（精校版）2019年高考全国卷1数学试卷及答案解析（理科）（Word版）.doc

1、绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2323 小题，满分小题，满分 150150 分，考试用时分，考试用时 120120 分钟。分钟。 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B2B 铅笔铅笔 将试卷类型（将试卷类型（B B）填涂在答题卡的相应位置上。）填涂在答题卡的相应位置上。 2 2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案

2、后，用 2B2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答无效。按以上要求作答无效。

3、 4 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.已知集合 2 4260MxxNx xx ，则MN= A. 43xx B. 42xx C. 22xx D. 23xx 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想

4、解题 【详解】由题意得，42 ,23MxxNxx ，则 22MNxx 故选 C 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分 2.设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A. 22 +11()xy B. 22 (1)1xy C. 22 (1)1xy D. 22 ( +1)1yx 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距 离为 1，可选正确答案 C 【详解】,(1) ,zxyi zixyi 22 (1)1,zixy则 22 (1)1xy故

5、选 C 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法， 利用方程思想解题 3.已知 0.20.3 2 log 0.2,2 ,0.2abc，则 A. abc B. acb C. cab D. bca 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较 ,a c，运用中间量1比较 ,b c 【详解】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 0.30 00.20.21,则01,cacb故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化 与化归思想解题 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶

6、至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐 的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm，肚脐至腿根的长为 y cm，则 262651 1052 x xy ，得 42.07,5.15xc

7、m ycm又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为 4207+515+105+26=17822，接近 175cm故选 B 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解 题 5.函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在，的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，得 ( )f x是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案 【详解】由 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ，得 ( )f x

8、是奇函数，其图象关于原点对称又 2 2 1 42 2 ()1, 2 () 2 f 2 ( )0 1 f 故选 D 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法， 利用数形结合思想解题 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组成，爻分为阳 爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概 率是 A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算

9、等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题， 利用直接法即可计算 【详解】由题知，每一爻有 2中情况，一重卦的 6爻有 6 2 情况，其中 6爻中恰有 3个阳爻情况有 3 6 C，所以 该重卦恰有 3个阳爻的概率为 3 6 6 2 C = 5 16 ，故选 A 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组 合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同 元素的排列问题即为组合问题 7.已知非零向量 a，b满足a=2b，且（ab）b，则 a

10、与 b 的夹角为 A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学 素养先由()abb得出向量, a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角 【详解】 因为()abb， 所以 2 ()ab ba bb =0， 所以 2 a bb， 所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb a bb ， 所以a与b的夹角为 3 ，故选 B 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余 弦值，再求出夹角，注意向量夹角范

11、围为0, 8.如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 A. A= 1 2A B. A= 1 2 A C. A= 1 12A D. A= 1 1 2A 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图 结构，即可找出作出选择 【详解】执行第 1次， 1 ,12 2 Ak 是，因为第一次应该计算 1 1 2 2 = 1 2A ，1kk=2，循环，执行 第 2次，22k ， 是， 因为第二次应该计算 1 1 2 1 2 2 = 1 2A ，1kk=3， 循环， 执行第 3次，22k ， 否，输出，故

12、循环体为 1 2 A A ，故选 A 【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 1 2 A A 9.记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A. 25 n an B. 310 n an C. 2 28 n Snn D. 2 1 2 2 n Snn 【答案】A 【解析】 【分析】 等差数列通项公式与前 n项和公式本题还可用排除，对 B， 5 5a ， 4 4( 72) 100 2 S ，排除 B， 对C， 2 4554 0,2 58 50105SaSS ，排除C对D， 2 4554 15 0,52 505 22 SaSS ，排除 D，故选 A 【详解

13、】由题知， 41 51 44 30 2 45 d Sa aad ，解得 1 3 2 a d ，25 n an，故选 A 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数 列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断 10.已知椭圆 C的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点.若 22 2AFF B ， 1 ABBF ，则 C的方程为 A. 2 2 1 2 x y B. 22 1 32 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 54 xy 【答案】B

14、【解析】 【分析】 由已知可设 2 F Bn， 则 21 2 ,3AFnBFABn， 得 1 2A Fn， 在 1 A FB中求得 1 1 cos 3 F AB， 再在 12 AFF中，由余弦定理得 3 2 n ，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设 2 F Bn，则 21 2 ,3AFnBFABn，由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 A F B中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 12 AFF中， 由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn ， 解得 3 2 n 22

15、2 242 3 ,3 ,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ，故选 B 法二：由已知可设 2 F Bn，则 21 2 ,3AFnBFABn，由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn在 12 AFF和 12 BFF中，由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4, 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn ，又 2121 ,AF FBF F互补， 2121 coscos0AF FBF F， 两式消去 2121 coscosAF FBF F,，得 22 3611nn，解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,an

16、abac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ， 故选 B 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实 了直观想象、逻辑推理等数学素养 11.关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ,）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简函数 sinsinf xxx，研究它的性质从而得出正确答案 【 详 解 】 sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为 偶 函 数 ，故 正 确 当

17、2 x 时， 2sinf xx，它在区间, 2 单调递减，故错误当0x时， 2sinf xx， 它有两个零点：0 ； 当0x 时， sinsin2sinf xxxx ， 它有一个零点： ， 故 f x 在, 有3个零点：0 ，故错误当2, 2xkkk N时， 2sinfxx；当 2, 22xkkk N时， sinsin0f xxx， 又 f x为偶函数， f x的最大值为2， 故正确综上所述， 正确，故选 C 【点睛】画出函数 sinsinf xxx的图象，由图象可得正确，故选 C 12.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2的正三角形，E，F

18、分 别是 PA，PB的中点，CEF=90，则球 O的体积为 A. 8 6 B. 4 6 C. 2 6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 先证得PB 平面PAC，再求得2PAPBPC，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体 的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一: ,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥， PBAC，又E，F分别为PA、AB中点， / /EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC， 2PABPAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R ，即 3 6446 6 ,6 2338 RVR，故选 D

19、 解法二: 设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB中点， / /EFPB，且 1 2 EFPBx，ABC为边长为 2的等边三角形， 3CF 又90CEF 2 1 3, 2 CExAEPAx AEC中余弦定理 22 43 cos 2 2 xx EAC x ，作PDAC于D，PAPC， DQ为AC中点， 1 cos 2 AD EAC PAx ， 22 431 42 xx xx ， 22 12 212 22 xxx ， 2PAPBPC ，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两 垂直，22226R ， 6 2 R， 3 446 6 6 338 VR，故选 D. 【点睛】本题考查学生空间

20、想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相 垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.曲线 2 3()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】3 0xy . 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： /22 3(21)3()3(31), xxx yxexx exxe 所以， / 0 |3 x ky 所以，曲线 2 3()exyxx在点(0,0)处的切线方

21、程为 3yx ，即3 0xy 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导 要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 14.记 Sn为等比数列an的前 n项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 【答案】 121 3 . 【解析】 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 5 S题目的难 度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查 【详解】设等比数列的公比为q，由已知 2 146 1 , 3 aaa，所以 3 25 11 (), 33 qq又0q ， 所以3,q 所以 5 5 1 5 1

22、 (1 3 ) (1)121 3 11 33 aq S q 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部 分考生易出现运算错误 15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前期 比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41获胜的概率是_ 【答案】0.216. 【解析】 【分析】 本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一 定的难度，注重了基础知识、基本计算

23、能力及分类讨论思想的考查 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 3 0.60.5 0.5 20.108, 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是 22 0.4 0.60.520.072, 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的 全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算 16.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C

24、 的两条渐近线分别 交于 A，B两点若 1 F AAB， 12 0FB F B，则 C 的离心率为_ 【答案】2. 【解析】 【分析】 通过向量关 系得到 1 F AAB和 1 OAF A，得到 1 AOBAOF ，结 合双曲线的渐近线可 得 21, BOFAOF 0 21 60 ,BOFAOFBOA从而由 0 tan603 b a 可求离心率. 【详解】如图， 由 1 ,F AAB得 1 .F AAB又 12, OFOF得 OA 是三角形 12 FF B的中位线，即 22 / /,2.BFOA BFOA由 12 0FB F B ，得 121 ,FBF B OAF A则 1 OBOF有 1 A

25、OBAOF， 又 OA 与 OB 都是渐近线，得 21, BOFAOF又 21 BOFAOBAOF，得 0 21 60 ,BOFAOFBOA又渐近线 OB 的斜率为 0 tan603 b a ，所以该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采 取几何法，利用数形结合思想解题 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个

26、试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17.VABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若 22abc ，求 sinC 【答案】 （1） 3 A ； （2） 62 sin 4 C . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： 222 bcabc ，从而可整理出cos A，根据0,A可 求得结果； （2）利用正弦定理可得2sinsin2sinABC，利用sinsinBA

27、C、两角和差正弦公 式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】 （1） 2 222 sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC 即： 222 sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理可得： 222 bcabc 222 1 cos 22 bca A bc 0,A 3 A = （2）22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC， 3 A 331 2cossin2sin 222 CCC 整理可得：3sin 63cosCC 22 sincos1CC 2

28、 2 3sin63 1 sinCC 解得： 62 sin 4 C 或 62 4 因为 6 sin2sin2sin2sin0 2 BCAC 所以 6 sin 4 C ，故 62 sin 4 C . （2）法二：22abc，由正弦定理得：2sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC， 3 A 331 2cossin2sin 222 CCC 整理可得：3sin 63cosCC ，即3sin3cos2 3sin6 6 CCC 2 sin 62 C 由 2 (0,),(,) 366 2 CC ，所以, 6446 CC 62 sinsin() 464 C . 【点睛

29、】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关 系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18.如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是 BC， BB1，A1D的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N的正弦值 【答案】 （1）见解析； （2） 10 5 . 【解析】 【分析】 （1）利用三角形中位线和 11 /AD BC可证得/MEND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得 / /MNDE，根据线面平行

30、判定定理可证得结论； （2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐 标系，通过取AB中点F，可证得DF 平面 1 AMA，得到平面 1 AMA的法向量DF uuu r ；再通过向量法求得 平面 1 MAN的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦 值. 详解】 （1）连接ME， 1 B C M，E分别为 1 BB，BC中点 ME为 1 B BC的中位线 1 /MEBC且 1 1 2 MEBC 又N为 1 AD中点，且 11 /AD BC 1 /NDBC且 1 1 2 NDBC /MEND 四边形MNDE为平行四边形 / /MNDE，又MN 平面

31、1 C DE，DE平面 1 C DE / /MN平面 1 C DE （2）设ACBDO， 11111 ACBDO 由直四棱柱性质可知： 1 OO 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 ACBD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：3,0,0A，0,1,2M， 1 3,0,4A ，D（0，-1,0） 31 ,2 22 N 取AB中点F，连接DF，则0 3 1 , 22 F 四边形ABCD为菱形且60BAD BAD为等边三角形 DFAB 又 1 AA 平面ABCD，DF 平面ABCD 1 DFAA DF 平面 11 ABB A，即DF 平面 1 AMA DF 为平面 1 AMA的一

32、个法向量，且 3 3 ,0 22 DF 设平面 1 MAN法向量, ,nx y z，又 1 3, 1,2MA ， 33 ,0 22 MN 1 320 33 0 22 n MAxyz n MNxy ，令3x ，则 1y ，1z 3,1, 1n 315 cos, 515 DF n DF n DFn 10 sin, 5 DF n 二面角 1 A MAN正弦值为： 10 5 【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直 关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，

33、斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程； （2）若 3APPB ，求|AB| 【答案】 （1）12 870xy ； （2） 4 13 3 . 【解析】 【分析】 （1）设直线l： 3 y =xm 2 ， 11 ,A x y， 22 ,B xy；根据抛物线焦半径公式可得 12 1xx +；联立直线 方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果； （2）设直线l： 2 3 xyt；联 立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用 3APPB 可得 12 3yy ，结合韦达定理可求得 12 y y；根据弦长公

34、式可求得结果. 【详解】 （1）设直线l方程为： 3 y =xm 2 ， 11 ,A x y， 22 ,B xy 由抛物线焦半径公式可知： 12 3 4 2 AFBFxx 12 5 2 xx 联立 2 3 2 3 yxm yx 得： 22 9121240xmxm 则 2 2 12121440mm 1 2 m 12 12125 92 m xx ，解得： 7 8 m 直线l的方程为： 37 28 yx，即：12870xy （2）设,0P t，则可设直线l方程为： 2 3 xyt 联立 2 2 3 3 xyt yx 得： 2 230yyt 则4 120t 1 3 t 12 2yy， 12 3y yt

35、 3APPB 12 3yy 2 1y， 1 3y 12 3y y 则 2 1212 4134 13 144 12 933 AByyy y 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用. 关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20.已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2） ( )f x有且仅有 2个零点 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数后，可判断出导函数在 1, 2 上单调

36、递减，根据零点存在定理可判断出 0 0, 2 x ，使 得 0 0gx，进而得到导函数在1, 2 上的单调性，从而可证得结论； （2）由（1）的结论可知0x 为 f x在1,0上的唯一零点；当 0, 2 x p 骣 西 桫 时，首先可判断出在() 0 0,x上无零点，再利用零点存在定理得 到 f x在 0, 2 x 上的单调性， 可知 0f x ， 不存在零点； 当, 2 x 时， 利用零点存在定理和 f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当,x，可证得 0f x ；综合上述情况可证得结论. 【详解】 （1）由题意知： f x定义域为：1, 且 1 cos 1 fxx x 令 1 cos 1

37、 g xx x ，1, 2 x 2 1 sin 1 gxx x ，1, 2 x 2 1 1x 在 1, 2 上单调递减，sinx，在 1, 2 上单调递减 gx 在 1, 2 上单调递减 又 0sin0 1 10 g ， 22 44 sin10 22 22 g 0 0, 2 x ，使得 0 0gx 当 0 1,xx 时， 0gx； 0, 2 xx 时， 0gx 即 g x在 0 1,x上单调递增；在 0, 2 x 上单调递减 则 0 xx为 g x唯一的极大值点 即： fx 在区间 1, 2 上存在唯一的极大值点 0 x. （2）由（1）知： 1 cos 1 fxx x ， 1,x 当1,0x

38、 时，由（1）可知 fx 在1,0上单调递增 00fxf f x在1,0上单调递减 又 00f 0x 为 f x在1,0上的唯一零点 当0, 2 x 时， fx 在() 0 0,x上单调递增，在 0, 2 x 上单调递减 又 00 f 0 0fx f x在() 0 0,x上单调递增，此时 00f xf，不存在零点 又 22 cos0 2222 f 10, 2 xx ，使得 1 0fx f x在 01 ,x x上单调递增，在 1, 2 x 上单调递减 又 0 00f xf， 2 sinln 1lnln10 2222 e f 0f x在 0, 2 x 上恒成立，此时不存在零点 当, 2 x 时，s

39、in x单调递减，ln1x单调递减 f x在, 2 上单调递减 又0 2 f ， sinln1ln10f 即 0 2 ff ，又 f x在, 2 上单调递减 f x在, 2 上存在唯一零点 当,x时，sin1,1x ，ln1ln1ln1xe sinln10xx 即 f x在,上不存在零点 综上所述： f x有且仅有2个零点 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一 方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯 一性，二者缺一不可. 21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药

40、更有效，为此进行动物试验试验方案 如下： 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠， 随机选一只施以甲药， 另一只施以乙药 一 轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就 停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠 治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治 愈则乙药得 1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在

41、试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药 比乙药更有效”的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ，其中(1)aP X ， (0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8 (i)证明： 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列； (ii)求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 【答案】 （1）见解析； （2） （i）见解析； （ii） 4 1 257 p . 【解析】 【分析】 （1） 首先确定X所有可能的取值， 再来计算出每个取值对应的概率， 从而可得分布列；（2）（i） 求解出, ,a b c 的取值，可得 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi ，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得 证； （ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 8 p和 0 p的值可求得 1 p；再次利用累加 法可求出 4 p. 【详解】 （1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1 11P X ；011P X；11P X 则X的分布列如下： X 1 0 1 P 1 11 1 （2）0.5，0.8 0.5 0.80.4a ，0.5 0.8 0.5 0.