2020-2021学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C4 D8 2 （5 分）若直线 1 l、 2 l的方向向量分别为(1a ，2，2)，( 2b ，3，2)，则 1 l与 2 l的 位置关系是( ) A 12 ll B 12 / /ll

2、C 1 l、 2 l相交不垂直 D不能确定 3 （5 分）已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则 PAPBPCPD等于( ) A4PG B3PG C2PG DPG 4 （5 分） 5 (2)xy的展开式中 23 x y的系数为( ) A80 B80 C40 D40 5（5 分） 已知直线l的方程为34xyb， 圆C的方程为 22 2210 xyxy ， 则 “2b ” 是“l与C相切”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）某校开设A类选修课 2 门，B类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类 课

3、程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A3 种 B6 种 C9 种 D18 种 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c（其 中0)c ，过焦点 1 F向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C的右支于点P，若 12 2 FPF ，则双曲线C的渐近线方程为( ) A0 xy B20 xy C20 xy D30 xy 8 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 2ACBCAA，设点M是棱 11 AC 第 2 页（共 21 页） 的中点，点P在底面ABC所在平面内，若平面 1 B M

4、P分别与平面 11 AAC C和平面ABC所成的 锐二面角相等，则点P到点B的最短距离是( ) A 2 5 5 B 2 2 C1 D 6 3 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）方程 22 1 104 xy mm 表示的曲线可能是( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 10 （5 分）已知抛物线 2 4yx焦

5、点为F，点(1,3)A，点P在抛物线上，则下列结论正确的 是( ) A|PAPF的最小值为 3 B|PAPF的最大值为 7 C|PAPF的最小值为2 D|PAPF的最大值为 3 11 （5 分）关于 2020 (1)x 及其展开式，下列说法正确的有( ) A该二项展开式中第六项为 61007 2020 Cx B该二项展开式中非常数项的系数和为1 C该二项展开式中不含有理项 D 2020 9除以 100 的余数是 1 12（5 分） 如图所示， 已知平面四边形ABCD，3ABBC，1AD ，5CD ， 2 ADC ， 沿直线AC将ABC翻折成AB C，下列说法正确的是( ) A2B D AC B

6、1BC AD 第 3 页（共 21 页） C直线AC与B D成角余弦的最大值为 6 6 D点C到平面AB D的距离的最大值为 210 7 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 024 444 CCC 14 （5 分）在四棱锥PABCD中，(4AB ，2，4)，( 4AD ，1，0)，( 6AP ，2， 8)，则这个四棱锥的高h 15 （5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、 乙、

7、丙三位同学依次选一个作为礼物， 甲同学喜欢龙和马， 乙同学喜欢牛、 兔、 马和羊， 丙同学这十二个吉祥物都喜欢， 如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物， 那么不同的选法 有 种 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与 双曲线C的左支交于点A， 与右支交于点B， 若 1 | 2A Fa， 12 2 3 F AF ， 则 12 2 AF F ABF S S ， 双曲线C的离心率为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出

8、文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知圆 22 :(1)9Cxy内有一点(2,2)P，过点P作直线l交圆C于A、B两 点 （）当经过圆心C时，求直线l的方程； （）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程 18 （12 分）在4OA OB ， | 3 | MA MB ，以AB为直径的圆与准线相切，这三个条件 中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l的一般方程 问题：已知抛物线 2 :4C yx，过x轴正半轴上一点M，倾斜角为 3 的直线l交抛物线C于 A，B两点，_，求直线l的一般方程 19 （12 分）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 3AAABBC，2AC ，D是

9、AC的中点 （）求证： 1 / /BC平面 1 ABD； （）求直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知 0 (A x，0)， 0 (0,)By两点分别 在x轴和y轴上运动，且| 1AB ，若动点( , )P x y满足52OPOAOB （）求动点P的轨迹C的方程； （）已知点(0,2)D，斜率为k的直线l交曲线C于M，N两点如果DMN的重心恰好 在x轴上，求k的取值范围 21 （12 分）如图，正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，且 1(EDFBE，F在平面ABCD

10、同侧） ，G为线段EC上的动点 （）求证：AGDF； （）求 22 AGBG的最小值，并求取得最小值时二面角BAGC的余弦值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点为 1 F， 2 F，且 12 | 2FF ，左、 右顶点为M，N （）若椭圆E的离心率 1 2 e ，设点( 4P ，)(0)n n ，直线PN交椭圆E于点Q，且直线 MP，MQ的斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值； （）斜率为k的直线l过 2 F，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时， 1 ABF的内切圆 面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围 第 5 页（

11、共 21 页） 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）抛物线 2 8yx的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：由 2 28ypxx，知4p ，又焦点到准线的距离就是p 故选：C 2 （5 分）若直线 1 l、 2 l的方

12、向向量分别为(1a ，2，2)，( 2b ，3，2)，则 1 l与 2 l的 位置关系是( ) A 12 ll B 12 / /ll C 1 l、 2 l相交不垂直 D不能确定 【解答】解：直线 1 l、 2 l的方向向量分别为(1a ，2，2)，( 2b ，3，2)， 2640a b ， 1 l与 2 l的位置关系是 12 ll 故选：A 3 （5 分）已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则 PAPBPCPD等于( ) A4PG B3PG C2PG DPG 【解答】解：如图，PAPGGA，PCPGGC，PBPGGB，PDPGGD， 第 7 页（共 21 页）

13、4()()4PAPBPCPDPGGAGCGBGDPG 故选：A 4 （5 分） 5 (2)xy的展开式中 23 x y的系数为( ) A80 B80 C40 D40 【解答】解： 5 (2)xy的展开式的通项公式为 5 15 (2 )() rrr r TCxy ， 令3r ，可得展开式中 23 x y的系数为 22 5 240C ， 故选：D 5（5 分） 已知直线l的方程为34xyb， 圆C的方程为 22 2210 xyxy ， 则 “2b ” 是“l与C相切”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：圆C的方程为 22 2210 xyxy

14、 即 22 (1)(1)1xy， 圆心是(1, 1)，半径是1r ， 2b 时，直线:3420lxy， 圆心(1, 1)到直线3420 xy的距离是 |342| 1 916 dr ， 故直线和圆相切，是充分条件， 若直线l和圆相切，则圆心(1, 1)到直线340 xyb的距离 |34| 1 916 b dr ，即|7| 5b，解得：2b 或12b ， 故“2b ”是“l与C相切”的充分不必要条件， 故选：A 6 （5 分）某校开设A类选修课 2 门，B类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类 课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A3 种 B6 种 C9 种 D18 种 【解答

15、】解：可分以下 2 种情况：A类选修课选 1 门，B类选修课选 2 门，有 12 23 C C种不 同的选法； A类选修课选 2 门，B类选修课选 1 门，有 21 23 C C种不同的选法 第 8 页（共 21 页） 根据分类计数原理知不同的选法共有 1221 2323 639C CC C种 故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 9 种 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c（其 中0)c ，过焦点 1 F向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C的右支于点P，若 12 2 FPF

16、 ，则双曲线C的渐近线方程为( ) A0 xy B20 xy C20 xy D30 xy 【解答】解：设过焦点 1 F向渐近线 b yx a 作垂线，垂足为M，如图所示， 点 1 F到 b yx a 的距离为 1 2 ( )1 b c a MFb b a ， 112 2 FMOFPF ， 2 / /OMPF， 又O为 12 FF的中点， M为 1 PF的中点，即 11 22PFMFb， 在Rt 12 PFF中， 2222 2121 442PFFFPFcba， 由双曲线的定义知， 12 2PFPFa，即222baa， 2ba， 双曲线的渐近线方程为2 b yxx a 故选：B 8 （5 分）在直

17、三棱柱 111 ABCABC中，ACBC， 1 2ACBCAA，设点M是棱 11 AC 的中点，点P在底面ABC所在平面内，若平面 1 B MP分别与平面 11 AAC C和平面ABC所成的 第 9 页（共 21 页） 锐二面角相等，则点P到点B的最短距离是( ) A 2 5 5 B 2 2 C1 D 6 3 【解答】解：设点P在平面 11 AAC C内的射影为 P ，M在平面ABC内的射影为 M ， 平面 1 B MP分别与平面 11 AAC C所成的锐二面角为，平面 1 B MP分别与平面ABC所成的锐 二面角为， 在直三棱柱 111 ABCABC中，点C的射影为 1 C， 1 B的射影为

18、B， 则有 1 cos CP M PMB S S ， 1 cos PM B PMB S S ， 又因为， 所以coscos， 故 1 C P MPM B SS ， 因为 1 11 11 1 21 22 C P M SC M AA ， 设点P到 M B 的垂直距离为h，则 1 1 2 PM B M B Sh ， 在RtM BC中， 22 5M BM CCB ， 所以 2 5 5 h ， 故点P到点B的最短距离为PB M B 时，即点P到点B的最短距离为 2 5 5 故选：A 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的四个

19、选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 第 10 页（共 21 页） 9 （5 分）方程 22 1 104 xy mm 表示的曲线可能是( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线 【解答】解：当7m 时，曲线表示圆； 当(7,10)m，(4,7)m时，求出表示椭圆， 当(7,)m，(,4)m 时，曲线表示双曲线， 故选：ABD 10 （5 分）已知抛物线 2 4yx焦点为F，点(1,3)A，点P在抛物线上，则下列结论正确的 是( ) A|PAPF的最

20、小值为 3 B|PAPF的最大值为 7 C|PAPF的最小值为2 D|PAPF的最大值为 3 【解答】解：如图 1，点A在抛物线外，|PFPAAF，故|PAPF的最小值为 | 3FA ， 如图 2，只有当F，P，A三点共线时|PAPF最大，最大值为| 3FA ， 故选：AD 11 （5 分）关于 2020 (1)x 及其展开式，下列说法正确的有( ) A该二项展开式中第六项为 61007 2020 Cx B该二项展开式中非常数项的系数和为1 C该二项展开式中不含有理项 D 2020 9除以 100 的余数是 1 【解答】解： 2020 (1)x 的其展开式的通项公式为 2020 2 12020

21、 ( 1) r rr r TCx ， 第 11 页（共 21 页） 令5r ，可得第六项为 2015 5 2 2020 Cx，故A错误； 令2020r ，可得常数项为 1，令1x ，可得 2020 (1)x 的所有项的系数和为 0，故该二 项展开式中非常数项的系数和为1，故B正确 当0r ，2，4，2020 时，展开式为有理项，故C错误； 2020202002020120192018220192020 20202020202020202020 9(101)10101010CCCCC 由于等号右边除了最后一项外，其余的各项都能被 100 整除， 它除以 100 的余数，即 2020 2020 C

22、 除以 100 的余数， 故 2020 9除以 100 的余数是 1，故D正确， 故选：BD 12（5 分） 如图所示， 已知平面四边形ABCD，3ABBC，1AD ，5CD ， 2 ADC ， 沿直线AC将ABC翻折成AB C，下列说法正确的是( ) A2B D AC B1BC AD C直线AC与B D成角余弦的最大值为 6 6 D点C到平面AB D的距离的最大值为 210 7 【解答】解：如图：由平面四边形ABCD，3ABBC，1AD ，5CD ， 2 ADC ， 取AC中点为O， 则 630 , 22 ODOAOB， 2 AOB ， 1 sin 6 ACD，故 第 12 页（共 21 页

23、） 2 2 coscos(2)12sin 3 AODACDACD 取,aOA bOB cOD为 基 底 向 量 ， 由 已 知 得 630 | |,| 22 acb， 2 ,cos,(,) 23 a ba c ， 设,b c结合图形以及诱导公式可知： 55 cos 33 剟（当半平面ACD与半平面 ACB反向时取最小值，同向时取最大值） 故 662 () ()22202 223 B D ACcbaaa ca b ，故A对； 22 662630613 5cos () ()()cos0 2232222 BC ADabcaa cab ca b ，故B错； 6AC ， 22 |293 5cosB Dc

24、bcc bb， 设直线AC与B D成角余弦为， 则 2 cos| | 693 5cos B D AC B DAC ，当 5 cos 3 时，分母最小，故cos的值最大 为 26 6 5 693 5 3 ，故C正确； 当B点绕着AC转到CDBD，即 2 2 352BD 时，C点到平面AB D的距离小于或 等于5CD ，结合CDAD，可知CD 平面AB D，而此时，有3ABBDAD，故 平面AB D不存在，故D选项错误 故选：AC 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 024 444 CCC 8 【解答】解：根据

25、题意， 024 444 1618CCC ， 第 13 页（共 21 页） 故答案为：8 14 （5 分）在四棱锥PABCD中，(4AB ，2，4)，( 4AD ，1，0)，( 6AP ，2， 8)，则这个四棱锥的高h 2 【解答】 解： 因为在四棱锥PABCD中，(4AB ，2，4)，( 4AD ， 1，0)，( 6AP ， 2，8)， 设平面ABCD的法向量为( , , )nx y z，则有 0 0 n AB n AD ，即 4240 40 xyz xy ， 取1x ，则(1,4,1)n ， 则根据AP在n上投影的绝对值可得四棱锥的高 |6 2 |3 2 n AP h n 故答案为：2 15

26、 （5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、 乙、 丙三位同学依次选一个作为礼物， 甲同学喜欢龙和马， 乙同学喜欢牛、 兔、 马和羊， 丙同学这十二个吉祥物都喜欢， 如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物， 那么不同的选法 有 70 种 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 如果同学甲选龙，那么同学乙选牛、兔、马和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中任 意选，此时的选法有 11 410 40C A 种； 如果同学甲选马， 那么同学乙能选牛、 兔和羊的一种，

27、丙同学可以从剩下的 10 种中任意选， 此时的选法有 11 310 30C A 种 则不同的选法共有403070种， 故答案为：70 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线l与 双曲线C的左支交于点A， 与右支交于点B， 若 1 | 2A Fa， 12 2 3 F AF ， 则 12 2 AF F ABF S S 1 2 ， 双曲线C的离心率为 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：由双曲线的定义知， 21 | 2AFAFa， 12 | 2BFBFa， 2 | 4AFa， 12 | 2ABAFBFa，即

28、 2 | |ABBF， 12 2 3 F AF ， 2 2 33 BAF ， 2 ABF为等边三角形， 2 | | 4ABAFa， 12 2 1 |21 |42 AF F ABF S AFa SABa 在 12 AFF中，由余弦定理知， 222 1212 12 12 | cos 2| | AFAFFF F AF AFAF ， 222 24164 cos 3224 aac aa ，化简得 22 7ac， 离心率7 c e a 故答案为： 1 2 ；7 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程

29、或演算步骤） 17 （10 分）已知圆 22 :(1)9Cxy内有一点(2,2)P，过点P作直线l交圆C于A、B两 点 （）当经过圆心C时，求直线l的方程； （）求弦长AB的最小值，以及此时直线l的方程 【解答】解： （）已知圆 22 :(1)9Cxy的圆心为(1,0)C， 直线l过点P，C，直线l的斜率 20 2 21 k， 直线l的方程为2(1)yx，即220 xy； 第 15 页（共 21 页） （）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，此时lPC， 直线l的方程为 1 2(2) 2 yx ，即260 xy 18 （12 分）在4OA OB ， | 3 | MA MB ，以AB为直径的圆与准

30、线相切，这三个条件 中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l的一般方程 问题：已知抛物线 2 :4C yx，过x轴正半轴上一点M，倾斜角为 3 的直线l交抛物线C于 A，B两点，_，求直线l的一般方程 【解答】解：设( ,0)M a，直线l的倾斜角为 3 ，tan3 3 l k， 则直线l的方程为3()yxa 联立 2 3() 4 yxa yx ， 22 3(64)30 xaxa 令 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 64 3 a xx ， 2 12 x xa， 2 12121212 3()3()33 ()3y yxaxax xa xxa 22 64 3334

31、 3 a aaaa 若补充，4OA OB ，则 1212 4x xy y ，即 2 44aa ，得2a 直线l的方程为32 30 xy； 若补充， | 3 | MA MB ，则 1 2 3 y y ， 1 2 3 xa ax ， 即 12 3yy ， 12 34xxa， 联立 12 12 2 12 12 34 3 4 xxa yy x xa y ya ，解得 2 2 32 3 2 3 3 a x a y 代入抛物线方程，可得 2 2 332 ()4 33 aa ，解得1a 直线l的方程为330 xy； 若补充，以AB为直径的圆与准线相切， 第 16 页（共 21 页） 则 2212 1212

32、1 11( 3)()4 22 xx xxx x ， 22 3264 1()4 33 aa a ，解得1a ， 则直线l的方程为330 xy 19 （12 分）在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 3AAABBC，2AC ，D是AC的中点 （）求证： 1 / /BC平面 1 ABD； （）求直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值 【解答】 （）证明：连接 1 AB交 1 AB于点E，连接DE， 因为四边形 11 AAB B为平行四边形， 所以E为 1 AB的中点，因为D是AC的中点， 所以 1 / /DEBC，因为DE 平面 1 ABD， 1 BC 平面 1 ABD， 所以 1 /

33、/BC平面 1 ABD （）解：以D为原点，以DC为x轴，DB为y轴，以过D点平行于 1 AA的直线为z轴建 立空间直角坐标系， 因为 1 3AAABBC，2AC ， 所以(0D，0，0，)，(0B，2 2，0)， 1( 1 A ，0，3)， 1(0 B，2 2，3)， 所以(0DB ，2 2，0)， 1 ( 1DA ，0，3)， 11 (1A B ，2 2，0)， 设平面 1 ABD的法向量为(nx，y，) z， 所以 1 2 20 30 n DBy n DAxz ，取(3n ，0，1)， 则cosn， 11 11 11 310 10|103 n AB AB nAB ， 第 17 页（共 2

34、1 页） 所以直线 11 AB与平面 1 ABD成角的正弦值为 10 10 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知 0 (A x，0)， 0 (0,)By两点分别 在x轴和y轴上运动，且| 1AB ，若动点( , )P x y满足52OPOAOB （）求动点P的轨迹C的方程； （）已知点(0,2)D，斜率为k的直线l交曲线C于M，N两点如果DMN的重心恰好 在x轴上，求k的取值范围 【解答】解： （）由 0 (A x，0)， 0 (0,)By两点分别在x轴和y轴上运动，且| 1AB ， 可得 22 00 1xy， 又动点( , )P x y满足52OPOAOB，即(x，

35、 0 )( 5yx， 0 2)y， 则 0 5xx， 0 2yy，即 0 5 x x ， 0 2 y y ， 可得 22 ()( )1 25 xy ， 即为 22 1 54 xy ， 则动点P的轨迹C的方程为 22 1 54 xy ； （）设直线l的方程为yxmk，与椭圆方程 22 45200 xy联立， 可得 222 (45)105200 xmxmkk， 2222 1004(45)(520)0mmkk，即为 22 450mk， 第 18 页（共 21 页） 设M，N的坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 则 12 2 10 45 m xx k k ， 1212 22 1

36、08 ()2()2 4545 mm yyxxmm k kk kk ， 因为DMN的重心恰好在x轴上， 可得 12 2 0 3 yy ，即 2 8 2 45 m k ， 可得 2 454m k， 所以 2 40mm，解得40m ， 则 2 04516k， 解得 2 152 15 55 k 21 （12 分）如图，正方形ABCD边长为 1，ED 平面ABCD，FB 平面ABCD，且 1(EDFBE，F在平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点 （）求证：AGDF； （）求 22 AGBG的最小值，并求取得最小值时二面角BAGC的余弦值 【解答】 （）证明：正方形ABCD边长为 1，ED 平面AB

37、CD，FB 平面ABCD， 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系， 1(EDFBE，F在平面ABCD同侧） ，G为线段EC上的动点， (0D，0，0)，(1F，1，1)，(0E，0，1)，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(1B，1，0)， (1DF ，1，1)，( 1AE ，0，1)，( 1AC ，1，0)， 1 10DF AE ，1 10DF AC ， DFAE，DFAC， AEACA，AE 平面ACE，AC 平面ACE， 第 19 页（共 21 页） DF平面ACE， AG 平面ACE，AGDF （）解：设(0G，t，1)(01)tt剟， 则 222222

38、22 311 1(1)1(1)(1)4654() 44 AGBGttttttt ， 当 3 4 t 时，取得最小值 11 4 ， 此时(0G， 3 4 ， 1) 4 ，( 1AG ， 3 4 ， 1) 4 ，(0ABC，1，0)，( 1AC ，1，0)， 设平面ABG的一个法向量为(nx，y，) z， 则 0 31 0 44 n ABy n AGxyz ，取1x ，可得(1n ，0，4)， 由（1）可知平面AGC的一个法向量为(1mDF，1，1)， 则cosm， 55 51 |51317 m n n m n ， 故二面角BAGC的余弦值为 5 51 51 22 （12 分）已知椭圆 22 22

39、 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点为 1 F， 2 F，且 12 | 2FF ，左、 右顶点为M，N （）若椭圆E的离心率 1 2 e ，设点( 4P ，)(0)n n ，直线PN交椭圆E于点Q，且直线 第 20 页（共 21 页） MP，MQ的斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 k k为定值； （）斜率为k的直线l过 2 F，且与曲线E交于A，B两点，当k变化时， 1 ABF的内切圆 面积有最大值，求椭圆E的离心率e的取值范围 【解答】解： （） 12 | 2FF ，1c，又 1 2 e ，2a，3b ， 故椭圆的方程是： 22 1 43 xy ， 故(2,0)N，设PN

40、的直线方程为(2)yxk， 代入( 4, )Pn得：6n k，故 6 n k， PN的方程为：(2) 6 n yx ， 联立 22 (2) 6 1 43 n yx xy ，得： 2222 (27)441080nxn xn， 设 1 (Q x， 1) y，则 2 (N x， 2) (2y，0)， 由 22 12 22 4108254 2 2727 nn x x nn ， 故 2 1 2 254 27 n x n ， 2 11 22 25418 (2)(2) 662727 nnnn yx nn ， 故 2 2 254 ( 27 n Q n ， 2 18 ) 27 n n ，则 2 1 2 2 1

41、2 18 09 27 422 27 MQ n y n K nxn n k， 而 1 0 422 MP nn K k，故 12 99 2 24 n n k k，是定值； （）内切圆的半径 11 22 42 ABFABF SSS r laa 三角形 三角形 ， 设直线AB的方程是：(1)yxk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 1 1212 1 2| | | 2 ABF Scyyxxk， 联立 22 22 22 (1) (1) 1 yx ab xy ab k ， 得 222222222 ()2()0baxaxabkkk， 则： 22 12 222 2a xx ba k k

42、， 222 12 222 ()ab x x ba k k ， 第 21 页（共 21 页） 242 4(1)a bk， 故 22 2 121212 222222 21 |()4 ab xxxxx x baba k kk ， 2222 2 2222222 |1(1) 2() Sb rb ababa kkkk kk ， 设 2222 ()bat t bk?，则 2 2 2 tb a k， 故 22 222222 22 2 22222 (1) ()()()(1) tbtb btbtbabtbt aa rb tatat 2 22 22 11 1(1) b bb att ， 由 2 t b，则 2 11 0 tb ， 1 ABF的内切圆面积有最大值，即内切圆的半径取到最大值， 故函数 22 2 11 (1)1ybb tt 能取到最大值， 故对称轴 2 2 11 (0 2 b tb ， 2 1 b ，故 2 2 1 0 2 b b ，解得：1b ， 故 22 12ab ，故12a， 故 c e a 的取值范围是 2 ( 2 ，1)