扬州高三数学寒假作业及答案（14）.docx

1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1414 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1若复数 z= 2 1+3（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集 UR，集合 MxR|x2x0，集合 NyR|ycosx，xR，则（UM） N（ ） A1，0） B （0，1） C （，0） D 3如表是一个 22 列联表，则表中 a，b 处的值分别为（ ） y1 y2 总计 x1 b 21 e x2 c 25 33 总计 a d

2、106 A96，94 B60，52 C52，54 D50，52 4若直线 l1：a2x3y+20，l2：2ax+5ya0p：a0，q：l1与 l2平行，则下列选项中 正确的（ ） Ap 是 q 的必要非充分条件 Bq 是 p 的充分非必要条件 Cp 是 q 的充分非必要条件 Dq 是 p 的非充分也非必要条件 5在ABC 中，如果 cos（2B+C）+cosC0，那么ABC 的形状为（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 6中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一

3、个，已 知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲 乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则 不同的选法有（ ） A50 种 B60 种 C80 种 D90 种 7在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCAC，侧棱 AA1底面 ABC，若该三棱柱的所有顶 点都在同一个球 O 的表面上，且球 O 的表面积的最小值为 4，则该三棱柱的侧面积为 （ ） A63 B33 C32 D3 8已知函数 f（x）= ( + 6) 2， 7 5 ( 2)， 5 ，若函数 g（x）f（x）|k（x+1）|有 13 个零点，则实数 k 的取值范围

4、为（ ） A （1 8， 1 6） B1 8， 1 6） C （ 1 6， 1 8 1 8， 1 6） D （ 1 6， 1 8）（ 1 8， 1 6） 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求 9将函数 f（x）sinx（0）的图象向右平移 12个单位长度得到函数 yg（x）的图象， 若函数 g（x）在区间0， 2上是单调增函数，则实数 可能的取值为（ ） A2 3 B1 C5 6 D2 10在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩 张丘建算经是 我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大

5、约创作于公元五世纪书中有如 下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？” 其 大意为： “有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多 织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一 天多织多少尺布？” 已知 1 匹4 丈，1 丈10 尺，若这一个月有 30 天，记该女子这一 个月中的第 n 天所织布的尺数为，= 2，对于数列|an，bn，下列选项中正确 的为（ ） Ab108b5 Bbn是等比数列 Ca1b30105 D3:5:7 2:4:6 = 209 193 11已知曲线 f（x）= 2 3 3

6、2+ax1 上存在两条斜率为 3 的不同切线，且切点的横坐标 都大于零，则实数 a 可能的取值（ ） A19 6 B3 C10 3 D9 2 12在如图所示的棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1所在的平 面上运动，则下列命题中正确的（ ） A若点 P 总满足 PABD，则动点 P 的轨迹是一条直线 B若点 P 到点 A 的距离为2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆 C若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D若点 P 到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线 三、填空题：本

7、题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若方程 2 + 2 1; = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为 14已知定义在（，+）的偶函数 f（x）在0，+）单调递减，(1) = 1 2，若 (2 1) 1 2，则 x 取值范围 15若（2x）17a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a16（1+x）16+a17（1+x）17，则： （1）a0+a1+a2+a16 ； （2）a1+2a2+3a3+16a16 16 已知1 ，2 是平面上不共线的两个向量， 向量 与1 ，2 共面， 若|1 | = 1，|2 | = 2， 1

8、 与 2 的夹角为 3，且 1 = 1， 2 = 2，则| | 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在直角梯形 AO1O2C 中，AO1CO2，AO1O1O2，O1O24，CO22， AO14，点 B 是线段 O1O2的中点，将ABO1，BCO2分别沿 AB，BC 向上折起，使 O1，O2重合于点 O，得到三棱锥 OABC试在三棱锥 OABC 中 （1）证明：平面 AOB平面 BOC； （2）求直线 OC 与平面 ABC 所成角的正弦值 18 （12 分）已知

9、an为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数都不在表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从a12，a11，a13 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数 列an存在；并在此存在的数列an中，试解答下列两个问题 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn（1）n+1an2，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = : : （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：a7，b10，c8， ABC

10、的面积 = 103，请指出这三个条件，并说明理由； （2）若 a3，求ABC 周长 L 的取值范围 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1414（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有分在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若复数 z= 2 1+3（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：zz= 2 1+3 = 2 1 = 2(1+) (1+)(1) = 1

11、+i， 复数在复平面对应的点的坐标是（1，1） ； 它对应的点在第二象限， 故选：B 2已知全集 UR，集合 MxR|x2x0，集合 NyR|ycosx，xR，则（UM） N（ ） A1，0） B （0，1） C （，0） D 【解答】解：全集 UR，集合 MxR|x2x0 x|0 x1， 集合 NyR|ycosx，xRy|1y1x|1x1， UMx|x1 或 x0， 集合 NUM1，0） 故选：A 3如表是一个 22 列联表，则表中 a，b 处的值分别为（ ） y1 y2 总计 x1 b 21 e x2 c 25 33 总计 a d 106 A96，94 B60，52 C52，54 D50，

12、52 【解答】解：由 c+2533，得 c8； 由 e+33106，得 e73； 则 b732152； ab+c52+860 表中 a，b 处的值分别为 60，52 故选：B 4若直线 l1：a2x3y+20，l2：2ax+5ya0p：a0，q：l1与 l2平行，则下列选项中 正确的（ ） Ap 是 q 的必要非充分条件 Bq 是 p 的充分非必要条件 Cp 是 q 的充分非必要条件 Dq 是 p 的非充分也非必要条件 【解答】解：直线 l1：a2x3y+20，l2：2ax+5ya0p：a0，q：l1与 l2平行， p：a0q：l1与 l2平行， q：l1与 l2平行2 2 = 5 ;3 ;

13、2 或 a0，即 a= 6 5或 a0 p 是 q 的充分非必要条件， 故选：C 5在ABC 中，如果 cos（2B+C）+cosC0，那么ABC 的形状为（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形 【解答】解：A+B+C， cos（2B+C）+cosC cosB+（A）+cos（B+A） cos（BA）cos（B+A） cosBcosAsinBsinAcosBcosA+sinBsinA 2cosBcosA0， cosBcosA0，即 cosB 与 cosA 异号， 又 A，B（0，） ， cosB 与 cosA 一正一负， ABC 为钝角三角形 故选：A 6中国有十二生肖

14、，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，已 知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲 乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则 不同的选法有（ ） A50 种 B60 种 C80 种 D90 种 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有 2 种，丙的选择有 10 种，此时有 21020 种不同的选 法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有 2 种，乙的选择有 3 种，丙的选择有 10 种，此时有 23

15、1060 种不同的选法； 则一共有 20+6080 种选法； 故选：C 7在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCAC，侧棱 AA1底面 ABC，若该三棱柱的所有顶 点都在同一个球 O 的表面上，且球 O 的表面积的最小值为 4，则该三棱柱的侧面积为 （ ） A63 B33 C32 D3 【解答】解：设三棱柱两底面中心分别为 O1O2，则 O1O2的中点为球的球心， 设正三棱柱的底面边长 ABa，棱柱的高为 h，则 O1A= 3 3 a，OO1= 2， 球 O 的半径 rOA= 2 3 + 2 4 ， S球O4r24（ 2 3 + 2 4 ）42 3 2 = 4 3 ， 球 O 的表面积的最小

16、值为 4， ah= 3， 棱柱的侧面积为 S侧面积3ah33 故选：B 8已知函数 f（x）= ( + 6) 2， 7 5 ( 2)， 5 ，若函数 g（x）f（x）|k（x+1）|有 13 个零点，则实数 k 的取值范围为（ ） A （1 8， 1 6） B1 8， 1 6） C （ 1 6， 1 8 1 8， 1 6） D （ 1 6， 1 8）（ 1 8， 1 6） 【解答】解：函数 f（x）的图象如右图所示： 令 g（x）0，有 f（x）|k|x+1|， 函数 g（x）f（x）|k（x+1）|有 13 个零点， 函数 yf（x）与函数 y|k|x+1|的图象有 13 个交点， 由图象可

17、得： | (5 + 1)1 | (7 + 1)1 | | 7 + 1|1 ，即1 8 |k| 1 6，解之得： k（ 1 6， 1 8）（ 1 8， 1 6） 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多页符合题目要求全部选对的得多页符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9将函数 f（x）sinx（0）的图象向右平移 12个单位长度得到函数 yg（x）的图象， 若函数 g（x）在区间0， 2上是单

18、调增函数，则实数 可能的取值为（ ） A2 3 B1 C5 6 D2 【解答】解：将函数 f（x）sinx（0）的图象向右平移 12个单位长度， 得函数 yg（x）sin（x 12）的图象， 若函数 g（x）在区间0， 2上是单调增函数， 则 12 2 2 12 2 ， 解得 0 6 5， 所以实数 可能的取值2 3，1， 5 6 故选：ABC 10在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩 张丘建算经是 我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有如 下问题： “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？” 其 大意为： “有

19、一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多 织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一 天多织多少尺布？” 已知 1 匹4 丈，1 丈10 尺，若这一个月有 30 天，记该女子这一 个月中的第 n 天所织布的尺数为，= 2，对于数列|an，bn，下列选项中正确 的为（ ） Ab108b5 Bbn是等比数列 Ca1b30105 D3:5:7 2:4:6 = 209 193 【解答】解：由题意知 an是等差数列且 a15， 30= 301+ 3029 2 = 390解得 d= 16 29 = 1+ ( 1) = 16+129 29 =

20、2， :1 = 2+1= 2， bn是等比数列，故 B 正确 10 5 = (2)5= 2 80 29 8， b108b5 故 A 不正确 130= 5 221105 故 C 不正确 4= 1+ 3 = 193 29 ，5= 1+ 4 = 209 29 3:5:7 2:4:6 = 35 34 = 209 193 故 D 正确 故选：BD 11已知曲线 f（x）= 2 3 3 2+ax1 上存在两条斜率为 3 的不同切线，且切点的横坐标 都大于零，则实数 a 可能的取值（ ） A19 6 B3 C10 3 D9 2 【解答】解：f（x）= 2 3 3 2+ax1 的导数为 f（x）2x22x+a

21、， 可令切点的横坐标为 m，可得 k2m22m+a3， 由题意可得关于 m 的方程 2m22m+a30 有两个不等的正根， 可得0，即 48（a3）0，即 a 7 2， 又 a30，解得 3a 7 2， 对照选项，可得： a 的取值可能为19 6 ，10 3 故选：AC 12在如图所示的棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1所在的平 面上运动，则下列命题中正确的（ ） A若点 P 总满足 PABD，则动点 P 的轨迹是一条直线 B若点 P 到点 A 的距离为2，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆 C若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之

22、和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆 D若点 P 到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线 【解答】解：对于 A，BD面 AA1C1C，P 在面 AA1C1C 和面 BCC1B1的交线上， 即动点 P 的轨迹是直线 C1C，A 正确； 对于 B，满足到点 A 的距离为2的点集是球， 点 P 应为平面 BCC1B1截球体所得截痕， 即动点 P 的轨迹是以 B 为圆心，1 为半径的圆，其周长为 2，B 正确； 对于 C，点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1， 就是 P 到 B 与到 C 的距离之和为 1，是线段 BC，所以 C 不正确； 对于 D，如图建

23、立空间直角坐标系， 作 PEBC，EFAD，PGCC1，连接 PF， 设点 P 坐标为（x，y，0） ， 由|PF|PG|，得 1 + 2=|x|，即 x2y21， P 点轨迹所在曲线是双曲线，D 正确 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 若方程 2 + 2 1; = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则实数 m 的取值范围为 （0， 1 2） 【解答】解：方程 2 + 2 1; = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 可得 1mm0，解得 m(0， 1 2) 故答案为： （0，1 2） 14已知定义在（，+）的偶

24、函数 f（x）在0，+）单调递减，(1) = 1 2，若 (2 1) 1 2，则 x 取值范围 0，1 【解答】解：因为偶函数 f（x）在0，+）单调递减，(1) = 1 2， 根据偶函数的对称性可知，f（x）在（，0）上单调递增，且 f（1）= 1 2， 由(2 1) 1 2，可得12x11， 解可得，0 x1， 故答案为：0，1 15若（2x）17a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a16（1+x）16+a17（1+x）17，则： （1）a0+a1+a2+a16 217+1 ； （2）a1+2a2+3a3+16a16 17（1216） 【解答】解： （1）（2x）17a0+a1（1+x

25、）+a2（1+x）2+a16（1+x）16+a17（1+x） 17， 故 a17即为 x17 的系数，故它等于1 令 x0，可得 a0+a1+a2+a161217， a0+a1+a2+a16217+1 （2）对于等式（2x）17a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a16（1+x）16+a17（1+x）17， 两边同时对 x 求导数，可得17（2x）16a1+2a2（1+x）+16a16（1+x）15+17a17 （1+x）16， 即17（2x）16a1+2a2（1+x）+16a16（1+x）1517（1+x）16， 再令 x0，可得 a1+2a2+3a3+16a1617（1216） ， 故

26、答案为： （1）217+1； （2）17（1216） 16 已知1 ，2 是平面上不共线的两个向量， 向量 与1 ，2 共面， 若|1 | = 1，|2 | = 2， 1 与 2 的夹角为 3，且 1 = 1， 2 = 2，则| | 23 3 【解答】解：如图， 设 = 1 ， = 2 ， = (，) 由|1 | = 1，|2 | = 2，1 与2 的夹角为 3， 得 A（1，0） ，B（1，3） ， 由 1 = 1，得 x1， 由 2 = 2，得 + 3 = 2， 联立可得 = 1 = 3 3 ，即 = (1， 3 3 ) | |=1 + ( 3 3 )2= 23 3 ， 故答案为：23 3

27、 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17如图，在直角梯形 AO1O2C 中，AO1CO2，AO1O1O2，O1O24，CO22，AO14， 点 B 是线段 O1O2的中点，将ABO1，BCO2分别沿 AB，BC 向上折起，使 O1，O2重 合于点 O，得到三棱锥 OABC试在三棱锥 OABC 中 （1）证明：平面 AOB平面 BOC； （2）求直线 OC 与平面 ABC 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：由题知在直角梯形 AO1O2C 中， 2= (1 2)2+ 122=20， 在三棱锥 OABC 中，AC2AO2+O

28、C2，AOOC， AOOB，COOBO，AO平面 BOC， AO平面 AOB，平面 AOB平面 BOC （2）由（1）知 AOOC，AOOB，又 BOOC， 则以 O 为坐标原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，4） ，B（0，2，0） ，C（2，0，0） ， =（2，0，0） ， =（0，2，4） ， =（2，2，0） ， 设平面 ABC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 4 = 0 = 2 2 = 0 ，取 x2，得 =（2，2，1） ， 设直线 OC 与平面 ABC 所成角为 ， 则 sin= | | | | | = 4

29、23 = 2 3， 直线 OC 与平面 ABC 所成角的正弦值为2 3 18已知an为等差数列，a1，a2，a3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2， a3中的任何两个数都不在表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从a12，a11，a13 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数 列an存在；并在此存在的数列an中，试解答下列两个问题 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn（1）n+1an2，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）若选择条件a12，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 a

30、n都不存在， 若选择条件a11，则放在第一行的第二列，结合条件可得 a11，a24，a37，则 an3n2，则 nN*， 若选择条件a13，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列an都不存在， 综上可得 an3n2，则 nN*， （2）由（1）知，bn（1）n+1（3n2）2， 当 n 为偶数时， Tnb1+b2+b3+bna12a22+a32a42+an12an2， （a1+a2） （a1a2）+（a3+a4） （a3a4）+（an1an） （an1+an） ， 3（a1+a2+a3+an）3 (1+32) 2 = 9 2n 2+3 2n， 当 n 为奇数时， TnTn1+bn= 9

31、2（n1） 2+3 2（n1）+（3n2） 2=9 2n 23 2n2， Tn= 9 2 2+ 3 2 ，为偶数 9 2 2 3 2 2，为奇数 19在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， = : : （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：a7，b10，c8， ABC 的面积 = 103，请指出这三个条件，并说明理由； （2）若 a3，求ABC 周长 L 的取值范围 【解答】解：因为 = : :， 所以 sinAcosB+sinAcosCsinBcosA+sinCcosA， 即 sinAcosBsinBcosAsinCcosAsinAcosC， 所以 sin（AB）

32、sin（CA） ， 因为 A，B，C（0，） ， 所以 ABCA 即 2AB+C， 故 A= 3， （1）ABC 同时满足，理由如下： 若ABC 同时满足，由正弦定理可得，sinB= = 53 7 1，不符合题意； 若ABC 同时满足，故 SABC= 1 2 = 1 2 8 3 2 =103， 故 b5 与矛盾，故只能是， （2）ABC 中，由正弦定理可得， = = = 23， 所以 b23sinB，c23sinC23sin（2 3 ） ， 所以 La+b+c23sinB+sin（2 3 ）+3， 6（ 3 2 + 1 2 ）+3， 6sin（B+ 6）+3， (0， 2 3 )， + 6 ( 6 ， 5 6 )，sin（B+ 6） ( 1 2，1， 求ABC 周长 L 的取值范围（6，9