）根据已知条件可得 2 b ac a ，据此可求离心率. （2）

37、设 00 ,B x y，则 0 0 tan y BFA xc ， 0 0 tan y BAF xa ，再计算tan2 BAF，利用点在双曲 线上化简后可得tan2tanBAFBFA，从而可得结论成立. 【详解】 （1）设双曲线的半焦距为c，则,0F c， 2 , b B c a ， 因为| |AFBF，故 2 b ac a ，故 22 20caca ，即 2 20ee ， 故2e. （2）设 00 ,B x y，其中 00 ,0 xa y. 因2e，故2ca，3ba， 故渐近线方程为：3yx ，所以0, 3 BAF ， 2 0, 3 BFA ， 又 00 00 t n 2 a yy BFA x

38、cxa ， 0 0 tan y BAF xa ， 所以 0 0000 0 22 2 2 2 2 0 00 0 0 2 0 2 22 tan 1 2 1 y yxayxaxa BAF xxay y xab a xa 0000 0 2 2 22 2 200 0 00 0 2 222 3 3 31 yxayxay xaxax xaxa xaa a 0 0 2 tan y BFA xa ， 因为故 2 20, 3 BAF ， 故BFA2 BAF . 【点睛】方法点睛： （1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到, ,a b c一组等量关系（齐次式）. （2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标

39、来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足 的方程化简目标代数式. 22. 已知函数( )esincos ,( )esincos xx f xxxg xxx （1）证明：当 5 4 x 时，( ) 0f x ； （2）若( ) 2g xax，求a 【答案】(1)证明见解析；(2)2a. 【分析】 (1)由题意分类讨论当 4 5 , 4 x ，,0 4 x ，0,x，几种情况即可证得题中的结论. (2)观察(1)中的结论，首先讨论 5 4 x 时a的取值，然后验证当 5 4 x 时不等式成立即可求得实数a的 值. 【详解】(1)分类讨论： .当 4 5 , 4 x ， 2sin0 4 x f x

40、ex ； .当,0 4 x 时， cossin ,00 x fxexx f， sincos2sin0 4 xx fxexxex ， 则函数 fx 在,0 4 上单调增，则 00fxf ， 则函数 f x在,0 4 上单调减，则 00f xf； .当0 x时，由函数的解析式可知 01 0 10f ， 当0,x时，令 sin0H xxx x，则 cos10Hxx ， 故函数 H x在区间0,上单调递增，从而： 00H xH， 即sin0, sinxxxx ， 从而函数 sincos1 xx f xexxex ， 令1 x yex，则：1 x ye ， 当0 x时，0y，故1 x yex在0,单调递

41、增， 故函数的最小值为 0 min 0 10ye ， 从而：10 x ex . 从而函数 sincos10 xx f xexxex ； 综上可得，题中的结论成立. (2) 当 5 4 x 时， 令 2sincos2 x h xg xaxexxax 则 cossin x h xexxa， 0hxf x，故 h x 单调递增， 当 2a 时， 020ha ，ln222sin ln20 4 haa ， 1 0,ln2xa 使得 1 0h x， 当 1 0 xx时， 0,h xh x单调递减， 00h xh不符合题意; 当2a时， 00 h ， 若在 5 ,0 4 x 上，总有 0h x（不恒为零）

42、， 则 h x在 5 , 4 上为增函数，但 00h， 故当 5 ,0 4 x 时， 0h x ，不合题意 故在 5 ,0 4 x 上， 0h x 有解， 故 2 5 ,0 4 x ，使得 2 0h x ， 且当 2 0 xx时， 0,h xh x单调递增， 故当 2,0 xx时， (0)0h xh，不符合题意; 故2a不符合题意， 当 a=2时， cossin2 x h xexx， 由于 h x 单调递增， 00 h ，故： 5 0 4 x时， 0,h xh x单调递减; 0 x时， 0,h xh x 单调递增， 此时 00h xh 当 5 4 x 时， 5 sincos220220 2 x h xexxx， 综上可得，a=2. 【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能 直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.