2020-2021学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 4A ，2，1，0，1，2，4， 2 |2 0Bx xx ，则(AB ) A 4，2，4 B 4，2，1，2，4 C 4，2，4 D 4，2，1，2，4 2 （5 分）若复数z满足| 1zi，则复数z在复平面内的点的轨迹为( )

2、A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 3 （5 分）函数 1 ( )2 1 f xx x 的定义域是( ) A 2，) B 2，1)( 1，) C( 1,) D 2，1) 4 （5 分）已知向量(1, 3),2aa b，且, a b的夹角为60，若()abbk，则(k ) A2 B1 C 1 2 D 1 4 5 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条 渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF，且| 4ABb，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C3 D2 6 （5 分）我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦

3、图是由四个全等直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果内部小正方形的内切圆面积为 4 ， 外部大正方形的外接圆半径为 5 2 2 ，直角三角形中较大的锐角为，那么tan( 2 ) A 1 3 B 2 3 C 3 4 D 1 2 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）已知a，b都是正实数，则“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 ( )3 3 ba ”的( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数x都有 ( )( )1f xfx，则不等式(

4、)1 xx e f xe的解集为( ) A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知椭圆 22 1 9 xy m 的离心率是 3 3 ，则m的值可能是( ) A3 B6 C 27 2 D27 10 （5 分）在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，

5、电 影行业面临巨大损失.2011 2020年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的 是( ) A2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 11（5 分） 已知函数( )f x是定义在12a，1a 上的偶函数 当01x a剟时， 3 ( ) 1 f xx x ， 若 2 (log)1fm ，则( ) A2a B3a Cm的值可能是 4 Dm的值可能是 6 第 3 页（共 20 页） 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDAB

6、C D中，点E在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F是线 段 1 BB上一动点，则下列结论正确的有( ) AEFAC B存在一点F，使得 1 / /AEC F C三棱锥 1 DAEF的体积与点F的位置无关 D直线 1 AA，与平面AEF所成角的正弦值的最小值为 3 10 10 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）在 5 (3)x 的展开式中，含 3 x的项的系数等于 6666666666666 14（5 分） 将一个斜边长为 4 的等腰直角三角形以其一直角

7、边所在直线为旋转轴旋转一周， 所得几何体的表面积为 15 （5 分）已知0a ，0b ，且3ab，则 39 ab 的最小值是 16 （5 分）2020 年 10 月 11 日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排A，B， C，D，E，F六名工作人员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工 作人员，其中A，B安排到同一区市县工作，D，E不能安排在同一区市具工作，则不同 的分配方法总数为 种 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设数列 n a的前n项和为

8、n S， 1 1a ，且 1 3 ,2 2 n n a aS成等差数列 （1）证明：数列 n a是等比数列； （2）求数列 1 nn a a 的前n项和 n T 18第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日29日在成都举行，成都某机构 随机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次， 整理数据如表 （单位： 天） : 第 4 页（共 20 页） 打乒乓球 人次 天气状况 0，100 100，200 200，300 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1） 若用样本顿率作为总体概率， 随机调查本市 4 天， 设

9、这 4 天中阴天的天数为随机变量X， 求X的分布列和数学期望 （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好” 完成下面的22列联 表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 人次200 人次200 天气好 天气不好 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.10 0.05 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19在如图所示的四棱锥PABCD中，/ /BCAD，ABAD，4AB ， 1 3 2 BCA

10、D， PAPB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB 平面ABCD （1）证明：/ /EF平面PCD （2）若2 2PA，求二面角ECFA的余弦值 第 5 页（共 20 页） 20 在3acb且 2 2sin3sinsinBAC， 22 (sinsin)sinsinsinACBAC， ABC 的面积 222 3() 4 acb S 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答 问题：在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_ （1）求sin B； （2）若2ac，且ABC的面积为2 3，求ABC的周长 21已知动点M到点(3,0)F的距离比它到直线:50l x 的距离小 2

11、 （1）求动点M的轨迹E的方程 （2）过点F作斜率为(0)k k的直线 l 与轨迹E交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x 轴于点N，证明： | | AB FN 为定值 22已知函数( )f xalnxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若不等式( ) (1) x f xexe对1x，)恒成立，求a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分

12、.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 4A ，2，1，0，1，2，4， 2 |2 0Bx xx ，则(AB ) A 4，2，4 B 4，2，1，2，4 C 4，2，4 D 4，2，1，2，4 【解答】解： 4A ，2，1，0，1，2，4， |1Bx x或2x， 4AB ，2，1，2，4 故选：B 2 （5 分）若复数z满足| 1zi，则复数z在复平面内的点的轨迹为( ) A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 【解答】解：设复数( ,)zxyi x yR， 由题意可得|(1) | 1xyi， 则 22 (1)

13、1xy， 故复数z在复平面内的点的轨迹为圆 故选：C 3 （5 分）函数 1 ( )2 1 f xx x 的定义域是( ) A 2，) B 2，1)( 1，) C( 1,) D 2，1) 【解答】解：由题意可得 10 2 0 x x ， 解得21x或1x 即函数的定义域为 2，1)( 1，)， 故选：B 4 （5 分）已知向量(1, 3),2aa b，且, a b的夹角为60，若()abbk，则(k 第 7 页（共 20 页） ) A2 B1 C 1 2 D 1 4 【解答】解：由题意可得| 2a 因为, a b的夹角为60， 所以|cos| 2a ba ba bb 因为()abbk， 所以(

14、)0abbk 所以240k， 解得2k 故选：A 5 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条 渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF，且| 4ABb，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C3 D2 【解答】解：由双曲线 22 22 :1 xy C ab ，则其渐近线方程为 b yx a ， 因为A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF， 所以| | |AOBOFOc，所以24cb， 所以 22 22cbca，所以 22 34ca， 所以 2 3 3 c e a ， 故选：A 6 （5 分）

15、我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果内部小正方形的内切圆面积为 4 ， 外部大正方形的外接圆半径为 5 2 2 ，直角三角形中较大的锐角为，那么tan( 2 ) 第 8 页（共 20 页） A 1 3 B 2 3 C 3 4 D 1 2 【解答】解：D由题意可知小正方形的边长为 1，大正方形的边长为 5， 设直角三角形短的直角边为x，则长的直角边为1x ， 由勾股定理得 22 (1)25xx， 解得3x ， 所以 43 sin,cos 55 aa， 则 sin sin1 2 tan 2cos12 cos 2

16、a aa a a 故选：D 7 （5 分）已知a，b都是正实数，则“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 ( )3 3 ba ”的( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 33 1 loglog b a ，得ab，则ab ， 从而33 ab ，即 1 3( ) 3 ab ； 由 1 ( )3 3 ba ，得a b， 因为0a ，0b ， 所以 11 0 ab ， 所以 33 11 loglog ab 即 33 1 loglog b a 故“ 33 1 loglog b a ”是“ 1 ( )3 3 ba ”的充要条件 故选：A 8

17、（5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数x都有 ( )( )1f xfx，则不等式( )1 xx e f xe的解集为( ) A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 【解答】解：设( ) ( )1 x g xef x，则( )( )( ) xxx g xe f xe fxe 第 9 页（共 20 页） 因为( )( )1f xfx，所以( )( ) xxx e f xe fxe， 即( )( )0 xxx e f xe fxe，故( )g x在R上单调递增 因为( )f x是定义在R上的奇函数，所以(0)0f， 所以(0)1g ，不等式(

18、)1 xx e f xe， 即( )(0)g xg，则0 x 故选：B 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有分，有选错的得选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知椭圆 22 1 9 xy m 的离心率是 3 3 ，则m的值可能是( ) A3 B6 C 27 2 D27 【解答】解：当09m时，3,9acm， 则 93 33 cm e a ，解得6m ； 当9m 时，

19、,9am cm 则 93 3 cm e am ， 解得 27 2 m 故选：BC 10 （5 分）在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电 影行业面临巨大损失.2011 2020年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的 是( ) 第 10 页（共 20 页） A2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 【解答】解：由图知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故A错 误； 自 2011

20、 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 3 年，故B错误； 2017 年上半年的票房收入增速最大，故C错误； 2020 年上半年的票房收入增速最小，故D正确 故选：ABC 11（5 分） 已知函数( )f x是定义在12a，1a 上的偶函数 当01x a剟时， 3 ( ) 1 f xx x ， 若 2 (log)1fm ，则( ) A2a B3a Cm的值可能是 4 Dm的值可能是 6 【解答】解：由题意可得1210aa ，则2a ，故A正确，B错误； 因为( )f x是偶函数，所以( 2)ff（2）1 当0 x，3时， 3 ( ) 1 f xx x 单调递增 因为( )f x是偶函数，所

21、以当 3x ，0时，( )f x单调递减 因为 2 (log)1fm ，所以 2 (|log|)fmf（2） 所以 2 2 3 log3 |log| 2 m m 剟 ，解得 11 84 m 或48m，故C错误，D正确 故选：AD 第 11 页（共 20 页） 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点E在棱 1 DD上，且 1 2DEED，F是线 段 1 BB上一动点，则下列结论正确的有( ) AEFAC B存在一点F，使得 1 / /AEC F C三棱锥 1 DAEF的体积与点F的位置无关 D直线 1 AA，与平面AEF所成角的正弦值的最小值为 3 10 10 【解答

22、】 解： 如图， 连接BD， 可得BDAC， 1 BDBB， 则AC 平面BDEF， 所以ACEF， 故A正确； 在 1 AA上取一点H，使得 1 2HAAH，连接 1 EC，EH， 1 HB， 由 1 2DEED，可得 11 / /EHBC， 11 EHBC， 四边形 11 BC EH为平行四边形，则 11 / /C EB H， 11 C EB H 若 1 2BFB F，易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 1 / /AFB H， 1 AFB H， 从而 1 / /AFC E， 1 AFC E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形， 于是 1 / /AEC F，故B正确； 设ABa

23、，三棱锥 1 DAEF的体积与三棱锥 1 FAD E的体积相等， 则 11 3 112 3239 DAEFFAD E aa VVaa ， 即三棱锥 1 DAEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确； 以 1 C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 1 Cxyz， 设3AB ，则(3A，3，3)， 1(3 A，3，0)，(3E，0，2)，(0F，3，) t， 从而 1 (0,0, 3),(0, 3, 1),( 3,0,3)AAAEAFt 第 12 页（共 20 页） 设平面AEF的法向量( , , )nx y z，则 30 3(3)0 n AEyz n AFxtz ， 令3z ，

24、得(3, 1,3)nt， 从而 1 1 2 1 3 cos, | (3)10 AA n AA n AAn t ， 即直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦值为 2 3 (3)10t ， 因为03t剟， 所以 2 10 (3)10 19t 剟， 所以 2 3 1933 10 1910 (3)10t 剟， 即直线 1 AA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为 3 10 10 ，故D错误 故选：ABC 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）在 5 (3)x 的展开式

25、中，含 3 x的项的系数等于 90 6666666666666 【解答】解：在 5 (3)x 的展开式中，通项公式为 5 15 ( 3) rrr r TC x 令53r，解得2r ， 含 3 x的项的系数等于 5 r C( 3)90 r ， 故答案为 90 14（5 分） 将一个斜边长为 4 的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周， 第 13 页（共 20 页） 所得几何体的表面积为 (88 2) 【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为 4，直角边长为2 2， 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径2 2r ，母线长4l ， 则其表面积为 2 (88 2)rrl， 故答案为：(

26、88 2) 15 （5 分）已知0a ，0b ，且3ab，则 39 ab 的最小值是 2 34 【解答】解：已知0a ，0b ，且3ab，可得 1 ()1 3 ab， 则 391391391 ()()(12)(2 2712)2 34 333 ba ab ababab 当且仅当 3( 31)3(33) , 22 ab 时，等号成立 故 39 ab 的最小值是2 34 故答案为：2 34 16 （5 分）2020 年 10 月 11 日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排A，B， C，D，E，F六名工作人员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工 作人员，其中A，B安排到同一区

27、市县工作，D，E不能安排在同一区市具工作，则不同 的分配方法总数为 216 种 【解答】解：第一步，将 6 名工作人员分成 4 组，要求A，B同一组，D，E不在同一组， 若分为 3，1，1，1 的四组，A，B必须在 3 人组，有 1 4 4C 种分组方法， 若分为 2，2，1，1 的四组，A，B必须在两人组，有 2 4 15C 种分组方法， 则一共有549种分组方法； 第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有 4 4 24A 种 故总的分配方法有924216种， 故答案为：216 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或

28、演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 1 3 ,2 2 n n a aS成等差数列 第 14 页（共 20 页） （1）证明：数列 n a是等比数列； （2）求数列 1 nn a a 的前n项和 n T 【解答】证明： （1） 1 3 ,2 2 n n a aS成等差数列， 1 32 nn aSa， 当2n时， 111 32 nn aSa ， 则 1 332 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a 1 1a ，数列 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列； 解： （2）由（1）可得 1

29、1 1 3 nn n aa q ， 则 121 1 333 nnn nn a a ， 则 3521 3333 n n T ， 故 221 2 3 1(3 ) 33 138 nn n T 18第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日29日在成都举行，成都某机构 随机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次， 整理数据如表 （单位： 天） : 打乒乓球 人次 天气状况 0，100 100，200 200，300 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1） 若用样本顿率作为总体概率， 随机调查本市 4 天， 设这

30、4 天中阴天的天数为随机变量X， 求X的分布列和数学期望 （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好” 完成下面的22列联 表，判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 人次200 人次200 第 15 页（共 20 页） 天气好 天气不好 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.10 0.05 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）由题意可知随机变量X的可能取值为 0，1，2，

31、3，4 设一天为阴天的概率为P，则 46101 804 P ， 故 1 (4, ) 4 XB， 004 4 1381 (0)( )( ) 44256 P XC， 13 4 1327 (1)( ) 4464 P XC， 222 4 1327 (2)( )( ) 44128 P XC， 331 4 133 (3)( )( ) 4464 P XC， 440 4 131 (4)( )( ) 44256 P XC 则X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 故 1 41 4 EX ； （2）由题意可得的22列联表： 人次200 人次200

32、天气好 25 30 天气不好 20 5 则 2 2 80(25 53020) 8.335 552545 35 K 因为8.3356.635， 第 16 页（共 20 页） 所以有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 19在如图所示的四棱锥PABCD中，/ /BCAD，ABAD，4AB ， 1 3 2 BCAD， PAPB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB 平面ABCD （1）证明：/ /EF平面PCD （2）若2 2PA，求二面角ECFA的余弦值 【解答】 （1）证明：因为E，F分别为PA，AD的中点， 所以/ /EFPD， 因为PD 平面PCD，EF 平面

33、PCD， 所以/ /EF平面PCD （2）解：取AB的中点O，连接OP 因为PAPB， 所以OPAB， 因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB， 所以OP 平面ABCD 过点O在平面ABCD内作AB的垂线l， 则PO，AB，l两两垂直 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 因为 1 2 2,4,3 2 PAABBCAD， 第 17 页（共 20 页） 所以(1E，0，1)，(2F，3，0)，( 2C ，3，0)，(3, 3,1),(4,0,0)CECF， 设平面CEF的法向量为( , , )mx y z， 所以 0 0 m CE m CF ，即 330 40

34、 xyz x ， 可取(0,1,3)m ， 显然平面CAF的一个法向量为(0,0,1)n ， 因为 3 10 cos, |10 m n m n m n ，且二面角ECFA为锐二面角， 所以二面角ECFA余弦值为 3 10 10 20 在3acb且 2 2sin3sinsinBAC， 22 (sinsin)sinsinsinACBAC， ABC 的面积 222 3() 4 acb S 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答 问题：在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_ （1）求sin B； （2）若2ac，且ABC的面积为2 3，求ABC的周长 【解答】解： （1）若选

35、， 2 2sin3sinsinBAC， 2 23bac 3acb， 222 23acacb， 222222 32221 cos 2222 acbbacbbac B acacac ， 0B， 3 sin 2 B 若选， 22 (sinsin)sinsinsinACBAC， 22 ()acbac， 222 bacac， 222 cos 2 acb B ac ， 第 18 页（共 20 页） 1 cos 22 ac B ac ， 故 3 sin 2 B 若选， 222 3()1 sin 42 acb SacB ， 222 3()2sinacbacB， 222 2cosbacacB， 222 2 co

36、sacbaB，32cos2sinacBacB， tan3B ，故 3 sin 2 B （2）ABC的面积为 1 sin2 3 2 acB ， 8ac，2ac， 2c ，4a ， 222 2cosbacacB， 2 1 16422412 2 b ， 即2 3b ， 故ABC的周长为242 362 3abc 21已知动点M到点(3,0)F的距离比它到直线:50l x 的距离小 2 （1）求动点M的轨迹E的方程 （2）过点F作斜率为(0)k k的直线 l 与轨迹E交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x 轴于点N，证明： | | AB FN 为定值 【解答】解： （1）由题意知，动点M到点(3,0)F

37、的距离与到直线 1: 30lx 距离相等， 由抛物线的定义知，动点M的轨迹E是以(3,0)F为焦点，以直线 1: 30lx 为准线的抛物 线 所以点M的轨迹E的方程为 2 12yx （2）证明：设直线:3lxty， 联立 2 3 12 xty yx ，得 2 12360yty 第 19 页（共 20 页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，G为线段AB的中点， 则 2 121212 12 ,()6126yyt xxt yyt，所以 2 (63Gt ，6 ) t， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 2 6(63)ytt xt ，则 2 (69Nt ，0) 所以 22 |

38、69366FNtt， 2 12 |61212ABxxt， 所以 | 2 | AB FN 为定值 22已知函数( )f xalnxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若不等式( ) (1) x f xexe对1x，)恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f xalnxx的定义域为(0,)， 且( )1 aax fx xx 若0a ，则当0 xa时，( )0fx，函数( )f x在(0, )a上单调递增， 当xa时，( )0fx，函数( )f x在( ,)a 上单调递减， 若0a，( )0 ax fx x ，函数( )f x在(0,)上单调递减， 综上：当0a 时，函数

39、( )f x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递减， 当0a时，函数( )f x在(0,)上单调递减 （2）不等式( ) (1) x f xexe在1，)上恒成立， 即0 x alnxeex恒成立， 设( ) x g xalnxeex， ( ) x a g xee x ， 令( )( )h xg x， 则 2 ( ) x a h xe x 当0a时，( ) 0g x恒成立， 所以( )f x单调递增， 所以( )g xg（1）0， 即0a符合题意， 当0a 时，( )0h x恒成立， 第 20 页（共 20 页） 所以( )g x单调递增， 又因为 g （1）0a， 1() ( ()0 ()() aaln ea g ln eaa ln ealn ea ， 所以存在 0 (1x ，()ln ea，使得 0 ()0g x， 且当 0 (1,)xx时，( )0g x， 即( )g x在 0 (1,)x上单调递减， 所以 0 ()g xg（1）0，即0a 不符合题意 综上，a的取值范围为0，)