2020-2021学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）设集合1A，2，3，2B ，3，5，则(AB ) A1，2，3，5 B2，3 C1，2，3 D2，3，5 2 （5 分） “ab”是“1ab”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）若函数 1 ( ) |1|

2、 m f xmx 是幂函数，则(m ) A0 B1 C0 或 2 D1 或 2 4 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618 优选法” ，0.618 是被公认为最具有审 美意义的比例数字，我们称为黄金分割 “0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广 泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比 5151 (0.618) 22 的黄金三角形是“最 美三角形” ，即顶角为36的等腰三角形例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三 角形”与一个正五边形组成的如图，在其中一个黄金ABC中，黄金分割比为 BC AC 试根 据以上信息，计算sin18( ) A 51 2 B 51 4

3、C 51 4 D 35 2 5 （5 分）已知 1 sin 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 7 9 C 1 9 D 1 9 6 （5 分）函数( )3f xlnxx的零点所在的区间为( ) A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2) 7 （5 分）函数( )sinf xxx，x ，的大致图象是( ) 第 2 页（共 16 页） A B C D 8 （5 分）已知0 x ，0y ，且260 xyxy，则xy的最小值为( ) A16 B18 C20 D22 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中

4、，有多项特分，在每小题给出的四个选项中，有多项特 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列函数既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是( ) A 2 1yx B 2 y x C | | 3 x y Dyx 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若0ab，则 11 ab B若0ab，则 22 acbc C若0aab，则 11 ab D若0ab，则 11 ab 11 （5 分）已知函数 2, 2 1 ( ) 2,1 xx f x xx ，关于函数( )f x的结论正确的是( ) A( )

5、f x的定义域为R B( )f x的值域为(，4 C若( )2f x ，则x的值是2 D( )1f x 的解集为( 1,1) 12 （5 分）已知函数( )2sin()(0) 6 f xx 且对于xR 都有 1 () 4 () 4 f x f x 成 第 3 页（共 16 页） 立现将函数( )2sin() 6 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数( )g x的图象，则下列说法正确的是( ) A函数()()0 66 gxg x B函数( )g x相邻的对称轴距离为 C函数 2 () 3 g x 是偶函数 D函数( )g x在区

6、间, 6 3 上单调递增 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知角的终边经过点(4,3)P，则sincos的值为 14 （5 分）计算 21 3 32 2 1 ( )( 2) log 4 4 15 （5 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定： 1 毫升血液中酒精含量达到0.200.79毫克的驾驶员即为酒后驾车，0.8mg及以上认定为醉 酒驾车、假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了 1 毫克每毫升如果 在停止喝酒后他血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过 （结果

7、取整数）小时后才能驾驶 （已知20.3lg ，30.48)lg 16 （5 分）已知 2 ( )sin | sin | f xx x ，( ) |2g xlnxm，若对于 1 21 , 36 x ， 12 2 ,xee 使得 12 ()()f xg x，则实数m的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）设函数 22 ( )2(0)f xxaxaa图象与x轴交于A、B两点 （1）求A、B两点的坐标； （2）若不等式( )0f x 的解集为 | 12xx ，

8、求a的值 18 （12 分）已知 sincos1 sincos3 （1）求tan的值； （2）求 22 2sin() cos()cos() 3 1sincos()sin () 22 的值 19 （12 分）已知函数( ) x x m f xe e 是定义在R上的奇函数 （1）求实数m的值； 第 4 页（共 16 页） （2）用单调性定义证明函数( )f x是R上的增函数； （3）若函数( )f x满足 2 (1)(2 )0f tft，求实数t的取值范围 20 （12 分）已知函数 2 ( )2 3cos2sin cos3f xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）当,0 4 x

9、 时，不等式( )3f xm恒成立，求实数m的取值范围 21 （12 分）为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为 10 米的圆形空地进行种植花草绿化改造规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同 的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地设OAB，正六边形的面积为 1 S，六个矩形 的面积和为 2 S （1）用分别表示区域面积 1 S， 2 S； （2）求种植鲜花区域面积的最大值 （参考数据： 3 tan41 2 ， 2 3 tan49) 3 22 （12 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 4 ( )log (41) x f xx （1）求0

10、 x 时，( )f x的解析式； （2）设 1 ,1 2 x，函数 ( ) ( )442 f xx g xaa，是否存在实数a使得( )g x的最小值为 15 4 ， 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分）设集合1A，2，3

11、，2B ，3，5，则(AB ) A1，2，3，5 B2，3 C1，2，3 D2，3，5 【解答】解：1A，2，3，2B ，3，5， 1AB，2，3，5 故选：A 2 （5 分） “ab”是“1ab”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若ab，则1ab不一定成立， 若“1ab，则ab一定成立， 故“ab”是“1ab”的必要不充分条件， 故选：A 3 （5 分）若函数 1 ( ) |1| m f xmx 是幂函数，则(m ) A0 B1 C0 或 2 D1 或 2 【解答】解：函数 1 ( ) |1| m f xmx 是幂函数， |1| 1

12、m，所以11m 或11m ， 解得2m 或0m ， 当2m 时， 3 ( )f xx，满足题意；当0m 时，( )f xx，也满足题意； 所以0m 或 2 故选：C 4 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618 优选法” ，0.618 是被公认为最具有审 美意义的比例数字，我们称为黄金分割 “0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广 泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比 5151 (0.618) 22 的黄金三角形是“最 第 6 页（共 16 页） 美三角形” ，即顶角为36的等腰三角形例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三 角形”与一个正五边形组成的如图，在其

13、中一个黄金ABC中，黄金分割比为 BC AC 试根 据以上信息，计算sin18( ) A 51 2 B 51 4 C 51 4 D 35 2 【解答】解：在ABC中，由正弦定理可得 sinsin36sin36151 sinsin722sin36 cos362cos362 BCBAC ACABC ， 所以 151 cos36 451 ， 因为 2 cos3612sin 18 ， 所以 1cos363551 sin18 284 故选：B 5 （5 分）已知 1 sin 3 ，则sin(2 )( 2 ) A 7 9 B 7 9 C 1 9 D 1 9 【解答】解：因为 1 sin 3 ， 则 22

14、17 sin(2 )cos212sin12( ) 239 故选：B 6 （5 分）函数( )3f xlnxx的零点所在的区间为( ) A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2) 【解答】解：( )3f xlnxx在(0,)上是增函数 f（1）20 ，f（2）210ln ，f（3）30ln f（2）f （3）0，根据零点存在性定理，可得函数( )3f xlnxx的零点所在区间 第 7 页（共 16 页） 为(2,3) 故选：C 7 （5 分）函数( )sinf xxx，x ，的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：()()sin()sin( )fxxxxxf x ， 所以(

15、)f x为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C， 当 2 x 时，()sin0 2222 f ，故排除D， 故选：A 8 （5 分）已知0 x ，0y ，且260 xyxy，则xy的最小值为( ) A16 B18 C20 D22 【解答】解：0 x ，0y ，且260 xyxy， 622 2xyxyx y， 令0 xyt ，上述不等式化为： 2 2 26 0tt ，解得3 2t， 3 2xy，解得18xy 则xy的最小值为 18 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，有多项特分，在每小题给出的四个选项中，

16、有多项特 第 8 页（共 16 页） 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列函数既是偶函数，又在(0,)上单调递增的是( ) A 2 1yx B 2 y x C | | 3 x y Dyx 【解答】解： 2 1yx和 | | 3 x y 都是偶函数，在(0,)上都单调递增，AC正确； 2 y x 和yx都不是偶函数，BD错误 故选：AC 10 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若0ab，则 11 ab B若0ab，则 22 acbc C若0aab，则 11 ab D若0ab，则 1

17、1 ab 【解答】解：对于A，因为函数 1 ( )f x x 在0 x 上是减函数，所以A对； 对于B，当0c 时，命题不成立；所以B错； 对于C，因为函数 1 ( )f x x 在0 x 上是减函数，所以C错； 对于D，因为0a ，所以 1 0 a ，又因为0b ，所以 1 0 b ，所以D对； 故选：AD 11 （5 分）已知函数 2, 2 1 ( ) 2,1 xx f x xx ，关于函数( )f x的结论正确的是( ) A( )f x的定义域为R B( )f x的值域为(，4 C若( )2f x ，则x的值是2 D( )1f x 的解集为( 1,1) 【解答】解： 2, 2 1 ( )

18、 2,1 xx f x xx ，函数的定义域为 2，)，故A错误； 当21x时， 2 ( )0f xx，4，当1x时，( )(f x ，1， 故函数的值域为(，4，故B正确； 由( )2f x ，得 2 21 2 x x 或 1 22 x x ，解得2x ，故C正确； 2 21 ( )1 1 x f x x 或 1 21 x x ，解得11x 或1x ， 第 9 页（共 16 页） 则( )1f x 的解集为( 1，1)(1，)，故D错误 故选：BC 12 （5 分）已知函数( )2sin()(0) 6 f xx 且对于xR 都有 1 () 4 () 4 f x f x 成 立现将函数( )2

19、sin() 6 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数( )g x的图象，则下列说法正确的是( ) A函数()()0 66 gxg x B函数( )g x相邻的对称轴距离为 C函数 2 () 3 g x 是偶函数 D函数( )g x在区间, 6 3 上单调递增 【解答】 解： 函数( )2sin()(0) 6 f xx 且对于xR 都有 1 () 4 () 4 f x f x 成立， 1 () 3 4 () 4 f x f x ， 3 ()() 44 f xf x ，即( )()f xf x， 故 2 T ，2，( )2sin(

20、2) 6 f xx 现将函数( )2sin(2) 6 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度，可得( )2sin(2) 6 f xx 的 图象； 再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） 得到函数( )2sin() 6 g xx 的图象 故()()2sin()2sin0 66 gxgxxx ，故A正确； 函数( )g x相邻的对称轴距离为 1 2 22 T ，故B正确； 函数 22 ()2sin()2cos 336 g xxx 是偶函数，故C正确； , 6 3 x 时，0 6 x ， 6 ，( )g x单调递增，故D正确， 故选：ABCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题

21、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知角的终边经过点(4,3)P，则sincos的值为 7 5 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：角的终边经过点(4,3)P， 33 sin 5169 ， 44 cos 5169 ， 7 sincos 5 ， 故答案为： 7 5 14 （5 分）计算 21 3 32 2 1 ( )( 2) log 4 4 0 【解答】解：原式 1 ( 2) () 2 2 2( 2)22420 故答案为：0 15 （5 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定： 1 毫升血液中酒精含量达到0.200.79毫克的驾驶员

22、即为酒后驾车，0.8mg及以上认定为醉 酒驾车、假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了 1 毫克每毫升如果 在停止喝酒后他血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过 6 （结果 取整数）小时后才能驾驶 （已知20.3lg ，30.48)lg 【解答】解：设经过x小时后，其体内的酒精含量为ymg， 则 3 (10.25)( ) 4 xx y ， 当 1 0.2 5 y 时，方能驾驶， 所以 31 ( ) 45 x ， 所以 33 44 10 1510210.3 2 loglog 56 3 5343220.4820.3 4 lg lglglg x lnlglglg l

23、g ， 所以他至少经过 6 小时后才能驾驶 故答案为：6 16 （5 分）已知 2 ( )sin | sin | f xx x ，( ) |2g xlnxm，若对于 1 21 , 36 x ， 12 2 ,xee 使得 12 ()()f xg x，则实数m的取值范围是 2 2 ，) 【解答】解：对于 1 21 , 36 x ， 12 2 ,xee 使得 12 ()()f xg x， 只需要 12 ()() minmin f xg x， 对于 1 21 , 36 x ，设sin|xt，则 1 2t，1， 第 11 页（共 16 页） 2 ( )h tt t ， 1 2t，1，易知函数( )h t

24、在 1 2 ，1上为减函数， ( )minh th（1）211 ， 1 ()( )1 minmin f xh t， 对于( ) |2g xlnxm， 对于|ylnx， 1 xe， 2 e， 可知函数|ylnx，在 1 e，1上单调递减，在1， 2 e上单调递增， |ylnx的最小值为0y ， 2 ()2 min g xm ， 12m， 2 2 m， 故m的取值范围为 2 2 ，)， 故答案为： 2 2 ，) 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）设函数 22 (

25、)2(0)f xxaxaa图象与x轴交于A、B两点 （1）求A、B两点的坐标； （2）若不等式( )0f x 的解集为 | 12xx ，求a的值 【解答】解： （1）函数 22 ( )2()(2 )f xxaxaxa xa， 令( )0f x ，解得xa 或2xa， 所以( )f x图象与x轴交于点(,0)Aa和点(2 ,0)Ba （2）若不等式( )0f x 的解集为 | 12xx ， 即方程( )0f x 的解为1x 或2x ， 利用根与系数的关系知， 2 12 1 22 a a ， 解得1a 18 （12 分）已知 sincos1 sincos3 （1）求tan的值； 第 12 页（共

26、16 页） （2）求 22 2sin() cos()cos() 3 1sincos()sin () 22 的值 【解答】解： （1）因为 sincos1 sincos3 ，可得 tan11 tan13 ， 所以解得tan2 （2） 22 22 2sin() cos()cos()2( sin) ( cos )( cos )2sincoscos 3 2sin2sin 1sincos()sin () 22 sinsin 11 tan2 19 （12 分）已知函数( ) x x m f xe e 是定义在R上的奇函数 （1）求实数m的值； （2）用单调性定义证明函数( )f x是R上的增函数； （3）

27、若函数( )f x满足 2 (1)(2 )0f tft，求实数t的取值范围 【解答】解： （1）函数( ) x x m f xe e 是定义在R上的奇函数， (0)10fm ，得1m ， 检验可得 1 ( ) x x f xe e 为奇函数， 故1m 成立； （2）当1m 时， 1 ( ) x x f xe e ，为增函数， 设 12 xx，则 1212 1221 12 1111 ()() xxxx xxxx f xf xeeee eeee 12 1212 1212 1 ()(1) xx xxxx xxxx ee eeee e ee e ， 12 xx， 12 0 xx ee， 12 0 xx

28、 ee， 则 12 ()()0f xf x， 即 12 ()()f xf x，即( )f x在R上为增函数 （3）由 2 (1)(2 )0f tft得 2 (2 )(1)(1)ftf tft ， ( )f x在R上为增函数， 2 21tt ，即 2 210tt ， 第 13 页（共 16 页） 得(1)(21)0tt， 得 1 1 2 t ， 即实数t的取值范围是 1 1 2 t 20 （12 分）已知函数 2 ( )2 3cos2sin cos3f xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）当,0 4 x 时，不等式( )3f xm恒成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1

29、）函数 2 ( )2 3cos2sin cos3f xxxx 1cos2 2 3sin23 2 x x 3cos2sin2xx 2sin(2 ) 3 x ， 故函数( )f x的最小正周期为； （2）不等式( )3f xm对,0 4 x 时恒成立， 则3( )maxmf x， 因为,0 4 x ，则 5 2, 336 x ， 所以 1 sin(2 ) ,1 32 x ， 故( )1f x ，2， 所以( )2 max f x， 则32m ， 所以1m 21 （12 分）为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为 10 米的圆形空地进行种植花草绿化改造规划如图所示，在中

30、央正六边形区域和六个相同 的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地设OAB，正六边形的面积为 1 S，六个矩形 的面积和为 2 S （1）用分别表示区域面积 1 S， 2 S； （2）求种植鲜花区域面积的最大值 （参考数据： 3 tan41 2 ， 2 3 tan49) 3 第 14 页（共 16 页） 【解答】解：连接BO，OC，OD，过点O作BC的垂线，交BC于点E，交AD于点F， 要想求出正六变形面积，首先应该求出BC边长， 因为正六边形， 所以三角形BOC为等边三角形， 由图可知，三角形OAD为等腰三角形， E，F分别为BC，AD中点，OABAOF ， 22sin20sinADBCAFAO

31、， 正六边形面积大小等于 6 个以BC为边长的等边三角形面积和， 22 1 3 6600 3sin 4 SBC， 要想求出矩形的面积就要知道BC和AB的长度， 3 cos10cos10 3sin 2 ABEFOFOEOABC， 2 2 66(10cos10 3sin )20sin1200sincos1200 3sinSABBC， 所以 2 1 600 3sinS， 2 2 1200sincos1200 3sinS （2）求种植鲜花的最大面积就是求 12 SS的最大值， 设 2 12 1200sincos600 3sin600sin2300 3cos2300 3ySS， 1200cos2600

32、3sin2y ， 第 15 页（共 16 页） 令0y，解得 2 3 tan2 3 ， 当249，0y， 当249，0y， 所以当249时，y取得最大值， 所以600sin49300 3cos49300 3 max y， 因为 2 3 tan49 3 ， 所以 2 7 sin49 7 ， 21 cos49 7 ， 所以种植鲜花的最大面积为300( 73) 22 （12 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 4 ( )log (41) x f xx （1）求0 x 时，( )f x的解析式； （2）设 1 ,1 2 x，函数 ( ) ( )442 f xx g xaa，是

33、否存在实数a使得( )g x的最小值为 15 4 ， 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）设0 x ，则0 x ， 则 4 ()log (41)( ) x fxxf x ， 故 4 ( )log (41) x f xx； （2）由（1）可知， 1 ,1 2 x时， ( )2 ( )4424(41)42(4 )(1)42 f xxxxxxx g xaaaaaa， 由 1 2 x，1，得42 x ，4，设4xt ，则2t，4， 故 2 ( )(1)2h ttata，2t，4，对称轴是 1 2 a t ， 函数( )g x在 1 2 ，1上有最小值15 4 即为( )h t在

34、2，4上有最小值15 4 ， 1 2 2 a 即5a 时，( )h t在2，4递增， 故( )minh th（2） 15 6 4 ，此时，不存在满足条件的实数a； 1 24 2 a 剟即95a剟时，( )h x在2， 1) 2 a 递减，在 1 ( 2 a ，4递增， 第 16 页（共 16 页） 故 2 110115 ( )() 244 min aaa h xh ，解得：2a 或8a ， 此时，8a 满足条件； 1 4 2 a 即9a 时，函数( )h t在2，4递减， 故( )minh th（4） 15 220 4 a，解得： 65 9 8 a ， 此时，不存在满足条件的实数a； 综合，存在满足条件的8a ，使得( )g x的最小值为15 4