扬州高三数学寒假作业及答案（10）.docx

1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 10 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D2，1，0，1，2 2 （5 分）设复数 z 满足+1 1 =i，则|z|（ ） A1 B2 C3 D2 3 （5 分）已知 P 为抛物线 C：y22px（p0）上一点，点 P 到 C 的焦点的距离为 9，到 y 轴的距离为 6，则

2、p（ ） A3 B6 C9 D12 4 （5 分）设 ， 为单位向量，且| |1，则| +2 |（ ） A3 B3 C7 D7 5 （5 分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（ ） 注：90 后指 1900 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 互联网行业中从

3、事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 A B C D 6 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、 立春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺， 则谷雨这一天的日影长度（ ） A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 7 （5 分）函数 y= 2+13 4+1 的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）式子（x 2 ） （x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ） A3 B5 C15 D20 9 （5

4、 分）若直线 l 与曲线 y= 和圆 x2+y2= 4 9都相切，则 l 的方程为（ ） Ax22y+20 Bx+22y+20 Cx22y20 Dx+22y20 10 （5 分）已知 a0，b0，且 a+b1，则下列选项错误的是（ ） Aa2+b2 1 2 B2a b1 2 Clog2a+log2b2 D + 2 11 （5 分）对于函数 yf（x）与 yg（x） ，若存在 x0，使 f（x0）g（x0） ，则称 M（x0， f（x0） ） ，N（x0，g（x0） ）是函数 f（x）与 g（x）图象的一对“隐对称点” 已知函 数 f（x）m（x+1） ，() = ，函数 f（x）与 g（x）的

5、图象恰好存在两对“隐对称点” ， 则实数 m 的取值范围为（ ） A （1，0） B （，1） C （0，1）（1，+） D （，1）（1，0） 12 （5 分）设点 A，B 分别为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，点 M， N 分别在双曲线 C 的左、右支上，若 =5 ， 2= ，且| | |，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 + 2 0， 2 0， 2，

6、，则目标函数 zx+2y 的最小值 为 14 （5 分）已知 f（x）（x2+2x+a）ex，若 f（x）存在极小值，则 a 的取值范围是 15（5 分） 数列an中， a12， am+naman， 若 ak+2+ak+3+ak+1121525， 则 k 16 （5 分）已知 ABCD 是球 O 的内接三棱锥，ABACBCBDCD6，AD9，则 球 O 的表面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，

7、已知 b= 5， = 2，B 45 （1）求边 BC 的长； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADB= 4 5，求 sinDAC 的值 18 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD，ABBD （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）若 =2 ，求二面角 DAEC 的余弦值 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程； （2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，证明：直线 MN 过定点 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 10（答案

8、解析）（答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D2，1，0，1，2 【解答】解：Ax|2x2，B2，1，0，1，2， AB1，0，1 故选：C 2 （5 分）设复数 z 满足+1 1 =i，则|z|（ ） A1 B2 C3 D2 【解答】解：复数 z 满足+1 1 =i， z= 1+ 1 = (1+)

9、2 (1)(1+) = i 则|z|1 故选：A 3 （5 分）已知 P 为抛物线 C：y22px（p0）上一点，点 P 到 C 的焦点的距离为 9，到 y 轴的距离为 6，则 p（ ） A3 B6 C9 D12 【解答】解：A 为抛物线 C：y22px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 9，到 y 轴的距离为 6， 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 故有：6+ 2 =9p6； 故选：B 4 （5 分）设 ， 为单位向量，且| |1，则| +2 |（ ） A3 B3 C7 D7 【解答】解： ， 为单位向量，且| |1， 所以 2 2 + 2 =1，所以 = 1 2

10、， 所以| +2 |= 2 + 4 + 4 2 = 1 + 2 + 4 = 7 故选：D 5 （5 分）调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列所有正确结论的编号是（ ） 注：90 后指 1900 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后

11、多 A B C D 【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布 条形图得到： 56%（39.6%+17%）31.696%30%， 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故正确； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，故正确； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 17%56%9.52%3%， 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故正确

12、； 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到： 56%39.6%22.176%41%， 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故错误 故正确结论的编号是 故选：A 6 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、 立春、春分这三个节气的日影长度之和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺， 则谷雨这一天的日影长度（ ） A5.5 尺 B4.5 尺 C3.5 尺 D2.5 尺 【解答】解：根据题意，设这个

13、等差数列为an，且该数列的公差为 d； 则有 a1+a4+a73a1+9d31.5，且 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a99a1+36d85.5； 解可得：d1，a113.5； 则谷雨这一天的日影长 a913.5+8d5.5； 故选：A 7 （5 分）函数 y= 2+13 4+1 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：y= 2+13 4+1 = 23 2+2，函数的定义域为 R， 设 yf（x） ， 则 f（x）= 23 2+2 = f（x） ，即函数 yf（x）为奇函数，其图象关于原点对称， 故排除 C， f（1）= 2 2+1 2 0，故排除 D， f（4）=

14、243 24+24 = 128 16+ 1 16 8，故排除 A， 故选：B 8 （5 分）式子（x 2 ） （x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ） A3 B5 C15 D20 【解答】解：式子（x 2 ） （x+y）5的展开式中，x3y3的系数为 5 2 5 1 =1055， 故选：B 9 （5 分）若直线 l 与曲线 y= 和圆 x2+y2= 4 9都相切，则 l 的方程为（ ） Ax22y+20 Bx+22y+20 Cx22y20 Dx+22y20 【解答】解：分别作出曲线 y= 和圆 x2+y2= 4 9， 由图象可得切线的斜率小于 0，纵截距小于 0， 由排除法可得只有选项

15、B 的直线方程满足要求； 另外可设切线的方程为 ykx+b， 圆 x2+y2= 4 9的圆心（0，0） ，半径 r= 2 3， 由直线 l 与圆相切，可得 | 1+2 = 2 3， 由 ykx+b 与 y= 联立可得，k2x2+（2kb1）x+b20， 由（2kb1）24k2b20， 化为 4kb1， 解得 k= 2 4 ，b= 2 2 ， 则切线的方程为 y= 2 4 （x+2） ，即为 x+22y+20， 故选：B 10 （5 分）已知 a0，b0，且 a+b1，则下列选项错误的是（ ） Aa2+b2 1 2 B2a b1 2 Clog2a+log2b2 D + 2 【解答】解：对于 A，

16、因为 a0，b0，且 a+b1， 所以 ab (+ 2 )2= 1 4，当且仅当 ab= 1 2时等号成立， 所以 a2+b2（a+b）22ab12ab12 1 4 = 1 2，当且仅当 ab= 1 2时等号成立，故 A 正确； 对于 B，由 a0，b0，且 a+b1，得 a1b0，则 0b1，则112b1 所以 2a b212b（1 2，2） ，故 B 正确； 对于 C，log2a+log2blog2ablog21 4 = 2，当且仅当 ab= 1 2时等号成立，故 C 错误； 对于 D，因为 a+b12，当且仅当 ab 时等号成立， 所以 a+b+2 =（ + ）22，所以 + 2，故 D

17、 正确 故选：C 11 （5 分）对于函数 yf（x）与 yg（x） ，若存在 x0，使 f（x0）g（x0） ，则称 M（x0， f（x0） ） ，N（x0，g（x0） ）是函数 f（x）与 g（x）图象的一对“隐对称点” 已知函 数 f（x）m（x+1） ，() = ，函数 f（x）与 g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点” ， 则实数 m 的取值范围为（ ） A （1，0） B （，1） C （0，1）（1，+） D （，1）（1，0） 【解答】解：f（x）m（x+1）恒过定点（1，0） ，f（x）关于 y 轴对称的图象的函 数解析式为 ym（x1） 题意可得，ym（x1）与 g（x）=

18、 有 2 个交点， 由() = ，得 g（x）= 1 2 ， 当 0 xe 时，h（x）0，函数 g（x）单调递增，当 xe 时，g（x）0，函数 g （x）单调递减， 而 ym（x1）恒过定点（1，0） ， 作出函数 g（x）= 的图象如图， 当直线 ym（x1）与() = 切于（1，0）时，由导数的几何意义可得， m= 11 12 = 1， 则要使 ym（x1）与 g（x）= 有 2 个交点，得m0 且m1， m0 且 m1， 实数 m 的取值范围为（，1）（1，0） 故选：D 12 （5 分）设点 A，B 分别为双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，点 M， N

19、分别在双曲线 C 的左、右支上，若 =5 ， 2= ，且| | |，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 【解答】解：设| | = ，则| | = 5（m0） ， 2= =（ + ） = 2 + ， = 0，即 BNMB， 则| |2+ | |2= | |2，即（2a+m）2+（6m2a）2（5m）2， 解得 ma 或 m= 2 3 若 m= 2 3 时，| |= 8 3 ，| |2a，不满足| | |（舍去） ， 若 ma 时，| |3a，| |4a，满足| | |，则 ma cosMNB= | | = 4 5 = 4 5， 在ANB 中，|A

20、B|2|AN|2+|BN|22|AN|BN|cosMNB， 即42= 362+ 162 2 6 4 4 5， 整理得42= 68 5 2，即2= 17 5 ，得 e=17 5 = 85 5 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 + 2 0， 2 0， 2， ，则目标函数 zx+2y 的最小值为 4 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图， A（0，2） ，化目标函数 zx+2y 为 y= 1 2 + 2， 由图可知，当直线 y= 1 2 + 2过 A 时，直线在

21、 y 轴上的截距最小， z 取最小值为 4 故答案为：4 14 （5 分）已知 f（x）（x2+2x+a）ex，若 f（x）存在极小值，则 a 的取值范围是 （ ，2） 【解答】解：f（x）（2x+2）ex+（x2+2x+a）exex（x2+4x+a+2） ， 因为函数 f（x）的定义域为 R， 所以若 f（x）存在最小值，则 f（x）有极小值点， 所以 x2+4x+a+20 有两个不相等的实数根， 164（a+2）0，解得 a2， 故答案为： （，2） 15 （5 分） 数列an中， a12， am+naman， 若 ak+2+ak+3+ak+1121525， 则 k 3 【解答】解：由题设

22、可得：当 m1 时，有 an+1a1an， 又 a12，an+12an， 数列an是首项、公比均为 2 的等比数列， Sn= 2(12) 12 =2n+12， 又ak+2+ak+3+ak+1121525Sk+11Sk+1= 2(12+11) 12 2(12+1) 12 =2k+122k+2， k3， 故答案为：3 16 （5 分）已知 ABCD 是球 O 的内接三棱锥，ABACBCBDCD6，AD9，则 球 O 的表面积为 84 【解答】解：如图所示： 取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，取 AD 的中点 F，连接 EF， 因为 ABACBCBDCD6， 所以 AEBC，DEBC，且三角形

23、 ABC 和三角形 BCD 都是正三角形， 所以 AEDE33，即三角形 ADE 为等腰三角形，所以 EFAD，且 EF 平分AED， 不妨设三角形 BCD 的外接圆圆心为 O，且 O在 DE 上， 所以 EO= 1 3ED= 3， 设外接球的球心为 O，半径为 R，则 OAODR， 利用面面垂直可证得平面 AED平面 BCD， 又平面 AED平面 BCDED，则球心 O 必在三角形 AED 中， 又 OAODR，所以 O 在AED 的角平分线 EF 上，连接 OO， 则 OO平面 BCD，即 OOED， 在三角形 AED 中，由余弦定理可得： cos = 2+22 2 = 1 2， 所以AE

24、D120，所以 = 1 2 = 60， 在 RTEOO中，tan = = 3 = 3， 所以 OO3， 在 RTOOD 中，ODR，OD23， 所以 R2OO2+OD221， 所以球 O 的表面积为 S4R284， 故答案为：84 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b= 5， = 2，B 45 （1）求边 BC 的长； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADB= 4 5，求 sinD

25、AC 的值 【解答】解： （1）在ABC 中，因为 = 5， = 2， = 45， 由余弦定理知，b2a2+c22accosB， 所以5 = 2 + 2 2 2 2 2 ，即 a22a30， 解得 a3 或 a1（舍） ， 所以 BC3 （2）在ABC 中，由正弦定理知， = ， 所以 5 45 = 2 ，解得 = 5 5 ， 因为 cosADB= 4 5， 所以 = 4 5，即ADC 为钝角，且 sinADC= 3 5， 又ADC+C+CAD180， 所以C 为锐角， 所以 = 1 2 = 25 5 ， 所以 sinDACsin（180ADCC）sin（ADC+C） sinADCcosC+c

26、osADCsinC = 3 5 25 5 4 5 5 5 = 25 25 18 （12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD，ABBD （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）若 =2 ，求二面角 DAEC 的余弦值 【解答】 （1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O 连接 BO，OD ABC 是等边三角形，OBAC， ABD 与CBD 中，ABBDBC，ABDCBD， ABDCBD，ADCD， ACD 是直角三角形，AC 是斜边，ADC90， DO= 1 2 ，DO2+BO2AB2BD2，BOD90，OBOD， 又 DOACO，OB

27、平面 ACD 又 OB平面 ABC，平面 ACD平面 ABC （2）解：由题知，点 E 是 BD 的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系 不妨取 AB2，则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（1，0，0） ，D（0，0，0） ，B（0， 3，0） ，E（0， 3 3 ，2 3） =（1，0，1） ， =（1， 3 3 ，2 3） ， =（2，0，0） ， 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z） ， 则 = + = 0 = + 3 3 + 2 3 = 0 ，取 x3，得 =（3，3，3） 同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1， 3 2 ） cos ， = | |= 1

28、 7， 二面角 DAEC 的余弦值为1 7 19 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） （1）求 C 的方程； （2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，证明：直线 MN 过定点 【解答】解： （1）由题意可知 = 2 2 ， 4 2 + 1 2 =1，a2b2+c2， 解得 a26，b23， 所以椭圆方程为 2 6 + 2 3 =1 （2）证明：设点 M（x1，ya） ，N（x2，y2） ， 因为 AMAN， 所以11 11 21 21 = 1， 所以 y1y2（y1+y2）+1x1x2+2（x1+x2）4， 当 k 存在

29、的情况下，设 MN：ykx+m， 联立 = + 2+ 22= 6， 得（1+2k2）x2+4kmx+2m260， 由0，得 6k2m2+30， 由根与系数的关系得 x1+x2= 4 1+22，x1x2= 226 1+22 ， 所以 y1+y2k（x1+x2）+2m= 2 1+22，y1y2k 2（x1+x2）+km（x1+x2）+m2=262 1+22 ， 代入式化简可得 4k2+8km+（m1） （3m+1）0， 即（2k+m1） （2k+3m+1）0， 所以 m12k 或 m= 2+1 3 ， 所以直线方程为 ykx+12k 或 ykx 2+1 3 ， 所以直线过定点（2，1）或（2 3， 1 3） ， 又因为（2，1）和 A 点重合，故舍去 所以直线过定点 E（2 3， 1 3）