广东省2021 届高三六校第三次联考数学试题.docx

1、第 1 页 共 14 页 20212021 届届六校第三次六校第三次联考联考 数数 学学 试试 题题 命题人：广州二中 张和发 审题人：广州二中 王远峰 （满分 150 分。考试时间 120 分钟。） 注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考 场号、座位号填写在答题卡上。并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要 求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在 试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各

2、题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。在每小题给出的在每小题给出的四个选项四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 2 |4, |0,Ax xBx x则BA（ ） A.20| xx B.2|xx C.02|xx D.40| xx 2.已知复数z满足)1 ()1 (izi，则复数z的

3、模z（ ） A. 0 B.1 C. 2 D.2 3.做志愿者参与社区服务是学生参加社会公益活动的主要途径. 某个星期日有 4 名学生志 愿者随机平均分配到 A、B 两个社区进行垃圾分类宣传活动，则其中甲乙两人都被分配到 A 社区的概率是（ ） A. 2 1 B. 4 1 C. 6 1 D. 3 1 4. 二项式 6 2 x x展开式中常数项是（ ） A. 20 B. 20 C. 402 D. 402 5.使得“1x”成立的一个必要且不充分的条件是（ ） A.2 1 B. 3 1 C.1 1 x D.2x 6. 已知 2 ),2( 20 ,sinlog )( 2 xxf xxx xf, 则)(x

4、f 在20，上的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂。下表是近年 来广东省的数据表: 第 2 页 共 14 页 用线性回归方程模型y abt 拟合垃圾处理厂数量 y 与年份代号 t 的关系，用公式计算 得 7.50, 相关系数 0.96, ,620 8 1 i i y据此可估计 2022 年广东市辖区生活垃圾无 害化处理厂数量为（ ）（结果四舍五入） A118 B. 126 C. 129 D.134 8. 已知抛物线xy4 2 的焦点为，过的直线与圆5 22 yx交于 NM, 两点，则 FNFM 的值是（ ）

5、 A. 4 B. 5 C. 4 D. 不确定的 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出选项中，有分。在每小题给出选项中，有 多项符合题目要求，多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分，有选错的得有选错的得 0 0 分。分。 9. 已知空间中异面直线 ba, 所成的角为 60 ，若过空间中某点 A 的直线与 ba, 所成的角都 为，则（ ） A. 满足 = 30直线有且只有 1 条 B. 满足 = 60的直线有且只有 1 条 C. 满足 = 90的直

6、线l有且只有 1 条 D. 9030 ， 10. 已知函数) 4 cos() 4 cos()(xxxf ，则（ ） A.)(xf是周期为的周期函数 B.)(xf的值域是11， C.将)(xf的图像向左平移 4 个单位长度后，可得一个奇函数的图像 D.)(xf在 2 0 ，上单调递增 11. 若, 2 0 ab则（ ） A.a e eb e e a b b a 11 B.bbeaae ab C.bbaaablnln D.bababasinsin 12. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国 传统文化中的太极衍生原理。如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经

7、经 历过的两仪数量总和,其前 10项依次是,50,40,32,24,18,12, 8 , 4 , 2 , 0,此数列记为 n a, 第 3 页 共 14 页 其前n项的和记为 n S，则（ ） A.200 20 a B.420 29 a C.1200 19 S D.4720 30 S 三、填空题填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13. 函数xxxfcos2)(在点 ， 2 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是_. 14. 利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似右 图所示的函数称为 m 型函数，写出一个定义域为2

8、, 2且值域 为2 , 0的 m 型函数是_. 15.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方 早一千多年,书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑. 在鳖臑ABCD的四个直角三角形中，BD是Rt BAD和 Rt BCD的斜边，且所有直角三角形斜边长分别为5AD ， 1314BCBD，它的所有顶点都在球O的球面上， 则球O的体积为_. 16. 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x E：的两焦点分别为 21,F F，过右焦点 2 F的直线与双曲线E交 于BA,两点，若BFAF 22 2且 1 ABF为等腰三角形，则双曲线E的离心率为_. 四、解答题四、解答题：本题共本题共

9、6 6 小题，共小题，共 7 70 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 在 24 2aa ,4 23 bb,6 3 T这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中正整数k存在，求k的值；若问题中的正整数k不存在，说明理由. 问题： 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 各项为正的等比数列 n b的前n项和为 n T， 22 11 ST, 23 TS , 且_，是否存在正整数k使 65 2TST k 成立? 注：注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 第

10、 4 页 共 14 页 18. （12 分） 在ABC中, 内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，CbBcacossin3, 点D为AB边上一点, 22,7ADBDCD. (1)求B; (2)求ABC的面积. 19. （12 分） 某企业办有甲乙两个工厂， 为了解其工人的生产能力以及生产效益情况， 现用分层抽样 的方法，分别从甲乙两个工厂的工人中抽取 100 名、50 名进行测评，并根据 5 项最重 要的指标评分合计出每名工人的生产能力总分.由测评可知，工人月生产效益与生产能 力密切相关，统计结果如下表： 工人的生产能力总分测评结果统计如下： 将生产能力总分落入相应组别的频率视为该

11、工人对应生产能力的概率，假设每名工人 生产能力相互独立. （1）若某工人生产能力总分不少于 80 分，则评定其为生产能手.现从甲工厂随机选取一名 工人，估计此工人是生产能手的概率； （2）随机从甲工厂中选取 1 名工人，用 X 表示其月生产效益，求 X 的分布列及数学期望； （3）该企业拟以月生产效益均值为标准对甲乙两个工厂的工人进行考察，并对生产效益相 对较好的工厂工人进行奖励， 对生产效益较差的工厂工人进行技能培训， 请依据抽测结 果给出决策方案。 20. （12 分） 如图，在四面体ABCD中， 2, ABAD 2BCCDBD，二面角CBDA是直二面角， O 为BD的中点,点P为线段BC

12、上一点，且BCOP . （1）求证：BC平面AOP; （2）求平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角的余弦值. 生产能力总分 (分) 0,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 月生产效益 (元) 10000 15000 20000 25000 30000 P O D C B A 第 5 页 共 14 页 21. （12 分） 已知 .1ln1)( ,)( xxxgaxexf ax （1）讨论)(xf的单调性; （2）若函数)()()(xgxfxF在定义域上单调递增，求实数a的取值范围. 22. （12 分） 已知),0,1( ),2,2(BA 椭圆)0( 1: 2

13、 2 2 2 ba b y a x C经过点A且焦距为 4. （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的直线 L 与椭圆C交于NM,两点， 求BNBM 的最小值； （3）右图是椭圆C旋转一定角度的图形， 请写出一种尺规作图方案以确定其对称中心的位置， 并在答卷的图中画出来,（不必说明理由）. 2021 2021 届六校第三次联考数学试题答案届六校第三次联考数学试题答案 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一、单项选择题 1.A 2.B 3. C 4.D 5.A 6.D 7.B 8. A 二、多项选择题 9.ACD 10.AC 11.ACD 12 .ABD 三、填空题 13. 8 2

14、 14.)2(4)(xxxf等 15. 3 147 16. 3 21 3 33 或 部分详解： 14.),22)(2(2)(xxxxf 或 . 02),2(2 , 20 ),2(2 )( xxx xxx xf 第 6 页 共 14 页 或)2(4)(xxxf,.其中之一均可. 16.答： 3 21 3 33 或 有两种情况当 ABAF1时，如左图，maAFmaBFmAFmBF22,2,2, 1122 3 33 12 11 4 0 8 944 4 44 0coscos 3,22 2 2 2 2 222222 2121 111 a c e a c m c cm mcm cm mcm AFFBFF

15、mAFmBFmaAFAB 当 ABBF1时，如右图，maAFmaBFmAFmBF22,2,2, 1122 3 21 3 7 0 8 1644 4 94 0coscos 4,3 2 2 222222 2121 111 a c e a c ca aca ca aca AFFBFF mAFmBFmaBFAB 四、解答题 17.详解： 方案一：选 24 2aa n a 是等差数列，其前n项和为 n S，设其公差为d. 1 11 Sa，dndnaan) 1(1) 1( 1 1)1 (2312 24 dddaa ) 1( 2 1 nnSna nn .4 分 等比数列 n b 的前n项和为 n T，设其公比

16、为q 22 11 ST, 23 TS , 46, 2 2321211 bSbbTTb nn n qbb b b q22 1 1 1 2 ， 22 1 1 1 1 n n n q qb T.8 分 10, 9 , 8*126) 1(62 22) 1(222 76 65 kNkkk kkTST k ， 第 7 页 共 14 页 所以存在正整数k使20212020 kk TS , 10, 9 , 8k .10 分 方案二：选4 23 bb 各项为正的等比数列 n b 的前n项和为 n T，设其公比为0, 0,qbq n . 11 11111 2222 nn n qqbbTbST, 1 , 24224

17、 2 23 qqqqbb（舍去负的） n n b2， 22 1 1 1 1 n n n q qb T.4 分 n a 是等差数列，前n项和为 n S，设其公差为d. 1 11 Sa，dndnaan) 1(1) 1( 1 1633 21321323 dbbdaaaSTS ) 1( 2 1 nnSna nn . 8 分 10, 9 , 8*126) 1(622 65 kNkkkTST k ， 所以存在整数k使20212020 kk TS , 10, 9 , 8k .10 分 方案三：选6 3 T 各项为正的等比数列 n b 的前n项和为 n T，设其公比为0, 0,qbq n . 11 11111

18、 2222 nn n qqbbTbST, 2 , 162226 2 3213 qqqqbbbT（舍去负的） 2 n b ，nnbTn2 1 .4 分 n a 是等差数列，前n项和为 n S，设其公差为d. 1 11 Sa，dndnaan) 1(1) 1( 1 3 1 433 21321323 dbbdaaaSTS )5( 6 1 2 3 1 nnSna nn .8 分 ，36)5(3012)5( 3 1 102 65 kkkkTST k *),5()(Nkkkkf 是单调递增的，且 436)4(,24)3(kff . 所以存在唯一的正整数4k使 65 2TST k .10 分 18.详解: （

19、1）已知CbBcacossin3， 第 8 页 共 14 页 用正弦定理,2 sinsinsin R C c B b A a 得: .2 分 分 中， 分 分 分 6. 63 3 tan cossin30sin), 0(, sincossinsin3 5 .sincoscossin 4.).sin(sinsin 3.cossinsinsin3sin BB BBCCBAABC CBCB CBCB CBAA CBBCA （2）在BCD中用余弦定理得 BBDBCBDBCCDcos2 222 .8 分 ,7, 22CDBDAD 分 分 10.320063 9. 6 cos217 2 2 BCBCBCB

20、C BCBC 又3DBADAB 分 分 12. 2 33 6 sin332 2 1 11.sin 2 1 BABBCS ABC 19.详解： （1）根据所给甲工厂频率分布直方图可知， 生产能力总分 8090 的频率为 0.0210=0.2， 生产能力总分 90100 的频率为 0.01510=0.15， 将测评生产能力总分落入各组频率视为概率， 则从该工厂随机选取一名工人其生产能力总分 超过 80 分概率是 0.2+0.15=0.35，即他是生产能手的概率为 0.35 .3 分 （2）据甲厂频率分布直方图可知甲工厂工人在各组相应的频率如下表 .5 分 随机从甲工厂中选取 1 名工人，用 X 表

21、示其月生产效益，则 X 的分布列： .6 分 所以 X 的数学期望值 生产能力总分 (分) 0,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频率 0.1 0.25 0.3 0.2 0.15 X (元） 10000 15000 20000 25000 30000 概率 0.1 0.25 0.3 0.2 0.15 第 9 页 共 14 页 E(X)=100000.1+150000.25+200000.3+250000.2+300000.15=20250(元） .8 分 （3） 由（2）知甲工厂工人月生产效益均值即数学期望 E(X)=20250(元） 根据频率分布直方图知乙工厂工

22、人生产能力总分频率分布表： 由此可得乙工厂工人生产效益 Y 的分布列： 所以乙工厂工人月生产效益均值 E(Y)=100000.04+150000.2+200000.4+250000.24+300000.12=21000（元） .10 分 因为 E(Y)E(X),所以推断乙工厂工人月均生产效益比甲的好, 所以应对乙工厂工人进行奖励，对甲工厂工人进行技能培训. .12 分 20.详解： （1）证明：BDAB ,O为BD的中点BDAO.1 分 又因为直二面角CBDA即平面ABD平面BCD,平面ABD平面BDBCD AO平面BCD.2 分 BC平面BCDBCAO.3 分 又因BCOP ,OAOOP,O

23、P平面AOP,AO平面AOP, BC平面AOP.5 分 （2） 连接OC2 ,2BDCDBCADAB，O为 BD的中点 BDAOBDCO,.由(1)AO平面BCDCOAO 可以分别以OCODOA,为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 生产能力总分 (分) 0,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 频率 0.04 0.2 0.4 0.24 0.12 Y (元） 10000 15000 20000 25000 30000 概率 0.04 0.2 0.4 0.24 0.12 第 10 页 共 14 页 系，如图。.6 分 又2 ,2BDCDBCADAB 3, 1OCODOBA

24、O， )3, 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 1, 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0(CDBAO.7 分 由(1)可知BC平面AOPBC为平面AOP的一个法向量,3, 1 , 0BC.8 分 设平面ACD的一个法向量为),(zyxn，则 0 0 ACn ADn ACn ADn .9 分 03 0 )3, 0 , 1(,0 , 1 , 1 zx yx ACAD,可取1 , 3, 3n.10 分 设平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角为，则 nBC nBC nBC ,coscos.11 分 7 21 133310 133130 2 222 22 .12 分

25、 21.详解： （1）. ,)( Rxaexf ax )( xf 在 R 上单调递增. 当 , 0)( , 0 xfa)(xf 在 ,上单调递增； 当 0a 时, ),ln(0)( aaxxf ; )ln(0)( ; )ln(0)( aaxxfaaxxf )(xf 在)ln(,aa上单调递减；在),ln( aa上单调递增.3 分 （2） 1ln1)( xxaxexF ax 定义域是 ), 1( ； 函数 )(xF 在定义域上单调递增的充要条件是 ) 1( 0)( xxF 恒成立. .4 分 法一：法一： ) 1( 01) 1ln()( xxaexF ax 恒成立 .5 分 01)0( aeF

26、a 令, 1)(xext x 则)(01)( xtext x 在 R 单调递增， 00)(1, 0)0(aataet a .7 分 当0a时， 第 11 页 共 14 页 分使存在唯一的 ；时；当时当 上单调递增在 记 8.,.0 1 1 )( )( )( 1 .), 1()( 0 1 1 )( 1),( 1 1 )( ),( )( 0 00 2 0 x exGx xGxxGx xG x exh xxh x exGxFxG ax ax ax 事实上，取 a e x 1 1 1 ， aaax a e x eex e a 1 1 , 01, 1 1 00 1 1 1 0) 1 1( )( 1 a

27、e GxG 又(0)10 a Ge , 0)( ,0 , 1 1 00 xG e x a 使存在唯一的 1ln, 1 1 0)( 00 0 0 0 xax x exG ax .9 分 ; 0)( )( , ; 0)( )( ,1 0000 xGxGxxxGxGxx当当 )(xG 在 0 , 1 x 单调递减，在, 0 x 单调递增. 0)( 0 . 02221 1 1 2221 1 1 1 1 1 1) 1ln( 10.).()()( 0 0 0 0 0 0 0 0minmin 0 xFa aax x ax x axa x xae xGxGxF ax 分 综上可知0a为所求.12 分 法二：法

28、二： ) 1ln() 1ln(1)( ) 1( 01) 1ln()( )1ln( xexxaxe xxaexF xax ax max )() 1ln()( .) 1ln()1(ln()( )(, 01)( ,)( xSaxxxSa xaxxTaxT RtTetTtetT tt 恒成立 上单调递增在令 0 0)0()( .), 0()0 , 1()( 0)( ,0 ; 0)( 01 ) 1( 1 1 1 1 )( max a SxS xS xSxxSx x x x x xS 上单调递减上单调递增，在在 时时 第 12 页 共 14 页 法三：法三： 先证明先证明 01)(xexh x，证明如下：

29、，证明如下： 0)()(0)0()( .)(0;)(0 ; 0)( 0; 0)( 0; 0)( 01)( minmin xhxhhxh xhxxhx xhxxhxxhxexh x 单调递增时单调递减时 时时时 . 0) 1ln() 1ln(ln011xxxexxe xx 即时 恒成立 则若 ) 1( 022) 1ln( 1) 1ln(11) 1ln()( , 0 xaaxx xaaxxaexF a ax 0111ln)0( 1, 0aeaeFea aaa 则若 恒成立时当且仅当0)( 0 xFa 22.详解： （1）依条件知，椭圆C的焦点在x轴上，长半轴为a，短半轴为b，且焦距42 c. 2c

30、，椭圆C的两焦点分别为)0 , 2( ),0 , 2( 21 FF . 椭圆C经过点A 分的方程是椭圆3.1 48 : , 2,22 . 24022202222 2 2 22 2 2 2 2 21 yx C caba AFAFa （2）法一： 设 2211 ,yxNyxM，线段MN的中点为),( 00 yxP , 则BPBNBM2.4 分 当直线 L 不垂直于x轴时，设直线 L 的斜率为k, 则直线 L 方程为 )2( xky , 210210 12 12 2 ,2 ,yyyxxx xx yy k ， 0 000 12 122121 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2

31、1 2 0 4 2 8 2 0 48 0 48 1 48 . 1 48 y x kk yx xx yyyyxxyyxx yx yx .6 分 又中点 ),( 00 yxP 在直线 L（即 MN）上，所以 )2( 00 xky ， .7 分 当直线 L 垂直于x轴时，L 过 2 F，此时)0 , 2(),2, 2(),2, 2(PNM也满足上式. 0 2 0 2 00 0 0 0 22)2( 2 xxyx y x y 第 13 页 共 14 页 分的最小值为 有最小值时，当 9.2 ,22121200 2 2 . 212 2 2 ) 1(2)0() 1(22 2 000 0 2 0 2 0 2

32、0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 BNBM xxx xx y x xx xyxBPBNBM （3）作图方案步骤如下： 先做两组平行的弦 AB/CD，AE/DG; 再分别作出四弦的中点 M，N，P，Q； 再过每组平行弦中点作直线 MN,PQ； 作直线 MN,PQ 的交点 O，O 即为所求.如图示 .12 分 理由如下（不必写出），设 O 为对称中心，则 OPQMNPQOMNOkkkk a b kk a b kk a b xx yy xx yy b yy a xx b y a x b y a x ONOMCDAB CDONABOM BA BA BA BA BABABBAA 同理 ，同理 .

33、. 0, 1, 1 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 其他方案只要合理即可. 法二法二：设 2211 ,yxNyxM，线段MN的中点为),( 00 yxP 2 0 2 0 2 21 2 21 2222yxyyxxBNBM . 当直线 L 垂直于 y 轴时，L 即 x 轴，),0 ,22(),0 ,22(NM2BNBM 当直线 L 垂直于x轴时，此时),2, 2(),2, 2(, 2 NMBFMN2BNBM. 当直线 L 不垂直于轴时，直线 L 过)0 , 2( 2 F，可设直线 L 方程为, 2 tyx 由 2 2 2 4 0442 . 1 48 2

34、2 0 2 21 22 22 t t y t t yytyyt yx tyx 22.24 2 2 4 2 8 4 2 4 4 00 2 0 2 212121 2121 2 0 22 2 2121 xxyyyxxxx xxtyy t x tt t yytxx 第 14 页 共 14 页 . 21 2 ,221222) 1(4414 200 21 0 2 000 2 0 2 0 2 0 0 2 0 有最小值时当 得由 BNBM xx x xxxxyxBNBM xy 法三：法三： . 2 8 4 4 4 4 , 8 4 4 .284 4 2 4 4 4 4 4 12 44 4 12 44 4 2 2 4 2 2 4 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 24 4 2 2 2 2 2 21 2 21 有最小值有最大值有最小值 时取等号，且当 BNBM t t t t t t t t t t t tt t tt t t t t t tyyyytBNBM