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2020-2021学年河南省九师联盟高二(上)联考数学试卷(文科)(1月份).docx

1、第 1 页(共 15 页) 2020-2021 学年河南省九师联盟高二(上)联考数学试卷(文科)学年河南省九师联盟高二(上)联考数学试卷(文科) (1 月份)月份) 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 (5 分)命题“1x ,210 x ”的否定是( ) A1x ,21 0 x B 0 1x , 0 21 0 x C 0 1x, 0 210 x D 0 1x, 0 21 0 x 2 (5 分)抛物线 2 4yx的焦点坐

2、标是( ) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16,0) 3 (5 分)已知函数( )23(0) x f xxfe,则f(1)( ) A 3 2 e B32e C23e D23e 4 (5 分)关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是( ) A1m B0m C1m D0m 5 (5 分)已知函数 32 ( )f xxaxbx在1x 处有极值,则f(2)等于( ) A1 B2 C3 D4 6 (5 分)命题“ABC中,若 222 ABBCAC,则ABC是钝角三角形”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D

3、3 7 (5 分)若P是以 1 F, 2 F为焦点的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点,且 12 0PFPF, 12 5 tan 12 PFF,则此椭圆的离心率为( ) A 119 17 B 15 17 C 13 15 D 13 17 8(5 分) 已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F,P是C上一点, 若 1 5 | 2 PF , 则 2 | (PF ) A 1 2 B 9 2 C 1 2 或 9 2 D1 或 9 2 9 (5 分)若函数 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 第 2 页

4、(共 15 页) ( ) A(,2)(2,) B(0,2)(2,) C(2,) D2 10 (5 分)如图, 1 F, 2 F是双曲线 22 2 :1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点,过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A,B两点,若点A为 2 F B的中点,且 12 FBF B,则 12 | (FF ) A4 B4 3 C6 D9 11 (5 分)以(0,2)M为圆心,4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A,B两点,如图, 点P是优弧AB上不同于A,B的一个动点,过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N, 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8,1

5、2 C8,12) D8,12 12 (5 分)已知函数 2 ( )() 2 a f xxxlnx aR,若对任意 12 0 xx, 12 ()()f xf x恒成立, 则a的取值范围为( ) A1,) B(,1 Ce,) D1, e 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 第 3 页(共 15 页) 13 (5 分)函数( )sin1 x f xex的图象在点(0,(0)f处的切线的方程是 14 (5 分)王安石在游褒禅山记中写道: “世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在险远,而 人之所罕至焉,故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“

6、奇伟、瑰怪,非常之观” 的 条件 (填“充分” “必要” “充要”中的一个) 15 (5 分)椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 1 2 ,则m 16 (5 分)已知长为 4 的线段AB的两个端点A,B都在抛物线 2 2yx上滑动,若M是线 段AB的中点,则点M到x轴的最短距离是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)求下列函数的导数: (1) 3 2 ( )6f xxx x ; (2) cos ( ) x x f x e ; (3) 2 2 ( )(1) logf xxx 18 (

7、 12 分 ) 已 知p: 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ;q: 函 数 2 ()21( 0 , 1 )fxxm xm x 的最大值不超过 2若pq为真命题,pq为假命题, 求实数m的取值范围 19 (12 分)已知过点(2,2)的双曲线C的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,一条渐 近线的方程是20 xy (1)求双曲线C的方程; (2) 若直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A,B, 线段AB的中点在圆 22 5xy 上,求实数m的值 20 (12 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的准线与圆 22 (3)25xy相切 (1)求抛物线C的方程

8、及其焦点F的坐标; (2) 如图, 过点( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P,Q, 交直线4x 于点(G Q在 PG之间) ,直线QF交直线1x 于点H,/ /GHPF,求直线l的方程 第 4 页(共 15 页) 21 (12 分)已知函数( )()(2.71828 x f xeax aR e是自然对数的底数) (1)求( )f x的单调区间; (2)求函数( )f x的零点的个数 22 (12 分) 已知 1 F, 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点, 点R的坐标是 3 (1, ) 2 , 12 | 2RFRFa,椭圆C的离心率为 1 2 (1)

9、求椭圆C的方程; (2)在圆 22 :3O xy上取一点P,过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M,N两点, 问以MN为直径的圆能否过坐标原点O?若能, 求出OMN的面积; 若不能, 请说明理由 第 5 页(共 15 页) 2020-2021 学年河南省九师联盟高二(上)联考数学试卷(文科)学年河南省九师联盟高二(上)联考数学试卷(文科) (1 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要

10、求的。 1 (5 分)命题“1x ,210 x ”的否定是( ) A1x ,21 0 x B 0 1x , 0 21 0 x C 0 1x, 0 210 x D 0 1x, 0 21 0 x 【解答】解:由全称命题的否定是特称命题, 可知“1x ,210 x ”的否定为“ 0 1x , 0 21 0 x “ 故选:B 2 (5 分)抛物线 2 4yx的焦点坐标是( ) A(0,1) B 1 (0,) 16 C(1,0) D 1 (16,0) 【解答】解:抛物线 2 4yx的标准方程为 2 1 4 xy, 1 8 p ,开口向上,焦点在y轴的正半 轴上, 故焦点坐标为 1 (0,) 16 , 故

11、选:B 3 (5 分)已知函数( )23(0) x f xxfe,则f(1)( ) A 3 2 e B32e C23e D23e 【解答】解:( )23(0) x fxfe, (0)23(0)ff ,解得(0)1f , ( )23 x fxe , f (1)23e 故选:C 4 (5 分)关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是( ) A1m B0m C1m D0m 第 6 页(共 15 页) 【解答】解:因为 12 42(21)10 xxx m , 所以关于x的方程 1 420 xx m 有实根的充要条件是0m 故选:D 5 (5 分)已知函数 32 ( )f xxaxbx在

12、1x 处有极值,则f(2)等于( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解: 2 ( )32fxxaxb, 由题意知f(1)0,即320ab,所以23ab , 所以f(2)84282(2)82 ( 3)2abab 故选:B 6 (5 分)命题“ABC中,若 222 ABBCAC,则ABC是钝角三角形”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解:根据题意,原命题为“ABC中,若 222 ABBCAC,则ABC是钝角三角 形” , 若 222 ABBCAC,则 222 cos0 2 ABBCAC B ABBC ,则B为钝角,则ABC是钝角三

13、角 形, 则原命题是真命题, 其逆命题为“若ABC是钝角三角形,则 222 ABBCAC” , ABC是钝角三角形,而B不一定是钝角,即 222 ABBCAC不一定成立, 则其逆命题是假命题, 则原命题的逆否命题为真,否命题为假, 故有 2 个是真命题; 故选:C 7 (5 分)若P是以 1 F, 2 F为焦点的椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上的一点,且 12 0PFPF, 12 5 tan 12 PFF,则此椭圆的离心率为( ) A 119 17 B 15 17 C 13 15 D 13 17 【解答】解:因为 12 0PFPF,所以 12 PFPF, 第 7 页(共 15

14、页) 在Rt 12 PFF中,根据 12 5 tan 12 PFF, 不妨设 2 | 5PF ,则 1 | 12PF , 22 12 |51213FF , 所以213c ,所以 12 2| 17aPFPF, 所以 213 217 c e a 故选:D 8(5 分) 已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F,P是C上一点, 若 1 5 | 2 PF , 则 2 | (PF ) A 1 2 B 9 2 C 1 2 或 9 2 D1 或 9 2 【解答】解:由题意知132c , 1 3 |acPF, 所以点P在C的左支上,所以 21 | 1PFPF, 因为 1

15、 5 | 2 PF ,所以 2 5 |2 2 PF, 所以 2 9 | 2 PF 故选:B 9 (5 分)若函数 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是 ( ) A(,2)(2,) B(0,2)(2,) C(2,) D2 【解答】解:因为 2 ( )(2)f xxaxalnx既有极大值又有极小值, 且 2 2(2)(2)(1) ( )22(0) axaxaxa x fxxax xxx , 所以( )0fx有两个不相等的正实数解, 所以0 2 a ,且1 2 a ,解得0a ,且2a 故选:B 10 (5 分)如图, 1 F, 2 F是双曲线 22 2 :

16、1(0) 3 xy Ca a 的左、右焦点,过 2 F的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于A,B两点,若点A为 2 F B的中点,且 12 FBF B,则 12 | (FF ) 第 8 页(共 15 页) A4 B4 3 C6 D9 【解答】解:因为点A为 2 F B的中点,所以 1 / /OAFB, 又 12 FBF B,所以 2 OAF B, 12 | | |OFOFOB, 所以 21 60AOFAOBBOF , 所以 3 tan603 a ,所以1a 所以 12 | 2 134FF 故选:A 11 (5 分)以(0,2)M为圆心,4 为半径的圆与抛物线 2 :8C xy相交于A,B两点

17、,如图, 点P是优弧AB上不同于A,B的一个动点,过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N, 则PMN的周长的取值范围是( ) A(8,12) B(8,12 C8,12) D8,12 【解答】解:圆心(0,2)M也是抛物线C的焦点,设PN与抛物线的准线2y 交于点H, 根据抛物线的定义,可得| |MNNH, 故PMN的周长| | 4lNHNPMPPH 第 9 页(共 15 页) 设点B的坐标为 0 (x, 0) y,则(4,2)B 由于点P不与A、B两点重合,也不在y轴上, 所以|PH的取值范围为(4,8), 所以PMN的周长的取值范围为(8,12) 故选:A 12 (5 分)已知函数 2 ( )

18、() 2 a f xxxlnx aR,若对任意 12 0 xx, 12 ()()f xf x恒成立, 则a的取值范围为( ) A1,) B(,1 Ce,) D1, e 【解答】解:由题意知函数( )f x在(0,)上单调递增, 因为( )1fxaxlnx,所以转化为( ) 0fx在(0,)上恒成立, 因为(0,)x,所以 1lnx a x 在(0,)上恒成立, 即转化为 1 ()max lnx a x ,令 1 ( ) lnx g x x ,则 2 ( ) lnx g x x , 所以当(0,1)x时,( )0g x,当(1,)x时,( )0g x, 所以( )g x在(0,1)上单调递增,在

19、(1,)上单调递减, 所以( )maxg xg(1)1,所以1a, 故选:A 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13(5 分) 函数( )sin1 x f xex的图象在点(0,(0)f处的切线的方程是 10 xy 【解答】解:因为(0)1f, ( )sin1 x f xex的导数为( )(sincos ) x fxexx, 所以切线的斜率(0)1fk, 切线方程是1yx ,即10 xy 第 10 页(共 15 页) 故答案为:10 xy 14 (5 分)王安石在游褒禅山记中写道: “世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在险远,而 人

20、之所罕至焉,故非有志者不能至也 ”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪,非常之观” 的 必要 条件 (填“充分” “必要” “充要”中的一个) 【解答】解:因为“非有志者不能至” ,所以“能至是有志者” , 因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的必要条件 故答案为:必要 15 (5 分)椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 1 2 ,则m 3 或16 3 【解答】解:方程中 4 和m哪个大,哪个就是 2 a, ()若04m,则 2 4a , 2 bm, 4cm , 41 22 m e ,得3m ; ()4m ,则 2 4b , 2 am, 4cm , 41 2 m e m ,得 16

21、3 m ; 综上:3m 或 16 3 m , 故答案为:3 或16 3 16 (5 分)已知长为 4 的线段AB的两个端点A,B都在抛物线 2 2yx上滑动,若M是线 段AB的中点,则点M到x轴的最短距离是 15 8 【解答】解:设抛物线 2 2yx的焦点为F, 过点A,B,M作抛物线 2 2yx的准线 1 8 y 的垂线,垂足分别是 1 A, 1 B, 1 M, 则 11 1 |1 | 2 222 AABBAFBF MMAB , 当且仅当A,B,F三点共线时等号成立, 所以当弦AB过抛物线的焦点F时, 1 |MM取最小值 2, 第 11 页(共 15 页) 此时,点M到x轴的距离取最小值为

22、115 2 88 故答案为:15 8 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)求下列函数的导数: (1) 3 2 ( )6f xxx x ; (2) cos ( ) x x f x e ; (3) 2 2 ( )(1) logf xxx 【解答】解: (1) 32 2 22 ( )()(6 )( )36fxxxx xx ; (2) 2 sincossincos ( ) () xx xx xex exx fx ee ; (3) 2 2 (1) ( )2(1) 2 x fxxlog x xln

23、18 ( 12 分 ) 已 知p: 方 程 22 1 5 xy mm 对 应 的 图 形 是 双 曲 线 ;q: 函 数 2 ()21( 0 , 1 )fxxm xm x 的最大值不超过 2若pq为真命题,pq为假命题, 求实数m的取值范围 【解答】解:对于p,因为方程 22 1 5 xy mm 对应的图形是双曲线, 所以(5)0m m,解得0m 或5m 所以若p为真命题,则0m 或5m 对于q:当0m时,( )(0)12 max f xfm ,解得1m,所以10m 剟; 当01m时, 2 ( )( )1 2 max f xf mmm ,解得1 515 22 m 剟,所以01m; 当1m时,(

24、 )maxf xf(1)2m,所以12m剟 所以若q为真命题,则12m 剟 若pq为真命题,pq为假命题,则p,q一真一假 若p真q假,则实数m满足 05 12 mm mm 或 或 ,解得1m 或5m ; 若p假q真,则实数m满足 05 12 m m 剟 ,解得02m剟 第 12 页(共 15 页) 综上,实数m的取值范围为(, 1)0 ,2(5,) 19 (12 分)已知过点(2,2)的双曲线C的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,一条渐 近线的方程是20 xy (1)求双曲线C的方程; (2) 若直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A,B, 线段AB的中点在圆 22 5xy 上,求实数m的值

25、 【解答】解: (1)设双曲线C的方程是 22 ( 2 )(0)xy , 则 22 (22)( 2),解得2, 所以双曲线C的方程是 22 22xy,即 2 2 1 2 y x (2)将yxm,代入 2 2 1 2 y x 消去y,并整理得 22 220 xmxm 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,线段AB的中点为 0 (M x, 0) y, 则 22 44(2)0mm, 12 2xxm, 所以 12 0 2 xx xm , 00 2yxmm 因为点 0 (M x, 0) y在圆 22 5xy上, 所以 22 (2 )5mm解得1m 20 (12 分)已知抛物线 2 :

26、2(0)C ypx p的准线与圆 22 (3)25xy相切 (1)求抛物线C的方程及其焦点F的坐标; (2) 如图, 过点( 1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点P,Q, 交直线4x 于点(G Q在 PG之间) ,直线QF交直线1x 于点H,/ /GHPF,求直线l的方程 第 13 页(共 15 页) 【解答】解: (1)因为抛物线 2 2ypx的准线 2 p x 与圆 22 (3)25xy相切, 所以35 2 p ,解得4p 所以抛物线C的方程是 2 8yx,焦点F的坐标(2,0) (2)由题意可知直线l与坐标轴不垂直, 设直线l的方程为(1)(0)yxkk, 1 (P x, 1) y,

27、2 (Q x, 2) y 联立 2 8 , (1), yx yx k 消去y得 2222 (28)0 xxkkk 由 222 (28)40kk,解得22k 所以22k且0k 由韦达定理得 2 12 2 82 xx k k , 12 1x x 因为/ /GHPF,所以 | | PQQF GQQH ,所以 122 22 2 41 xxx xx 整理得 1212 ()8x xxx,所以 2 2 82 7 k k ,整理得 2 8 9 k 解得 2 2 3 k,经检验, 2 2 3 k满足0 所以所求直线l的方程为 2 2 (1) 3 yx或 2 2 (1) 3 yx 即 2 22 2 33 yx或

28、2 22 2 33 yx 21 (12 分)已知函数( )()(2.71828 x f xeax aR e是自然对数的底数) (1)求( )f x的单调区间; (2)求函数( )f x的零点的个数 【解答】解: (1)因为( ) x f xeax,所以( ) x fxea, 当0a时,( )0fx恒成立, 所以( )f x的单调递增区间为(,) ,无单调递减区间; 当0a 时,令( )0fx,得xlna;令( )0fx,得xlna, 所以( )f x的单调递减区间为(,)lna,单调递增区间为(,)lna (2)显然0 x 不是函数( )f x的零点,由0 x eax,得 x e a x ,(

29、0)x , 第 14 页(共 15 页) 令( ) x e g x x ,(0)x ,则 2 (1) ( ) x ex g x x , 0 x 或01x时( )0g x,1x 时( )0g x, 所以( )g x在(,0)和(0,1)上都是减函数,在(1,)上是增函数,1x 时( )g x取极小值e, 又当0 x 时,( )0g x , 所以0 ae时关于x的方程 x e a x 无解, ae或0a 时关于x的方程 x e a x 只有一个解, ae时关于x的方程 x e a x 有两个不同解 因此,0 ae时,( )f x没有零点, ae或0a 时,( )f x有一个零点, ae时,( )

30、x e f x x 有两个零点 22 (12 分) 已知 1 F, 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、 右焦点, 点R的坐标是 3 (1, ) 2 , 12 | 2RFRFa,椭圆C的离心率为 1 2 (1)求椭圆C的方程; (2)在圆 22 :3O xy上取一点P,过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M,N两点, 问以MN为直径的圆能否过坐标原点O?若能, 求出OMN的面积; 若不能, 请说明理由 【解答】解: (1) 12 | 2RFRFa, 点 3 (1, ) 2 R在椭圆C上, 22 19 1 4ab 又离心率 2 2 1 1 2 b e a , 22 34

31、ab 解得2a ,3b 椭圆C的方程为 22 1 43 xy 第 15 页(共 15 页) (2)若以MN为直径的圆过坐标原点O,则OMON 当切线l的斜率不存在时,切线l的方程是:3x 或3x , l与椭圆 22 :1 43 xy C相交于M,N两点, 此时 3 ( 3,) 2 M, 3 ( 3,) 2 N或 3 (3,) 2 M , 3 (3,) 2 N , 39 30 44 OM ON, 当切线l的斜率不存在时,OMON不成立 当切线l的斜率存在时,设切线l的方程是yxmk, 则 2 | 3 1 m k ,即 22 3(1)m k 联立得 22 , 1, 43 yxm xy k 得 22

32、2 (34)84120 xmxmkk 直线l与椭圆C相交于M,N两点,0,化简得 22 43mk 设 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y, 则 12 2 8 34 m xx k k , 2 12 2 412 34 m x x k , 22 22 12121212 2 312 ()()() 34 m y yxmxmx xm xxm k kkkk k 若0OM ON,则 1212 0 x xy y, 222 22 412312 0 3434 mm k kk ,化简得, 22 712120m k 联立,并消去m得, 22 212112120kk,即 2 1 k,显然无解, 当直线l的斜率存在时,OMON也不可能成立 综上所述,以MN为直径的圆不可能过坐标原点O

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