2020-2021学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）经过点（0，3）且倾斜角为 0的直线方程为（ ） Ax3 By3 Cyx+3 Dy2x+3 2 （5 分）圆心为（3，4） ，半径是 2 的圆标准方程为（ ） A （x+3）2+（y4）24 B （x3）2+（y+4）24 C （

2、x+3）2+（y4）22 D （x3）2+（y+4）22 3 （5 分）若直线 l1：ax+2y+60 与直线 l2：x+（a1）y+（a21）0 平行，则 a 的值为 （ ） Aa1 Ba2 Ca2 Da1 4 （5 分）下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ） A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数 B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数 C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数 D甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差 5 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是三个不同的平面，有以下四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 m，n，mn，则 ； 若 ，则

3、 ； 若 ，m，则 m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 6 （5 分）某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中 随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概 率是（ ） 第 2 页（共 19 页） A1 3 B1 4 C1 2 D3 4 7 （5 分）设 x，y 满足 2 + 4 1 2 2 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A2 B1 C1 D2 8 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ） A43 B6 + 23 C12 D4 + 23 9 （5 分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿

4、基米德齐名他发现：平面内到两 个定点 A，B 的距离之比为定值 （1）的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆 以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系 xOy 中，A （2，0） ，B（4，0） ，点 P 满足| | = 1 2当 P，A，B 三点不共线时，PAB 面积的 最大值为（ ） A24 B12 C43 D3 10 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA14，E 为棱 CC1的中点，异 面直线 AE 与 CD 所成角为 ，则 sin2+cos2 的值为（ ） A22+1 3 B22+2 3 C2+1 3 D2+2 3 11（5分） 直线

5、x+y10与直线x2y40交于点P， 则点P到直线kxy+1+2k0 （kR） 的最大距离为（ ） A2 B2 C25 D4 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1内切球的表面积为 ，P 是空间中任意一点： 若点 P 在线段 AD1上运动，则始终有 C1PCB1； 若 M 是棱 C1D1中点，则直线 AM 与 CC1是相交直线； 若点 P 在线段 AD1上运动，三棱锥 DBPC1体积为定值； E 为 AD 中点，过点 B1，且与平面 A1BE 平行的正方体的截面面积为 6 2 ； 第 3 页（共 19 页） 若点 P 在线段 A1B 上运动，则 AP+PD1的最小值为2 + 2

6、以上命题为真命题的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知直线 l1：x+y20，l2：2x+ay30，若 l1l2，则实数 a 14 （5 分）某班有学生 50 人，现将所有学生按 1，2，3，50 随机编号，若采用系统抽 样的方法抽取一个容量为 5 的样本（等距抽样） ，已知编号为 4，a，24，b，44 号学生在 样本中，则 a+b 15 （5 分）在区间 1 2 ， 1 2上任取一个数 k，使直线 yk（x+3）与圆 x 2+y21 相交的概率 为 16 （5 分

7、）过圆 M： （x+1）2+（y1）2a2（a0）的圆心 M 作曲线 N：x2+y22tx2（t 2）y+2t24t+30 的切线，切点分别为 P，Q，则|MP|MQ|的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 在正方体中， 设 BC 的中点为 M、GH 的中点为 N （）请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ； （）证明：直线 MN平面 BDH； （）求二面角 AEGM 的余弦值 18 （12 分）

8、已知函数 f（x）ax 1+3 与直线 l 均过定点 A，且直线 l 在 x，y 轴上的截距依 次为 m 和 n （1）若直线 l 在 x，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 分别与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于 B，C 两点，求直线与两坐标轴正半轴 围成三角形 COB 面积最小时直线 l 的方程 19 （12 分）2019 年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10 月份全国居 第 4 页（共 19 页） 民消费指数（CPI）同比上涨 3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数 上涨的主要因素之一某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当

9、地 100 名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查， 得到 如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值，并求猪肉价格上涨幅度的中位数； （2）将猪肉价格上涨幅度预期值在10，30）和90，110）的居民分别定义为对市场“信 心十足型”和“信心不足型” ，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中 随机抽取 6 名，再从这 6 人中随机抽取 3 名进行跟踪调查，求所抽取的 3 人中有 2 人来 自“信心十足型”的概率 20 （12 分）第十八届中国国际农产品交易会于 11 月 27 日在重庆国际博览中心开幕，我市 全面推广“遂宁红薯”及“

10、遂宁鲜”农产品区域公用品牌，并组织了 100 家企业、1000 个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产 品的社会认知度和美誉度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁某记者 对本次农交会进行了跟踪报道和实际调查，对某特产的最满意度 x（%）和对应的销售额 y（万元）进行了调查得到以下数据： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 最满意度 x （%） 22 34 25 20 19 销售额 y（万 元） 78 90 86 76 75 （1）求销量额 y 关于最满意度 x 的相关系数 r；我们约定：销量额 y 关于最满意度 x 的 相关系数 r 的

11、绝对值在 0.95 以上 （含 0.95） 是线性相关性较强； 否则， 线性相关性较弱 请 你对线性相关性强弱作出判断，并给出理由； （2）如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的那一天不作 第 5 页（共 19 页） 为计算数据） ，并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的销量额 y 关于最满意度 x 的线性回 归方程（系数精确到 0.1） 参考数据： =24， =81， 5 =1 2 52=146， 5 =1 2 52=176， 5 =1 5 =151，146 12.08，176 13.27 附：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） 其回归直线

12、方程 = x+ 的斜 率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = =1 =1 22 ， = ，线性相关系数 r= =1 ( =1 22)( =1 22) 21 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90， 侧棱 AA12，AB22，点 D，E，F 分别为棱 CC1，A1B，AB 的中点 （1）求证：直线 CF平面 A1BD； （2）求点 A1到平面 ADE 的距离 22 （12 分）已知线段 RQ 的端点 Q 的坐标是（4，3） ，端点 R 在圆（x+2）2+（y+3）216 上运动，线段 RQ 中点的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）

13、直线 l 经过坐标原点， 且不与 y 轴重合， 直线 l 与曲线 C 相交于 M （x1， y1） ， N （x2， y2）两点，求证： 1 1 + 1 2为定值； （3）已知过点 P（m，3） （m0）有且只有一条直线与圆 x2+y210 相切，过点 P 作 两条倾斜角互补的直线与圆 x2+y210 交于 E，F 两点，求 E，F 两点间距离的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科）学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个

14、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）经过点（0，3）且倾斜角为 0的直线方程为（ ） Ax3 By3 Cyx+3 Dy2x+3 【解答】解：经过点（0，3）且倾斜角为 0的直线的斜率为 0， 故它的方程为 y3， 故选：B 2 （5 分）圆心为（3，4） ，半径是 2 的圆标准方程为（ ） A （x+3）2+（y4）24 B （x3）2+（y+4）24 C （x+3）2+（y4）22 D （x3）2+（y+4）22 【解答】解：圆心在（3，4）半径为 2 的圆方程为：

15、 （x+3）2+（y4）24 故选：A 3 （5 分）若直线 l1：ax+2y+60 与直线 l2：x+（a1）y+（a21）0 平行，则 a 的值为 （ ） Aa1 Ba2 Ca2 Da1 【解答】解：直线 l1：ax+2y+60 与直线 l2：x+（a1）y+（a21）0 平行， 1 = 2 1 6 21， 解得 a1 a 的值为1 故选：D 4 （5 分）下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ） A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数 B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数 C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数 第 7 页（共 19 页） D甲组学生得

16、分的方差大于乙组选手得分的方差 【解答】解：对于 A，甲组数据的平均数是甲= 1 5 （75+82+83+87+93）84， 乙组数据的平均数是乙= 1 5 （77+83+84+85+91）84， 所以甲= 乙，选项 A 错误； 对于 B，甲组数据的中位数是 83，乙组数据的中位数是 84， 所以甲的中位数小于乙的中位数，选项 B 错误； 对于 C，甲组数据的中位数是 83，乙组数据的平均数是 84， 所以甲的中位数小于乙的平均数，选项 C 错误； 对于 D，甲组数据的方差是甲2= 1 5 （9）2+（2）2+（1）2+32+92= 176 5 ， 乙组数据的方差是乙2= 1 5 （7）2+（

17、1）2+02+12+72= 100 5 ， 所以甲的方差大于乙的方差，选项 D 正确 故选：D 5 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是三个不同的平面，有以下四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 m，n，mn，则 ； 若 ，则 ； 若 ，m，则 m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【解答】解：若 m，则 m，又 n，则 mn，故正确； 若 m，n，mn，则 或 与 相交，故错误； 若 ，则 或 与 相交，故错误； 若 ，m，则 m，又 ，则 m，故正确 正确的命题是， 故选：D 6 （5 分）某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中 随机选择两种

18、颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概 率是（ ） 第 8 页（共 19 页） A1 3 B1 4 C1 2 D3 4 【解答】解：某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈， 决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是 P= 1 3 故选：A 7 （5 分）设 x，y 满足 2 + 4 1 2 2 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 zx+y 得 yx+z，平移直线 yx+z， 由图象

19、可知当直线 yx+z 经过点 B 时， 直线 yx+z 的截距最小，此时 z 最小 由2 + = 4 2 = 2，解得 = 2 = 0，即 B（2，0） ， 代入目标函数 zx+y 得 z2+02 即目标函数 zx+y 的最小值为 2 故选：D 8 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ） 第 9 页（共 19 页） A43 B6 + 23 C12 D4 + 23 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥； 如图所示： 所以该锥体的外接球半径满足（2R）222+22+22，解得 R= 3 所以球= 4 (3)2= 12 故选：C 9 （5 分）古

20、希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：平面内到两 个定点 A，B 的距离之比为定值 （1）的点所形成的图形是圆后来，人们将这个圆 以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系 xOy 中，A （2，0） ，B（4，0） ，点 P 满足| | = 1 2当 P，A，B 三点不共线时，PAB 面积的 最大值为（ ） A24 B12 C43 D3 【解答】解：设 P（x，y） ，因为| | = 1 2， 所以(+2) 2+2 (4)2+2 = 1 2， 化简整理可得 x2+8x+y20，即（x+4）2+y216， 所以点 P 的轨迹是以（4，0）为圆心，4 为半

21、径的圆， 又|AB|6，且点 A，B 在直径上， 故当点 P 到圆的直径距离最大的时候，PAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即PAB 的高的最大值为 4， 所以PAB 面积的最大值为1 2 6 4 = 12 故选：B 10 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA14，E 为棱 CC1的中点，异 面直线 AE 与 CD 所成角为 ，则 sin2+cos2 的值为（ ） 第 10 页（共 19 页） A22+1 3 B22+2 3 C2+1 3 D2+2 3 【解答】解：连结 BE，因为 ABCDA1B1C1D1为长方体， 所以 ABCD，则BAE

22、 即为异面直线 AE 与 CD 所成角为 ， 在 RtABE 中， = 2， = 2+ 2= 22， 所以 = 2+ 2=22+ (22)2= 23， 所以 sin= = 22 23 = 6 3 ，cos= = 2 23 = 3 3 ， 所以 sin2+cos22sincos+cos2= 2 6 3 3 3 + ( 3 3 )2= 22+1 3 故选：A 11（5分） 直线x+y10与直线x2y40交于点P， 则点P到直线kxy+1+2k0 （kR） 的最大距离为（ ） A2 B2 C25 D4 【解答】解： + 1 = 0 2 4 = 0，解得 = 2 = 1， 所以点 P 的坐标为（2，1

23、） ， 而直线 kxy+1+2k0，即 k（x+2）+1y0，恒过点 Q（2，1） ， 点 P 到直线 kxy+1+2k0 的距离最大值为 PQ= 2 (2)2+ (1 1)2= 25， 故选：C 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1内切球的表面积为 ，P 是空间中任意一点： 若点 P 在线段 AD1上运动，则始终有 C1PCB1； 若 M 是棱 C1D1中点，则直线 AM 与 CC1是相交直线； 若点 P 在线段 AD1上运动，三棱锥 DBPC1体积为定值； E 为 AD 中点，过点 B1，且与平面 A1BE 平行的正方体的截面面积为 6 2 ； 若点 P 在线段 A1B 上

24、运动，则 AP+PD1的最小值为2 + 2 以上命题为真命题的个数为（ ） 第 11 页（共 19 页） A2 B3 C4 D5 【解答】解：设正方体棱长 a，内切球半径为 R，则有 4R2R= 1 2a1 对于，CB1平面 ABC1D1，C1P 在平面 ABC1D1内，所以有 C1PCB1，则对； 对于，AM 与 CC1是异面直线，则错； 对于，因为底面 BPC1面积不是定值，而三棱锥 DCBP1的高是定值，所以三棱锥 D BPC1体积不为定值，则错； 对于， 取 BC 中点 F，A1D1中点 N，则菱形 NDFB1为截面，面积 S= 1 2 2 3 = 6 2 ， 所以对； 对于，将平面

25、AA1B 折成与平面 A1BD1共面，连接 AD1，此时 AP+PD1最小， 最小值为12+ 12 2 1 1 135 =2 + 2，所以对； 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知直线 l1：x+y20，l2：2x+ay30，若 l1l2，则实数 a 2 【解答】解：因为直线 l1：x+y20，l2：2x+ay30，且 l1l2， 所以有 12+1a0，解得 a2 故答案为：2 14 （5 分）某班有学生 50 人，现将所有学生按 1，2，3，50 随机编号，若采用系统抽 样的方法抽取一个容量为

26、 5 的样本（等距抽样） ，已知编号为 4，a，24，b，44 号学生在 样本中，则 a+b 48 【解答】解：根据系统抽样原理知，抽样间隔是 50510， 由样本数据编号为 4，a，24，b，44， 所以 a14，b34， 所以 a+b14+3448 故答案为：48 15 （5 分）在区间 1 2 ， 1 2上任取一个数 k，使直线 yk（x+3）与圆 x 2+y21 相交的概率 为 2 2 【解答】解：直线 yk（x+3）与圆 x2+y21 相交， 圆心（0，0）到直线 yk（x+3）的距离： 第 12 页（共 19 页） d= |3| 2+1 1，解得 2 4 2 4 ， 在区间 1 2

27、 ， 1 2上任取一个数 k， 使直线 yk（x+3）与圆 x2+y21 相交的概率为： P= 2 4+ 2 4 1 2+ 1 2 = 2 2 故答案为： 2 2 16 （5 分）过圆 M： （x+1）2+（y1）2a2（a0）的圆心 M 作曲线 N：x2+y22tx2（t 2）y+2t24t+30 的切线，切点分别为 P，Q，则|MP|MQ|的最小值为 7 【解答】解：圆 M： （x+1）2+（y1）2a2（a0）的圆心 M（1，1） ， 曲线 N：x2+y22tx2（t2）y+2t24t+30 化为标准方程为（xt）2+y（t2）2 1， 所以 N（t，t2） ，r1， 如图所示，则|MN

28、|= (1 )2+ 1 ( 2)2， 由 切 线 长 定 理 可 得 |MP| |MQ| = |2 1 = (1 )2+ 1 ( 2)2 1 = 22 4 + 9， 所以|MP|MQ|2t24t+92（t1）2+77， 所以|MP|MQ|的最小值为 7 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 在正方体中， 设 BC 的中点为 M、GH 的中点为 N （）请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ； （）证明：直线

29、 MN平面 BDH； （）求二面角 AEGM 的余弦值 第 13 页（共 19 页） 【解答】解： （）F、G、H 的位置如图； 证明： （）连接 BD，设 O 是 BD 的中点， BC 的中点为 M、GH 的中点为 N， OMCD，OM= 1 2CD， HNCD，HN= 1 2CD， OMHN，OMHN， 即四边形 MNHO 是平行四边形， MNOH， MN平面 BDH；OH面 BDH， 直线 MN平面 BDH； （）方法一： 连接 AC，过 M 作 MHAC 于 P， 则正方体 ABCDEFGH 中，ACEG， MPEG， 过 P 作 PKEG 于 K，连接 KM， EG平面 PKM 则

30、KMEG， 则PKM 是二面角 AEGM 的平面角， 设 AD2，则 CM1，PK2， 在 RtCMP 中，PMCMsin45= 2 2 ， 在 RtPKM 中，KM= 2+ 2= 32 2 ， cosPKM= = 22 3 ， 即二面角 AEGM 的余弦值为22 3 第 14 页（共 19 页） 方法二：以 D 为坐标原点， 分别为 DA，DC，DH 方向为 x，y，z 轴建立空间坐标系如图： 设 AD2，则 M（1，2，0） ，G（0，2，2） ，E（2，0，2） ，O（1，1，0） ， 则 =（2，2，0） ， = (1，0，2)， 设平面 EGM 的法向量为 =（x，y，z） ， 则

31、= 0 = 0 ，即2 2 = 0 + 2 = 0，令 x2，得 =（2，2，1） ， 在正方体中，DO平面 AEGC， 则 = =（1，1，0）是平面 AEG 的一个法向量， 则 cos ， = | |= 2+2 92 = 4 32 = 22 3 二面角 AEGM 的余弦值为22 3 18 （12 分）已知函数 f（x）ax 1+3 与直线 l 均过定点 A，且直线 l 在 x，y 轴上的截距依 次为 m 和 n （1）若直线 l 在 x，y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 分别与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于 B，C 两点，求直线与两坐标轴正半轴 围成三角形 CO

32、B 面积最小时直线 l 的方程 【解答】解： （1）因为 f（1）4，所以定点 A（1，4） ， 因为直线 l 在 x，y 轴上的截距相等， 第 15 页（共 19 页） 当 mn0 时，直线经过原点，设 ykx，又经过点 A，则有 k4，所以直线 l 的方程为 4xy0； 当 mn0 时，设直线 l 的方程为 + = 1，代入点 A（1，4） ，解得 mn5，所以 直线的方程为 x+y50 综上可得，直线 l 的方程为 4xy0 或 x+y50 （2）由题意可知直线的斜率必存在，设斜率为 k，则有 k0， 设直线 l 的方程为 y4k（x1） ， 令 x0，解得 y4k，令 y0，则 x=

33、1 4 ， 所以三角形 COB 的面积为 = 1 2 (4 ) (1 4 ) = 1 2( 16 + 8)， 因为 k0，则k0， 所以 16 2() 16 = 8，当且 = 16 ，即 k4 时取等号， 所以此时直线 l 的方程为 y44（x1） ，即 4x+y80 19 （12 分）2019 年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10 月份全国居 民消费指数（CPI）同比上涨 3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数 上涨的主要因素之一某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地 100 名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，

34、得到 如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中 a 的值，并求猪肉价格上涨幅度的中位数； （2）将猪肉价格上涨幅度预期值在10，30）和90，110）的居民分别定义为对市场“信 心十足型”和“信心不足型” ，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中 随机抽取 6 名，再从这 6 人中随机抽取 3 名进行跟踪调查，求所抽取的 3 人中有 2 人来 自“信心十足型”的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图，得： 第 16 页（共 19 页） （0.0050+a+0.0200+0.0075+0.0025）201 解得 a0.0150 10，50）的频率为： （0.0050+

35、0.0150）200.4， 50，70）的频率为：0.0200200.4， 猪肉价格上涨幅度的中位数为： 200.005020+400.015020+600.020020+800.007520+1000.002520 55 （2）将猪肉价格上涨幅度预期值在10，30）和90，110）的居民分别定义为对市场“信 心十足型”和“信心不足型” ， 采用分层抽样的方法从样本中位于10，30）和90，110）这两个区间的居民中随机抽取 6 名， 则“信心十足型”中抽取：6 0.0050 0.0050+0.0025 =4 人， “信心不足型”中抽取：6 0.0025 0.0050+0.0025 =2 人，

36、 再从这 6 人中随机抽取 3 名进行跟踪调查， 则基本事件总数 n= 6 3 =20， 所抽取的 3 人中有 2 人来自“信心十足型”包含的基本事件个数 m= 4 221 =12， 所抽取的 3 人中有 2 人来自“信心十足型”的概率为 P= = 12 20 = 3 5 20 （12 分）第十八届中国国际农产品交易会于 11 月 27 日在重庆国际博览中心开幕，我市 全面推广“遂宁红薯”及“遂宁鲜”农产品区域公用品牌，并组织了 100 家企业、1000 个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产 品的社会认知度和美誉度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了

37、解遂宁某记者 对本次农交会进行了跟踪报道和实际调查，对某特产的最满意度 x（%）和对应的销售额 y（万元）进行了调查得到以下数据： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 最满意度 x （%） 22 34 25 20 19 销售额 y（万 元） 78 90 86 76 75 第 17 页（共 19 页） （1）求销量额 y 关于最满意度 x 的相关系数 r；我们约定：销量额 y 关于最满意度 x 的 相关系数 r 的绝对值在 0.95 以上 （含 0.95） 是线性相关性较强； 否则， 线性相关性较弱 请 你对线性相关性强弱作出判断，并给出理由； （2）如果没有达到较强线性相关，则采取“

38、末位淘汰”制（即销售额最少的那一天不作 为计算数据） ，并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的销量额 y 关于最满意度 x 的线性回 归方程（系数精确到 0.1） 参考数据： =24， =81， 5 =1 2 52=146， 5 =1 2 52=176， 5 =1 5 =151，146 12.08，176 13.27 附：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） 其回归直线方程 = x+ 的斜 率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = =1 =1 22 ， = ，线性相关系数 r= =1 ( =1 22)( =1 22) 【解答】解： （1）r= 151 146176 =

39、 151 12.0813.27 0.94； r0.940.95，线性相关性较弱； （2）由（1）可得，没有达到较强线性相关，则淘汰销售额为 75 万元的数据， 剔除数据后的= 25.25，= 82.5， 4 =1 = 22 78 + 34 90 + 25 86 + 20 76 = 8446， 4 = 4 25.25 82.5 = 8332.5， 4 =1 2= 222+ 342+ 252+ 202= 2665， 4 2 = 4 25.25 25.25 = 2550.25， = 84468332.5 26652550.25 1， = = 82.5 25.25 77.3 线性回归方程为 = + 7

40、7.3 21 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90， 侧棱 AA12，AB22，点 D，E，F 分别为棱 CC1，A1B，AB 的中点 （1）求证：直线 CF平面 A1BD； （2）求点 A1到平面 ADE 的距离 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （1）连结 DE，EF，FC，则在三角形 A1AB 中 EF 为中位线， 于是 EFA1A， 因为 D 为 C1C 中点，所以 EF 平行且等于 DC所以在平行四边形 EFCD 中，CF 平行于 DE， 因为 DE 在平面 A1BD 上，所以 CF平面 A1BD （2）因为 CF 垂直于 A

41、B，CF 垂直于 AA1，所以 CF 垂直于平面 ABB1A1， 于是 DE 垂直于平面 ABB1A1， = 2， 三角形 ADE 的面积为 6 2 ，三角形 A1AE 的面积为2， 由1= 1得2 2 = 6 2 ， = 26 3 ， A1到平面 ADE 的距离为26 3 22 （12 分）已知线段 RQ 的端点 Q 的坐标是（4，3） ，端点 R 在圆（x+2）2+（y+3）216 上运动，线段 RQ 中点的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2） 直线 l 经过坐标原点， 且不与 y 轴重合， 直线 l 与曲线 C 相交于 M （x1， y1） ， N （x2， y2）两点，求

42、证： 1 1 + 1 2为定值； （3）已知过点 P（m，3） （m0）有且只有一条直线与圆 x2+y210 相切，过点 P 作 两条倾斜角互补的直线与圆 x2+y210 交于 E，F 两点，求 E，F 两点间距离的最大值 【解答】 （1）解：设 C（x，y） ，因为 C 为线段 RQ 的中点，设 R（x0，y0） ， 第 19 页（共 19 页） 由中点坐标公式可得， 0+4 2 = 0+3 2 = ， 所以0 = 2 4 0= 2 3， 又因为点 R（x0，y0）在（x+2）2+（y+3）216 上， 则（2x4+2）2+（2y3+3）216，整理可得（x1）2+y24， 所以曲线 C 的

43、方程为（x1）2+y24； （2）证明：设直线 l 的方程为 ykx， 直线 l 与曲线 C 相交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点， 联立方程组 = ( 1)2+ 2= 4，可得（k 2+1）x22x30， 则有1+ 2= 2 2+1 ，12= 3 2+1， 所以 1 1 + 1 2 = 1+2 12 = 2 2+1 3 2+1 = 2 3， 故 1 1 + 1 2为定值 2 3； （3）解：因为过点 P（m，3） （m0）有且只有一条直线与圆 x2+y210 相切， 故点 P（m，3）在圆 x2+y210 上， 则 m2+（3）210，又 m1，解得 m1， 所以点 P（1，3） ， 因为点 E，F 均在圆 x2+y210 上，故|EF|的最大值为圆的直径， 即当 PEPF 时， EF 为圆的直径， 此时过 P 点的两条直线的倾斜角互补， 一个是 135， 一个是 45， 故 E，F 两点间距离的最大值为210