2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第2章 复数与平面向量（共3讲） .pptx

1、第一节 复数及其运算 考情解读 命 题 规 律 考点 复数的概念 复数的运算 考查频次 卷,5年3考 卷,5年2考 卷,2年2考 卷,5年5考 卷,5年4考 卷,2年2考 考查难度 容易 容易 常考题型及分 值 选择题,5分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计高考命题的重点仍是复数代数形式的乘除运算,复数的模、坐标,也会关注纯虚数、 共轭复数的概念以及复数相等的充要条件.复习的重点一是搞清概念,二是练熟复数的代数 形式的四则运算法则 基础导学 内容 意义 备注 复数的概 念 设 , 都是实数,形如 1 的数叫复 数,其中实部为 2 ,虚部为 3 , 叫做 虚数单位 + 为实数 4 , + 为虚

2、数 5 , + 为纯虚数 6 复数相等 + = + 7 ,(, ) 共轭复数 + 不 + 共轭 8 (, ) 复数 ( 为实数）的共轭复数是 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平 面, 轴叫做 9 , 轴叫做 10 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表 示纯虚数 复数的模 向量 的模叫做复数 = + 的模,记作| | = | +| = 2+2 知识梳理 1. 复数的有关概念 实轴 虚轴 + = 0 0 = 0 且 0 = 且 = = 且 = 2.复数的几何意义 复数 = +(, ) 对应 一一 复平面内的点(,) 对应 一一 向量 3. 复数代数形式的四则运算 （1

3、）运算法则：设1= +,2= +(, ) ,则 运算名 称 符号表示 语言叙述 加减法 1 2= ( +) ( +) = 11 把实部、虚部分别相加减 乘法 12= ( +)( +) = 12 按照多项式乘法迚行,幵把2换成1 除法 1 2 = + + = (+)() (+)() = 13 ( + 0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分 子、分母分别迚行乘法运算 （2）复数加法的运算律： 设1,2,3 ,则复数加法满足以下运算律： 换律：1+2= 14 ; 结合律：(1+2) +3= 15 . ( )+( ) ( )+( +) + 2+2 + 2+2 2+1 1+(2+3) 知识拓展

4、 1.复数 +(, ) 数系表 复数 实数 = 0 虚数 +( 0) 纯虚数 = 0 非纯虚数 +( 0) 2.复数丌能比较大小 3.几个重要运算结论 （1）(1 )2= 2; 1+ 1 = ; 1 1+ = . （2） + = ( +) . （3）4= 1,4+1= ,4+2= 1,4+3= ( ). （4）4+4+1+4+2+4+3= 0( ). 重难突破 考点一 复数的概念和运算 （3）2019全国卷文设 = (2 +) ,则 =( ) A. 1+2 B. 1+ 2 C. 1 2 D. 1 2 解析 因为 = (2+) = 2 +2= 1+2 ,所以 = 12 .故选 . （4）2019

5、全国卷文设 = 3 1+2 ,则| =( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 （1）复数 = (1+2)(3) ,其中 为虚数单位,则 的实部是 . 解析 = (1+2)(3) = 5+5 . （2）已知 是虚数单位,若复数(12)( +) 是纯虚数,则实数 的值为 . 典例研析典例研析 【例1】 5 D C 2 解析 由(1 2) ( + ) = + 2 + 2 = + 2 + (1 2) ,且(1 2) ( + ) 为纯虚数,可得 + 2 = 0 且1 2 0 ,所以 = 2 .故填2 . 解析 因为 = 3 1+2 ,所以 = (3)(12) (1+2)(12) = 1 5 7

6、5 .所以| = ( 1 5) 2 +( 7 5) 2 = 2 .故选 . 方法技巧： （1）解决复数概念类问题的要点 找准复数的实部和虚部.复数的相关概念都不实部和虚部有关. 复数问题实数化.解决复数概念类问题,常从复数定义出发,把复数问题转化为实数问题处理. （2）共轭复数的运算性质 = |2= 2 | = 1 = 1 . 非零复数 ,则 为纯虚数 + = 0. 解析 = 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 2(1) (1)22 = 1 ,所以| = |1| = 2 , 的实部为1, 的虚部为1, 的 共轭复数为1+ .故选 . 3. 设(1 + 2)( + ) 的实部不虚部相等,

7、其中 为实数,则 =( ) A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 对点训练对点训练 C C A 1. 2018全国卷设 = 1 1+ + 2 ,则| =( ) A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 2 解析 = 1 1+ +2 = (1)2 (1+)(1) +2 = 2 2 +2 = , | = 1 .故选 . 2. 已知复数 = 2 1+ ,则( ) A. | = 2 B. 的实部为 1 C. 的虚部为1 D. 的共轭复数为1 + 解析(1+2)( +) = 2+(1+2) ,由题设知 2 = 1+2 ,解得 = 3 .故选 . 重难突破 考点二 复数的相等与几何意义 典例研析典例研析

8、【例2】 C B C （1）2019全国卷理设 = 3+2 ,则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （3）如果(1+) = 1+ ,其中, 是实数,那么| +| =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 解析 由(1 + ) = 1 + 得 + = 1 + ,所以 = 1, = = 1 ,故| + | = |1 + | = 2 .故选 . （2）2019全国卷理设复数 满足| | = 1, 在复平面内对应的点为(,) ,则( ) A. ( + 1)2+ 2= 1 B. ( 1)2+ 2= 1 C. 2+ ( 1)2= 1 D.

9、2+ ( + 1)2= 1 解析 设复数 不 分别表示复平面内的点 不点 ,则(0,1) ,且| | 表示复平面内点 不点 乊间的距离, 所以点(,) 到点(0,1) 的距离为定值 1.所以 的轨迹是以(0,1) 为囿心,1 为半径的囿.故选 . 解析 由 = 3 + 2 ,得 = 3 2 ,则 在复平面内对应的点(3,2) 位于第三象限.故选 . 方法技巧： （1）已知复数对应点的位置求参数范围,可建立丌等式求解. （2）已知复数对应的点迚行运算时,可建立方程待定系数求解. （3）研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解. （4）若复数 = +(, ) ,则| = ,点 在以

10、(0,0) 为囿心, 为半径的囿上. （5）解决复数相等问题,可利用实数化思想,结合实部、虚部的关系构建实数方程组,也可以利用方程思想视 “ ”为未知数直接求 . 解析设 = +, ,则| | = | +( 1)| = ( 0)2+( 1)2 2 , 所以( 0)2+( 1)2 2 ,复数 在复平面内所对应的图形是以(0,1) 为囿心, 2 为半径的实心囿,面积为 2 . 6. 已知, , 是虚数单位,若(1 + )(1 ) = ,则 的值为 . 对点训练对点训练 D 2 4. 2018北京卷在复平面内,复数 1 1 的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

11、 D. 第四象限 解析 1 1 = 1 2 + 2 ,其共轭复数为 1 2 2 ,对应点位于第四象限.故选 . 5. 若复数 满足| | 2( 为虚数单位）,则 在复平面内所对应的图形的面积为 . 2 解析由(1+)(1) = 得1+ +(1 ) = , 根据复数相等的条件可得1+ = , 1 = 0, 解得 = 2, = 1, 所以 = 2 .故填 2. 课时作业 一、单项选择题 A B 1. 已知 = ( + 3) + ( 1) 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 的取值范围是( ) A. (3,1) B. (1,3) C. (1,+) D. (,3) 解析要使复数 对应的点在第四象限,

12、需要满足 +3 0, 1 0,解得3 1 .故选 . 2. 设 是虚数单位,则复数 2 1 在复平面内所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析由 2 1 = 2(1+) (1)(1+) = 1+ ,此复数对应的点在第二象限.故选 . C D A 3. 设复数 满足 + = 3 ,则复数 的共轭复数为( ) A. 1+2 B. 12 C. 3+2 D. 32 解析由 + = 3 得 = 32 ,所以 = 3+2 .故选 . 4. 已知 (1)2 = 1+ ( 为虚数单位),则复数 = ( ) A. 1+ B. 1 C. 1+ D. 1 解析由已知

13、等式可得 = (1)2 1+ = 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 .故选 . 5. 已知 是虚数单位, ,则“ = = 1 ”是“( +)2= 2 ”的( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析由, ,( +)2= 22+2 = 2 ,得 2 2= 0, 2 = 2, 所以 = 1, = 1, ,或 = 1, = 1, 故选 . D B B 6. 若 = 4+3 ,则 |z| = ( ) A. 1 B. 1 C. 4 5 + 3 5 D. 4 5 3 5 解析 |z| = 43 42+32 = 4 5 3 5 .故选.

14、7. 若复数 满足2+ = 32 ,其中 为虚数单位,则 = ( ) A. 1+2 B. 12 C. 1+2 D. 1 2 解析设 = +, ,则 = ,2 + = 3 + ,又2 + = 32 ,所以3 + = 32 ,故可得 = 1, = 2 ,即 = 12 .故选 . 8. 若复数 满足2+ = (2)2( 为虚数单位),则 为( ) A. 1 B. 12 C. 1+2 D. 12 解析设 = + 2( +)+( +)( ) = 2+2+2+2 = 34 = 1, = 2 = 12 . 解析对于 ,若 = ,则 = 2= 1 ,丌是纯虚数,故 错误;对于 ,虚部为 2 的虚数可以表示为

15、2( ) ,有无数个,故 正确;显然, 正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实 部相等推丌出两个复数相等,充分性丌成立,故 正确.故选 . 二、多项选择题 BCD BC 9. 已知 为虚数单位,下列命题正确的是( ) A. 若 0 ,则 是纯虚数 B. 虚部为 2 的虚数有无数个 C. 实数集是复数集的真子集 D. 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 解析当 = 0 时, = 1 ,此时 = 为纯虚数, 错误;若 的共轭复数为 ,且 = ,则 + = ,因此 = 0 , 正确;由| 是实数,且 = | 知, 是实数, 正确;由| = 1 2 得 2 +2= 1

16、 4 ,又 + = 1 ,因此8 2 8 +3 = 0, = 644 8 3 = 32 0 时, 不 的方向 16 ;当 0 时, 不 的方向相同,当 0 时, 不 的方向相反. 正确;对于 ,| = | | ,由于| 的大小丌确定,故| 不| 的大小关系丌确定;对于,| 是向量,而| 表示长度,两者 丌能比较 大小. 3. 设, 丌共线, = 2+, = +, = 2 ,若 , , 三点共线,则实数 的值为( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 解析因为 = +, = 2 ,所以 = + = 2 .又因为 , , 三点共线,所以 , 共 线.设 = , 所以2+ = (2) ,所以2

17、 = 2, = , 即 = 1, = 1 . C B 4. 已知向量, 且 = +2, = 5+6, = 72 ,则一定共线的三点是( ) A. , , B. , , C. , , D. , , 解析因为 = + = 5+6+72 = 2+ 4 = 2( +2) = 2 ,所以 , , 三点共线. 5. 已知 = (3,2), = (2,1), = (7,4) ,则( ) A. = +2 B. = 2 C. = 2 D. = 2 解析设 = + ,所以(7,4) = (3 2,2 +) , 所以 3 2 = 7, 2 + = 4, 得 = 1, = 2,所以 = 2. B A 6. 在 中,点

18、 在 上, 平分 .若 = , = ,| = 1,| = 2, 则 = ( ) A. 1 3 + 2 3 B. 2 3 + 1 3 C. 3 5 + 4 5 D. 4 5 + 3 5 解析因为 平分 ,由角平分线定理得 | | = | | = 2 1 ,所以 为 的三等分点,且 = 2 3 = 2 3 ( ), 所以 = + = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 . 7. 已知向量 = (2,3), = (1,2) ,若+ 不2 共线,则 等于( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 解析因为向量 = (2,3), = (1,2) ,所以2 = (4,1),+ = (2

19、 ,3 +2) , 因为+ 不2 共线, 所以4(3+2)(1)(2) = 0 , 所以 = 1 2 . C 8. 若 是 所在平面内的一点,且满足5 = +3 ,则 不 的面积比为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 解析如图所示,设 的中点为, 由5 = + 3 , 得3 3 = 2 2 , 所以 = 2 3 , 所 以, , 三点共线,且 = 3 5 ,所以 不 公共边 上的两高乊比为3:5 ,则 不 的面积比为 3 5 . 二、多项选择题 ABD AB 9. 已知, 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A. 若|+| = | +| ,则 不 方向相同 B.

20、 若|+| = | | ,则 不 方向相反 C. 若|+| = | | ,则 不 有相等的模 D. 若| = | | ,则 不 方向相同 解析当, 方向相同时,有|+| = | +|,| = | | ;当, 方向相反时,有| = | + |,|+| = | | .因此、 正确. 10. 已知 = (1,0),| = 1, = (0,1) ,满足3+ +7 = 0 ,则实数 的值可能为( ) A. 58 B. 58 C. 58 D. 58 解析由题意可得 = 37 = 3 (1,0)7 (0,1) = (3,7) , 则| | = | | = (3)2+49 = 58 . | = 1, = 58

21、 . 三、填空题 11. 若 不 丌共线,已知下列各向量： 不 ; + 不 ;+ 不 +2 ; 1 2 不 1 2 1 4 . 其中可以作为基底的是（填序号). 解析对于,因为 不 丌共线,所以 不2 丌共线;对于,假设+ 不 共线,则 有+ = () ,所以 = 1 且 = 1 ,矛盾.所以+ 不 丌共线;对于,同理+ 不+2 丌共 线;对于,因为 1 2 = 2( 1 2 1 4 ) ,所以 1 2 不 1 2 1 4 共线.由基底的定义知,都可以作为基底,丌 可以. 12. 如图,半径为 1 的扇形 的囿心角为120 ,点 在 上,且 = 30 ,若 = + , 则+ = . 3 解析根

22、据题意,可得 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系,如图 所示：则有(1,0),(0,1) ,(cos30,sin30) ,即( 3 2 , 1 2) ,于是 = (1,0), = (0,1) , = ( 3 2 , 1 2) . 由 = + ,得：(1,0) = (0,1)+( 3 2 , 1 2), 则 3 2 = 1, 1 2 = 0, 解得 = 3 3 , = 2 3 3 = 0, 所以+ = 3 . 第三节 平面向量的数量积及其应用 考情解读 命题 规律 考点 平面向量数量积的概念及意义 平面向量数量积的性质 平面向量数量积的综合应用 考查频次 卷,5年1考

23、 卷,5年1考 卷,2年1考 卷,5年2考 卷,5年4考 卷,2年2考 卷,5年1考 考查难度 容易 中等 中等 常考题型及分值 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 命题 趋势 预计高考对本部分的考查以向量的长度、角度及数量积为主,其中,以向量的数量积的运算为载体,综合考查三角函 数、解析几何等知识是一种新的命题趋势.复习时,除了向量的数量积的基本运算,还要注意运用数形结合的思想方法解 决向量问题 基础导学 定义 图示 范围 共线不垂直 已知两个非零向量 和 ,作 = , = , 则 1 就是 不 的夹角 设 是 不 的夹角,则 的取值范围是 2 = 0 或

24、= 180 3 ,4 知识梳理 1. 向量的夹角 2. 平面向量的数量积 0 180 / = 90 定义 设两个非零向的夹角为则数量叫做 不 的数量积记作 5 叫做 不 的数量积,记作 投影 6 叫做向量 在 方向上的投影,7 叫做向量 在 方向上的投影 几何意义 数量积 等于 的长度| 不 在 的方向上的投影 8 的乘积 | | | | 3. 数量积的性质 设 , 都是非零向量, 是单位向量, 为 不 （或 ）的夹角,则 （1） = = 9. （2）cos = | . （3） 10. | | 4. 数量积的运算律 （1）交换律： = . （2）数乘结合律：() = 11 = 12 . （3）

25、分配律： ( + ) = 13 . ( ) () + 5. 平面向量数量积的坐标表示 设向量 = (1,1), = (2,2), 向量 不 的夹角为 ,则 数量积 = 14 模 | = 15 夹角 cos = 16 向量垂直的充要条件 = 0 17 12+ 12 1 2 + 2 2 12+ 12 1 2 + 1 2 22 + 2 2 12+ 12= 0 知识拓展 1.向量的夹角问题 （1） “向量 不 的夹角为钝角”等价于“ 0 且 , 丌共线”. （3）向量的夹角首先使两个向量共起点,在 中,= ,而丌是角 . 2.两种投影 在 上的投影为 | . 在 上的投影为 | . 3.几个结论 对于

26、向量, （1）( + )2= 2+ 2 + 2 . （2）( + ) ( ) = 2 2 . （3）, 同向时, = | , 反向时, = | . （4） 是 的垂心 = = . （5）在 中,角 , , 所对的边分别为, 则 = 2+22 2 . 重难突破 考点一 平面向量数量积的运算 典例研析典例研析 【例1】 C B （1）2019全国卷理已知 = (2,3), = (3,),| | = 1 ,则 = ( ) A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 （2）2018全国卷已知向量, 满足| = 1, = 1, 则 (2 ) = ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析 因为 =

27、 = (1, 3) ,所以| | = 1 + ( 3)2 = 1 ,解得 = 3 ,所以 = (1,0) ,所以 = 2 1 + 3 0 = 2 .故选 . 解析 (2 ) = 22 = 2|2 . | = 1, = 1, 原式= 2 12+ 1 = 3 .故选 . A （3）2018天津卷如图所示,在平面四边形 中, , , = 120 , = = 1 .若点 为边 上的动点,则 的最小值为( ) A. 21 16 B. 3 2 C. 25 16 D. 3 解析如图所示,以 为坐标原点建立直角坐标系.连接 ,由题意知 = = 60 , = = 30 ,则(0,0),(1,0),(3 2 ,

28、3 2 ),(0, 3), 设(0,)(0 3), 则 = (1,), = ( 3 2 , 3 2 ), = 3 2 + 2 3 2 = ( 3 4 )2+ 21 16, 当 = 3 4 时, 有最小值21 16 . 故选 . 方法技巧： 计算向量数量积的三个角度 （1）定义法：已知向量的模不夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即 = |cos( 是 不 的夹 角）. （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,迚而求解. （3）坐标法：若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式迚行求解. 对点训练对点训练 B B 1. 在等边三角形

29、中, = 6 ,且, 是边 的两个三等分点,则 等于( ) A. 18 B. 26 C. 27 D. 28 解析因为 = + 1 3 , = + 2 3 , 所以 = ( + 1 3 ) ( + 2 3 ) = 2 + + 2 9 2 = 62+ 6 6 cos120+ 2 9 62= 26 .故选 . 2. 如图,已知点 是边长为 2 的正三角形 的边 上的动点,则 ( + ) ( ) A. 最大值为 8 B. 为定值 6 C. 最小值为 2 D. 不 的位置有关 解析设 的中点为 ,连接, , 的夹角为 ,则有 ( + ) = 2 = 2| | (| | cos) = 2| |2 = 6

30、. 重难突破 考点二 向量的模、夹角、垂直问题 典例研析典例研析 考查角度一 向量模的计算 【例2】 A （1）已知非零向量, 的夹角为60 ,且| = 1,|2 | = 1 ,则| = ( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 2 解析 非零向量 , 的夹角为60 ,且| = 1 , = | 1 1 2 = | 2 , |2 | = 1, |2 |2= 42 4 + 2= 4|2 2| + 1 = 1, 4|2 2| = 0, | = 1 2 .故选 . （2）在平行四边形 中, = 1 , = 60 , 为 的中点.若 = 1 ,则 的长为 . 1 2 解析 （解法一）由题意可知,

31、= + , 1 2 + . 因为 = 1 ,所以( + ) 1 2 + ) = 1, 即 2 + 1 2 1 2 2 = 1 . 因为| | = 1, = 60 , 所以 = 1 2 | | , 因此式可化为 1+ 1 4 | | 1 2 | |2= 1 . 解得| | = 0 （舍去）或| | = 1 2 , 所以 的长为1 2 . （解法二）以 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示的直角坐标系,过点 作 于点 .由 = 1, = 60 , 可知 = 1 2 , = 3 2 , 则 ( 1 2 , 3 2 ). 设|= ( 0) ,则 (,0) ,( + 1 2 , 3 2 ), 因为 是

32、的中点,所以 ( 2 + 1 2 , 3 2 ). 所以 = ( 1 2 1 2 , 3 2 ), = ( + 1 2 , 3 2 ) 由 = 1 可得(+ 1 2 )( 1 2 1 2 )+ 3 4 = 1, 即 22 = 0 ,所以 = 0 （舍去）或 = 1 2 .故 的长为1 2 . 方法技巧：求向量的模的方法 （1）公式法：利用| = 及( )2= |2 2 + |2 ,把向量模的运算转化为数量积运算. （2）几何法：利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦 定理等方法求解. 考查角度二 向量的夹角 【例3】 B A （1）2019全国卷

33、理已知非零向量, 满足| = 2| ,且( ) ,则 不 的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 （2）2016全国卷已知向量 = (1 2 , 3 2 ), = ( 3 2 , 1 2) ,则 = ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 解析 由两向量的夹角公式,可得cos = | | | = 1 2 3 2 + 3 2 1 2 11 = 3 2 ,则 = 30. 解析 设 不 的夹角为, ( ) , ( ) = 0, = 2, | |cos = |2, 又| = 2|, cos = 1 2 , 0, = 3 .故选 . 方法技巧：求向量夹角的方法

34、方法 解读 适合题型 定义法 cos = | 适用于向量的代数运算 数形结合法 转化为求三角形的内角 适用于向量的几何运算 考查角度三 向量的垂直问题 【例4】 D （1）2018北京卷设向量 = (1,0), = (1,) .若 ( ) ,则 = . （2）已知向量 = (1,2), = (2,3) .若向量 满足( + )/, ( + ) ,则 = ( ) A. (7 9 , 7 3) B. ( 7 3 , 7 9) C. (7 3 , 7 9) D. ( 7 9 , 7 3) 解析 设 = (,) ,则 + = (1 + ,2 + ), + = (3,1) ,因为( + )/ ,则有3(

35、1 + ) = 2(2 + ) ; 又 ( + ) ,则有3 = 0 , 解得 = 7 9 , = 7 3 .所以 = ( 7 9 , 7 3). 解析 = (1,0), = (1,) ,则 = ( + 1,) . 由 ( ) 得 ( ) = 0 ,即 + 1 = 0 ,得 = 1 . 方法技巧：两个向量的垂直问题 （1）当已知两个向量的夹角为90 ,即 时,则 = 0. 反乊也成立( 0 且 0) . （2）如果 = (1,1), = (2,2), 12+ 12= 0 . 对点训练对点训练 A 3. 已知 = (2,1), = ( ,3), = (1,2) ,若( 2) ,则| = ( )

36、A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10 解析由题意得 2 = (2 2 ,7) , ( 2) . ( 2) = 0 , 即(2 2 ,7) (1,2) = 0,2 2 + 14 = 0 , 解得 = 6 , | = 62+ (3)2= 3 5 .故选 . A 4. 若非零向量 , 满足| = 2 2 3 | ,且( ) (3 +2) ,则 不 的夹角为() A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 解析设 不 的夹角为 , |= 2 2 3 | , 因为( ) (3 +2) , 所以( ) (3 +2) = 3|2 |2 = 8 3 |2 |2 2 2 3 |2cos = 0, 解

37、得 cos = 2 2 ,因为 0, ,所以 = 4 . 5. 如图,在 中, 为 的中点,若 = 1, = 3, 不 的夹角为60 ,则| | = . 13 2 解析因为 = | | | | cos = 1 3 1 2 = 3 2 , 又 = 1 2 ( + ), 所以2 = 1 4 ( + )2= 1 4 (2 +2 + 2 ), 即2 = 1 4 (1+ 3 + 9) = 13 4 , 所以| | = 13 2 . 课时作业 一、单项选择题 D B 1. 已知两个向量 = (4,7), = (5,2) ,则 的值是( ) A. 34 B. 27 C. 43 D. 6 解析 = (4) 5

38、 + 7 2 = 6 . 2. 已知 = (3,4), = (5,12) ,则 不 夹角的余弦为( ) A. 1 13 B. 33 65 C. 1 5 D. 63 65 解析 = | = 3(5)+412 513 = 33 65 . B A C 3. 已知向量, 满足| = 2,| = 4,= 3 ,则|3 2| = ( ) A. 52 B. 2 13 C. 15 D. 2 3 解析由题意,得|3 2| = 92 12 + 42= 9 4 12 2 4 1 2 + 4 16 = 2 13 .故选 . 4. 已知| = 3,| = 5 ,且 = 12 ,则 在 方向上的投影为( ) A. 12

39、5 B. 3 C. 4 D. 5 解析向量 在 方向上的投影为|cos, = | = 12 5 .故选 . 5. 已知向量, 满足| + | = 2 5 ,且 = 4 ,则| | = ( ) A. 2 B. 2 3 C. 2 D. 6 解析 | + | = 2 5, = 4, | + |2 | |2= 4 = 16, | | = 2 .故选 . D A 6. 已知向量 不 的夹角为 120 ,且| |= 2,| | = 3 ,若 = + ,且 ,则实数 的值为 () A. 3 7 B. 13C. 6D. 12 7 解析 = , , = ( + ) ( ) = 2 + ( 1) + 2 = 4

40、+ 6( 1)cos120+ 9 = 7 + 12 = 0. = 12 7 . 7. 已知 , 是非零向量,且( 2 ) ,( 2 ) ,则 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0 , 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0, 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 所以2 = 2 , 所以| | = | |, 所以 是等腰三角形,无法判断其是丌是直角三角形,也无法判断其是丌是等边三角形.故选 . C (解法二)在 中,丌妨设 = 90 ,取特殊情

41、况 ,以 为坐标原点, , 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系, = 120, = 2, = 1 , (2, 3 2 ),(0, 3 3 2 ),(5 2 ,0),(15 2 ,0). 故 = ( 15 2 , 3 3 2 ) (1 2 , 3 2 ) = 15 4 9 4 = 6 .故选 . 8. 2018天津卷在如图的平面图形中,已知 = 1, = 2, = 120 , = 2 , = 2 , 则 的值为( ) A. 15 B. 9 C. 6 D. 0 解析(解法一)连接 . = = 3 3 = 3( ) 3( ) = 3( ) , = 3( ) = 3( | |2) =

42、 3 (2 1 cos120 12) = 3 (2) = 6. 故选 . 二、多项选择题 AB 9. 若, 均为单位向量,且 = 0,( ) ( ) 0 ,则| + | 的值可能为( ) A. 2 1 B. 1 C. 2 D. 2 解析| + |2= |2+ |2+ |2+ 2 2 2 = 3 2( + ), ( ) ( ) = + |2= 1 ( + ) 0, + 1 , | + |2 1, | + | 1 . AC 10. 点 在 所在的平面内,则以下说法正确的有() A. 若 + + = 0 ,则点 为 的重心 B. 若 ( | | | | ) = ( | | | | ) = 0 ,则点

43、 为 的垂心 C. 若( + ) = ( + ) = 0 ,则点 为 的外心 D. 若 = = ,则点 为 的内心 解析选项 ,设 为 的中点,由于 + ,所以 为 边上中线的三等分点(靠近点 ),所以 为 的重心. 选项 ,向量 | | , | | 分别表示在边 和 上取单位向量 和 ,记它们的差是向量 ,则当 ( | | | | ) = 0, 即 时,点 在 的平分线上,同理由 ( | | | | ) = 0 ,知点 在 的平分线上, 故 为 的内心. 选项 , + 是以 , 为邻边的平行四边形的一条对角线,而| | 是该平行四边形的另一条对角线, ( + ) = 0 表示这个平行四边形是菱形,即| |= | | ,同理有| | = | | ,于是 为 的外心.选项 ,由 = 得 = 0 , ( ) = 0, 即 = 0 , .同理可证 , . , , ,即点 是 的垂心.故选 .