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2022年高中数学人教B版选择性必修第三册课件:5.3.1第2课时 等比数列的性质 .ppt

1、第2课时 等比数列的性质 最新课程标准 1.掌握等比数列的性质及其应用(重点) 2熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错 点) 3能用递推公式求通项公式(难点) 教材要点教材要点 知识点一 等比中项 (1)前提:三个数 x,G,y 成等比数列 (2)结论:_叫做 x,y 的等比中项 (3)满足的关系式:G2_. G xy 状元随笔 任意两数都有等比中项吗? 提示 不是,只有同号的两数才有 知识点二 “子数列”性质 对于无穷等比数列an,若将其前 k 项去掉,剩余各项仍为 _,首项为_,公比为_;若取出所有的 k 的倍数项,组成的数列仍为_,首项为_,公比为 _ 知识点三 等比数列项的

2、运算性质 在等比数列an中,若 stpq(s,t,p,qN),则 as at _. 特别地,当 pq2s(p,q,sN)时,ap aq_. 对有穷等比数列, 与首末两项“等距离”的两项之积等于 首末两项的_,即 a1 ana2 an1ak ank1. 等比数列 ak1 q 等比数列 ak qk ap aq a2 s 积 知识点四 两个等比数列合成数列的性质 若数列an,bn均为等比数列,c 为不等于 0 的常数,则 数列can,an bn, an bn 也为_ 等比数列 知识点五 等比数列的单调性 基础自测基础自测 1已知等比数列an,a11,a31 9,则 a5 等于( ) A1 81 B

3、1 81 C. 1 81 D 1 2 解析:在等比数列中,a2 3a1 a5,所以 a5a 2 3 a1 1 81. 答案:C 2已知在等比数列an中,an1an,a2 a86,a4a65, 则a5 a7等于( ) A.5 6 B. 6 5 C. 2 3 D. 3 2 解析:由 a2 a8a4 a66,a4a65,a6a4,得 a62,a4 3,a5 a7 a4 a6 3 2,故选 D. 答案:D 3等比数列an中,a11 8,q2,则 a4 与 a8的等比中项为 _ 解析:a4a1q31 82 31, a8a1q71 82 716, a4与 a8的等比中项为 16 4. 答案: 4 4若 a

4、,b,c 既成等差数列,又成等比数列,则它们的公 比为_ 解析:只有非零常数列才满足题意,所以公比 q1. 答案:1 题型一 等比中项的应用 例 1 在等差数列an中,公差 d0,且 a1,a3,a9成等比 数列,则 a1a3a9 a2a4a10等于多少? 解析:由题意知 a3是 a1和 a9的等比中项, a2 3a1a9,(a12d) 2a 1(a18d),得 a1d, a1a3a9 a2a4a10 13d 16d 13 16. 方法归纳 由等比中项的定义可知:G x y GG 2xyG xy.这表明 只有同号的两项才有等比中项,并且这两项的等比中项有两个, 它们互为相反数反之,若 G2xy

5、,则G x y G,即 x,G,y 成等 比数列所以 x,G,y 成等比数列G2xy(xy0) 跟踪训练 1 若 1,a,3 成等差数列,1,b,4 成等比数列,则 a b的值为( ) A 1 2 B. 1 2 C1 D 1 解析:1,a,3 成等差数列,a13 2 2, 1,b,4 成等比数列,b214,b 2,a b 2 2 1. 答案:D 题型二 等比数列性质的应用 例 2 已知数列an为等比数列 (1)将公比为 q 的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成 新的数列 a1a2,a2a3,a3a4,.此数列是( ) A公比为 q 的等比数列 B公比为 q2的等比数列 C公比为 q3的等比数

6、列 D不一定是等比数列 (2)若 a1a2a37,a1a2a38,求数列an的通项公式 (3)若 an0,且 a2a42a3a5a4a636,求 a3a5的值; 解析:(1)由于a nan1 an1an an an1 an1 an q qq2,n2 且 nN, anan1是以 q2为公比的等比数列,故选 B. (2)a2 2a1a3代入已知,得 a 3 28,a22. 设前三项为2 q,2,2q,则有 2 q22q7. 整理,得 2q25q20, q2 或 q1 2. a11, q2 或 a14, q1 2. an2n 1 或 an23 n. (3)a2a42a3a5a4a636, a2 32

7、a3a5a 2 536, (a3a5)236,又an0,a3a56. 方法归纳 在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运 算若按常规解法,往往是建立 a1,q 的方程组,这样解起来很 麻烦通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换, 会起到化繁为简的效果 跟踪训练 2 (1)下列结论错误的是( ) A有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积 B当 q1 时,an为递增数列 C当 q1 时,an为常数列 D当 a10,q1 时,an为递增数列 (2)在等比数列an中,已知 a4a72,a5a68,求 a1 a10. 解析:(2)因为数列an为等比数列,所以

8、 a5a6a4a78. 联立 a4a72, a4a78. 可解得 a44, a72 或 a42, a74 . 当 a44, a72 时,q31 2,故 a1a10 a4 q3a7q 37; 当 a42, a74 时,q32,同理,有 a1a107. 答案:(1)B (2)见解析 题型三 灵活设项求解等比数列 例 3 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等 比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和是 12,求这四个数 解析:法一:设四个数依次为 ad,a,ad,ad 2 a , 由条件得 adad 2 a 16, aad12, 解得 a4, d4 或 a9,

9、d6. 所以,当 a4,d4 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 a9,d6 时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 法二:设四个数依次为2a q a,a q,a,aq(a0), 由条件得 2a q aaq16, a qa12. 解得 a8, q2 或 a3, q1 3. 当 a8,q2 时,所求四个数为 0,4,8,16; 当 a3,q1 3时,所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 方法归纳 合理地设出所求数中的三个数, 根据题意再表示出另一个是 解决这类问题的关键, 一般地,

10、 三个数成等比数列, 可设为a q, a, aq;三个数成等差数列,可设为 ad,a,ad. 跟踪训练 3 三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个 数与第三个数各减去 2,则这三个数成等差数列,求这三个数 解析:设三个数依次为a q,a,aq, a q a aq512,a8. a q2 (aq2)2a, 2q25q20,q2 或 q1 2, 这三个数为 4,8,16 或 16,8,4. 教材反思 1本节课的重点是等比数列性质的应用,难点是等比数列 性质的推导 2要重点掌握等比数列的常用性质: (1)如果 stpq,则有 asatapaq; (2)如果 2spq,a2 sap aq; (3)若 s,t,p 成等差数列,as,at,ap成等比数列; (4)在等比数列an中,每隔 k 项(kN)取出一项,按原来 的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列; (5)如果an,bn均为等比数列,且公比分别为 q1,q2,那 么数列 1 an , an bn, bn an , |an|仍是等比数列, 且公比分别为 1 q1, q1q2,q2 q1,|q1|; (6)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两 项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1ana2an1 a3an2.

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