三角形、全等、轴对称强化训练1 (教版).docx

1、1 / 89 八年级三角形、全等、轴对称强化训练八年级三角形、全等、轴对称强化训练 1.如图， ABC 中，AD 是 BC 上的高，AE 平分BAC，B=75，C=45，求DAE 与AEC 的度数 【答案】 解答：B+C+BAC=180，B=75，C=45， BAC=60AE 平分BAC，EAC= BAC= 60=30 AD 是 BC 上的高，C+CAD=90， CAD=90-45=45，DAE=CAD-CAE=45-30=15 AEC+C+EAC=180， AEC+30+45=180，AEC=105 答：DAE=15，AEC=105 2.如图，ABAE，ABAE，ADAC，ADAC，点 M

2、为 BC 的中点， 求证：DE2AM. 【答案】 证明：延长 AM 至 N，使 MNAM，连接 BN， 点 M 为 BC 的中点， CM=BM， 在 AMC 和 NMB 中 2 / 89 AMCNMB（SAS）， AC=BN，C=NBM， ABAE，ADAC， EAB=DAC=90， EAD+BAC=180， ABN=ABC+C=180-BAC=EAD， 在 EAD 和 ABN 中 ， ABNEAD（SAS）， DE=AN=2MN 3.如图，点 A 和点 B 分别在 y 轴正半轴和 x 轴负半轴上，且 OA=OB，点 C 和点 D 分别在第四象限和第一象 限，且 OCOD，OC=OD，点 D

3、的坐标为（m，n），且满足（m2n）2+|n2|=0 （1）求点 D 的坐标； （2）证明： AOCBOD （3）求AKO 的度数。 【答案】 （1）解：（m2n）2+|n2|=0， 又（m2n）20，|n2|0， n=2，m=4， 点 D 坐标为（4，2） 3 / 89 （2）证明：如图 1 中，作 OEBD 于 E，OFAC 于 F OA=OB，OD=OC，AOB=COD=90， BOD=AOC， BODAOC. （3）解：EO=OF（全等三角形对应边上的高相等）， OK 平分BKC， OBD=OAC，易证AKB=BOA=90， OKE=45， AKO=135. 4.如图，在三角形 ABC

4、 中，AD 为中线，AB=4，AC=2，AD 为整数，求 AD 的长。 【答案】 解：延长 AD 到 E，使 AD=DE，连接 BE， AD 是 BC 边上的中线， 4 / 89 BD=CD， 在 ADC 和 EDB 中， ， ADCEDB（SAS）， AC=BE=2， 在 ABE 中，AB-BEAEAB+BE， 4-22AD4+2， 1AD3， AD 是整数， AD=2. 5. （1）如图，在 ABC 中，AE 是BAC 的角平分线，AD 是 BC 边上的高，且B=44，C=68，求 CAD、EAD 的度数 （2）点 B，D 在射线 AM 上，点 C，E 在射线 AN 上，且 AB=BC=C

5、D=DE，已知EDM=84，求A。 【答案】 （1）解：BAC=1804468=68. AE 是BAC 的角平分线， CAE=12BAC=1268=34 AD 是 BC 边上的高， ADC=90， CAD=90C=9068=22 EAD=CAECAD=3422=12 5 / 89 （2）解：AB=BC=CD=DE， A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED， 根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM， 又EDM=84， A+3A=84， 解得,A=21 6.如图，已知 ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线 （1）若B=20，C=60，求EAD 度数

6、； （2）若B=，C=（a），求EAD（用 、 的代数式表示） 【答案】 （1）解答：B=20，C=60， BAC=180-20-60=100， AE 是角平分线， EAC=50， AD 是高， ADC=90， DAC=30， EAD=EAC-DAC=50-30=20； （2）B=，C=， BAC=180-， AE 是角平分线， EAC=90- - ， AD 是高， 6 / 89 ADC=90， DAC=90-， EAD=EAC-DAC=（90- - ）-（90-）= （-） 7.如图， ABC 中，ABC=ACB，点 D 在 BC 所在的直线上，点 E 在射线 AC 上，且 AD=AE，连接

7、 DE （1）如图，若B=C=35，BAD=80，求CDE 的度数； （2）如图，若ABC=ACB=75，CDE=18，求BAD 的度数； （3） 当点 D 在直线 BC 上 （不与点 B、C 重合） 运动时，试探究BAD 与CDE 的数量关系，并说明理由 【答案】 （1）解：B=C=35 BAC=110又BAD=80 ADB=65 DAE=30 AD=AE ADE=AED=75 EDC=180-ADE-ADB =180-75-65 =40 （2）解：ACB=75，CDE=18 E=75-18=57 ADE=AED=57 ADC=39 ABC=ADB+DAB=75 BAD=36 （3）解：设A

8、BC=ACB=y，ADE=AED=x，CDE=，BAD= 如图 1，当点 D 在点 B 的左侧时，ADC=x 7 / 89 （ ） （ ） ，（1）（2）得，2=0， 2=； 如图 2，当点 D 在线段 BC 上时，ADC=y+ （ ） （ ） ，（2）（1）得，=， 2=； 如图 3，当点 D 在点 C 右侧时，ADC=y （ ） （ ） ，（2）（1）得，2=0， 2= 综上所述，BAD 与CDE 的数量关系是 2CDE=BAD 8 / 89 8.如图，已知在 ABC 中，B 与C 的平分线交于点 P （1）当A=112时，求BPC 的度数； （2）当A= 时，求BPC 的度数 【答案】

9、（1）解：ABC 中，A=112， ABC+ACB=180A=180112=68， BP，CP 分别为ABC 与ACP 的平分线， 2+4= （ABC+ACB）= 68=34， P=180（2+4）=18034=146 （2）解：如图，连接 AP 并延长至 D， ABC 与ACB 的角平分线相交于 P， 1= ABC，3= ACB， BPD 是 ABD 的外角， BPD=1+BAP， 同理可得CPD=3+CAP， BPC=BPD+CPD=1+BAP+3+CAP= ABC+ ACB+BAC= （ABC+ACB） += （180 ）+=90+ 9 / 89 9.如图， ABC 的边 BC 上的高为

10、 AF，AC 边上的高为 BG，中线为 AD，已知 AF=6，BC=10，BG=5 （1）求 ABC 的面积； （2）求 AC 的长； （3）试说明 ABD 和 ACD 的面积相等 【答案】 （1）解：ABC 的边 BC 上的高为 AF，AF=6，BC=10， ABC 的面积= BCAF= 106=30 （2）解：AC 边上的高为 BG，BG=5， ABC 的面积= ACBG=30， AC=12 （3）解：ABC 的中线为 AD， BD=CD， ABD 以 BD 为底， ACD 以 CD 为底，而且等高， S ABD=S ACD 10.如图，在 ABC 中，点 I 是两条平分线的交点 （1）若

11、A=50，则BIC=_； （2）若A=50，点 D 是两条外角平分线的交点，则D=_； （3）若点 E 是内角ABC、外角ACG 的平分线交点，试探索E 与A 的数量关系，并说明理由 10 / 89 【答案】 （1）115 （2）65 （3）解：E=2A 证明：在 BDE 中，DBI=90， BEC=90BDC =90（90 BAC） = BAC， 即E=2A 11. （1）如图 1，把 ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A处，试探索1+2 与A 的关系（证明） （2） 如图 2，BI 平分ABC，CI 平分ACB，把 ABC 折叠，使点 A 与点 I 重合，若1+2=130，求BIC

12、 的度数； （3）如图 3，在锐角 ABC 中，BFAC 于点 F，CGAB 于点 G，BF、CG 交于点 H，把 ABC 折叠使点 A 和点 H 重合，试探索BHC 与1+2 的关系，并证明你的结论 11 / 89 【答案】 （1）解：1+2=2A； A+A+ADA+AEA=360 又1+ADA+2+AEA=360 A+A=1+2 又A=A 2A=1+2 （2）解：由（1）1+2=2A，得 2A=130，A=65 IB 平分ABC，IC 平分ACB， IBC+ICB= （ABC+ACB） = （180-A）=90- A， BIC=180-（IBC+ICB）， =180-（90- A）=90+

13、 65=122.5 （3）解：BFAC，CGAB，AFH+AGH=90+90=180， FHG+A=180，BHC=FHG=180-A，由（1）知1+2=2A， A= （1+2）， BHC=180- （1+2） 12 / 89 12.如图， ABC 中，A=40， （1）若点 P 是ABC 与ACB 平分线的交点，求P 的度数； （2）若点 P 是CBD 与BCE 平分线的交点，求P 的度数； （3）若点 P 是ABC 与ACF 平分线的交点，求P 的度数； （4）若A=，求(1)(2)(3)中P 的度数(用含 的代数式表示，直接写出结果) 【答案】 （1）解：A=40， ABC+ACB=14

14、0， PBC+PCB= (ABC+ACB)= 140=70， BPC=180-70=110 （2）解：DBC=A+ACB， P 为 ABC 两外角平分线的交点， DBC= A+ ACB， 同理可得： BCE= A+ ABC， A+ACB+ABC=180， (ACB+ABC)=90- A， 180-BPC= DBC+ BCE= A+ ACB+ A+ ABC， 180-BPC=A+ ACB+ ABC，180-BPC=A+90- A， BPC=90- A=70 （3）解：点 P 是ABC 与ACF 平分线的交点 ， PCF=P+PBC，ACF=A+ABC 2（P+PBC）=A+ABC 13 / 89

15、 （4）解：若 在(1)中 ；在(2)中，同理得 ；在(3)中同理可得P= 13.如图， ABC 的ABC 和ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G.求证： （1）BGC=180- （ABC+ACB） （2）BGC=90+ A 【答案】 （1）证明：ABC 和ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G， GBC= ABC，GCB= ACB， GBC+GCB= （ABC+ACB）， 在 BCG 中，BGC=180-（GBC+GCB）=180- （ABC+ACB）； 即：BGC=180- （ABC+ACB）； （2）证明：在 ABC 中，ABC+ACB=180-A， 所以，BGC=180- （

16、ABC+ACB）=180- （180-A）=90+ A， 即：BGC=90+ A. 14 / 89 14.已知 ABC是等腰直角三角形，C=90，点M是AC 中点，延长BM至点D，使DM=BM，连接AD （1）如图，求证： DAMBCM； （2）已知点 N 是 BC 的中点，连接 AN 如图，求证： BCMACN； 如图，延长 NA 至点 E，使 AE=NA，连接 DE求证：BDDE 【答案】 （1）解：点 M 是 AC 的中点，AM=CM， 在 DAM 和 BCM 中， ，DAMBCM(SAS) （2）解：点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点，CM= AC，CN= BC， AB

17、C 是等腰直角三角形，AC=BC，CM=CN， 在 BCM 和 ACN 中， ，BCMACN(SAS)； 取 AD 中点 F，连接 EF， 则 AD=2AF， BCMACN，AN=BM，CBM=CAN， DAMBCM，CBM=ADM，AD=BC=2CN， AF=CN，DAC=C=90，ADM=CBM=NAC， ADBC，EAF=ANC 在 EAF 和 ANC 中， ，EAFANC(SAS)， NAC=AEF，C=AFE=90，AFE=DFE=90， 15 / 89 F 为 AD 的中点，AF=DF， 在 AFE 和 DFE 中， ， AFEDFE(SAS)， EAD=EDA=ANC， EDB=

18、EDA+ADB=EAD+NAC=180DAM=18090=90， BDDE 15.定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”。 （1）如图 1， ABC 中，AB=AC，A 为 36，求证： ABC 是倍角三角形； （2）若 ABC 是倍角三角形，ABC，B=30，AC=4 ，求 ABC 面积： （3）如图 2， ABC 的外角平分线 AD 与 CB 的延长线相交于点 D，延长 CA 到点 E，使得 AE=AB，若 AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明。 【答案】 （1）解：AB=AC，B=C A+B+C=180，A=36 B=C=7

19、2 A=2C 即 ABC 是倍角三角形 （2）解：ABC，B=30 当B=2C,得C=15 过 C 作 CH直线 AB，垂足为 H， 可得CAH=45 AH=CH= AC=4. 16 / 89 BH= AB=BH-AH= -4 S= 当A=2B 或A=2C 时，与ABC 矛盾，故不存在。 综上所述， ABC 面积为 （3）解：AD 平分BAE， BAD=EAD AB=AE，AD=AD， ABDAED. ADE=ADB，BD=DE. 又AB+AC=BD， AE+AC=BD，即 CE=BD. CE=DE. C=BDE=2ADC. ADC 是倍角三角形. 16.如图，在 ABC 中，D 是 BC 的

20、中点，DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F，BE=CF. （1）求证： ABC 是等腰三角形. （2）判断点 D 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由. 【答案】 （1）证明：D 是 BC 的中点， 17 / 89 BD=CD， DEAB，DFAC， BED=CFD=90， 在 Rt BDE 与 Rt CDF 中， BD=CD，BE=CF， Rt BDERt CDF(HL)， B=C， AB=AC， 即 ABC 是等腰三角形； （2）解：点 D 在BAC 的角平分线上. 理由如下： 由（1）可知：Rt BDERt CDF(HL)， DE=DF， 又DEAB，DFAC， 点 D 在BAC

21、的角平分线上. 17.如图，在等边 中，点 、点 分别在 、 上， ，连接 、 交于 点 ，作 于 . （1）求证： . （2）求证： . （3）若 ，求 的度数. 【答案】 （1）证明：等边 ， 在 和 中 18 / 89 （2）解： （3）解：连接 、 ,过 作 于 ，过 作 于 ， （ ） （ ） 19 / 89 （ ） 18.在 ABC 中，ABBC ， AB = BC ， E 为 BC 上一点，连接 AE ， 过点 C 作 CFAE,交 AE 的延长线 于点 F ， 连结 BF,过点 B 作 BGBF 交 AE 于 G （1）求证： ABG CBF； （2）若 E 为 BC 中点，求

22、证：CF + EF = EG. 【答案】 （1）证明：如图，ABC=AFC=90， A、B、F、C 四点共圆， BAG=BCF； ABBC，BGBF， ABC=GBF， ABG=CBF； 在 ABG 与 CBF 中， ， ABGCBF（ASA） （2）解： 20 / 89 如图，过点 B 作 BHAF； CFAE， BHCF， BHECFE， BH：CF=GE：EF=BE：CE， BE=CE， BH=CF，HE=EF； ABGCBF， BG=BF， GH=HF， BH= GF=GH， GH=CF，而 GE=EF， CF+EF=EG 19.如图，已知 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于点 .

23、于点 ， 于点 . （1）求证： （2）若 ， ，求 的长 【答案】 （1）证明：连接 PB、PC， PQ 是 BC 边的垂直平分线， PB=PC， AP 平分DAC，PDAB，PEAC， 21 / 89 PD=PE， 在 Rt BPD 和 Rt CPE 中， ， Rt BPDRt CPE， BD=CE； （2）解：在 Rt ADP 和 Rt AEP 中， ， Rt ADPRt AEP， AD=AE， BD=CE， ， ， AD+6=12-AD， 解得，AD=3 20.如图，已知：OP 平分MON，点 A，B 分别在边 OM，ON 上，且OAPOBP=180， PCOM 于 点 C （1）求证

24、：PA=PB； （2）求证：OAOB=2AC 【答案】 （1）证明： 如图，作 PDON， OAPOBP=180 ， PBD+OBP=180, OAP=PBD， 22 / 89 OP 为MON 的平分线，PDON，PCOM， PC=PD， PCAPDB（AAS）， PA=PB； （2）证明： PCAPDB， BD=AC， PC=PD，OP=OP， Rt ODPRt OCP（HL）， OC=OD， OA-OB=OC+AC-OB=OD-OB+AC=BD+AC=AC+AC=2AC. 21.已知：如图， ABC 中，ADBC，ABAE，点 E 在 AC 的垂直平分线上. （1）请问：AB、BD、DC

25、有何数量关系；并说明理由. （2）如果B60，证明：CD3BD. 【答案】 （1）解：AB+BD=DC.理由如下： ADBC，BD=DE，AB=AE，BD=DE， 点 E 在 AC 的垂直平分线上，AE=CE， AB+BD=AE+DE=DC. （2）解：AB=AE，B=60，ABE 是等边三角形，AEB=B=BAE=60， AE=EC，C=CAE= AEB=30，BAC=90，BAD=30， 在 Rt ABC 中，BC=2AB，在 Rt AABD 中，AB=2BD， BC=4BD， DC=3BD. 22.如图，已知MON30，点 A1、A2、A3在射线 ON 上，点 B1、B2、B3在射线 O

26、M 上， A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4均为等边三角形，且 OA11. 23 / 89 （1）分别求出 A1B1A2、 A3B3A4的边长； （2）求 A7B7A8的周长（直接写出结果）. 【答案】 （1）解：如图， A1B1A2是等边三角形， A1B1=A2B1 ， 3=4=12=60， 2=120， MON=30， 1=180-120-30=30， 1=MON=30， A1B1=OA1=1，即 A1B1A2的边长为 1； 又3=60， 5=180-60-30=90， A2B1=1， A2B2=2A2B1=2，即 A2B2A3的边长为 2； A2B2A3、 A3B3A4是等边三

27、角形， 11=10=60，13=60， 4=12=60， A1B1A2B2A3B3 ， B1A2B2A3 ， 1=6=7=30，5=8=90， A2B2=2B1A2 ， B3A3=2B2A3 ， A3B3=4B1A2=4，即 A3B3A4的边长为 4； 综上， A1B1A2的边长为 1； A3B3A4的边长为 4 （2）解： A7B7A8的周长是 198. 由（1）同理得：A4B4=8B1A2=8=23 ， A5B5=16B1A2=16=24 ， 以此类推：A7B7=26=64； 24 / 89 A7B7A8的周长=364=198. 23.将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点

28、A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8， 如图在 OC 边上取一点 D ， 将 BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边上，记作 E 点； （1）求点 E 的坐标及折痕 DB 的长； （2） 在 x 轴上取两点 M、N（点 M 在点 N 的左侧） ，且 MN=4.5，求使四边形 BDMN 的周长最短的点 M、 点 N 的坐标。 【答案】 （1）解：四边形 OABC 为矩形，BC=OA=10，AB=OC=8， BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边 E 点上，BC=BE=10，DC=DE， 在 Rt ABE 中，BE=10，AB=8，AE=6，OE=10-6=4

29、，E 点坐标为（4，0）； 在 Rt ODE 中，设 DE=x，则 OD=OC-DC=OC-DE=8-x，x2=42+（8-x）2 ， 解得 x=5， 在 Rt BDE 中，BD= ； （2）解：以 D、M、N 为顶点作平行四边形 DMND，作出点 B 关于 x 轴对称点 B，如下图， B的坐标为（10，-8），DD=MN=4.5，D的坐标为（4.5，3）， 设直线 DB的解析式为 y=kx+b， 把 B（10，-8），D（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得 k=-2，b=12， 直线 DB的解析式为 y=-2x+12， 令 y=0，得-2x+12=0，解得 x=6，

30、 M（1.5，0）；N（6，0） 24.如图，在 ABC 中，ACB90，A30，AB 的垂直平分线分别交 AB 和 AC 于点 D、E. 25 / 89 （1）求证：AE2CE； （2）连结 CD，请判断 BCD 的形状，并说明理由 【答案】 （1）证明：连结 BE，如图 DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， ABEA30， CBEABCABE30， 在 Rt BCE 中，BE2CE， AE2CE. （2）解： BCD 是等边三角形 理由如下： DE 垂直平分 AB， D 为 AB 的中点 ACB90， CDBD. 又ABC60， BCD 是等边三角形 26 / 89 25.如图所示，

31、 ABC 的顶点分别为 A（-4， 5），B（3， 2），C（4，-1） （1）作出 ABC 关于 x 轴对称的图形 A1B1C1； （2）写出 A1、B1、C1的坐标； （3）若 AC=10，求 ABC 的 AC 边上的高 【答案】 （1）解：如图所示， A1B1C1即为所求。 （2）解：A1（-4， -5），B1（3，- 2），C1（4，1） 27 / 89 （3）解： 由图可得 SABC=68 -13 -13-37 =9 又 AC= =10 ACh=S ABC h=9210=1.8 所以 ABC 的 AC 边上的高为 1.8 26.在等边 ABC 的外侧作直线 BD，作点 A 关于直线

32、BD 的对称点 A，连接 AA交直线 BD 于点 E，连接 AC 交直线 BD 于点 F （1）依题意补全图 1，已知ABD=30，求BFC 的度数； （2）如图 2，若 60ABD90，判断直线 BD 和 AC 相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出 这个锐角的度数；若不是，请说明理由 【答案】 （1）解：补全的图 1 如下所示： 连接 BA， 由已知可得，BD 垂直平分 AA，ABD=30， ABC 是等边三角形， BAA 是等边三角形，AABC 且 AA=BC，AA=AB， 四边形 AABC 是菱形， ACB=60， 28 / 89 BCE=30 （2）解：直线 BD 和 AC 相交

33、所成的锐角的度数是定值，若下图所示， 连接 AF 交 BC 于点 G， 由已知可得，BA=BA，BA=BC，FA=FA， 则BAA=BAA，FAA=FAA，BA=BC， BAC=BCA，FAB=FAB， BCA=FAB， FGC=BGA，ABC=60， CFA=ABC=60， AFC+AFD+AFD=180，AFD=AFD， AFD=60， 即直线 BD 和 AC 相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是 60 27.如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） 29 / 89 （1）请画出 ABC 向右平移 5 个单位长度后得到 A1B1C1； （2）在

34、 x 轴上求作一点 P，使 PAB 的周长最小，并直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）解： A1B1C1如图所示 （2）解：作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB 交 x 轴于 P，点 P 即为所求此时 P（2，0） 28.在 中， ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 . （1）如图，直接写出 的大小（用含 的式子表示）； 30 / 89 （2）如图， ， ，判断 的形状并加以证明. 【答案】 （1）解：根据角度的计算， 已知 和 ,所以可得 = （2）解： 为等边三角形. 连接 、 、 ，由线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 则 ， . 因为 ，所以 且 为等边三角形.所

35、 以 ， 则 ，又 ，所以 ， 所以 ，得 ，所以 为等边三角形. 29.如图，在 Rt ABC 中，A90，ACB30，AC10，CD 是角平分线. （1）如图 1，若 E 是 AC 边上的一个定点，在 CD 上找一点 P，使 PA+PE 的值最小； （2）如图 2，若 E 是 AC 边上的一个动点，在 CD 上找一点 P，使 PA+PE 的值最小，并直接写出其最小值. 【答案】 （1）解：如图， 31 / 89 过 D 作 DFBC 于 F，过 F 作 EFAC 交 CD 于 P， 则此时，PA+PE 的值最小； 点 P 即为所求 （2）解：如图，过 D 作 DFBC 于 F，过 F 作

36、EFAC 交 CD 于 P， 则此时，PA+PE 的值最小； PA+PE 的最小值EF， CD 是角平分线，BAC90， DADF， 即点 A 与点 F 关于 CD 对称， CFAC10， ACB30， EF CF5. 30.如图，在 ABC 的一边 AB 上有一点 P （1）能否在另外两边 AC 和 BC 上各找一点 M、N，使得 PMN 的周长最短若能，请画出点 M、N 的位 置，若不能，请说明理由； （2）若ACB=40，在（1）的条件下，求出MPN 的度数 【答案】 （1）解：作出点 P 关于 AC、BC 的对称点 D、G， 连接 DG 交 AC、BC 于两点， 标注字母 M、N； 3

37、2 / 89 （2）解：PDAC，PGBC， PEC=PFC=90， C+EPF=180， C=40， EPF=140， D+G+EPF=180， D+G=40， 由对称可知：G=GPN，D=DPM， GPN+DPM=40， MPN=140-40=100 31.已知如图，D、E 分别在 AB 和 AC 上，CD、BE 交于 O，AD=AE，BD=CE求证： OB=OC 【答案】证明：AD=AE BD=CE， AB=AC， 在 ABE 和 ACD 中， ， ABEACD（SAS）， 33 / 89 B=C， 在 BOD 和 COE 中， ， BODCOE（AAS）， OB=OC 【解析】【分析】

38、由 SAS 证明 ABEACD，得出B=C，由 AAS 证明 BODCOE，得出对应边相 等即可 32.如图，已知等腰 ABC 中，AB=AC，BAC=120，ADBC 于点 D，点 P 是 BA 延长线上一点，点 O 是线 段 AD 上一点，OP=OC （1）求APO+DCO 的度数； （2）求证：点 P 在 OC 的垂直平分线上 【答案】 （1）解：如图 1，连接 OB， AB=AC，ADBC， BD=CD，BAD= BAC= 120=60， OB=OC，ABC=90BAD=30 OP=OC， OB=OC=OP， APO=ABO，DCO=DBO， APO+DCO=ABO+DBO=ABD=3

39、0 （2）解：APC+DCP+PBC=180， APC+DCP=150， APO+DCO=30， OPC+OCP=120， 34 / 89 POC=180（OPC+OCP）=60， OP=OC， OPC 是等边三角形， OP=PC， 点 P 在 OC 的垂直平分线上 【解析】 【分析】 （1） 连接 OB， 利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，求出ABC 的度数， 再证明 APO=ABO，DCO=DBO，然后证明 APO+DCO=ABD，即可求出结果。 （2） 先求出POC =60，再证明 OP=OC，就可证得 OPC 是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性 质，可证得结论。 33.

40、将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8， 如图在 OC 边上取一点 D ， 将 BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边上，记作 E 点； （1）求点 E 的坐标及折痕 DB 的长； （2） 在 x 轴上取两点 M、N（点 M 在点 N 的左侧） ，且 MN=4.5，求使四边形 BDMN 的周长最短的点 M、 点 N 的坐标。 【答案】 （1）解：四边形 OABC 为矩形，BC=OA=10，AB=OC=8， BCD 沿 BD 折叠，使点 C 恰好落在 OA 边 E 点上，BC=BE=10，DC=DE， 在 Rt ABE

41、中，BE=10，AB=8，AE=6，OE=10-6=4，E 点坐标为（4，0）； 在 Rt ODE 中，设 DE=x，则 OD=OC-DC=OC-DE=8-x，x2=42+（8-x）2 ， 解得 x=5， 在 Rt BDE 中，BD= ； （2）解：以 D、M、N 为顶点作平行四边形 DMND，作出点 B 关于 x 轴对称点 B，如下图， 35 / 89 B的坐标为（10，-8），DD=MN=4.5，D的坐标为（4.5，3）， 设直线 DB的解析式为 y=kx+b， 把 B（10，-8），D（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得 k=-2，b=12， 直线 DB的解析式

42、为 y=-2x+12， 令 y=0，得-2x+12=0，解得 x=6， M（1.5，0）；N（6，0） 【解析】【分析】（1）折叠问题；可以找到对应边，利用勾股定理求出答案即可。 （2）对称轴与最短路径问题。作一个对称点即可得出结果。 34.如图所示，在等边 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 ，过点 E 作 ，交 BC 的延长线于点 F （1）求 的大小； （2）若 ，求 DF 的长 【答案】 （1）解： 是等边三角形， ， ， ， 36 / 89 ， ， （2）解： ， ， 是等边三角形 ， ， ， 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到B=60，再由平行线和垂直的性质

43、，求出F 的度 数；（2）由（1）得到 EDC 是等边三角形，再由在直角三角形中，30 度角所对的边是斜边的一半，求出 DF 的长 35.如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 AD，BD，其中 BD 交直线 AP 于点 E. （1）依题意补全图形； （2）若PAC20，求AEB 的度数； （3）连结 CE，写出 AE, BE, CE 之间的数量关系，并证明你的结论 【答案】 （1）解：如图： 37 / 89 （2）解：在等边 ABC 中， ACAB，BAC60 由对称可知：ACAD，PACPAD， ABAD ABDD PAC20 PAD

44、20 BADBAC+PAC +PAD =100 . AEBD+PAD60 （3）解：CE AEBE 在 BE 上取点 M 使 MEAE，连接 AM， 38 / 89 在等边 ABC 中， ACAB，BAC60 由对称可知：ACAD，EACEAD， 设EACDAEx AD ACAB， AEB60 xx 60 AME 为等边三角形 AM=AE，MAE=60， BAC=MAE=60， 即可得BAM=CAE. 在 AMB 和 AEC 中， ， AMBAEC. CEBM. CE AEBE 36.已知 OP 平分AOB，DCE 的顶点 C 在射线 OP 上，射线 CD 交射线 OA 于点 F，射线 CE

45、交射线 OB 于 点 G. （1）如图 1，若 CDOA，CEOB，请直接写出线段 CF 与 CG 的数量关系； （2）如图 2，若AOB=120，DCE=AOC，试判断线段 CF 与 CG 的数量关系，并说明理由. 【答案】 （1）解：结论：CF=CG； 证明：OP 平分AOB，CFOA，CGOB， CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 39 / 89 过点 C 作 CMOA，CNOB， OP 平分AOB，CMOA，CNOB，AOB=120， CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， AOC=BOC=60（角平分线的性质）， DCE=A

46、OC， AOC=BOC=DCE=60， MCO=90-60 =30，NCO=90-60 =30， MCN=30+30=60， MCN=DCE， MCF=MCN-DCN，NCG=DCE-DCN， MCF=NCG， 在 MCF 和 NCG 中， MCFNCG（ASA）， CF=CG（全等三角形对应边相等）； 37.如图，点 C 为线段 BD 上一点， ABC、 CDE 都是等边三角形，AD 与 CE 交于点 F，BE 与 AC 相交于点 G。 （1）求证： ACDBCE； 40 / 89 （2）若 CF+CG=8，BD=18，求 ACD 的面积。 【答案】 （1）解：ABC， CDE 是等边三角形

47、，AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60 ACB+ACE=DCE+ACE，即BCE=DCA ACDBCE （2）解：由（1）得 ACDBCE，CBG=CAF 又ACF=BCG=60，BC=AC，BCGACF ，CG=CF，而 CF+CG=8，CG=CF=4 过 G,F 作 BD 垂线段，分别交 BD 的垂线段 GM,FN 又ACB=DCE=60 GM= CG=2 FN= CF=2 = = = = = 38.操作发现：如图，已知 ABC 和 ADE 均为等腰三角形，ABAC，ADAE，将这两个三角形放置在一 起，使点 B，D，E 在同一直线上，连接 CE. 41 / 89 （1）如图 1，

48、若ABCACBADEAED55，求证： BADCAE； （2）在（1）的条件下，求BEC 的度数； （3）如图 2，若CABEAD120，BD4，CF 为 BCE 中 BE 边上的高，请直接写出 EF 的长度. 【答案】 （1）证明：如图 1 中， ABCACBADEAED， EADCAB， EACDAB， AEAD，ACAB， BADCAE（SAS）. （2）解：如图 1 中，设 AC 交 BE 于 O. ABCACB55， BAC18011070， BADCAE， ABOECO， EOCAOB， CEOBAO70， 即BEC70. 拓广探索： （3）解：如图 2 中， CABEAD120，

49、 42 / 89 BADCAE， ABAC，ADAE， BADCAE（SAS）， BADACE，BDEC4， 同理可证BECBAC120， FEC60， CFEF， F90， FCE30， EF EC2. 39.如图所示，已知 AD/BC, 点 E 为 CD 上一点，AE、BE 分别平分DAB、CBA,BE 交 AD 的延长线 于点 F.求证： （1） ABEAEF; （2）AD+BC=AB 【答案】 （1）证明：如图， AE、BE 分别平分DAB、CBA， 1=2，3=4， ADBC， 2=F，1=F， 在 ABE 和 AFE 中， 43 / 89 ABEAFE(AAS)； （2）解：ABEAFE， BE=EF， 在 BCE 和 FDE 中， BCEFDE(ASA)， BC=DF， AD+BC=AD+DF=AF=AB， 即 AD+BC=AB. 40.已知：如图，点 B、C、E 三点在同一条直线上， CD 平分ACE， DB=DA,DMBE 于 M. （1）求证：AC=BM+CM； （2）若 AC=2，BC=1，求 CM 的长. 【答案】 （1）解：如图，作 DNAC 于点 N， CD 平分ACE，DMBE，DN=DM， 在 Rt DCN 和 Rt DCM 中， 44 / 89 ， Rt DCNRt DCM（HL）， CN=CM， 在 Rt ADN 和