2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷八（原卷+解析）.zip

1、2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷八八 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

2、标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合.，则（ ） |ln(1)Mx yx | x Ny ye MN A. B. C. D. ( 1,0)( 1,) (0,) R 2.已知是 虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ） izz 1 i (1 i) 1 i z z A. B. C

3、. D. 1 2 1 2 1 i 2 1 i 2 3.已知，则下列结论正确的是（ ） 0.4 2x 2 lg 5 y 0.4 2 5 z A. B. xyzyzx C. D. zyxzxy 4.设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和，若，且， n a n b n S n b n2 1a 10 16a 66 ab 则（ ） 11 S A. 20B. 30C. 44D. 88 5.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为 2 (100,)(0)(80,120) 0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于 80 的概率为（ ） A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.

4、2 6.在矩形中，与相交于点，过点作，则 ABCD1AB 2AD ACBDOAAEBD （ ） AE EC A. B. 12 25 24 25 C. D. 12 5 4 5 7.已知是偶函数且在上是单调递增，且满足，则不等式 的解集 1f x0, 20f210fx 是（ ） A. B. ,01, 13 , 22 C. D. 3 , 2 33 , 22 8.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，此时四面体 ABCD 外 3 接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7 7 6 19 19 6 719 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题

5、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.下列说法中正确的是（ ） A “”是真命题是“”为真命题的必要不充分条件 pqpq B命题“，”的否定是“，” xR cos1x0 xR 0 cos1x C若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真 D在中，是的充要条件 ABCAcoscosBAAB 10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生

6、人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把 4 5 3 595% 握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表： 2 0 P Kk0.0500.010 0 k3.8416.635 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ABCD 25456040 11.已知，下列四个结论正确的是（ ） sin2fxx cos2g xx A. 的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象 f x 2 g x B. 当时，函数取得最大值 8 x f xg x 2 C. 图象的对称中心是， yf xg x ,0 28 k kZ D. 在区间上单调递增

7、 yf xg x 3 , 82 12.已知函数的定义域为，导函数为，且，则 f x0, fx lnxfxf xxx 11 f ee （ ） AB在处取得极大值 1 0f e f x 1 x e CD在单调递增 011f f x0, 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.二项式的展开式中项的系数为_ 6 1 ()x x 4 x 14. 若，则_ , 2 7 cos2 25 sin 3 sin 2 15.已知点、分别为双曲线 的左、右焦点，点 为的 1 F 2 F 22 22 :10,0 xy Cab ab 000 ,0M xxy

8、C 渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且 222 xya O1 FM CN ，则双曲线的离心率为_ 22 MNNFOF C 16.已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知 ABC , ,a b c, ,A B C 1 ca abbc 的外接圆的面积为，设.则的取值范围为_，函数 ABC3 ( )cos24()sin1f xxacx ac 的最大值的取值范围为_ ( )f x 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在数列中，前项之和为. n a 1 1

9、a 2 ab nn S （1）若是等差数列，且，求的值； n a 8 22a b （2）对任意的有：，且.试证明：数列是等比数列. * nN 2 4 n n a a 1010 21Sa n a 18.如图，中的内角、所对的边分别为、，且 ABCAABCabc8c 1 cos 7 ACB 14cosbB （1）求 B （2）点在边的延长线上，且，求的长 DBC2 21AD CD 19.某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方案 ，空气质量明显改善.该市生态环境局统计 了某月（30 天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下 表： 空气质量 指数

10、0,5050,100100,150150,200200,300300 以上 空气质量 等级 一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污 染） 四级 （中度污 染） 五级 （重度污 染） 六级 （严重污 染） （1）根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气 质量指数高于 70 时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）. 从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望

11、； 以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影 响） ，甲、乙两人后面分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进 行户外体育运动的概率. 20.如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点， SABCDSABDESB ，. 3390DABCBAASBABS 1 tan 2 ASD 4AB （1）求证：平面平面； DAE SBC （2）求二面角的大小. CAED 21.已知椭圆的离心率为，且经过点 22 22 1 xy ab (0)ab 3 2 3 (1,) 2 （）求椭圆的标准方程； （）设椭圆的上

12、、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， ,A B P ,A BPQ yQ 为线段中点，直线交直线于点， 为线段的中点，若四边形的面 M PQ AM :1l y CNBCMOBN 积为，求直线的方程 2AM 22.已知函数. ln x f xxeaxx （1）当时，求的最小值； 0a f x （2）若对任意恒有不等式成立. 0 x 1fx 求实数的值； a 证明：. 2 2 ln2sin x x exxx2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷八

13、八 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择

14、题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合.，则（ ） |ln(1)Mx yx | x Ny ye MN A. B. C. D. ( 1,0)( 1,) (0,) R 【答案】C 【解析】， |ln(1)( 1,)Mx yx |(0,) x Ny ye ,故选：C. (0,)MN 【点睛】本题考查了集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题. 2.已知是 虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ） izz 1 i (1 i) 1 i z z A

15、. B. C. D. 1 2 1 2 1 i 2 1 i 2 【答案】A 【解析】由题意可得：， 2 111111 22222 1 ii zi ii i 则，据此可得，的虚部为.故选：A. 11 22 zi z 1 2 【点睛】本题考查了复数的概念及其运算，属于基础题. 3.已知，则下列结论正确的是（ ） 0.4 2x 2 lg 5 y 0.4 2 5 z A. B. xyzyzx C. D. zyxzxy 【答案】B 【解析】，又，即. 0.40 221x 2 lglg10 5 y 0.40 2 1 5 2 5 z 0z01z 因此，, 故选：B. yzx 【点睛】本题考查了利用指数函数、对

16、数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值 法来比较，属于基础题. 4.设为等比数列，为等差数列，且为数列的前项和，若，且， n a n b n S n b n2 1a 10 16a 66 ab 则（ ） 11 S A. 20B. 30C. 44D. 88 【答案】C 【解析】为等比数列，又， n a 2 6210 16aaa 4 62 0aaq ，又为等差数列， 66 4ba n b .故选：C. 111 116 111144 2 aa Sa 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5.在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概

17、率为 2 (100,)(0)(80,120) 0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于 80 的概率为（ ） A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2 【答案】B 【解析】 ,故选:B. 1(80120) (80)(120)0.1 2 PX P XP X 【点睛】本题考查了正态分布,属于基础题. 6.在矩形中，与相交于点，过点作，则 ABCD1AB 2AD ACBDOAAEBD （ ） AE EC A. B. 12 25 24 25 C. D. 12 5 4 5 【答案】D 【解析】建立如图所示直角坐标系： 则，设所以 (0,1), (0,0), (2,0),(2,1)ABCD(

18、 , )E x y ( ,1),( , ),2,1AEx yBEx y BD 且 AEBD /BE BD ，解得,， 210 20 xy xy 2 5 1 5 x y 481 ( ,), 5 2 12 ( , ), 55555 AEECE .故选：D 8414 + 55 2 555 AE EC 【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算可以通过建系 进行坐标运算比较简便，属于基础题. 7.已知是偶函数且在上是单调递增，且满足，则不等式 的解集 1f x0, 20f210fx 是（ ） A. B. ,01, 13 , 22 C. D. 3 , 2 33 ,

19、22 【答案】B 【解析】由向右平移 1 个单位得， 1yf x yf x 则由已知可得：关于直线对称，且在上递增，在上递减. yf x 1x 1,1 所以 020ff 当时，由此可得； 21 1x 2102fxf 212x 3 2 x 当时，由此可得. 21 1x 2100fxf 210 x 1 2 x 综上：x 的取值范围是.故选：B 13 , 22 x 【点睛】本题考查了抽象函数不等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论思想，属于中 档题. 8.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为，此时四面体 ABCD 外 3 接球表面积为（

20、） A. B. C. D. 7 7 6 19 19 6 719 【答案】C 【解析】根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接 BACD ,BDAD DCDA 球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面，, BDC 1,3BDCDBC ， 120BDC 的外接圆的半径为， BDC 13 1 2sin120 由题意可得：球心到底面的距离为. 3 2 球的半径为. 37 1 42 r 外接球的表面积为：. 故选：C. 2 7 447 4 Sr 【点晴】本题考查了考查空间几何体外接球的表面积,考查了空间想象能力与运算能力,属

21、于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.下列说法中正确的是（ ） A “”是真命题是“”为真命题的必要不充分条件 pqpq B命题“，”的否定是“，” xR cos1x0 xR 0 cos1x C若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真 D在中，是的充要条件 ABCAcoscosBAAB 【答案】BCD 【解析】对于 A，由“”是真

22、命题，则“”一定为真命题， “”是真命题，则“”不一定为真 pqpqpqpq 命题，所以不正确；对于 B，由命题“，”的否定是“，”，所以正确； x Rcos1x 0 xR 0 cos1x 对于 C，由一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，所以正确；对于 D，因为 ，函数在时单调递减，所以，所以正确，故选: ,0,A B cosyx 0,x coscosBABA BCD。 【点睛】本题考查了判断命题的真假，涉及了特称命题的否定、否命题、判断充分不必要条件以及解三角 形，属于基础题. 10.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生

23、 人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把 4 5 3 595% 握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表： 2 0 P Kk0.0500.010 0 k3.8416.635 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ABCD 25456040 【答案】BC 【解析】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示： 5n nN 22 男生女生合计 喜欢抖音4n3n7n 不喜欢抖音n2n3n 合计5n5n10n 则， 2 2 1042310 557321 nnnn nn K nnnn 由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，

24、则， 95% 2 3.8416.632K 即，得， 10 3.8416.632 21 n 8.066113.9272n ，则的可能取值有、， nN n9101112 因此，调查人数中男生人数的可能值为或. 故选:BC. 4560 【点睛】本题考查了的应用，考查统计表的应用，属于基础题. 2 K 11.已知，下列四个结论正确的是（ ） sin2fxx cos2g xx A. 的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象 f x 2 g x B. 当时，函数取得最大值 8 x f xg x 2 C. 图象的对称中心是， yf xg x ,0 28 k kZ D. 在区间上单调递增 yf xg x 3

25、, 82 【答案】CD 【解析】对于选项，的图象向左平移个单位长度可得 A f x 2 ，而，故错误. sin2sin2sin2 2 yxxx cos2g xx A 对于选项 B，令，则， h xf xg x sin2cos22sin 2 4 h xxxx 当时，故错误. 8 x 2sin 20 884 h B 对于选项 C，.令，. sin2cos22sin 2 4 yxxx 2, 4 xkkZ , 28 k xkZ 函数图象的对称中心是，故正确. yf xg x 8 ,0 , 2 k kZ C 对于选项 D，. 1 sin2 cos2sin4 2 yxxx 当时，此时函数单调递增，故正确.

26、故选：. 3 , 82 x 3 4,2 2 x 1 sin4 2 yx DCD 【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题. 12.已知函数的定义域为，导函数为，且，则 f x0, fx lnxfxf xxx 11 f ee （ ） AB在处取得极大值 1 0f e f x 1 x e CD在单调递增 011f f x0, 【答案】ACD 【解析】函数的定义域为，导函数为， f x0, fx lnxfxf xxx 即满足 2 lnxfxf xx xx 2 f xxfxf x xx lnf xx xx 可设（为常数） 2 1 ln 2 f x xb x b 2 1 ln 2 f xxx

27、bx ，解得 2 11 111 ln 2 b f eeeee 1 2 b 2 11 ln 22 f xxxx ，满足C 正确 1 1 2 f 011f ，且仅有 2 2 111 lnln=ln10 222 fxxxx 1 0f e B 错误，A、D 正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.二项式的展开式中项的系数为_ 6 1 ()x x 4 x 【答案】； 6 【解析】根据二项定理展开式的通项 1 Cr n rr rn Ta

28、b 则二项式的展开通项为 6 1 x x 66 2 166 1 1 r r rrrr r TC xC x x 所以当时,的系数为, 故答案为: 1r 4 x 1 1 6 16C 6 【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题. 14. 若，则_ , 2 7 cos2 25 sin 3 sin 2 【答案】 3 4 【解析】根据题意可得，解得. 222 22 222 cossin1tan7 cos2cossin cossin1tan25 3 tan 4 ，因此，. 故选：B. , 2 3 tan 4 sinsin3 tan 3cos4 sin 2 【点睛】本题考查了利用弦化切求值、二

29、倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查运算能力，属于基础 题. 15.已知点、分别为双曲线 的左、右焦点，点 为的 1 F 2 F 22 22 :10,0 xy Cab ab 000 ,0M xxy C 渐近线与圆的一个交点，为坐标原点，若直线与的右支交于点，且 222 xya O1 FM CN ，则双曲线的离心率为_ 22 MNNFOF C 【答案】 5 4 【解析】 如图所示，直线与圆相切于点，可得， 1 FM 222 :O xya M 1 MFb 由双曲线的定义可知， 1212 2aNFNFMNMFNF ，且， 22 MNNFOF 2 OFc 所以，即，可得， 2abc2bac 2 22

30、2 244baccaca 又由，联立解得，即 222 bca45ca 5 4 c e a 故答案为： 5 4 【点睛】本题考查了求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，进而求离心率 ；齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于 , a c e , a c 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率;属于中档题. e 16.已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知 ABC , ,a b c, ,A B C 1 ca abbc 的外接圆的面积为，设.则的取值范围为_，函数 ABC3 ( )cos24()sin1f

31、 xxacx ac 的最大值的取值范围为_ ( )f x 【答案】 (1). (2). (3,6(12,24 【解析】由，可知 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 1 ca abbc 化简得,由余弦定理可得 cosB=,又 B(0,),B=, 222 acacb 1 23 因为,解得 R=, 2 3R3 由 ,解得 b=3, 22 3 sin3 2 bb R B 由余弦定理得， 2 22 9=29acacacac 由基本不等式可得，解得 a+c6,根据两边之和大于第三边可得 a+c3,即 223 9=3 4 acacac a+c 得取值范围是； 3,6 cos24sin1f x

32、xacx =-+4（a+c）sinx+2=-2 2 2sin x 22 sin()22xacac 又-1sinx1,可知 sinx=1 时，函数 f(x)的最大值为 4（a+c）, 函数的最大值的取值范围为 f x12,24 故答案为:(1) (2) 3,612,24 【点睛】本题考查了余弦定理的应用以及利用基本不等式求最值，考查分析与推理和计算能力,属于中档 题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.在数列中，前项之和为. n a 1 1a 2 ab nn S （1）若是等差

33、数列，且，求的值； n a 8 22a b （2）对任意的有：，且.试证明：数列是等比数列. * nN 2 4 n n a a 1010 21Sa n a 【答案】 （1）（2）见证明 4b 【解析】 （1）设的公差为，则由已知可得： 解得 n a d 1 1 1 722 a ad 3d 4b （2）由得：数列的奇数项和偶数项依次均构成等比数列， 2 4 n n a a n a 由已知，得. 解得 1010 21Sa 5 5 4 41 41 241 33 b b 2b 2111 212 42, nn nn aa 121 2 42 nn 即是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 1 2n n a

34、 n a 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式以及等比数列前 n 项和公式的应用，属于 基础题. 18.如图，中的内角、所对的边分别为、，且 ABCAABCabc8c 1 cos 7 ACB 14cosbB （1）求B （2）点在边的延长线上，且，求的长 DBC2 21AD CD 【答案】 （1）；（2）. 3 B 7CD 【解析】 （1）因为， 1 cos 7 ACB (0, )ACB 所以， 2 14 3 sin1 77 ACB 在中，由正弦定理得：， ABCAsinsin bc BACB 所以，又， sin14 3 sin sin3 cB bB ACB 14cosbB

35、 所以，所以， 14 3 sin14cos 3 BB tan3B 因为，所以. (0, )B 3 B （2）由（1）可得， 1 147 2 b 在中， ACD 1 coscos 7 ACDACB 由余弦定理可得：， 222 2cosADACCDAC CDACD 即，即， 222 1 (2 21)727 7 CDCD 2 2350CDCD 解得：或（舍去） ， 所以. 7CD 57CD 【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，通过正弦定理求出， sin14 3 sin sin3 cB bB ACB 结合，即可求出角 B，再由可得，从而最终求解，属于基础 14cosbB 1 cos 7

36、ACB 1 cos 7 ACD 题. 19.某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方案 ，空气质量明显改善.该市生态环境局统计 了某月（30 天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下 表： 空气质量 指数 0,5050,100100,150150,200200,300300 以上 空气质量 等级 一级 （优） 二级 （良） 三级 （轻度污 染） 四级 （中度污 染） 五级 （重度污 染） 六级 （严重污 染） （1）根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 9

37、0 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气 质量指数高于 70 时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）. 从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为 X，求 X 的分布列和数学期望； 以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影 响） ，甲、乙两人后面分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进 行户外体育运动的概率. 【答案】 （1）28 天；（2）分布列见解析，；. 2 5 567 50000 【解析】 （1）由频率分布直方

38、图可得，空气质量指数在的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在 90,110 的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28 天. 90,100 （2）在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天， ， 2 24 2 30 92 0 145 C P X C 11 624 2 30 48 1 145 CC P X C 2 6 2 30 1 2 29 C P X C X 的分布列为 X012 P 92 145 48 145 1 29 . 924812 ()012 145145295 E X 甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户

39、外体育运动的概率为， 1 10 3 10 . 2 21 32 1937567 101010 1050000 PCC 【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档题. 20.如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点， SABCDSABDESB ，. 3390DABCBAASBABS 1 tan 2 ASD 4AB （1）求证：平面平面； DAE SBC （2）求二面角的大小. CAED 【答案】 （1）证明见解析 （2）60 【解析】 （1）证明二面角为直二面角，所以平面平面， SABDSAB ABCD 因为， 90DAB ADAB 平面平面，平面， A

40、BCD SAB= ABAD ABCD 平面，又平面， ADSABBS SABADBS ， ASBABS ASAB 又为的中点，又，平面， EBSAEBSADAEABSDAE 平面，平面平面. BS SBCDAE SBC （2）如图， 连接，在平面内作 的垂线，建立空间直角坐标系 ， ,CA CE ABSAB Axyz ， 1 tan 2 ASD 2AD ， (0,0,0)A(0,4,0)B(0,4,2)C(2 3, 2,0)S( 3,1,0)E ， (0,4,2)AC ( 3,1,0)AE uu u r 设平面的法向量为， CAE ( , , )nx y z 即令，则， 0, 0, n AC

41、n AE 420, 30, yz xy 1x 3y 2 3z 是平面的一个法向量， (1,3,2 3)n CAE 平面，平面的一个法向量为， SB DAEDAE ( 2 3,6,0)SB ， 2 36 31 cos, 2| |44 3 n SB n SB nSB 由图可知二面角的平面角为锐角， CAED 故二面角的大小为. CAED60 【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和空间向量法求二面角的平面角,考查逻辑推理能 力和运算求解能力,属于中档题. 21.已知椭圆的离心率为，且经过点 22 22 1 xy ab (0)ab 3 2 3 (1,) 2 （）求椭圆的标准方程； （）设椭

42、圆的上、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， ,A B P ,A BPQ yQ 为线段中点，直线交直线于点， 为线段的中点，若四边形的面 M PQ AM :1l y CNBCMOBN 积为，求直线的方程 2AM 【答案】 （）；（） 2 2 1 4 x y 1 1 2 yx 【解析】 （）由题意，解得， 22 222 3 2 13 1 4 c a ab abc 2 1 3 a b c 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y （）设，则，且因为为线段中点， 00 ,P xy 0 (0)x 0 0,Qy 2 2 0 0 1 4 x y M PQ 所以又，所以直线的方程为

43、 0 0 , 2 x My 0,1A AM 0 0 21 1 y yx x 因为 令，得即又，为线段的中点，有 00 0,1,xy1y 0 0 1 x x y 0 0 , 1 1 x C y 0, 1B NBC 0 0 , 1 2 1 x N y 设直线与轴交于， MNx (,0) R R x 由得：， MNMR kk 00 000 0 1 22(1)2 R yy xxx x y 0 2 0 2(1) R x x y 0 0 0 2 00 1111 (1) 24 (1)21 MONMN xy SORyyy yy 又， 0 0 00 1111 24 (1)21 BONN xy Sx yy 0 0

44、 1 2 1 MOBN y S y 四边形 解得：，代入椭圆方程得：， 0 3 5 y 0 8 5 x (0,1)A 1 2 AM k 直线的方程为 AM 1 1 2 yx 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系考查分析问题与运算求解能力，属于 中档题. 22.已知函数. ln x f xxeaxx （1）当时，求的最小值； 0a f x （2）若对任意恒有不等式成立. 0 x 1fx 求实数的值； a 证明：. 2 2 ln2sin x x exxx 【答案】 （1）；（2）1；证明见解析. lnaaa 【解析】 （1）法一：的定义域为， f x0, 由题意， 11 x

45、x axea fxxex xx 令，得， 0 x xea x axe 令， x g xxe 10 xxx gxexexe 所以在上为增函数，且， g x0,x 00g 所以有唯一实根， x axe 即有唯一实根，设为，即， 0fx 0 x 0 0 x ax e 所以在上为减函数，在上为增函数， f x 0 0,x 0, x 所以. 0 0000 min lnln x f xf xx eaxxaaa 法二：. ln lnln0 x ex x f xxaxxeaxxx 设，则.记.故最小值即为最小值. lntxxtR t teat tR f x t ， 0 t tea a 当时，单调递减， ,ln

46、ta 0t t 当时，单调递增， ln ,ta 0t t 所以， ln min lnlnln a f xaeaaaaa 所以的最小值为. f x lnaaa （2）当时，单调递增，值域为，不适合题意， 0a f x f x R 当时，由（1）可知， 0a min lnfxaaa 设，所以， ln0aaaa a lnaa 当时，单调递增， 0,1a 0a a 当时，单调递减， 1,a 0a a 所以，即. max 11a ln1aaa 由已知，恒成立，所以， 1fx ln1aaa 所以，所以. ln1aaa1a 由可知，因此只需证：， ln1 x xexx 2 2ln2sinxxxx 又因为，只需证，即， ln1xx 2 222sinxxxx 2 22sinxxx 当时，结论成立， 1x 2 222sinxxx 当时，设， 0,1x 2 22sing xxxx 212cosgxxx 当时，显然单调递增.，故单调递减， 0,1x gx 112cos10gxg g x ，即. 122sin10g xg 2 22sinxxx 综上结论成立. 【点睛】本题考查了导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，常常通过变量分离， 将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于偏难题.