六年级奥数-牛吃草问题趣谈-教师讲义.doc

1、专题专题 27 牛吃草问题牛吃草问题 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓 一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 知识要点典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变， 不同头数的牛吃 光同一片草地所需的天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不 同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四 个基本公式，分别是： 设定一头牛一天吃草量为“1” 1 草的生长速度=（对应的牛头数吃的较多的天数相应的牛头数吃的较少的天数） （吃的较多的天数吃得较少的天数） 2 原有草量=牛

2、头数吃的天数草的生长速度吃的天数 3 吃的天数=原有草量（牛头数草的生长速度） 4 牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度 由于牛在吃草的过程中， 草是不断生长的， 所以解决消长问题的重点是要想办法从变化 中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以 每天 新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。 牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地， 这地既有原有的草， 又有每天新长出的 草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草 地

3、里原有的草量，进而解答问题。 这类题的基本数量关系是： 1（牛头数吃的较多的天数相应的牛头数吃的较少的天数）（吃的较多的天数吃 得较少的天数）=草地每天新长出的草 2 牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数=原有草量 解决多块草地的方法 多块草地的 “牛吃草” 问题， 一般情况下找多块草地的最小公倍数， 这样可以减少运算难度， 但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。 一、定义 伟大的科学家牛顿著的 普通算术 一书中有这样一道题：“12 头牛 4 周吃牧草 3 3 1 格尔，同样的牧草，21 头牛 9 周吃 10 格尔。问 24 格尔牧草多少牛吃 18 周吃完。 ” （格 尔牧场面

4、积单位） ，以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。 这类问题难在哪呢？大家看看它的特点 二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类 问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这例题 典例评析 例 1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天或 23 头牛 吃 9 天。问可供 21 头牛吃几天？ 例 2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知 牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，可供 24 头牛吃 6 天，照此计算，这

5、个牧场可供多少头 牛吃 10 天? 例 3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分 钟走 25 级台阶，小丽每分钟走 20 级台阶，结果小明用了 5 分钟，小丽用了 6 分钟分别 到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？ 例 4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些 水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在 要想在 2 小时舀完，需要多少人？ 例 5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可 供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头

6、牛死亡，余下的牛吃了 2 天 将草吃完，问原来有牛多少头？ 例 6 有三块草地，面积分别为 5 公顷，6 公顷和 8 公顷。每块地每公顷的草量相同 而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。 第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 巩固练习 1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天，供 15 头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃天。 （ ） A. 10 B. 5 C. 20 2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果 20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长 出的草全部吃光，而 14 只羊则要 10 天吃光。

7、那么想用 4 天的时间，把这块草地的草吃 光，需要只羊。 （ ） A. 22 B. 23 C. 24 3画展 9 时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来 的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队了，那么第一个观众 到达的时间是 8 点分。 （ ） A. 10 B. 12 C. 15 4. 经测算， 地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年， 或 可供 80 亿人生活 300 年。 假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球 最多只能养活（ ）亿人。 5. 快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行

8、驶的自行车。三车的速度分 别是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中车追上自行车 用了 10 小时，慢车追上自行车用（ ）小时。 6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若 用 24 根抽水管抽水，6 小时可以把池中的水抽干，那么用 16 根抽水管， （ ）小 时可将可将水池中的水抽干。 7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车，12 小时可以把它们运完，如果用 8 辆汽车，16 小时可以把它们运完。如果开始只用 3 辆 汽车，10 小时后增加若干辆，再过 4 小时也能运完，那么后来增加的汽

9、车是（ ） 辆。 8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16 头牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以 吃多少天？ 9. 某水库建有 10 个泄洪闸， 现在水库的水位已经超过安全警戒线， 上游的河水还 在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测 算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位降 到安全线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开 几个闸门？ 10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的 2 倍去追乙车，5 小时后 能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去 追，几小时后能追上乙车