1、6.3 利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题 最新课程标准 1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问 题中的作用(重点) 2能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值)(难点、 易混点) 教材要点教材要点 知识点一 最优化问题 生活中经常遇到求_、_、_等问题， 这些问题通常称为最优化问题 知识点二 用导数解决最优化问题的基本思路 基础自测基础自测 1 做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱， 所用材料最省时， 它的高为( ) A6 m B8 m C4 m D2 m 2某箱子的体积与底面边长 x 的关系为 V(x)x2 60 x 2 (0 x0， 此时 V(x)单调递增；
2、当 40 x60 时，V(x)0，此时 V(x)单调递减，所以 x40 是 V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为 40. 答案：B 3解析：因为 yx281，所以当 x9 时，y0； 当 0 x9 时，y0，所以函数 y1 3x 381x234 在(9， )上单调递减， 在(0,9)上单调递增， 所以 x9 时函数取最大值 答案：C 4解析：利润为 S(x)(x30)(200 x) x2230 x6 000， S(x)2x230， 由 S(x)0，得 x115，这时利润达到最大 答案：115 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：设包装盒的高为 h cm，底面边长
3、为 a cm. 由已知得 a 2x，h602x 2 2(30 x)，0 x30. (1)S4ah8x(30 x)8(x15)21 800， 所以当 x15 时，S 取得最大值 (2)Va2h2 2(x330 x2)，V6 2x(20 x) 由 V0，得 x0(舍去)或 x20. 当 x(0,20)时，V0；当 x(20,30)时，V0. 所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值 此时h a 1 2，即包装盒的高与底面边长的比值为 1 2. 跟踪训练 1 解析：(1)由水箱的高为 x m， 得水箱底面的宽为(22x) m，长为62x 2 (3x) m. 故水箱的容积为 y2x38x26x(
4、0 x1) (2)由 y6x216x60， 解得 x4 7 3 (舍去)或 x4 7 3 . 因为 y2x38x26x(0 x1)在 0，4 7 3 内单调递增，在 4 7 3 ，1 内单调递减， 所以当 x 的值为4 7 3 时，水箱的容积最大 例 2 解析：设 CDx km，则 CE(3x)km. 则所需电线总长 lACBC 1x2 1.523x2(0 x3)， 从而 l x 1x2 3x 1.523x2. 令 l0，即 x 1x2 3x 1.523x20， 解得 x1.2 或 x6(舍去) 因为在0,3上使 l0 的点只有 x1.2， 所以根据实际意义，知 x1.2 就是我们所求的最小值
5、点， 即变压器设在 DE 之间离点 D 的距离为 1.2 km 处时，所需电线 总长最短 跟踪训练 2 解析：(1)QP 400 v 1 19 200v 4 1 160v 315v 400 v 1 19 200v 3 1 160v 215 400 v3 48 5 2v 26 000(0v100) (2)Q v2 165v， 令 Q0，则 v0(舍去)或 v80， 当 0v80 时，Q0； 当 800， v80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值， 且 Q最小值Q(80)2 000 3 (元) 例 3 解析：(1)因为 x5 时，y11，所以a 21011，故 a 2. (2)由(1)
6、知，该商品每日的销售量 y 2 x310(x6) 2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3) 2 x310 x6 2 210(x3)(x6)2,3x6， 从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4) (x6)， 于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也 是最大值点， 所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得 的利润最大 跟踪训练 3 解析：每月生产 x 吨时的利润为 f(x) 24 2001 5x 2 x(50 000200 x) 1 5x 324 000 x50 000(x0)， 由 f(x)3 5x 224 0000，解得 x200 或 x200(舍 去) 因为 f(x)在0，)内只有一个点 x200 使 f(x)0，故 它就是最大值点，且最大值为 f(200)1 5200 324 000200 50 0003 150 000(元)，故每月生产 200 吨产品时利润达到最 大，最大利润为 315 万元
