1、1 中考数学压轴题大集合中考数学压轴题大集合 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图,在平面直角坐标系中,AB、CD 都垂直于 x 轴,垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相 交于 E 点.已知:A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证:E 点在 y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过 A,E,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变, 再将 DC 水平向右移动 k(k0)个单位, 此时 AD 与 BC 相交于 E点, 如图,求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式. 解 (1) (本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过 E 作 EOx 轴,垂足 OABEODC ,
2、 EODOEOBO ABDBCDDB 又DO+BO=DB 1 EOEO ABDC AB=6,DC=3,EO=2 又 DOEO DBAB , 2 31 6 EO DODB AB DO=DO,即 O与 O 重合,E 在 y 轴上 方法二:由 D(1,0) ,A(-2,-6) ,得 DA 直线方程:y=2x-2 再由 B(-2,0) ,C(1,-3) ,得 BC 直线方程:y=-x-2 联立得 0 2 x y E 点坐标(0,-2) ,即 E 点在 y 轴上 (2)设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(a0)过 A(-2,-6) ,C(1,-3) 图 C(1,-3) A (2,-6) B D O x
3、 E y 图 C (1+k, -3) A (2,-6) B D O x E y 2 E(0,-2)三点,得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程 y=-x2-2 (3) (本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当 DC 水平向右平移 k 后,过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为 F。 同(1)可得:1 E FE F ABDC 得:EF=2 方法一:又EFAB E FDF ABDB , 1 3 DFDB SAEC= SADC- SEDC= 1112 2223 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB=DB=3+k S=3+k
4、为所求函数解析式 方法二: BADC,SBCA=SBDA SAEC= SBDE 11 323 22 BD E Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三:SDECSAEC=DEAE=DCAB=12 同理:SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2.已知:如图,在直线坐标系中,以点 M(1,0)为圆心、直径 AC 为22的圆与 y 轴交 于 A、D 两点. (1)求点 A 的坐标; (2)设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点 B.探究:直线 AB 是否M 的切线?并
5、对你的 结论加以证明; (3)连接 BC,记ABC 的外接圆面积为 S1、M 面积为 S2,若 4 2 1 h S S ,抛物线 yax2bxc 经过 B、M 两点,且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 解(1)解:由已知 AM2,OM1, 在 RtAOM 中,AO1 22 OMAM, 点 A 的坐标为 A(0,1) (2)证:直线 yxb 过点 A(0,1)10b 即 b1 yx1 令 y0 则 x1 B(1,0) , 3 AB 211 2222 AOBO 在ABM 中,AB2,AM2,BM2 22222 4)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形,BAM90 直线 AB
6、 是M 的切线 (3)解法一:由得BAC90 ,AB2,AC22, BC 10)22()2( 2222 ACAB BAC90 ABC 的外接圆的直径为 BC, 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1 h S S , 5, 42 2 5 h h 即 设经过点 B(1,0) 、M(1,0)的抛物线的解析式为: ya(1) (x1) , (a0)即 yax2a,a 5,a 5 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25 解法二: (接上) 求得h5 由已知所求抛物线经过点 B(1,0) 、M(1、0) ,则抛物线的对称
7、 轴是 y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0, 5) 抛物线的解析式为 ya(x0)2 5 又 B(1,0) 、M(1,0)在抛物线上,a 50, a 5 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25 解法三: (接上)求得h5 因为抛物线的方程为 yax2bxc(a0) 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为 y5x25 或 y5x25. A B C D x M y 4 3.如图,在直角坐标系中,以点P(1,1)为圆心,2 为半径作圆,交x 轴于A、B 两点,抛物 线)0( 2 acbxaxy过点A
8、、B,且顶点C 在P 上. (1)求P 上劣弧 AB的长; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC 与PD 互相平分?若存在,求出点D 的坐标;若不存 在,请说明理由. 解 (1)如图,连结 PB,过 P 作 PMx 轴,垂足为 M. 在 RtPMB 中,PB=2,PM=1, MPB60 ,APB120 AB的长 3 4 2 180 120 (2)在 RtPMB 中,PB=2,PM=1,则 MBMA3. 又 OM=1,A(13,0) ,B(13,0) , 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上, 则 C(1,3). 点 A、B、C 在抛物线上,则 cba
9、 cba cba 3 )31 ()31 (0 )31 ()31 (0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy (3)假设存在点 D,使 OC 与 PD 互相平分,则四边形 OPCD 为平行四边形,且 PCOD. 又 PCy 轴,点 D 在 y 轴上,OD2,即 D(0,2). 又点 D(0,2)在抛物线22 2 xxy上,故存在点 D(0,2) , 使线段 OC 与 PD 互相平分. 4.(2004 湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,RtABC 的直角顶点 C(0,3)在y轴 的正半轴上,A、B 是x轴上是两点,且 OAOB31,以 OA、OB 为直径的圆分别
10、交 AC 于点 E,交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. (1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; (2)请猜想:直线 EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想. (3)在AOC 中,设点 M 是 AC 边上的一个动点,过 M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问: 在x轴上是否存在点 P,使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形?若存在, 求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由. A B C O x y P(1,1) A B C O x y P(1,1) M A y x B E F O1 Q O O2 C 5 解 (1)在 RtABC 中,OCAB,
11、 AOCCOB. OC2OA OB. OAOB31,C(0, 3), 2 ( 3)3.OB OB OB1.OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之,得 3 , 3 2 3, 3 3. a b c 经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 32 33. 33 yxx (2)EF 与O1、O2都相切. 证明:连结 O1E、OE、OF. ECFAEOBFO90 , 四边形 EOFC 为矩形. QEQO. 12. 34,2+490 , EF 与O1相切. 同理:EF 理O2相切. (3)作 MPOA 于 P
12、,设 MNa,由题意可得 MPMNa. MNOA, CMNCAO. . MNCN AOCO 3 . 33 aa 解之,得 3 33. 2 a 此时,四边形 OPMN 是正方形. 3 33. 2 MNOP 3 33 (,0). 2 P 考虑到四边形 PMNO 此时为正方形, 点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点 P 使得PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形且 3 33 (,0) 2 P 或 (0,0).P B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 N M P C 6 X O P D C A B Y 由方程组 y=
13、ax26ax+1 y= 2 1 x+1 得:ax2(6a+ 2 1 )x=0 5.如图,已知点 A(0,1)、C(4,3)、E( 4 15 , 8 23 ),P 是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部(不 在各边上)的个动点,点 D 在 y 轴,抛物线 yax2+bx+1 以 P 为顶点 (1)说明点 A、C、E 在一条条直线上; (2)能否判断抛物线 yax2+bx+1 的开口方向?请说明理由; (3)设抛物线 yax2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的左侧), GAO 与 FAO 的面积差为 3, 且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点 这时能确定 a、 b 的值
14、吗?若能, 请求出 a、 b 的值;若不能,请确定 a、b 的取值范围 (本题图形仅供分析参考用) 解 (1) 由题意, A(0, 1)、 C(4, 3)确定的解析式为: y= 2 1 x+1. 将点 E 的坐标 E( 4 15 , 8 23 )代入 y= 2 1 x+1 中,左边= 8 23 ,右 边= 2 1 4 15 +1= 8 23 , 左边=右边,点 E 在直线 y= 2 1 x+1 上,即点 A、C、E 在一条直线上. (2)解法一:由于动点 P 在矩形 ABCD 内部,点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标,而点 A 与点 P 都在抛物线上,且 P 为顶点,这条抛物线有最高点,抛物
15、线的开口向下 解法二:抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 a ba 4 4 2 ,且 P 在矩形 ABCD 内部, 1 a ba 4 4 2 3,由 11 a b 4 2 得 a b 4 2 0,a0,抛物线的开口向下. (3)连接 GA、FA,SGAOSFAO=3 2 1 GOAO 2 1 FOAO=3 OA=1, GOFO=6. 设 F(x1,0) 、G(x2,0) ,则 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且 x1x2,又 a0,x1x2= a 1 0,x10 x2, GO= x2,FO= x1,x2(x1)=6, 即 x2+x1=6,x2+x1= a b
16、 a b =6, b= 6a, 抛物线解析式为:y=ax26ax+1, 其顶点 P 的坐标为(3, 19a), 顶点 P 在矩形 ABCD 内部, 119a 3, 9 2 a0. x=0 或 x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当 x=0 时,即抛物线与线段 AE 交于点 A,而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点,则 X G F O P D E C A B Y 7 有:06+ a2 1 4 15 ,解得: 9 2 a 12 1 综合得: 9 2 a 12 1 b= 6a, 2 1 b 3 4 6.(2004 湖南长沙)已知两点 O(0,0)、B(0,2),A 过点 B 且与
17、x 轴分别相交于点 O、C, A 被 y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为 31,直线 l 与A 切于点 O,抛物线的顶点在直 线 l 上运动. (1)求A 的半径; (2)若抛物线经过 O、C 两点,求抛物线的解析式; (3)过 l 上一点 P 的直线与A 交于 C、E 两点,且 PCCE,求点 E 的坐标; (4)若抛物线与 x 轴分别相交于 C、F 两点,其顶点 P 的横坐标为 m,求PEC 的面积关 于 m 的函数解析式. 解 (1)由弧长之比为 31,可得BAO90 再由 ABAOr,且 OB2,得 r 2 (2)A 的切线 l 过原点,可设 l 为 ykx 任取 l 上一点(b,kb)
18、,由 l 与 y 轴夹角为 45 可得: bkb 或 bkb,得 k1 或 k1, 直线 l 的解析式为 yx 或 yx 又由 r2,易得 C(2,0)或 C(2,0) 由此可设抛物线解析式为 yax(x2)或 yax(x2) 再把顶点坐标代入 l 的解析式中得 a1 抛物线为 yx22x 或 yx22x 6 分 (3)当 l 的解析式为 yx 时,由 P 在 l 上,可设 P(m,m)(m0) 过 P 作 PPx 轴于 P,OP|m|,PP|m|,OP2m2, 又由切割线定理可得:OP2PC PE,且 PCCE,得 PCPEmPP7 分 C 与 P为同一点,即 PEx 轴于 C,m2,E(2
19、,2)8 分 同理,当 l 的解析式为 yx 时,m2,E(2,2) (4)若 C(2,0),此时 l 为 yx,P 与点 O、点 C 不重合,m0 且 m2, 当 m0 时,FC2(2m),高为|yp|即为m, S 2 2(2)() 2 2 mm mm 同理当 0m2 时,Sm22m;当 m2 时,Sm22m; S 2 2 2 (02) 2 (02) mm mm mmm 或 又若 C(2,0), 此时 l 为 yx,同理可得;S 2 2 2 (20) 2 ( 20) mm mm mmm 或 0 x y 8 7.如图,直线4 kxy与函数)0, 0(mx x m y的图像交于 A、B 两点,且
20、与 x、y 轴分 别交于 C、D 两点 (1)若COD的面积是AOB的面积的2倍,求k与m之间的函数关系式; (2)在(1)的条件下,是否存在k和m,使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P若存在, 求出k和m的值;若不存在,请说明理由 解(1)设),( 11 yxA,),( 22 yxB(其中 2121 ,yyxx), 由 AOBCOD SS 2,得)(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC2OD( 2 1 OD 1 y 2 1 OD 2 y),)(2 21 yyOC, 又4OC,8)( 2 21 yy,即84)( 21 2 21 yyyy, 由 x m y 可得 y m x ,代入
21、4 kxy可得04 2 kmyy 4 21 yy,kmyy 21 , 8416 km,即 m k 2 又方程的判别式08416km, 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m (2)假设存在k,m,使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P 则BPAP ,过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N MAP与BPN都与APM互余,MAP BPN RtMAPRtNPB, NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ,0)2)(2( 2121 yyxx, 0)2)(2( 21 21 yy y m y m , 即0)(4)(2 2 212121 2 yyyyyymm 由(1)知4 2
22、1 yy,2 21 yy,代入得0128 2 mm, 2m或6,又 m k 2 , 1 2 k m 或 3 1 6 k m , 存在k,m,使得以AB为直径的圆经过点)0 , 2(P,且 1 2 k m 或 3 1 6 k m O P D C B A y x y x NMOPD C B A A A B (2,0)C C(2,0) l O P E P x y (2,0) P C l O y x C F F F P P 9 x y O 8.已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于两点 1 (,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx, 与 y 轴交于点 C,且 AB=6.
23、(1)求抛物线和直线 BC 的解析式. (2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线 BC. (3)若P过 A、B、C 三点,求P的半径. (4)抛物线上是否存在点 M,过点 M 作MNx轴于点 N,使MBN被直线 BC 分成面 积比为1 3的两部分?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)由题意得: 121221 55 ,6. m xxxxxx mm 2 2 1212 520 ()436,36, m xxx x mm 解得 12 5 1,. 7 mm 经检验 m=1,抛物线的解析式为: 2 45.yxx 或:由 2 (5)50mxmx得,1x 或 5 x m 0,m 5
24、16,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx 由 2 450 xx得 12 5,1.xx A(5,0) ,B(1,0) ,C(0,5). 设直线 BC 的解析式为,ykxb 则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC 的解析式为55.yx (2)图象自画. (3)法一:在RtAOCD中,5,45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 10 法二: 由题意,圆心 P 在 AB 的中垂线上,即在抛物线 2 45yxx的对称轴直线2x 上,设 P(2,h) (h0) , 连结 PB、PC,则 222222 (12),(5)2P
25、BhPCh, 由 22 PBPC,即 2222 (12)(5)2hh,解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径 22 (12)213PB . 法三: 延长 CP 交P于点 F. CF为P的直径,90 .CAFCOB 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC 5 226 2 13. 5 CF P的半径为13. (4)设 MN 交直线 BC 于点 E,点 M 的坐标为 2 ( ,45),t tt则点 E 的坐标为( ,55).tt 若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.ME EN :
26、2 4 3 4,45(55). 3 EN MNttt: 解得 1 1t (不合题意舍去) , 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.ME EN : 2 1 4,454(55).EN MNttt: 解得 3 1t (不合题意舍去) , 4 15,t 15,280 .M 存在点 M,点 M 的坐标为 5 40 , 39 或(15,280). 11 9. 如图,M 与 x 轴交于 A、B 两点,其坐标分别为)03(,A、)01( ,B,直径 CDx 轴于 N,直线 CE 切M 于点 C,直线 FG 切M 于点 F,交 CE 于 G,已知点 G
27、 的横坐标为 3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过 A、B、D 三点,求 m 的值及点 D 的坐标. (2) 求直线 DF 的解析式. (3) 是否存在过点 G 的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于 4?若 存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由. 解 (1) 抛物线过 A、B 两点, 1 1)3( m ,m=3. 抛物线为32 2 xxy. 又抛物线过点 D,由圆的对称性知点 D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(,. (2) 由题意知:AB=4. CDx 轴,NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得:NANB=NDNC, NC 4=22.
28、NC=1. C 点坐标为)11( ,. 设直线 DF 交 CE 于 P,连结 CF,则CFP=90. 2+3=1+4=90. GC、GF 是切线, GC=GF. 3=4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17(, 设直线 DF 的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF 的解析式为: 8 27 8 5 xy (3) 假设存在过点 G 的直线为 11 bxky, 则13 11 bk,13 11 kb. 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx F B A y x O N
29、 M G E D C P 1 2 3 4 (第 27 题图) A y x O N M G F E D C B 12 由题意得42 1 k,6 1 k. 当6 1 k时,040 , 方程无实数根,方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.已知二次函数 2 1 2 yxbxc的图象经过点 A(3,6) ,并与 x 轴交于点 B(1,0) 和点 C,顶点为 P. (1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象; (2)设 D 为线段 OC 上的一点,满足DPCBAC,求点 D 的坐标; (3)在 x 轴上是否存在一点 M,使以 M 为圆心的圆与 AC、PC 所在的直线及
30、y 轴都相 切?如果存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)解:二次函数 2 1 2 yxbxc的图象过点 A(3,6) ,B(1,0) 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为: 2 13 22 yxx 由解析式可求 P(1,2) ,C(3,0) 画出二次函数的图像 (2)解法一:易证:ACBPCD45 又已知:DPCBAC DPCBAC DCPC BCAC 易求6 2,2 2,4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二:过 A 作 AEx 轴,垂足为 E. 设抛物线的对称轴交 x 轴于
31、 F. 亦可证AEBPFD、 PEEB PFFD . 易求:AE6,EB2,PF2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D (3)存在. (1 )过 M 作 MHAC,MGPC 垂足分别为 H、G,设 AC 交 y 轴于 S,CP 的延长 线交 y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形,M 是SCT 的内切圆圆心, MGMHOM x O y 13 A B C M O x y 又2MCOM且 OMMCOC 23,3 23OMOMOM得 3 23,0M (2 )在 x 轴的负半轴上,存在一点 M 同理 OMOCMC,2OMOCOM 得3 23OM M 3 23,0 即在 x 轴上存在满
32、足条件的两个点. 11.在平面直角坐标系中,A(1,0) ,B(3,0). (1)若抛物线过 A,B 两点,且与 y 轴交于点(0,3) ,求此抛物线的顶点坐标; (2)如图,小敏发现所有过 A,B 两点的抛物线如果与 y 轴负半轴交于点 C,M 为抛 物线的顶点,那么ACM 与ACB 的面积比不变,请你求出这个比值; (3)若对称轴是 AB 的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E,F,与 y 轴交于点 C,过 C 作 CPx 轴交 l 于点 P, M 为此抛物线的顶点.若四边形 PEMF 是有一个内角为 60 的菱 形,求次抛物线的解析式. 解 (1)32 2 xxy,顶点坐标为(1,4
33、). (2)由题意,设 ya(x1) (x3) ,即 yax22ax3a, A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3a) ,M(1,4a) , M T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 A C x y B D M F S G H P 14 SACB 2 1 4a36a, 而 a0, SACB6A、 作 MDx 轴于 D, 又 SACMSACO SOCMD SAMD 2 1 1 3a 2 1 (3a4a) 2 1 2 4aa, SACM:SACB1:6. (3)当抛物线开口向上时,设 ya(x1)2k,即 yax22axak, 有菱形可知ka k,ak0
34、,k0, k 2 a , yax22ax 2 a , 2EF. 记 l 与 x 轴交点为 D, 若PEM60 ,则FEM30 ,MDDE tan30 6 6 , k 6 6 ,a 3 6 , 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy. 若PEM120 ,则FEM60 ,MDDE tan60 2 6 , k 2 6 ,a6, 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向下时,同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy, 2 6 626 2 xxy. 12.已知: O 是坐标原点, P (m, n) (m0)是函数y k x (k0)上的点, 过点
35、P 作直线 PAOP 于 P,直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A(a,0)(am). 设OPA 的面积为 s,且 s 1n 4 4 . (1)当 n1 时,求点 A 的坐标; (2)若 OPAP,求 k 的值; 15 (3 ) 设 n 是小于 20 的整数,且 kn 4 2 ,求 OP2的最小值. 解 过点 P 作 PQx 轴于 Q,则 PQn,OQm (1) 当 n1 时, s5 4 a2s n 5 2 (2) 解 1: OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mna 2 1n 4 4 1 2an 即 n44n240 k24k40 k2 解 2: OPAP PAOP OPA 是等
36、腰直角三角形 mn 设OPQ 的面积为 s1 则:s1s 2 1 2mn 1 2(1 n4 4 ) 即:n44n240 k24k40 k2 (3) 解 1: PAOP, PQOA OPQOAP 设:OPQ 的面积为 s1,则 s1 s PO 2 AO2 即: 1 2k 1n 4 4 n2k 2 n2 4 (1n 4 4 )2 n2 化简得:2n42k2k n44k0 (k2) (2kn4)0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 当 n 是小于 20 的整数时,k2. 16 OP2n2m2n2k 2 n2 又 m0,k2, n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n1 时,OP25 当 n2 时
37、,OP25 当 n3 时,OP232 4 329 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时, 即当 n4、5、6、19 时,OP2得值分别是: 42 4 42、5 24 52、6 24 62、19 24 192 192 4 19218 24 1823 24 325 OP2的最小值是 5. 解 2: OP2n2m2n2k 2 n2 n22 2 n2 (n2 n) 2 4 当 n2 n 时,即当 n 2时,OP 2最小; 又n 是整数,而当 n1 时,OP25;n2 时,OP25 OP2的最小值是 5. 解 3: PAOP, PQOA OPQP AQ PQ QA OQ PQ n
38、 am m n 化简得:2n42k2k n44k0 (k2) (2kn4)0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 解 4: PAOP, PQOA OPQP AQ s1 ss1 OQ2 PQ2 化简得:2n42k2k n44k0 (k2) (2kn4)0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 17 解 5: PAOP, PQOA OPQOAP OP OA OQ OP OP2OQOA 化简得:2n42k2k n44k0 (k2) (2kn4)0 k2 或 kn 4 2 (舍去) 13.如图,在直角坐标系中,O 是原点,A、B、C 三点的坐标分别为 A(18,0) ,B(18,6) , C(8,6) ,四
39、边形 OABC 是梯形,点 P、Q 同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点 P 沿 OA 向终点 A 运动,速度为每秒 1 个单位,点 Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动,当这两点有 一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。 (1)求出直线 OC 的解析式及经过 O、A、C 三点的抛物线的解析式。 (2)试在中的抛物线上找一点 D,使得以 O、A、D 为顶点的三角形与 AOC 全等,请 直接写出点 D 的坐标。 (3)设从出发起,运动了 t 秒。如果点 Q 的速度为每秒 2 个单位,试写出点 Q 的坐标,并 写出此时 t 的取值范围。 (4)设从出发起,运动了 t 秒。当 P、Q 两点运动的
40、路程之和恰好等于梯形 OABC 的周长 的一半,这时,直线 PQ 能否把梯形的面积也 分成相等的两部分, 如有可能, 请求出 t 的值; 如不可能,请说明理由。 解 (1) O、 C 两点的坐标分别为 O0 , 0, C6 , 8 设 OC 的解析式为bkxy, 将两点 坐标代入得: 4 3 k,0b,xy 4 3 A,O 是x轴上两点,故可设抛物线的解析式为180 xxay 再将 C6 , 8代入得: 40 3 a xxy 20 27 40 3 2 (2)D6 ,10 (3)当 Q 在 OC 上运动时,可设 Q mm 4 3 ,,依题意有: 2 2 2 2 4 3 tmm tm 5 8 ,Q
41、 tt 5 6 , 5 8 ,50 t Q P O C(8,6) B(18,6) A(18,0) x y 18 当 Q 在 CB 上时,Q 点所走过的路程为t 2,OC10,CQ102 t Q 点的横坐标为228102tt,Q6 , 22 t,105 t (4)梯形 OABC 的周长为 44,当 Q 点 OC 上时,P 运动的路程为t,则 Q 运动的路程为 t22 OPQ 中,OP 边上的高为: 5 3 22 2 1 , 5 3 22 ttt OPQ S 梯形 OABC 的面积8461018 2 1 ,依题意有: 2 1 84 5 3 22 2 1 tt 整理得:014022 2 tt 014
42、04222,这样的t不存在 当 Q 在 BC 上时,Q 走过的路程为t22,CQ 的长为:tt121022 梯形 OCQP 的面积tt10226 2 1 3684 2 1 这样的t值不存在 综上所述,不存在这样的t值,使得 P,Q 两点同时平分梯形的周长和面积 14.已知:如图,抛物线mxxy 3 32 3 1 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点, ACB90 , (1)求 m 的值及抛物线顶点坐标; (2)过 A、B、C 的三点的M 交 y 轴于另一点 D,连结 DM 并延长交M 于点 E,过 E 点的M 的切线分别交 x 轴、y 轴于点 F、G,求直线 FG 的解析式
43、; (3)在(2)条件下,设 P 为CBD上的动点(P 不与 C、D 重合) ,连结 PA 交 y 轴于点 H, 问是否存在一个常数 k,始终满足 AH APk,如果存在,请写出求解过程;如果不存在, 请说明理由. 解 (1)由抛物线可知,点 C 的坐标为(0,m) , 且 m0. 设 A(x1,0) ,B(x2,0).则有 x1 x23m 又OC是RtABC的 斜 边 上 的 高 , AOCCOB OB OC OC OA 2 1 x m m x ,即 x1 x2m2 m23m,解得 m0 或 m3 而 m0,故只能取 m3 这时,4)3( 3 1 3 3 32 3 1 22 xxxy 故抛物
44、线的顶点坐标为(3,4) A B C D E F G M x y O 19 (2)解法一:由已知可得:M(3,0) ,A(3,0) ,B(33,0) , C(0,3) ,D(0, 3) 抛物线的对称轴是 x3,也是M 的对称轴,连结 CE DE 是M 的直径, DCE90 ,直线 x3,垂直平分 CE, E 点的坐标为(23,3) 3 3 OD OM OC OA ,AOCDOM90 , ACOMDO30 ,ACDE ACCB,CBDE 又 FGDE, FGCB 由 B(33,0) 、C(0,3)两点的坐标易求直线 CB 的解析式为: yx 3 3 3 可设直线 FG 的解析式为 yx 3 3
45、n,把(23,3)代入求得 n5 故直线 FG 的解析式为 yx 3 3 5 解法二:令 y0,解xx 3 32 3 1 2 30 得 x13,x233 即 A(3,0) ,B(33,0) 根据圆的对称性,易知: :M 半径为 23, M(3,0) 在 RtBOC 中,BOC90 ,OB33, ,OC3 CBO30 ,同理,ODM30 。 而BMEDMO,DOM90 ,DEBC DEFG, BCFG EFMCBO30 在 RtEFM 中,MEF90 ,ME23,FEM30 , 20 MF43,OFOMMF53, F 点的坐标为(53,0) 在 RtOFG 中,OGOF tan30 53 3 3
46、 5 G 点的坐标为(0,5) 直线 FG 的解析式为 yx 3 3 5 (3)解法一: 存在常数 k12,满足 AH AP12 连结 CP 由垂径定理可知 ACAD, PACH (或利用PABCACO) 又CAHPAC, ACHAPC AC AP AH AC 即 AC2AH AP 在 Rt AOC 中,AC2AO2OC2(3)23212 (或利用 AC2AO AB3 4312 AH AP12 解法二: 存在常数 k12,满足 AH AP12 设 AHx,APy 由相交弦定理得 HD HCAH HP 即)()33)(33( 2 xyxxx 化简得:xy12 即 AH AP12 A B C D E F G M x y P H O
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