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山风谈数学之一-方积木的应用.doc

1、写在正文之前 家有小儿哈哈,12 年 9 月就近进了一所普通的公办小学就读。10 月开始学习奥数,妈妈做 起了老师。在学习中教学相长,哈哈有自己的想法,妈妈也动脑筋琢磨出一些办法,把一些 数学的基础概念和知识解释给哈哈听,帮助他理解。在群中聊天后,很多家长都希望我整理 成文,我所写的,是我自己的想法和体会,未必和教科书的概念和定义相符合,请各位家长 自己甄别。妈妈学理工科的,文笔不太好,大家多理解。以下内容都是我一个字一个字打出 来的,如果引用,请注明出处。这篇文章也是抛砖引玉,希望大家一起来动脑筋,帮助小朋 友们把数学学好。 妈妈,网名山风,QQ:1535771286 2013 年 7 月

2、山风谈数学之一 -方积木的应用 方积木,准备 100 块,彩色为佳。对于一到四年级的小朋友,大小 2cm 足够了。如果小朋 友比较小,或者比较大,可以考虑买 2.5cm 的。 在淘宝上搜索:方积木。 100 块方积木的 价格,十几元到几十元不等。有带题册,有不带的。家长自己权衡、选择。本篇的应用,只 需要积木就可以。本篇所附的图,只是示意图。家长和小朋友,可以用更多积木拼出更大更 漂亮的图案来。只要理解了内容,积木数量不限。 选择彩色方积木的理由: 1 数量多,价格实惠,容易购买。 2 颜色多种,图案直观形象,有助于理解。而且很漂亮,小朋友喜欢玩。 3 截面为正方形,可以用于学习周长和面积。

3、4 最重要的一点,可以叠起来用,将来可用于学习长方体、正方体的表面积,体积,分割 等。 为什么用方积木来学数学: 小朋友学加法的时候,会借助实物,或者掰手指头来算,等熟练了,就变成脑子想,不再借 助手指头了,再熟练了,就形成条件反射,看到简单加法,结果张口就来,已经忘了当初为 什么要靠掰手指头,才能得到答案。 那么学其他数学知识的时候呢,一般都直接在纸上黑板上写了画了,很少再有动手的机会。 我考虑用方积木,就是类似于掰手指头,先有个感性、直观的认识,逐渐过渡到纸上,画圈 圈方块,画线段,最后在脑子里直接计算,甚至抽象成概念。奥数知识本来就比普通数学难 懂,有了积木做实物,可以降低难度,帮助小朋

4、友理解,最终的目的,是脱离积木,独立在 头脑中思考。 方积木适合一两年级, 甚至年龄更低的小朋友平时玩。 大一些的小朋友让他玩可能觉得幼稚, 但可以当教具来帮助理解概念。 方积木可以做教具,但首先是玩具。家长平时就要让小朋友玩,不要等到要教数学知识了, 才拿出来。让小朋友发挥创造力吧。可以拼成彩虹,拼成城堡,拼成彩色相间的棋盘。甚至 只是一个个往上叠高,一直到倒下来,平时家长不要去指导他怎么玩。越简单的玩具,越是 需要动脑筋,发挥想象力和创造力。小朋友玩积木的时候,培养了专注力,养成在安静的环 境里学习,尝试,思考的习惯。 一平方差 (这节的想法来自于哈哈。某天晚上妈妈想教简算 45+99*9

5、9+54=? 结果还没按书上的套 路讲呢,哈哈先冒出一句 99*99=9801,把妈妈楞在当场。问他怎么算的,他说: 99*99=100*100-100-99=9801。妈妈很纳闷:最终数字是对的,但为什么要先减 100,再减 99。得到的回答是:先减一行,再减一列。联想到之前一直在玩的方积木,原来是从方阵中 来。 ) 用积木拼出 4*4 正方形,用其他颜色,拼上半圈边,变成 5*5 的正方形,如上图。 观察图形,5*5 和 4*4, 相差一行加一列。 一行是 5 个,去掉这行后,剩下的一列是 4 个。 5*5=4*4+4+5 理解了这个图形和以上算式的含义后,请尝试理解以下题目。 2005

6、的平方-2004 的平方=2005+2004=4009。 接上面 99*99,那天晚上哈哈要睡觉了,在那里泡着脚,忽然又冒出一句,刚才那个(算法), 还不是最简单的。用 98*100,再加 1,就好了。我都快晕了。 连(a+1)*(a-1)+1=a*a, 都知道 了? 问他怎么知道,他说,先拿 0*2 和 1*1 比 ,再拿 1*3 和 2*2 比.当然,以他的计算水 平,还不能口算一直算到 99*99 的。估计这个结果,是他先猜想,再从 0 开始验证,推理出 来的。不过对一个一年级小朋友来说,也难能可贵了。哈哈用的是数字,妈妈现在用图形来 表示吧 图 1 图 2 图 1 是 5*5 的正方形

7、。变换成图 2,仔细观察两图的差别,紫色部分从横行变成竖列,此时 长变为(a+1),宽变为(a-1), 图 2 比图 1 少了 1 块红色。 5*5 - 1 =(5+1)*(5-1) 以此类推, a*a-1=(a+1)*(a-1) 图 3 图 4 图 3 和图 4,是 a*a-b*b 的示意图。 6*6 的正方形代表 a*a,红色部分为 b*b。黄色+紫色部分,为 a*a-b*b 紫色部分移动后。长变为(a+b),宽变为(a-b) a*a-b*b=(a+b)*(a-b) 二奇数列求和 用多种颜色积木,拼成如上图形。 观察图形。 各种颜色积木块数为 1,3,5,7,9 1+3,拼成 2*2 的正

8、方形。 1+3+5, 拼成 3*3 的正方形。 1+3+5+7, 拼成 4*4 的正方形。 1+3+5+7+9, 拼成 5*5 的正方形。 从图形上看, 1+3+5+7+9+, 都会拼成一个正方形。 正方形边长,和最后一个数字有 关。至于规律,请自行思考,归纳。 这个看起来很神奇吧,是怎么来的呢?还记得第一篇的那个式子 5*5=4*4+4+5 吗? 4*4 的正方形,加上(4+5)=9,就是 5*5 的正方形了。 从第一块开始看,右侧加一块,然后下面加一行 2 块,就变成 2*2 的正方形了。1+2=3。 从 2*2 的正方形看,右侧加 2 块,然后下面加一行 3 块,就变成 3*3 的正方形

9、了。2+3=5。 以此类推,从 1 开始, 1+3+5+,必定是一个正方形。 也许有人说,如果不是 1 开始,比如,从 11 开始,11+13+15+99,就用不上这个公式 了,这也没多大意思呀。 11+13+15+99, 一般的简便算法, 是用等差数列求和公式来计算。 但我们现在用积木, 也可以解。 11+13+15+99= (1+3+5+99) - ( 1+3+5+9) =50 平方- 5 平方=2500-25=2475。 很简单吧,从积木上看,示意图如下。 白色部分,就是减掉的 1+3+5+7+9=5*5, 黄色部分,就是我们要求的答案。 三用方积木学乘法(仅用于乘法启蒙) (这节来自于

10、哈哈在大班时学习乘法的体会。 一开始没经验, 我错误地让他直接背乘法口诀, 某天他用小汽车上拆下的轮子排出了 3*5 的长方形,问我: 这个是 3 乘以 5 吗?这给了我 当头一棒。对于那么小的小孩,脱离了实物,直接背拗口的公式,是我的错误。他最开始背 乘法口诀,用的是累加。比如,一四得四,二四得八,就是在四的基础上加四。一开始我根 本没发现这个情况,某次他中间背错一个数值,然后后续的全部跟着错,我才知道,他是用 累加来背乘法口诀的。当然之后背熟练了,不需要再从头开始累加了。这个给了我教训和启 发,才有了这个用方积木来学乘法的方法。 某个冬日周末的早晨,哈哈醒了,妈妈还不想起床,就闭着眼睛迷糊

11、着聊天。哈哈问:为什 么有乘法呢?妈妈回答:比如你做加法,2 个 3 加一起,你写成 3+3, 3 个 3 加一起,就写 成 3+3+3, 3 的个数越多, 你写得越多, 假如有 100 个 3 加在一起, 你就要写 3+3+3+3+。 要写 100 个 3,那太累了,所以就有个简单的写法, 3*100。就表示 100 个 3 加在一起,这 个就是乘法。 ) 用积木一行一行排。来理解乘法。 比如第一行排 3 个, 第二行也排 3 个, 总数就是 3+3=6 个。 第三行再加 3 个, 总数 3+3+3=9 个。一直排到 8 行 24 个。 我们可以怎么来算 3*8 的积木有多少呢? 1。按以前

12、加法的算法,就是 3+3+3+3+3+3+3+3, 按顺序数出来,就是 3,6,9,12,15, 18,21,24 个。 2。横过来看,就是一行 8 个,有 3 行, 8+8+8, 按顺序数出来,就是 8,16,24。 3。我们也可以这样算, 7 行,再多了 1 行 3 个。7 行有多少个呢。3*7=21, 3*8=3*7+3*1=21+3=24 4。还可以算,10 行,少 2 行 6 个, 3*8=3*(10-2)=3*10-3*2=24 5。还可以分组算。 2 行为一组。每组有 6 个,有这样的 4 组。 6+6+6+6=24。 算的方法还有很多种,不一一列举,请尽量引导小孩自己思考。 乘

13、法公式千万不要死记硬背,一定要在理解的基础上再背。 否则费力费时,不仅背了容易 忘记,而且容易留下心理阴影。 (看了网上那个背 3*5=15 的小姑娘,我心里都有阴影了, 这样逼着学的,将来会厌学,甚至不敢往下想了。 ) 比如,考试时忘了 6*8 等于多少。怎么办? 用以上方式算过的,就可以用 6*7+6 得到答案, 6*10-12 也行,再不行, 6+6+6硬加吧, 不会因为背不出来而把题目空着不做。 四用方积木学乘法交换率/分配率。 a.乘法交换率 举例:3*5=5*3, 左式是一行 3 个,有 5 行。右式就是横过来看,一行 5 个,有 3 行。 a*b*c 的交换率,就是一个长方体,从

14、不同角度看,正面看,侧面看,从上面看。 比如;拼一个 5*4*3 的长方体。 从上面看,就是 5*4 的长方形,再乘以高,*3 从正面看,就是 5*3 的长方形,再乘以宽,*4。 从侧面看,就是 4*3 的长方形,再乘以长,*5。 b.乘法分配率, (a+b)*c=a*c+b*c 用积木拼成长方体,长为 a+b,宽为 c。面积为:(a+b)*c ( a,b 两部分可用不同颜色积木 区别) 。 从中间分成两部分,一块长为 a, 一块长为 b。面积分别是 a*c 和 b*c。 总面积不变,所以,(a+b)*c=a*c+b*c。 五等差数列求和。 等差数列求和公式为:(首项+尾项)*项数/2 一般用

15、配对法。这里用彩色积木来表示配对。首项+尾项变成了长,项数变成了宽,来帮助 理解和记忆公式。 六盈亏问题基础 (寒假时买了 100 块的彩色方积木,能不能用来教些什么呢。之后想到了盈亏问题,这个是 三年级里教的内容,我尝试用方积木做教具来教些基础方法,第一次尝试,发现效果不错, 很快就学会了,这个让我信心大增,后来经常琢磨怎么利用好方积木,帮助理解和学习一些 数学知识。 ) 找个天气好的上午,大人小孩都精神状态和情绪都比较好,当办家家一样地玩。不要带着任 务观点, 一步步都要小朋友自己领会, 给出正确回答, 才能往下走。 家长一定不要给出答案, 可以换方法引导,如果实在答不出,就过一段时间再次

16、尝试引导。这里写了比较多的对话, 家长自己体会,意思到了就行,不需要一模一样的。 铺垫部分: 妈妈:今天我们一起来玩办家家吧,你当幼儿园老师,给小朋友分糖,好吗? 哈哈:好啊好啊,那用什么来做糖,什么来做小朋友呢? 妈妈:假设现在有 5 个小朋友,我们用三角积木代替。 哈哈:我要用圆柱形积木代替。 妈妈:好啊,我们拿 5 个积木,排成一行,1,2,3,4,5。 现在这里有一些方积木,代替 糖,你分给每个小朋友吧,要平均分哦。 哈哈:怎么平均分呢? 妈妈:你可以象发牌那样,一人一个,轮流分一圈,再分一圈,这样每人一样多,就公平了, 否则有的多有的少,你愿意拿少的吗? 哈哈:当然不愿意。 (如果小

17、朋友不清楚的,可以教一下怎么发牌。之后一定要小朋友动手摆积木,家长不要代 替。否则起不到引导作用) 。 开始摆积木,按次序从左到右排,摆的时候,家长可以帮着数,1 个,2 个,3 个,4 个,5 个, 妈妈:第一圈分完了。现在有几颗糖?几个小朋友? 哈哈:1,2,3,4,5, 5 颗糖,5 个小朋友。 妈妈: 哦, 有 5 颗糖,5 个小朋友,每人正好 1 个。 5 颗糖够 5 个小朋友每人分一个。再 往下分吧。 分第二圈,家长可以帮着数,1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,5 颗糖,每个小朋友可以多分 一颗。 分第三圈,家长可以帮着数,1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,5 颗糖,每

18、个小朋友可以再多 分一颗。 要分第四圈了。 哈哈:糖不够分了。 妈妈:没关系,我们先按顺序给左边的小朋友,先摆好。图形如下(数字 1,2,3,4,5 代表 5 个小朋友,黄色代表糖,白色部分是空白) : 1 2 3 4 5 妈妈:现在每个小朋友有几颗糖?还多几颗? 哈哈:每人有 3 颗,还多 3 颗。 妈妈:可惜糖不够分了,还少了几颗。你还需要几颗,才能让每个小朋友的糖一样多?我可 以再给你一些。 此时引导小孩看积木观察,手里再准备几颗其他颜色的积木,任由小朋友自己取。 哈哈:还要 2 颗就够了。 从妈妈手里拿了 2 个积木,摆在白色处。图形如下。 妈妈:为什么是 2 颗呢? 哈哈:5 个小朋

19、友每人分一个,就要 5 颗糖,现在只有 3 颗,还缺 2 颗。 妈妈:你缺了 2 颗,现在我补给你 2 颗,每个小朋友的糖就一样多了。现在每个小朋友有几 颗糖? 哈哈:4 颗糖。 妈妈:如果每个小朋友要有 5 颗糖的话,我一共要补给你几颗的糖?(示意他观察积木) 哈哈:要 7 颗。 妈妈:为什么是 7 颗呢? 哈哈:5 个小朋友每人多分 2 个,就要 10 颗糖,现在只有 3 颗,所以还缺 7 颗。 图形如下: 如果能直接回答 7 颗更好,不能直接回答出来的,就拿着一把积木,鼓励他动手摆。 铺垫环节非常重要,这时候要耐心等待。2 颗,7 颗,一定要有正确的回答和理由。如果回 答不出来,或者摆不

20、清楚,可以让他看看前面几圈是怎么摆的。实在不行,可能心智还不成 熟,不适合学这个,可以过几个月再来尝试,当天的教学就放弃,接下去办家家玩吧。 千万千万家长不能动手帮他,也不要告诉他答案,你这里再摆几颗就好了之类的话。他自己 观察加动手得来的知识,才能深刻体会,领悟。 铺垫环节全部正确的话,可以进入正式环节。 第一问: 妈妈:刚才分得很好。我们现在继续分糖果,比刚才要难一点点哦。 (哈哈一幅跃跃欲试的 样子) 把紫色积木拿走,然后用一张白纸,盖住前面几行,只留下最后一行。图形如下 妈妈:现在分糖果了,不过不知道有几个小朋友。只知道每人分 3 颗,还多了 3 个。每人要 分 4 颗呢,还少了 3

21、个。有几个小朋友呢? 稍停顿,看看小朋友反应,如果想不出,就说: 我可以补给你 3 个积木,你摆摆看。 (手里 拿 3 个紫色积木给他) 。 如果还想不明白,就把白纸拿开,让他回想,摆放铺垫阶段的 2 颗和 7 颗。然后盖上白纸, 思考和动手摆。 摆出的图形,应该是这样。 哈哈:我知道了,有 6 个小朋友。 妈妈:为什么呢? 哈哈:原来有 3 颗,现在又有 3 颗,一共 6 颗糖,够 6 个小朋友每人多分一颗,所以是 6 个小朋友。 妈妈:Bingo,你答对了。我们再来一题吧。 哈哈:好啊好啊。 把紫色积木拿走,仍旧放手里。 第二问: 妈妈:现在又分糖果了,不过不知道有几个小朋友。只知道每人分

22、 3 颗,还多了 3 个。每人 要分 5 颗呢,还少了 5 颗。有几个小朋友呢? 然后耐心等待他想,如果想不明白,就补充一句:你可以摆摆看。手里拿着积木,让他自己 动脑筋想,动手摆。 如果还想不明白,再把白纸拿开,让他回想,摆放铺垫阶段的 2 颗和 7 颗。然后盖上白纸, 让他想想第一问的回答,再思考和动手摆。 (第一问和第二问,都是非常重要的,难度也是递增的。仍然是那句话:千万千万家长不能 动手帮他摆,也不能告诉他答案,花再多时间,也要他自己动脑筋想明白。如果时间太长, 小孩太累,不愿意继续想,继续摆,那就放弃,过几个月再来尝试。这不是教学任务,不是 去外面培训机构上课,今天一定要教完,不管

23、你理解不理解,懂不懂。家长心态要放端正, 就当个游戏玩,玩通关吧,今天玩得过,固然很好,玩不过,改天再玩。这样小孩学习的时 候,不会有压力,学得轻松愉快,才能发挥最大的潜力。 ) 哈哈:我知道了,是 4 个小朋友。 妈妈:是吗?你摆给我看看。图形如下。 妈妈:为什么是 4 个呢? 哈哈:3 颗加 5 颗,是 8 颗,每人要多分 2 个,所以是 4 个小朋友。 妈妈:做得很好。我们现在不分糖了,我出个其他题目,你试试看,会不会做。 第三问: 妈妈:植树节,同学们去种树。如果每人种 5 棵树呢,还剩 12 棵树,如果每人种 7 棵树呢, 就缺 4 棵树,你知道有几名同学?几棵树呢? (到教材,网页

24、上找类似基础题目,一两题即可,只要最基础的题目,不用带变化的。如果 数字偏大的,就改小。这时候不给积木,不再动手摆。当然,他可以看以前解过的第一问和 第二问。 目的只是为了确认, 学会了基本解法, 离开积木也能解题了。 如果还是离不开积木, 一定要摆,那还是停留在第二问阶段,再巩固一下,最终要达到第三问,不用积木,直接靠 脑袋想,也能解题) 如果第三问也正确回答,那说明非常成功,今天的教学就可以结束了。当然,也可以让小朋 友出题目给家长做。看时间和小朋友精神/体力状况和兴趣。最好在兴致最高的时候结束, 下次再玩吧。让他觉得数学是很好玩,很有趣的活动。 在家的好处就是不限定时间,不限定进度。家长

25、就是一对一的老师,有足够时间让小朋友思 考和体会,领悟。在任何阶段,如果小朋友不愿意,可以鼓励一下,如果坚持不愿意,那随 时可以结束,或者转成真正的办家家玩。 当然,这里只是盈亏问题入门,盈亏问题有很多是带变化的。那种题目,需要小孩对文字有 足够的理解力。理解力不够,题目都读不懂。读懂了题目,再转变成基本题型来做。至于复 杂题目怎么转变,可以买本教材看看,或者送出去培训时,老师都会讲的。这里不赘述了。 七加倍和减半 (这篇来自于哈哈的原创, 一上的时候学校里学了加倍和减半。放寒假时他就用方积木拼 出了加倍和减半。还告诉我,这样是一半一半再一半,反过来是加倍加倍再加倍,然后加一 块,可以拼成一个

26、大正方形。 ) 示意图如下,不太好画图, 相互距离比较远。家长自行调节位置,靠得近点,就比较清楚了。 这个是动态地摆积木的过程。可以作为亲子游戏来玩,先摆一个正方形,8*8 的,让小朋友 分出一半来。然后从分出的一半 4*8 里,再分出一半 4*4 来。然后继续分一半,分出 2*4, 2*2,1*2,1。最后余了一块,放在一边。从大到小,是减半,从小到大,是加倍。让他清 楚:64 减半是 32,32 减半是 16,16 减半是 8,8 减半是 4,4 减半是 2,2 减半是 1。 1 的加倍是 2,2 的加倍是 4,4 的加倍是 8,8 的加倍是 16,16 的加倍是 32,32 的加倍是 6

27、4。 把 8*8 的正方形这样分开,再合并回一个正方形,重复几次,加深理解加倍和减半。最后回 到分开状态,把多的一块,抓在手里。 妈妈:如果有这样一排积木,1,2,4,8,16,32 块,加起来是多少块呀? 有可能,就用最笨的办法,一个数字一个数字加起来,当时哈哈也如此。这个时候不要急着 教,肯做就让他做。 然后,拿出手里那块积木。 妈妈:如果我借给你一块,会怎么样呢? 他当然就拼回去,成为一个正方形了。 妈妈:正方形是多少块呢? 哈哈:8*8,64 块。 妈妈:借给你的那块,要还给我哦。 (做动作:把那块积木拿走) 妈妈:还剩几块呢? 哈哈:63。 妈妈:很好。如果我们有一排积木,1,2,4

28、,8,16,32,64 块,加起来是多少块呀? 哈哈:64 加倍是 128, 128-1,是 127 块。 拓展: 如果把 8*8 的正方形作为 1,那么下题还是用以上图形拆分来理解。 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=1-1/64=63/64 八方阵 图 1 图 2 图 3 图 3 是空心方阵,中间白色部分,是空白,不放积木。 方阵内容请自行参考奥数教材,方积木仅仅为了直观地观察,帮助理解。比如: 数一下每 圈的数量,算一算外圈比内圈多几块积木。一般情况下是多 8 个,但边长从 1 到 3,数量是 从 1 到 8,增加了 7 个,这个是特殊情况,一般奥数书里也并未提到。

29、九带余除法启蒙 不带余数的除法,就是乘法的逆运算。以排积木来教乘法的时候,顺便也可以讲除法。 带余数的除法,在低年级的竞赛里经常会遇到。 比如:学校门前有一串彩灯,按红、黄、蓝、绿的顺序排列,问第 23 个彩灯是什么颜色? 这个就是带余数的除法。23/4=53。 第三个是蓝色。 在启蒙阶段。可以用彩色积木排出来,让小朋友自己数,自己思考和领悟。 4 个颜色,重复排 5 次,就是 20 个,重复排 6 次,就是 24 个,23 个比 20 个要多 3 个。排 在第三个,是蓝色。 十其他应用 1排队问题。 一般常用方法是画圈圈,在启蒙阶段,可以用不同颜色积木代替排队的人,办家家的时候, 不露痕迹地

30、问:这块是小明,他排在队伍的第几个? 他前面有几个人?他后面有几个人? 一共有几个人? 2摆花盆问题 学校绕着正方形的主席台摆花,每边摆 5 盆,四个角上也要摆,要几盆花? 5*4-4=16。 方形有 4 条边,每边摆 5 盆,再减去 4 个角上重复计算的 4 盆。 以每块积木代表一盆花,帮助理解在角上重复计算的问题。 3间隔问题 比如:一根水管长 5 米,要全部切成一米长的段,要切几次? 用积木来玩切切看,理解间隔数和段数的关系。 4移多补少问题 假设你是一个一两年级,甚至更小的小朋友,现在桌上放着 2 堆积木,一堆 3 块,一堆 5 块。请告诉我,你看到了什么?要跟数字有关的哦。 你说,我看到了 2 堆积木,一堆 3 块,一堆 5 块。 好吧,勉强给个 60 分。还有什么呢?再看看,再想想。 你说,哦,这堆比那堆多 2 块,那堆比这堆少 2 块。 不错,可以给到 80 分了。还有什么呢?再看看,再想想。 如果从那堆里移一块到这堆,2 堆就一样多了。 非常好,可以给你 100 分。 等等,我还看到了 好吧,我预测不到你还能看到什么。不过,给你 120 分。奖励你喜欢动脑和钻研的精神。 用方积木来做移多补少问题,动手移一下,想一想为什么,怎么做。 移多补少在低年级竞赛里是必定要考的问题。具体内容,任何一本奥数书里都有,本文不再 赘述。

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