山风谈数学之一-方积木的应用.doc

1、写在正文之前 家有小儿哈哈，12 年 9 月就近进了一所普通的公办小学就读。10 月开始学习奥数，妈妈做 起了老师。在学习中教学相长，哈哈有自己的想法，妈妈也动脑筋琢磨出一些办法，把一些 数学的基础概念和知识解释给哈哈听，帮助他理解。在群中聊天后，很多家长都希望我整理 成文，我所写的，是我自己的想法和体会，未必和教科书的概念和定义相符合，请各位家长 自己甄别。妈妈学理工科的，文笔不太好，大家多理解。以下内容都是我一个字一个字打出 来的，如果引用，请注明出处。这篇文章也是抛砖引玉，希望大家一起来动脑筋，帮助小朋 友们把数学学好。 妈妈，网名山风，QQ：1535771286 2013 年 7 月

2、山风谈数学之一 -方积木的应用 方积木，准备 100 块，彩色为佳。对于一到四年级的小朋友，大小 2cm 足够了。如果小朋 友比较小，或者比较大，可以考虑买 2.5cm 的。 在淘宝上搜索：方积木。 100 块方积木的 价格，十几元到几十元不等。有带题册，有不带的。家长自己权衡、选择。本篇的应用，只 需要积木就可以。本篇所附的图，只是示意图。家长和小朋友，可以用更多积木拼出更大更 漂亮的图案来。只要理解了内容，积木数量不限。 选择彩色方积木的理由： 1 数量多，价格实惠，容易购买。 2 颜色多种，图案直观形象，有助于理解。而且很漂亮，小朋友喜欢玩。 3 截面为正方形，可以用于学习周长和面积。

3、4 最重要的一点，可以叠起来用，将来可用于学习长方体、正方体的表面积，体积，分割 等。 为什么用方积木来学数学： 小朋友学加法的时候，会借助实物，或者掰手指头来算，等熟练了，就变成脑子想，不再借 助手指头了，再熟练了，就形成条件反射，看到简单加法，结果张口就来，已经忘了当初为 什么要靠掰手指头，才能得到答案。 那么学其他数学知识的时候呢，一般都直接在纸上黑板上写了画了，很少再有动手的机会。 我考虑用方积木，就是类似于掰手指头，先有个感性、直观的认识，逐渐过渡到纸上，画圈 圈方块，画线段，最后在脑子里直接计算，甚至抽象成概念。奥数知识本来就比普通数学难 懂，有了积木做实物，可以降低难度，帮助小朋

4、友理解，最终的目的，是脱离积木，独立在 头脑中思考。 方积木适合一两年级， 甚至年龄更低的小朋友平时玩。 大一些的小朋友让他玩可能觉得幼稚， 但可以当教具来帮助理解概念。 方积木可以做教具，但首先是玩具。家长平时就要让小朋友玩，不要等到要教数学知识了， 才拿出来。让小朋友发挥创造力吧。可以拼成彩虹，拼成城堡，拼成彩色相间的棋盘。甚至 只是一个个往上叠高，一直到倒下来，平时家长不要去指导他怎么玩。越简单的玩具，越是 需要动脑筋，发挥想象力和创造力。小朋友玩积木的时候，培养了专注力，养成在安静的环 境里学习，尝试，思考的习惯。 一平方差 （这节的想法来自于哈哈。某天晚上妈妈想教简算 45+99*9

5、9+54=？ 结果还没按书上的套 路讲呢，哈哈先冒出一句 99*99=9801，把妈妈楞在当场。问他怎么算的，他说： 99*99=100*100-100-99=9801。妈妈很纳闷：最终数字是对的，但为什么要先减 100，再减 99。得到的回答是：先减一行，再减一列。联想到之前一直在玩的方积木，原来是从方阵中 来。 ） 用积木拼出 4*4 正方形，用其他颜色，拼上半圈边，变成 5*5 的正方形，如上图。 观察图形，5*5 和 4*4， 相差一行加一列。 一行是 5 个，去掉这行后，剩下的一列是 4 个。 5*5=4*4+4+5 理解了这个图形和以上算式的含义后，请尝试理解以下题目。 2005

6、的平方-2004 的平方=2005+2004=4009。 接上面 99*99，那天晚上哈哈要睡觉了，在那里泡着脚，忽然又冒出一句，刚才那个(算法), 还不是最简单的。用 98*100，再加 1，就好了。我都快晕了。 连(a+1)*(a-1)+1=a*a, 都知道 了? 问他怎么知道，他说，先拿 0*2 和 1*1 比 ,再拿 1*3 和 2*2 比.当然，以他的计算水 平，还不能口算一直算到 99*99 的。估计这个结果，是他先猜想，再从 0 开始验证，推理出 来的。不过对一个一年级小朋友来说，也难能可贵了。哈哈用的是数字，妈妈现在用图形来 表示吧 图 1 图 2 图 1 是 5*5 的正方形

7、。变换成图 2，仔细观察两图的差别，紫色部分从横行变成竖列，此时 长变为(a+1)，宽变为(a-1), 图 2 比图 1 少了 1 块红色。 5*5 - 1 =（5+1）*（5-1） 以此类推， a*a-1=(a+1)*(a-1) 图 3 图 4 图 3 和图 4，是 a*a-b*b 的示意图。 6*6 的正方形代表 a*a，红色部分为 b*b。黄色+紫色部分，为 a*a-b*b 紫色部分移动后。长变为(a+b)，宽变为(a-b) a*a-b*b=(a+b)*(a-b) 二奇数列求和 用多种颜色积木，拼成如上图形。 观察图形。 各种颜色积木块数为 1，3，5，7，9 1+3，拼成 2*2 的正

8、方形。 1+3+5， 拼成 3*3 的正方形。 1+3+5+7， 拼成 4*4 的正方形。 1+3+5+7+9， 拼成 5*5 的正方形。 从图形上看， 1+3+5+7+9+， 都会拼成一个正方形。 正方形边长，和最后一个数字有 关。至于规律，请自行思考，归纳。 这个看起来很神奇吧，是怎么来的呢？还记得第一篇的那个式子 5*5=4*4+4+5 吗？ 4*4 的正方形，加上（4+5）=9，就是 5*5 的正方形了。 从第一块开始看，右侧加一块，然后下面加一行 2 块，就变成 2*2 的正方形了。1+2=3。 从 2*2 的正方形看，右侧加 2 块，然后下面加一行 3 块，就变成 3*3 的正方形

9、了。2+3=5。 以此类推，从 1 开始， 1+3+5+，必定是一个正方形。 也许有人说，如果不是 1 开始，比如，从 11 开始，11+13+15+99，就用不上这个公式 了，这也没多大意思呀。 11+13+15+99， 一般的简便算法， 是用等差数列求和公式来计算。 但我们现在用积木， 也可以解。 11+13+15+99= （1+3+5+99） - （ 1+3+5+9） =50 平方- 5 平方=2500-25=2475。 很简单吧，从积木上看，示意图如下。 白色部分，就是减掉的 1+3+5+7+9=5*5， 黄色部分，就是我们要求的答案。 三用方积木学乘法(仅用于乘法启蒙) （这节来自于

10、哈哈在大班时学习乘法的体会。 一开始没经验， 我错误地让他直接背乘法口诀， 某天他用小汽车上拆下的轮子排出了 3*5 的长方形，问我： 这个是 3 乘以 5 吗？这给了我 当头一棒。对于那么小的小孩，脱离了实物，直接背拗口的公式，是我的错误。他最开始背 乘法口诀，用的是累加。比如，一四得四，二四得八，就是在四的基础上加四。一开始我根 本没发现这个情况，某次他中间背错一个数值，然后后续的全部跟着错，我才知道，他是用 累加来背乘法口诀的。当然之后背熟练了，不需要再从头开始累加了。这个给了我教训和启 发，才有了这个用方积木来学乘法的方法。 某个冬日周末的早晨，哈哈醒了，妈妈还不想起床，就闭着眼睛迷糊

11、着聊天。哈哈问：为什 么有乘法呢？妈妈回答：比如你做加法，2 个 3 加一起，你写成 3+3， 3 个 3 加一起，就写 成 3+3+3， 3 的个数越多， 你写得越多， 假如有 100 个 3 加在一起， 你就要写 3+3+3+3+。 要写 100 个 3，那太累了，所以就有个简单的写法， 3*100。就表示 100 个 3 加在一起，这 个就是乘法。 ） 用积木一行一行排。来理解乘法。 比如第一行排 3 个， 第二行也排 3 个， 总数就是 3+3=6 个。 第三行再加 3 个， 总数 3+3+3=9 个。一直排到 8 行 24 个。 我们可以怎么来算 3*8 的积木有多少呢? 1。按以前

12、加法的算法，就是 3+3+3+3+3+3+3+3， 按顺序数出来，就是 3，6，9，12，15， 18，21，24 个。 2。横过来看，就是一行 8 个，有 3 行， 8+8+8， 按顺序数出来，就是 8，16，24。 3。我们也可以这样算， 7 行，再多了 1 行 3 个。7 行有多少个呢。3*7=21， 3*8=3*7+3*1=21+3=24 4。还可以算，10 行，少 2 行 6 个， 3*8=3*(10-2)=3*10-3*2=24 5。还可以分组算。 2 行为一组。每组有 6 个，有这样的 4 组。 6+6+6+6=24。 算的方法还有很多种，不一一列举，请尽量引导小孩自己思考。 乘

13、法公式千万不要死记硬背，一定要在理解的基础上再背。 否则费力费时，不仅背了容易 忘记，而且容易留下心理阴影。 （看了网上那个背 3*5=15 的小姑娘，我心里都有阴影了， 这样逼着学的，将来会厌学，甚至不敢往下想了。 ） 比如，考试时忘了 6*8 等于多少。怎么办? 用以上方式算过的，就可以用 6*7+6 得到答案， 6*10-12 也行，再不行， 6+6+6硬加吧， 不会因为背不出来而把题目空着不做。 四用方积木学乘法交换率/分配率。 a.乘法交换率 举例：3*5=5*3， 左式是一行 3 个，有 5 行。右式就是横过来看，一行 5 个，有 3 行。 a*b*c 的交换率，就是一个长方体，从

14、不同角度看，正面看，侧面看，从上面看。 比如；拼一个 5*4*3 的长方体。 从上面看，就是 5*4 的长方形，再乘以高，*3 从正面看，就是 5*3 的长方形，再乘以宽，*4。 从侧面看，就是 4*3 的长方形，再乘以长，*5。 b.乘法分配率， (a+b)*c=a*c+b*c 用积木拼成长方体，长为 a+b，宽为 c。面积为：(a+b)*c （ a，b 两部分可用不同颜色积木 区别） 。 从中间分成两部分，一块长为 a， 一块长为 b。面积分别是 a*c 和 b*c。 总面积不变，所以，(a+b)*c=a*c+b*c。 五等差数列求和。 等差数列求和公式为：(首项+尾项)*项数/2 一般用

15、配对法。这里用彩色积木来表示配对。首项+尾项变成了长，项数变成了宽，来帮助 理解和记忆公式。 六盈亏问题基础 （寒假时买了 100 块的彩色方积木，能不能用来教些什么呢。之后想到了盈亏问题，这个是 三年级里教的内容，我尝试用方积木做教具来教些基础方法，第一次尝试，发现效果不错， 很快就学会了，这个让我信心大增，后来经常琢磨怎么利用好方积木，帮助理解和学习一些 数学知识。 ） 找个天气好的上午，大人小孩都精神状态和情绪都比较好，当办家家一样地玩。不要带着任 务观点， 一步步都要小朋友自己领会， 给出正确回答， 才能往下走。 家长一定不要给出答案， 可以换方法引导，如果实在答不出，就过一段时间再次

16、尝试引导。这里写了比较多的对话， 家长自己体会，意思到了就行，不需要一模一样的。 铺垫部分： 妈妈：今天我们一起来玩办家家吧，你当幼儿园老师，给小朋友分糖，好吗？ 哈哈：好啊好啊，那用什么来做糖，什么来做小朋友呢？ 妈妈：假设现在有 5 个小朋友，我们用三角积木代替。 哈哈：我要用圆柱形积木代替。 妈妈：好啊，我们拿 5 个积木，排成一行，1，2，3，4，5。 现在这里有一些方积木，代替 糖，你分给每个小朋友吧，要平均分哦。 哈哈：怎么平均分呢？ 妈妈：你可以象发牌那样，一人一个，轮流分一圈，再分一圈，这样每人一样多，就公平了， 否则有的多有的少，你愿意拿少的吗？ 哈哈：当然不愿意。 （如果小

17、朋友不清楚的，可以教一下怎么发牌。之后一定要小朋友动手摆积木，家长不要代 替。否则起不到引导作用） 。 开始摆积木，按次序从左到右排，摆的时候，家长可以帮着数，1 个，2 个，3 个，4 个，5 个， 妈妈：第一圈分完了。现在有几颗糖？几个小朋友？ 哈哈：1，2，3，4，5， 5 颗糖，5 个小朋友。 妈妈： 哦， 有 5 颗糖，5 个小朋友，每人正好 1 个。 5 颗糖够 5 个小朋友每人分一个。再 往下分吧。 分第二圈，家长可以帮着数，1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，5 颗糖，每个小朋友可以多分 一颗。 分第三圈，家长可以帮着数，1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，5 颗糖，每

18、个小朋友可以再多 分一颗。 要分第四圈了。 哈哈：糖不够分了。 妈妈：没关系，我们先按顺序给左边的小朋友，先摆好。图形如下（数字 1，2，3，4，5 代表 5 个小朋友，黄色代表糖，白色部分是空白） ： 1 2 3 4 5 妈妈：现在每个小朋友有几颗糖？还多几颗？ 哈哈：每人有 3 颗，还多 3 颗。 妈妈：可惜糖不够分了，还少了几颗。你还需要几颗，才能让每个小朋友的糖一样多？我可 以再给你一些。 此时引导小孩看积木观察，手里再准备几颗其他颜色的积木，任由小朋友自己取。 哈哈：还要 2 颗就够了。 从妈妈手里拿了 2 个积木，摆在白色处。图形如下。 妈妈：为什么是 2 颗呢？ 哈哈：5 个小朋

19、友每人分一个，就要 5 颗糖，现在只有 3 颗，还缺 2 颗。 妈妈：你缺了 2 颗，现在我补给你 2 颗，每个小朋友的糖就一样多了。现在每个小朋友有几 颗糖？ 哈哈：4 颗糖。 妈妈：如果每个小朋友要有 5 颗糖的话，我一共要补给你几颗的糖？（示意他观察积木） 哈哈：要 7 颗。 妈妈：为什么是 7 颗呢？ 哈哈：5 个小朋友每人多分 2 个，就要 10 颗糖，现在只有 3 颗，所以还缺 7 颗。 图形如下： 如果能直接回答 7 颗更好，不能直接回答出来的，就拿着一把积木，鼓励他动手摆。 铺垫环节非常重要，这时候要耐心等待。2 颗，7 颗，一定要有正确的回答和理由。如果回 答不出来，或者摆不

20、清楚，可以让他看看前面几圈是怎么摆的。实在不行，可能心智还不成 熟，不适合学这个，可以过几个月再来尝试，当天的教学就放弃，接下去办家家玩吧。 千万千万家长不能动手帮他，也不要告诉他答案，你这里再摆几颗就好了之类的话。他自己 观察加动手得来的知识，才能深刻体会，领悟。 铺垫环节全部正确的话，可以进入正式环节。 第一问： 妈妈：刚才分得很好。我们现在继续分糖果，比刚才要难一点点哦。 （哈哈一幅跃跃欲试的 样子） 把紫色积木拿走，然后用一张白纸，盖住前面几行，只留下最后一行。图形如下 妈妈：现在分糖果了，不过不知道有几个小朋友。只知道每人分 3 颗，还多了 3 个。每人要 分 4 颗呢，还少了 3

21、个。有几个小朋友呢？ 稍停顿，看看小朋友反应，如果想不出，就说： 我可以补给你 3 个积木，你摆摆看。 （手里 拿 3 个紫色积木给他） 。 如果还想不明白，就把白纸拿开，让他回想，摆放铺垫阶段的 2 颗和 7 颗。然后盖上白纸， 思考和动手摆。 摆出的图形，应该是这样。 哈哈：我知道了，有 6 个小朋友。 妈妈：为什么呢？ 哈哈：原来有 3 颗，现在又有 3 颗，一共 6 颗糖，够 6 个小朋友每人多分一颗，所以是 6 个小朋友。 妈妈：Bingo，你答对了。我们再来一题吧。 哈哈：好啊好啊。 把紫色积木拿走，仍旧放手里。 第二问： 妈妈：现在又分糖果了，不过不知道有几个小朋友。只知道每人分

22、 3 颗，还多了 3 个。每人 要分 5 颗呢，还少了 5 颗。有几个小朋友呢？ 然后耐心等待他想，如果想不明白，就补充一句：你可以摆摆看。手里拿着积木，让他自己 动脑筋想，动手摆。 如果还想不明白，再把白纸拿开，让他回想，摆放铺垫阶段的 2 颗和 7 颗。然后盖上白纸， 让他想想第一问的回答，再思考和动手摆。 （第一问和第二问，都是非常重要的，难度也是递增的。仍然是那句话：千万千万家长不能 动手帮他摆，也不能告诉他答案，花再多时间，也要他自己动脑筋想明白。如果时间太长， 小孩太累，不愿意继续想，继续摆，那就放弃，过几个月再来尝试。这不是教学任务，不是 去外面培训机构上课，今天一定要教完，不管

23、你理解不理解，懂不懂。家长心态要放端正， 就当个游戏玩，玩通关吧，今天玩得过，固然很好，玩不过，改天再玩。这样小孩学习的时 候，不会有压力，学得轻松愉快，才能发挥最大的潜力。 ） 哈哈：我知道了，是 4 个小朋友。 妈妈：是吗？你摆给我看看。图形如下。 妈妈：为什么是 4 个呢？ 哈哈：3 颗加 5 颗，是 8 颗，每人要多分 2 个，所以是 4 个小朋友。 妈妈：做得很好。我们现在不分糖了，我出个其他题目，你试试看，会不会做。 第三问： 妈妈：植树节，同学们去种树。如果每人种 5 棵树呢，还剩 12 棵树，如果每人种 7 棵树呢， 就缺 4 棵树，你知道有几名同学？几棵树呢？ （到教材，网页

24、上找类似基础题目，一两题即可，只要最基础的题目，不用带变化的。如果 数字偏大的，就改小。这时候不给积木，不再动手摆。当然，他可以看以前解过的第一问和 第二问。 目的只是为了确认， 学会了基本解法， 离开积木也能解题了。 如果还是离不开积木， 一定要摆，那还是停留在第二问阶段，再巩固一下，最终要达到第三问，不用积木，直接靠 脑袋想，也能解题） 如果第三问也正确回答，那说明非常成功，今天的教学就可以结束了。当然，也可以让小朋 友出题目给家长做。看时间和小朋友精神/体力状况和兴趣。最好在兴致最高的时候结束， 下次再玩吧。让他觉得数学是很好玩，很有趣的活动。 在家的好处就是不限定时间，不限定进度。家长

25、就是一对一的老师，有足够时间让小朋友思 考和体会，领悟。在任何阶段，如果小朋友不愿意，可以鼓励一下，如果坚持不愿意，那随 时可以结束，或者转成真正的办家家玩。 当然，这里只是盈亏问题入门，盈亏问题有很多是带变化的。那种题目，需要小孩对文字有 足够的理解力。理解力不够，题目都读不懂。读懂了题目，再转变成基本题型来做。至于复 杂题目怎么转变，可以买本教材看看，或者送出去培训时，老师都会讲的。这里不赘述了。 七加倍和减半 （这篇来自于哈哈的原创， 一上的时候学校里学了加倍和减半。放寒假时他就用方积木拼 出了加倍和减半。还告诉我，这样是一半一半再一半，反过来是加倍加倍再加倍，然后加一 块，可以拼成一个

26、大正方形。 ） 示意图如下，不太好画图， 相互距离比较远。家长自行调节位置，靠得近点，就比较清楚了。 这个是动态地摆积木的过程。可以作为亲子游戏来玩，先摆一个正方形，8*8 的，让小朋友 分出一半来。然后从分出的一半 4*8 里，再分出一半 4*4 来。然后继续分一半，分出 2*4， 2*2，1*2，1。最后余了一块，放在一边。从大到小，是减半，从小到大，是加倍。让他清 楚：64 减半是 32，32 减半是 16，16 减半是 8，8 减半是 4，4 减半是 2，2 减半是 1。 1 的加倍是 2，2 的加倍是 4，4 的加倍是 8，8 的加倍是 16，16 的加倍是 32，32 的加倍是 6

27、4。 把 8*8 的正方形这样分开，再合并回一个正方形，重复几次，加深理解加倍和减半。最后回 到分开状态，把多的一块，抓在手里。 妈妈：如果有这样一排积木，1，2，4，8，16，32 块，加起来是多少块呀？ 有可能，就用最笨的办法，一个数字一个数字加起来，当时哈哈也如此。这个时候不要急着 教，肯做就让他做。 然后，拿出手里那块积木。 妈妈：如果我借给你一块，会怎么样呢？ 他当然就拼回去，成为一个正方形了。 妈妈：正方形是多少块呢？ 哈哈：8*8，64 块。 妈妈：借给你的那块，要还给我哦。 （做动作：把那块积木拿走） 妈妈：还剩几块呢？ 哈哈：63。 妈妈：很好。如果我们有一排积木，1，2，4

28、，8，16，32，64 块，加起来是多少块呀？ 哈哈：64 加倍是 128， 128-1，是 127 块。 拓展： 如果把 8*8 的正方形作为 1，那么下题还是用以上图形拆分来理解。 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=1-1/64=63/64 八方阵 图 1 图 2 图 3 图 3 是空心方阵，中间白色部分，是空白，不放积木。 方阵内容请自行参考奥数教材，方积木仅仅为了直观地观察，帮助理解。比如： 数一下每 圈的数量，算一算外圈比内圈多几块积木。一般情况下是多 8 个，但边长从 1 到 3，数量是 从 1 到 8，增加了 7 个，这个是特殊情况，一般奥数书里也并未提到。

29、九带余除法启蒙 不带余数的除法，就是乘法的逆运算。以排积木来教乘法的时候，顺便也可以讲除法。 带余数的除法，在低年级的竞赛里经常会遇到。 比如：学校门前有一串彩灯，按红、黄、蓝、绿的顺序排列，问第 23 个彩灯是什么颜色？ 这个就是带余数的除法。23/4=53。 第三个是蓝色。 在启蒙阶段。可以用彩色积木排出来，让小朋友自己数，自己思考和领悟。 4 个颜色，重复排 5 次，就是 20 个，重复排 6 次，就是 24 个，23 个比 20 个要多 3 个。排 在第三个，是蓝色。 十其他应用 1排队问题。 一般常用方法是画圈圈，在启蒙阶段，可以用不同颜色积木代替排队的人，办家家的时候， 不露痕迹地

30、问：这块是小明，他排在队伍的第几个？ 他前面有几个人？他后面有几个人？ 一共有几个人？ 2摆花盆问题 学校绕着正方形的主席台摆花，每边摆 5 盆，四个角上也要摆，要几盆花？ 5*4-4=16。 方形有 4 条边，每边摆 5 盆，再减去 4 个角上重复计算的 4 盆。 以每块积木代表一盆花，帮助理解在角上重复计算的问题。 3间隔问题 比如：一根水管长 5 米，要全部切成一米长的段，要切几次？ 用积木来玩切切看，理解间隔数和段数的关系。 4移多补少问题 假设你是一个一两年级，甚至更小的小朋友，现在桌上放着 2 堆积木，一堆 3 块，一堆 5 块。请告诉我，你看到了什么？要跟数字有关的哦。 你说，我看到了 2 堆积木，一堆 3 块，一堆 5 块。 好吧，勉强给个 60 分。还有什么呢？再看看，再想想。 你说，哦，这堆比那堆多 2 块，那堆比这堆少 2 块。 不错，可以给到 80 分了。还有什么呢？再看看，再想想。 如果从那堆里移一块到这堆，2 堆就一样多了。 非常好，可以给你 100 分。 等等，我还看到了 好吧，我预测不到你还能看到什么。不过，给你 120 分。奖励你喜欢动脑和钻研的精神。 用方积木来做移多补少问题，动手移一下，想一想为什么，怎么做。 移多补少在低年级竞赛里是必定要考的问题。具体内容，任何一本奥数书里都有，本文不再 赘述。