2021届贵州省贵阳市高三调研考试数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 17 页 2021 届贵州省贵阳市高三调研考试数学试题届贵州省贵阳市高三调研考试数学试题 一、单选题一、单选题 1方程方程 2 210axx 至少有一个负根的充要条件是至少有一个负根的充要条件是 A01a B1a C1a D01a或或 0a 【答案】C 【解析】【解析】试题分析：0a 时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则 0a ； 若方程有两个负的实根，则必有 1 0 2 001 440 a a a a 若0a 时，可得 1 2 x 也适合题意 综上知，若方程至少有一个负实根，则1a 反之，若1a ，则方程至少有一个负的 实根， 因此，关于x的方程 2 210axx

2、 至少有一负的实根的充要条件是1a 故答案为 C 【解析】充要条件，一元二次方程根的分布 2复数复数 1 1z ， 2 z由向量由向量 1 OZ绕原点绕原点O逆时针方向旋转逆时针方向旋转 3 而得到而得到.则则 21 arg() 2 zz 的值的值 为（为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 4 3 【答案】C 【分析】 写出复数 1 1z 的三角形式 1 cos0sin0zi， 绕原点O逆时针方向旋转 3 得 到复数 2 z的三角形式，从而求得 21 2 zz 的三角形式得解. 【详解】 1 1z , 1 cos0sin0zi, 12 13 (cossin) 3322 iZiOOZ 第 2

3、 页 共 17 页 21 113 () 2222 zz i 所以复数在第二象限，设幅角为，tan 3 2 3 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键. 3关于关于x的不等式的不等式 22 loglogxxxx的解为（的解为（ ） A02x B01x C2x D1x 【答案】B 【分析】由题意知0 x ，不等式 22 loglogxxxx等价于 2 log0 xx，从而 得到 2 log0 x ，求得结果. 【详解】根据对数式有意义，可得0 x ， 不等式 22 loglogxxxx等价于 2 log0 xx， 所以 2 log0 x ，解得01x， 故选：B. 【点睛】

4、关键点点睛：该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注 意到 2 log0 xx是解题的关键. 4 已知点已知点(sin cos ,tan)P在第一象限， 则在在第一象限， 则在0,2内的内的的取值范围是 （的取值范围是 （ ） A 35 (,)( ,) 244 B 5 (,)( ,) 4 24 C 353 (,)(,) 2442 D 33 (,)(, ) 244 【答案】B 【分析】 由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式， 根据三角函数的性质求解， 结合0,2 ，求出角的取值范围 【详解】由已知点(sincos ,tan)P在第一象限得： sincos0，tan0，即s

5、incos，tan0， 当sincos，可得 5 22 44 kk ，kZ 当tan0，可得22 2 kk 或 3 22 2 kk ，kZ 第 3 页 共 17 页 22 42 kk 或 5 22 4 kk ，kZ 当0k 时， 42 或 5 4 02， 42 或 5 4 故选：B 【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角 函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档 题 5已知集合已知集合 3 ,Mx xn nZ，31,Nx xnnZ， 31,Px xnnZ且且aM，Nb，cP，记，记dabc ，则（，则（ ） A( )dM

6、P Bd M CdN DdP 【答案】D 【分析】写出, ,a b c的表达形式，计算出d，确定d的形式，可得其所属集合 【详解】由题意设 1 3ak， 2 31bk， 3 31ck， （ 1 23 ,k k kZ） ， 则 123123 3()23(1) 1dabckkkkkk，而 123 1kkkZ ， dP 故选：D 6极坐标系中，若等边极坐标系中，若等边ABC的两个顶点的两个顶点 4 2,A 、 4 5 2,B ，那么顶点，那么顶点C的极的极 坐标可能是（坐标可能是（ ） A 3 2 3, 4 B 3 4, 4 C2 3, D4, 【答案】A 【分析】由题意可知线段AB的中点为极点O，

7、可计算出OC，可得出OCAB， 进而可求得顶点C的极坐标. 【详解】由于等边ABC的两个顶点 4 2,A 、 4 5 2,B ，则线段AB的中点为极 点O， 第 4 页 共 17 页 由等腰三角形三线合一的性质可得OCAB，且 3 sin42 3 32 OCAB ， 3 424 ， 37 424 ，因此，顶点C的极坐标可能是 3 2 3, 4 . 故选：A. 7已知过球面上已知过球面上 , ,A B C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 2ABBCCA，则球面积是（，则球面积是（ ） A 16 9 B 8 3 C 64 9 D4 【答案】C 【

8、解析】 D是正ABC的中心， AD是ABC的外接圆半径. AD 2 3 2sin603 AB ， 又OD 1 2 R 1 2 OA，OA OD AD ， R 2 13 44 R ， R 64 9 ， 球的表面积S4R 64 9 . 故选 C 8将半径为将半径为R的圆剪去如图所示的阴影部分的圆剪去如图所示的阴影部分(AC， ，BD为圆的直径为圆的直径)，沿图所画的线，沿图所画的线 折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值是（折成一个正三棱锥，这个正三棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值是（ ） A 2 33 3 B 32 C 2 23 3 D 3 2233 【答案】A 【分析】

9、根据题中条件，得到折成的正三棱锥的侧面是顶角为 6 ，腰长为 2R的等腰 三角形，即三棱锥的侧棱长为 2R；求出底面边长，以及底面三角形的高，与侧面三 角形的高，结合二面角的概念，由余弦定理，即可求出结果. 【详解】由题意，在圆中， 2 BAD ， 2 22 2ABADR，ABAD，则 2ABADR ， 第 5 页 共 17 页 所以折成的正三棱锥的侧面是顶角为 6 ，腰长为 2R的等腰三角形，即三棱锥的侧棱 长为 2R； 所以底面边长为 5 6 2cos2 2cos2 2cos 21246 ABRR 62 2 231 4 RR ， 画出该三棱锥的直观图如下： 记点A在底面的投影为O，根据正三

10、棱锥的特征可得，点O即为底面正三角形的重心， 又侧面上的高AEBN，底面三角形中MEBN ， 所以AEM即为正三棱锥侧面与底面所成的二面角的平面角， 又 33 31sin 32 MERR ， 2 2 31 31 2 22 R AERR ， 所以 222 222 42 3126 3 2 2 33 44 cos 233331 2 22 RRR AEEMAM AEM AE EM RR . 故选：A. 【点睛】思路点睛： 求解二面角时，可根据二面角的定义，通过作辅助线，得出二面角的平面角，再由题中 数据，通过解三角形，即可求出结果. 9函数函数 1 2 1 log1 (1) 1 yxx x 的最大值是

11、（的最大值是（ ） 第 6 页 共 17 页 A2 B2 C3 D3 【答案】A 【分析】令 11 112 11 txx xx ，用双勾函数的性质求得其最小值，再利 用 1 2 logyt 单调性求解. 【详解】令 11 112 11 txx xx ， 由双勾函数知：t在1,2上递减，在2,上递增， 所以当2x 时，t取得最小值，最小值为 4， 又因为 1 2 logyt ，在4,)上递减， 所以其最小值为 min1 2 log 42y ， 所以 1 2 1 log1 (1) 1 yxx x 的最小值为2. 故选：A 【点睛】本题主要考查复合函数求最值以及对数函数和双勾函数的性质，还考查了运算

12、 求解的能力，属于中档题. 10已知已知( ) 1 ax f x xa 的反函数的反函数 1( ) fx 的图象的对称中心是的图象的对称中心是( 1,3)，则实数，则实数a等于等于 （ ） A2 B3 C2 D4 【答案】A 【分析】由已知求得原函数的对称中心得解. 【详解】因为( ) 1 ax f x xa 的反函数 1( ) fx 的图象的对称中心是( 1,3)， 所以函数( ) 1 ax f x xa 的图象的对称中心是(3, 1) ， (1) 11 ( )1 111 axxa f x xaxaxa 对称中心为(1, 1)a 所以132aa 故选：A 【点睛】原函数与反函数关于y x 对

13、称是解题关键.属于基础题. 11在在 24 3 1 (2)x x 的展开式中，有理项共有（的展开式中，有理项共有（ ） A3 项项 B4 项项 C5 项项 D6 项项 【答案】C 第 7 页 共 17 页 【分析】由题意可得二项展开式共有 25 项，要求展开式中的有理项，只要在通项 24 72 5 6 1 2 r rr r TC x 中，让 725 6 r 为整数，求解符合条件的 r 即可. 【详解】由题意可得二项展开式的通项 72 5 24 6 24214 3 1 (2)()2 r rrrrr r TCxC x x 根据题意可得， 725 6 r 为整数时，展开式的项为有理项， 则 r0，6

14、，12，18，24，共有 5 项， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查了二项展开式的通项，找出符合条件的项是解题的 关键 12某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住 第第n层楼时，上下楼造成的不满意度为层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安 静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为层楼时，环境不满意程度为 8 n ， 则此人应选（则此

15、人应选（ ） A1 楼楼 B2 楼楼 C3 楼楼 D4 楼楼 【答案】C 【分析】根据题意，可知总的不满意度 8 n n ，利用基本不等式求得其最小值，即可 得到答案. 【详解】由题意，可得总的不满意度为： 88 24 2nn nn ，当且仅当 8 n n ， 即 2 23n 时等号成立，所以选三楼. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，其中解答中认真审题，得出 总的不满意度的表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基 础题. 二、填空题二、填空题 13已知复数已知复数z满足满足(1 2 )43i zi，则，则z _； 【答案】2i 【分析】先根

16、据复数除法得z，再根据共轭复数概念得z. 第 8 页 共 17 页 【详解】因为1 243i zi，所以 43 2 12 i zi i ,即2.zi 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数( ,)abi a bR的实 部为a、虚部为b、模为 22 ab 、对应点为( , ) a b、共轭为 .abi 14某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调 5 名教师，每所学校 名教师，每所学校 至少抽调至少抽调 1 人到山区人到山区 5 所学校支援，每校所学校支援，每校 1 人，则有人，则有_种支教方案种支教方案.

17、【答案】720 【分析】首先分析题意，得到从三所学校中总共抽调 5名教师，且每所学校至少抽调 1 人， 有两种方案抽取， 一是三所学校中有一所学校抽调 3人， 其余两所学校各抽调 1 人， 二是三所学校中有一所学校抽调 1人，其余两所学校各抽调 2 人，之后 5 人全排，求得 结果. 【详解】根据题意可知从三所学校中总共抽调 5名教师，且每所学校至少抽调 1人， 有两种方案抽取， 一是三所学校中有一所学校抽调 3人，其余两所学校各抽调 1 人，有 1 3 C种选择方案， 二是三所学校中有一所学校抽调 1人，其余两所学校各抽调 2 人，有 1 3 C种选择方案， 之后将 5人安排到 5所学校支援

18、，共有 115 335 ()720CCA种支教方案， 故答案为：720. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合的综合问题，该题解题思路如下： （1）首先根据题意，找出 5人的选取方案； （2）之后往各个学校分配的时候全排即可； （3）解决排列组合的综合问题时，要注意先选后排. 15过双曲线过双曲线 22 32 1 26 yx 的一个焦点作垂直于实轴的直线，与双曲线的两的一个焦点作垂直于实轴的直线，与双曲线的两 条渐近线分别交于条渐近线分别交于A、B.则线段则线段AB的长为的长为_. 【答案】4 6 【分析】作代换3yy ，2xx ，可得出双曲线的方程为 22 1 26 yx ，求出双 曲

19、线 22 1 26 yx 的焦点坐标与渐近线方程，进而可求得线段AB的长. 【详解】作代换3yy ，2xx ，在平面直角坐标系x O y 中，双曲线的方程为 第 9 页 共 17 页 22 1 26 yx ， 其中 2a ， 6b ， 2 2c ，双曲线的渐近线方程为 3 3 a yxx b ， 过双曲线 22 1 26 yx 的焦点 0,2 2且与实轴垂直的直线的方程为 2 2y， 将2 2y代入直线方程 3 3 yx ，可得 2 6x ， 因此，线段AB的长为24 6x . 故答案为：4 6. 16如图，如图，在正方体在正方体 1111 ABCDABC D中选出两条棱和两条面对角线，使这四

20、条线段中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段 所在的直线两两都是异面直线， 如果我们选定一条面对角线所在的直线两两都是异面直线， 如果我们选定一条面对角线 1 AB， 那么另外三条线段可， 那么另外三条线段可 以是以是_.(只需写出一种情况即可只需写出一种情况即可) 【答案】 1 BC，CD， 11 AD（或 1 CC， 11 AD，DB或 1 AD，BC， 11 C D或 1 DD，BC， 11 AC等） 【分析】结合图形，利用异面直线的概念，把与 1 AB成异面直线的面对角线写出一条， 正方体的棱写出两条即得答案. 【详解】 在在正方体 1111 ABCDABC D中， 与 1 AB成异

21、面直线的面对角线可以是 1 BC， 正方体的棱可以是CD， 11 AD， 与 1 AB成异面直线的面对角线可以是 1 CC，正方体的棱可以是 11 AD，DB， 与 1 AB成异面直线的面对角线可以是 1 AD，正方体的棱可以是BC， 11 C D， 与 1 AB成异面直线的面对角线可以是 11 AC，正方体的棱可以是 1 DD，BC， 第 10 页 共 17 页 故答案为： 1 BC，CD， 11 AD（或 1 CC， 11 AD，DB或 1 AD，BC， 11 C D或 1 DD，BC， 11 AC等） 【点睛】关键点点睛：该题考查的是异面直线的定义以及判断方法，在解题的过程中， 关键是要

22、掌握正方体的结果特征，可以结合图形来判断. 三、解答题三、解答题 17如图，在多面体中，如图，在多面体中，BA 平面平面ACD，ED 平面 平面ACD.2ACADCD， 2 3ED ， 3AB ，F为为CE的中点的中点. （1）求证：）求证：BF 平面平面CDE； （2）求该多面体的体积；）求该多面体的体积； （3）求平面）求平面BCE与平面与平面ACD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小. 【答案】 （1）证明见解析； （2）3； （3） 3 . 【分析】 （1） 由已知可证 1 2 ABDE， 取CD的中点H， 1 2 FHDE， 所以/BF AH， 再由AHCD，AHED证明，AH

23、平面CDE，进而可证明BF 平面CDE； （2） ABCDEB ACDB CDE VVV ，求出两个三棱锥的体积即可求解. （3） 建立空间直角坐标系， 写出, ,D B C E四点的坐标， 求出平面BCE的一个法向量， 平面ACD的法向量0,0,2 3DE ，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】 （1）因为BA 平面ACD，ED 平面ACD，2 3ED ，3AB ， 所以 1 2 ABDE 取CD的中点H，连接AH，FH，因为F为CE的中点， 所以 1 2 FHDE，所以AB FH， 所以四边形ABFH为平行四边形，所以/BF AH 第 11 页 共 17 页 因为2ACADCD，H为CD的

24、中点，所以AHCD， 因为ED 平面ACD，AH 平面ACD，所以AHED， 因为CDEDD，所以AH 平面CDE， 因为/BF AH，所以BF 平面CDE. （2） 2 113 231 334 B ACDACD VSBA ， 由（1）知 3BFAH ，BF 平面CDE， 111 2 2 332 332 B CDECDE VSBF ， 所以1 23 ABCDEB ACDB CDE VVV （3）如图建立空间直角坐标系，则0,0,0D 2,0, 3B，1, 3,0C， 0,0,2 3E， 设平面BCE的一个法向量为 , ,nx y z ， 1, 3,3BC ， 2,0, 3BE ， 由 330

25、230 n BCxyz n BExz ，令3x ，则2z ， 3y ， 所以3,3,2n 因为ED 平面ACD，所以平面ACD的法向量0,0,2 3DE ， 所以 2 2 31 cos, 24 2 3 n DE n DE nDE ， 第 12 页 共 17 页 因为0, n DE， , 3 n DE 所以平面BCE与平面ACD所成的锐二面角为 3 . 【点睛】方法点睛：求二面角的方法总结 （1）定义法：分别在两个半平面内向棱作垂线，垂足为同一点，求两线的夹角 （2）垂面法：作垂直于棱的一个垂面，这个平面与两个半平面分别有一个交线，这两 个交线所成的角； （3）三垂线法：过一个半平面内的一点A作

26、另一个半平面的一条垂线，过垂足B作棱 的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为二面角的平面角； （4）向量法：求两个半平面法向量夹角的即为二面角的平面角或二面角平面角的补角. 18国际上常用恩格尔系数国际上常用恩格尔系数(记作记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的 计算公式为：计算公式为：100%n 食品消费支出总额 消费支出总额 ，各种类型家庭的，各种类型家庭的n如下表所示：如下表所示： 家庭家庭 类型类型 贫困贫困 温饱温饱 小康小康 富裕富裕 最富裕最富裕 n 60%n 50%60%n 40%50%n 30%40%n 30%n

27、根据某市城区家庭抽样调查统计，根据某市城区家庭抽样调查统计，1996 年至年至 2001 年年间，每户家庭消费支出总额每年年年间，每户家庭消费支出总额每年 平均增加平均增加 680 元，其中食品消费支出总额每年平均增加元，其中食品消费支出总额每年平均增加 100 元元. （1）若）若 1996 年该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为年该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为 8600 元，元， 问问 2001 年能否达到富裕？请说明理由年能否达到富裕？请说明理由. （2）若）若 2001 年比年比 1996 年的消费支出总额增加年的消费支出总额增加 34%，而其中食

28、品消费支出总额增加，而其中食品消费支出总额增加 10%，问从哪一年起能达到富裕？请说明理由，问从哪一年起能达到富裕？请说明理由. 【答案】 （1）2001 年能达到富裕；答案见解析； （2）到 2002 年达到富裕；答案见解析. 【分析】 （1）根据题中条件，求出食品消费支出总额，再由计算公式，计算 2001年的 恩格尔系数 2001 n，即可得出结果； （2） 设 1996 年的消费支出总额为a元， 其中食品消费支出总额为b元， 根据题中条件， 求出10000,5000.ab 【详解】 （1）食品消费支出总额为8600 50%4300元， 2001 4300 100 54800 40% 86

29、00680 512000 n ， 第 13 页 共 17 页 2001 年能达到富裕. （2）设 1996年的消费支出总额为a元，其中食品消费支出总额为b元，则 (1 34%)5 680aa ，(1 10%)5 100bb ， 10000a ，5000b ， 而经过 5年， 2001 5 1005500 41% 5 68013400 b n a ， 经过 6 年， 2002 6 1005600 39.8% 6 68014080 b n a ， 故到 2002 年达到富裕. 19解不等式解不等式2log ( 1)log (1)(1) aa xaxa . 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】利

30、用对数函数单调性化简不等式，再分类讨论得解 【详解】原不等式 2 10 1 1 10(1)(1) (2)0 (1)1 x x axaxa a x xa xax 1 (1) (2)0(1) xa a x xaa 2a 时，不等式的解为 1 ;x a 2a 时，20a 故原不等式解为 1 0 x a 或2xa 当12a时，20a， 2 1(1) (2)()0 a a aa 原不等式解为 1 2xa a 或0 x 【点睛】解不等式时，分类讨论标准是方程根的大小，注意要讨论完整. 20如图：如图：A、B是两个定点，且是两个定点，且 2AB ，动点，动点M到到A点的距离是点的距离是 4，线段，线段MB的

31、的 垂直平分线垂直平分线l交交MA于点于点P，直线，直线k垂直于直线垂直于直线AB，且，且B点到直线点到直线k的距离为的距离为 3. （1）建立适当的坐标系，求动点）建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程；的轨迹方程； 第 14 页 共 17 页 （2）求证：点）求证：点P到点到点B的距离与点的距离与点P到直线到直线k的距离之比为定值；的距离之比为定值； （3）若点）若点P到到A、B两点的距离之积为两点的距离之积为m，当，当m取最大值时，求取最大值时，求P点的坐标点的坐标. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）证明见解析； （3）点P的坐标是：(0, 3)或(0,3) . 【分析】

32、 （1）以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，可得P点的轨迹 是以A，B为两个焦点，长轴长为 4 的椭圆，即可求出其方程； （2）由椭圆的第二定义可得； （3）由基本不等式可得PAPB时，m最大，这时点P在y轴上，即可求出坐标. 【详解】 （1）解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B 的坐标分别是( 1,0),(1,0)， l为MB的垂直平分线， ,4PMPBPAPBPAPM. P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为 4 的椭圆，其方程是： 22 1 43 xy . （2）证明：椭圆的右准线方程是4x 恰为直线k的方程. 根据椭圆的定义知点P到点B的距离

33、与点P到直线k的距离之比为离心率 1 2 e ； （3）解： 2 () 4 4 PAPB mPAPB ，当且仅当PAPB时，m最大，这 时点P在y轴上，故点P的坐标是：(0, 3)或(0,3). 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义和性质的应用，解题的关键是由椭圆的定义得 出P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为 4的椭圆，由此可容易求得第二问和 第三问. 21数列数列 n a中，中， 1 1a ， 2 2a ，数列，数列 1nn aa 是公比为是公比为(0)q q 的等比数列的等比数列. （1）求使）求使 11223( ) nnnnnn a aaaaanN 成立的成立的q的取值范围；的取值

34、范围； 第 15 页 共 17 页 （2）若）若 212 () nnn baanN ，求，求 n b的表达式；的表达式； （3）若）若 12nn Sbbb，求，求 1 lim n n S . 【答案】 （1） 15 0 2 q ； （2） 1 3 n n bq ； （3） 0,1 1 lim 1 ,01 3 n n q q Sq . 【分析】 （1）根据等比数列的定义，由题中条件，得到 1 1 2 n nn aaq ，解 11223( ) nnnnnn a aaaaanN ，即可得出结果； （2） 根据题中条件， 先得到 n b是首项为 1 3b ， 公比为q的等比数列， 进而可求出 n b；

35、 （3）由等比数列的求和公式，分别讨论1q ，1q ，01q三种情况，由无穷等 比数列的极限，即可得出结果. 【详解】 （1） 1nn aa 是公比为(0)q q 的等比数列，且 12 1 22a a 1 1 2 n nn aaq 由 11223(nnnnnn aaaaaan N)，有 11 222(0) nnn qqqq 2 10qq 解得 15 0 2 q （2） 12 1 nn nn aa q a a ， 2n n a q a ， 2121,222nnnn aqaaqa 212nnn baa ， 112 3baa， 又 12122212 212212 nnnnn nnnnn baaqaq

36、a q baaaa n b是首项为 1 3b ，公比为q的等比数列， 1 3 n n bq （3）当1q 时，3 n Sn， 11 limlim0 3 nn n Sn ； 当1q 时， 3(1) 1 n n q S q ， 1 11 11 limlimlim0 3(1)1 3 1 nn n nnn n n qqq Sq q ； 第 16 页 共 17 页 当01q时， 1111 lim 3 lim3 1 n nn n q SS q 即 1 lim n n S 1 3 q . 综上， 0,1 1 lim 1 ,01 3 n n q q Sq . 【点睛】思路点睛： 求无穷等比数列前n项和的极限时

37、，一般需要利用分类讨论的方法，讨论公比的范围， 根据等比数列的求和公式，以及极限的运算法则，即可求出结果. 22已知已知 ( )f x是定义在 是定义在 1,1 上的奇函数，当上的奇函数，当a，1,1b ，且，且0ab时，有时，有 ( )( ) 0 f af b ab . （1）判断函数）判断函数 ( )f x的单调性，并给以证明； 的单调性，并给以证明； （2） 若） 若(1)1f且且 2 ( )21f xmbm对所有对所有 1,1x ，1,1b 恒成立， 求实数恒成立， 求实数m 的取值范围的取值范围. . 【答案】 （1） ( )f x在1,1 上为增函数；证明见解析； （2）2m 或2

38、m或0m . 【分析】 （1）利用函数单调性的定义即可证明； （2）根据单调性求出 1,1x 时， ( )f x的最大值，即 2 max ( )21f xmbm对任意 的1,1b 恒成立，只需 2 2 120 120 gmm gmm ，解不等式组即可求解. 【详解】 （1）证明：设 12 ,1,1 ,x x 且 12 xx， 21 212121 21 f xfx f xf xf xfxxx xx ， 因为 1 1,1x ，所以 1 1,1x ， 所以 21 21 0 f xfx xx ， 21 0 xx， 所以 21 2121 21 0 f xfx f xf xxx xx ， 即 21 f x

39、f x 即 ( )f x在1,1 上为增函数. 第 17 页 共 17 页 （2）(1)1f且 ( )f x在1,1 上为增函数.对 1,1x ，有( )(1)1.f xf 由题意，对所有的 2 1,1 ,1,1 ,( )21xbf xmbm 恒成立，应有 22 21120.mbmmbm 记 2 ( )2,g bmbm 对所有1,1 , ( )0bg b 成立. 所以 2 2 120 120 gmm gmm ，解得：2m 或2m或0m ， 所以实数m的取值范围为2m 或2m或0m . 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设 12 ,x x是该区间内的任意两个值，且 12 xx； （2）作差变形：即作差，即作差 12 ( )()f xf x，并通过因式分解、配方、有理化等 方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差 12 ( )()f xf x的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值-作差-变形-定号-下结论.