1、第第 2 课时课时 等比数列的性质等比数列的性质 最新课程标准 1.掌握等比数列的性质及其应用(重点) 2 熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用 (难点、 易错点) 3能用递推公式求通项公式(难点) 教材要点教材要点 知识点一 等比中项 (1)前提：三个数 x，G，y 成等比数列 (2)结论：_叫做 x，y 的等比中项 (3)满足的关系式：G2_. 状元随笔 任意两数都有等比中项吗？ 提示 不是，只有同号的两数才有 知识点二 “子数列”性质 对于无穷等比数列an，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为 _，首项为_，公比为_；若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为_，首项为_，公比为 _ 知识
2、点三 等比数列项的运算性质 在等比数列an中，若 stpq(s，t，p，qN)，则 as at _. 特别地，当 pq2s(p，q，sN)时，ap aq_. 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的_，即 a1 ana2 an1ak ank1. 知识点四 两个等比数列合成数列的性质 若数列an，bn均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数 列can，an bn， an bn 也为_ 知识点五 等比数列的单调性 基础自测基础自测 1已知等比数列an，a11，a31 9，则 a5 等于( ) A1 81 B 1 81 C. 1 81 D 1 2 2已知在等比数列an中，a
3、n1an，a2 a86，a4a65， 则a5 a7等于( ) A.5 6 B. 6 5 C.2 3 D. 3 2 3等比数列an中，a11 8，q2，则 a4 与 a8的等比中项为 _ 4若 a，b，c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比 为_ 题型一 等比中项的应用 例 1 在等差数列an中，公差 d0，且 a1，a3，a9成等比数 列，则 a1a3a9 a2a4a10等于多少？ 方法归纳 由等比中项的定义可知： G x y GG 2xyG xy.这表明只 有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它 们互为相反数反之，若 G2xy，则G x y G，即 x，G，y 成等比
4、数 列所以 x，G，y 成等比数列G2xy(xy0) 跟踪训练 1 若 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，则a b 的值为( ) A 1 2 B. 1 2 C1 D 1 题型二 等比数列性质的应用 例 2 已知数列an为等比数列 (1)将公比为 q 的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新 的数列 a1a2，a2a3，a3a4，.此数列是( ) A公比为 q 的等比数列 B公比为 q2的等比数列 C公比为 q3的等比数列 D不一定是等比数列 (2)若 a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式 (3)若 an0，且 a2a42a3a5a4a636，求 a3a5的值； 方
5、法归纳 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运 算若按常规解法，往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻 烦通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会 起到化繁为简的效果 跟踪训练 2 (1)下列结论错误的是( ) A有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的积 B当 q1 时，an为递增数列 C当 q1 时，an为常数列 D当 a10，q1 时，an为递增数列 (2)在等比数列an中，已知 a4a72，a5a68，求 a1a10. 题型三 灵活设项求解等比数列 例 3 有四个数， 其中前三个数成等差数列， 后三个数成等比 数列，并且第一个数与第
6、四个数的和是 16，第二个数与第三个数 的和是 12，求这四个数 方法归纳 合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是 解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a， aq；三个数成等差数列，可设为 ad，a，ad. 跟踪训练 3 三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数 与第三个数各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数 教材反思 1本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性 质的推导 2要重点掌握等比数列的常用性质： (1)如果 stpq，则有 asatapaq； (2)如果 2spq，a2 sap aq； (3)若 s，t，p 成等差数列，a
7、s，at，ap成等比数列； (4)在等比数列an中，每隔 k 项(kN)取出一项，按原来的 顺序排列，所得的新数列仍为等比数列； (5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，那么 数列 1 an ，an bn， bn an ，|an|仍是等比数列，且公比分别为 1 q1， q1q2，q2 q1，|q1|； (6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项 “等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1 a3an2. 温馨提示：请完成课时分层作业七 第第 2 课时课时 等比数列的性质等比数列的性质 新知初探新知初探 自主学习自主学习 知识点一 (2)G (3)
8、xy 知识点二 等比数列 ak1 q 等比数列 ak qk 知识点三 ap aq a2 s 积 知识点四 等比数列 基础自测基础自测 1解析：在等比数列中，a2 3a1 a5，所以 a5a 2 3 a1 1 81. 答案：C 2解析：由 a2 a8a4 a66，a4a65，a6a4，得 a62， a43，a5 a7 a4 a6 3 2，故选 D. 答案：D 3解析：a4a1q31 82 31， a8a1q71 82 716， a4与 a8的等比中项为 16 4. 答案： 4 4解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比 q1. 答案：1 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：由题意知
9、 a3是 a1和 a9的等比中项， a2 3a1a9，(a12d) 2a 1(a18d)，得 a1d， a1a3a9 a2a4a10 13d 16d 13 16. 跟踪训练 1 解析：1，a,3 成等差数列，a13 2 2， 1，b,4 成等比数列，b214，b 2，a b 2 2 1. 答案：D 例 2 解析： (1)由于a nan1 an1an an an1 an1 an q qq2， n2且 nN ， anan1是以 q2为公比的等比数列，故选 B. (2)a2 2a1a3代入已知，得 a 3 28，a22. 设前三项为2 q，2,2q，则有 2 q22q7. 整理，得 2q25q20，
10、 q2 或 q1 2. a11， q2 或 a14， q1 2. an2n 1 或 an23 n. (3)a2a42a3a5a4a636， a2 32a3a5a 2 536， (a3a5)236，又an0，a3a56. 跟踪训练 2 解析：(2)因为数列an为等比数列，所以 a5a6 a4a78. 联立 a4a72， a4a78. 可解得 a44， a72 或 a42， a74 . 当 a44， a72 时，q31 2，故 a1a10 a4 q3a7q 37； 当 a42， a74 时，q32，同理，有 a1a107. 答案：(1)B (2)见解析 例 3 解析：法一：设四个数依次为 ad，a
11、，ad， ad2 a ， 由条件得 adad 2 a 16， aad12， 解得 a4， d4 或 a9， d6. 所以，当 a4，d4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a9，d6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 法二：设四个数依次为2a q a，a q，a，aq(a0)， 由条件得 2a q aaq16， a qa12. 解得 a8， q2 或 a3， q1 3. 当 a8，q2 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a3，q1 3时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 跟踪训练 3 解析：设三个数依次为a q，a，aq， a q a aq512，a8. a q2 (aq2)2a， 2q25q20，q2 或 q1 2， 这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.
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