2020-2021学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 2 |56 0Axxx ， |20Bx x，则(AB ) A 1，2) B 3，2) C 2，2) D(2，6 2 （5 分）若复数z满足213zzi ，则(z ) A1i B1i C1i D1i 3 （5 分）已知0a ，0b ，且 12 4

2、 ab ，46ab的最小值是( ) A43 B42 3 C82 3 D 3 4 3 4 （5 分）函数 2 2sin3 ( ) cos xx f x xx 在，的图象大致为( ) A B C D 5 （5 分） 已知直线:20l axy与 22 :(1)()4Cxya相交于A、B两点， 则ABC 为钝角三角形的充要条件是( ) A(1,3)a B(23a，23) C(23a，1)(1，23) D(,23)(23,)a 6 （5 分） “微信红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中， 若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元，2.31

3、元，3.22 元，1.52 元，供 甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元的概率是( ) A 1 2 B 2 5 C 3 5 D 4 5 7 （5 分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一 第 2 页（共 22 页） 生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立 地， 四周碰边 （即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切） ， 球的体积是圆柱体积的三分之二， 球的表面积也是圆柱表面积的三分之二今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12， 则该模型中球的体积为( ) A8 B4 C 8 3

4、D 8 2 3 8 （5 分）设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，直线250 xy过点F且 与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，| |OPOF，则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知向量(2,1)a ，( 3,1)b ，则( ) A(

5、)aba B|2 | 5ab C向量a在向量b上的投影是 2 2 D向量a的单位向量是 2 55 (,) 55 10 （5 分）为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了 100 名职工 组织了“一带一路”知识竞赛，满分为 100 分(80分及以上为认知程度较高） ，并将所得成 绩分组得到了如图所示的频率分布折线图 从频率分布折线图中得到的这 100 名职工成绩的 以下信息正确的是( ) A成绩是 50 分或 100 分的职工人数是 0 B对“一带一路”认知程度较高的人数是 35 人 第 3 页（共 22 页） C中位数是 74.5 D平均分是 75.5 11 （5 分）若 2

6、021232021 01232021 (1 2 )()xaa xa xa xaxxR，则( ) A 0 1a B 2021 1352021 31 2 aaaa C 2021 0242020 31 2 aaaa D 3202112 232021 1 2222 aaaa 12 （5 分）关于函数( )3|sin|cos |f xxx有下述四个结论正确的有( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x在(,) 2 2 上单调递增 C( )f x在，上有四个零点 D( )f x的值域为 1，2 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）

7、13 （5 分）已知直线2yxb是曲线3ylnx的一条切线，则b 14 （5 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD 底面ABCD，O为对 角线AC与BD的交点，若2PD ， 3 APDBAD ，则三棱锥PAOD的外接球表面 积为 15 （5 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在 卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公 式完全等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大 斜幂减上，余四约之

8、，为实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a ，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长， 现有ABC 第 4 页（共 22 页） 满足sin:sin:sin3:2 2 :5ABC 且12 ABC S则ABC的外接圆的半径为 16 （5 分）F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过F且斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两 点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点M，且| 6PQ ，则|MF 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演

9、算步骤） 17 （10 分） 24 6aa， 9 45S ； 2 22 n nn S ； 1 1 (2),1 1 n n an na an 这三个条件 中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答 设等差数列 n a的前n项和为 n S，_，数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2aba b，求数列 nn a b的前n项和 n T 18 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 coscos1BC bca 且4a ，bac （1）求bc的值； （2）若ABC的面积2 7S ，求cosB 19 （12 分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽测 120 名

10、学生检测他们 的身高（单位：米） ，按数据分成1.2，1.3，(1.3，1.4，(1.7，1.8这 6 组，得到如图 所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于 1.59 米的学生有 20 人，其身高分别为 1.59， 1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69， 1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各 组身高的概率 （1）求该校学生身高大于 1.60 米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （2） 若从该校中随机选取

11、 3 名学生 （学生数量足够大） ， 记X为抽取学生的身高在(1.4，1.6 的人数，求X的分布列和数学期望 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分） 在四棱锥PABCD中，PAB为直角三角形，90APB且 1 2 PAABCD， 四边形ABCD为直角梯形，/ /ABCD且DAB为直角，E为AB的中点，F为PE的四等分 点且 1 4 EFEP，M为AC中点且MFPE （1）证明：AD 平面ABP； （2）设二面角APCE的大小为，求的取值范围 21 （12 分）已知点 1 F， 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为 2 2 ，点P是以坐标原点 O为圆心的单位圆上的一点，且 12 0P

12、F PF （1）求椭圆C的标准方程； （2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线 1 MF 与 1 NF的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标 22 （12 分）已知函数 2 ( )2 ()f xalnxxa aR x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若0 4 e a，求证 2 ( ) x e f xx x 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每

13、小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 2 |56 0Axxx ， |20Bx x，则(AB ) A 1，2) B 3，2) C 2，2) D(2，6 【解答】解：集合 2 |56 0 | 16Axxxxx厔?， |20 |2Bx xx x， | 12 1ABxx ，2) 故选：A 2 （5 分）若复数z满足213zzi ，则(z ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：设( ,)zabi a bR，则zabi， 代入213zzi ，得2()()313abia

14、biabii ， 1ab，则1zi 故选：B 3 （5 分）已知0a ，0b ，且 12 4 ab ，46ab的最小值是( ) A43 B42 3 C82 3 D 3 4 3 【解答】解：已知0a ，0b ，且 12 4 ab ，则有 11 1 42ab ， 所以 112323 46(46 )()13 4242 3 4222 abab abab abbaba ， 当且仅当 23 2 ab ba 且 11 1 42ab 时取等号， 则46ab的最小值是的最小值是42 3 故选：B 4 （5 分）函数 2 2sin3 ( ) cos xx f x xx 在，的图象大致为( ) 第 7 页（共 22

15、 页） A B C D 【解答】解： 2 2sin3 ()( ) cos xx fxf x xx ， 则( )f x是奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当0 x时，( )0f x ，排除D， 2 3 ( )0 1 f ，排除B， 故选：C 5 （5 分） 已知直线:20l axy与 22 :(1)()4Cxya相交于A、B两点， 则ABC 为钝角三角形的充要条件是( ) A(1,3)a B(23a，23) C(23a，1)(1，23) D(,23)(23,)a 【解答】解： 22 :(1)()4Cxya的圆心为(1, )Ca，半径2r ， 故点C到直线:20l axy的距离为 22 |2|2

16、|1| 11 aaa d aa ， 故 2 2 2 2 44 1 a ABd a ， 又2CACB， 因为ABC为钝角三角形， 故 222 ACBCAB，即 2 2 4416 1 a a ， 化简可得 2 410aa ， 解得2323a， 当三点A，B，C共线时，有20aa，即1a ，此时ABC不存在， 所以ABC为钝角三角形的充要条件是(23a，1)(1，23) 第 8 页（共 22 页） 故选：C 6 （5 分） “微信红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中， 若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元，2.31 元，3.22 元

17、，1.52 元，供 甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元的概率是( ) A 1 2 B 2 5 C 3 5 D 4 5 【解答】 解：若所发红包的金额为 10 元，被随机分配成 1.36 元，1.59 元， 2.31 元， 3.22 元， 1.52 元， 供甲乙丙丁戊 5 人抢，每人只能抢一次， 考虑甲、乙二人抢到的金额之和，基本事件总数 2 5 10nC， 甲乙二人抢到的金额之和不低于 4.5 元包含的基本事件有： (1.36,3.22)，(1.59,3.22)，(2.31,3.22)，(3.22,1.52)，共 4 个， 甲乙二人抢到的金额之和不

18、低于 4.5 元的概率是 42 105 P 故选：B 7 （5 分）阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一 生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立 地， 四周碰边 （即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切） ， 球的体积是圆柱体积的三分之二， 球的表面积也是圆柱表面积的三分之二今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12， 则该模型中球的体积为( ) A8 B4 C 8 3 D 8 2 3 【解答】解：设该圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R 则圆柱的表面积 2 22212SSSRRR 侧底 ， 解得 2 2R ，即2R 圆柱

19、的体积为： 2 24 2VRR， 该圆柱的内切球体积为： 28 2 4 2 33 故选：D 第 9 页（共 22 页） 8 （5 分）设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，直线250 xy过点F且 与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，| |OPOF，则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D5 【解答】解：由已知直线过点F，则令0y ，所以5x ，所以5c ， 如图所示：过原点作OH垂直直线l，垂足为H， 设双曲线的右焦点为M，连接PM， 因为| | |OPOFOM，所以由直角三角形的性质可得PFPM， 所以/ /OHPM，又O为FM的中点，所以

20、H是PF的中点， 所以| 2|PMOH，而 22 |5 | |1 12 OH ，所以| 2PM ， 由双曲线的定义可得：| 2PFPMa，即| 22PFa， 在直角三角形PFM中，由勾股定理可得： 222 |PFPMFM， 即 2 (22 )44 520a ，解得1a 或3（舍去） ， 所以双曲线的离心率为 5 5 1 c e a ， 故选：D 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选

21、对的得分，部分选对的得 3 分）分） 9 （5 分）已知向量(2,1)a ，( 3,1)b ，则( ) A()aba B|2 | 5ab 第 10 页（共 22 页） C向量a在向量b上的投影是 2 2 D向量a的单位向量是 2 55 (,) 55 【解答】解：( 1,2)ab ，(2,1)a ， ()220aba ， ()aba，即A正确； 2( 4,3)ab ，|2 | 5ab，即B正确； a在b上的投影是 510 2|10 a b b ，即C错误； 向量a的单位向量为： 2 55 (,) |55 a a ，或 2 55 (,) |55 a a ，即D错误 故选：AB 10 （5 分）为了

22、了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知程度，随机抽取了 100 名职工 组织了“一带一路”知识竞赛，满分为 100 分(80分及以上为认知程度较高） ，并将所得成 绩分组得到了如图所示的频率分布折线图 从频率分布折线图中得到的这 100 名职工成绩的 以下信息正确的是( ) A成绩是 50 分或 100 分的职工人数是 0 B对“一带一路”认知程度较高的人数是 35 人 C中位数是 74.5 D平均分是 75.5 【解答】解：选项:50A分或 100 分不能判断有多少人，A错误， 选 项:1( 0 . 0 40 . 0 1 50 . 0 0 50 . 0 1 )1 00 . 3B a ， 所

23、以 成 绩 大 于80分 的 有 100 (0.30.05)35人，B正确， 第 11 页（共 22 页） 选项C：设中位数与 70 的距离为x，则(0.010.015) 100.040.5x，解得6.25x ， 所以中位数为706.2576.25，C错误， 选项D：平均分为 550.0110650.01510750.0410850.0310950.0051075.5，D正确， 故选：BD 11 （5 分）若 2021232021 01232021 (1 2 )()xaa xa xa xaxxR，则( ) A 0 1a B 2021 1352021 31 2 aaaa C 2021 02420

24、20 31 2 aaaa D 3202112 232021 1 2222 aaaa 【解答】解：当0 x 时， 0 1a ， 当1a 时， 01232021 1aaaaa ， 当1a 时， 2021 01232021 3aaaaa， 由可得， 2021 022020 31 2 aaa ， 由可得， 2021 132021 31 2 aaa ， 令 1 2 x ，可得 3202112 0 232021 0 2222 aaaa a ，则 3202112 232021 1 2222 aaaa ， 故选：ACD 12 （5 分）关于函数( )3|sin|cos |f xxx有下述四个结论正确的有( )

25、 A( )f x的最小正周期为 B( )f x在(,) 2 2 上单调递增 C( )f x在，上有四个零点 D( )f x的值域为 1，2 【解答】解：根据函数数( )3|sin|cos |f xxx， 对于:()3|sin()|cos()|( )A f xxxf xkkk 所以函数的周期为k，最小值正周期为，故A正确； 对于B：对于函数( )3|sin|cos |f xxx， 第 12 页（共 22 页） 由于函数( )3|sin|g xx在区间(,) 2 2 x 上有增有减，故B错误； 对于C：由于函数满足()3|sin()|cos()|( )fxxxf x， 所以函数为偶函数，函数的图象

26、关于y轴对称， 当 6 x 或 5 6 时函数的值为 0， 故函数在，上有四个零点，故C正确； 对于D：函数当满足2,2() 2 xZ kkk时，函数的值域为 1，3，根本取不到最 大值 2，故D错误； 故选：AC 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知直线2yxb是曲线3ylnx的一条切线，则b 22ln 【解答】解：函数3(0)ylnxx的导数为： 1 y x ， 由题意直线2yxb是曲线3(0)ylnxx的一条切线，可知 1 2 x ， 所以 1 2 x ，所以切点坐标为 1 ( 2 ， 1 3) 2 l

27、n， 切点在直线上，所以 1 23 122 2 byxlnln 故答案为：22ln 14 （5 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PD 底面ABCD，O为对 角线AC与BD的交点，若2PD ， 3 APDBAD ，则三棱锥PAOD的外接球表面 积为 16 【解答】解：如图，取PA中点M，AD中点N，连接OM，ON，MN，/ /MNPD， 1 2 MNPD， PD 底面ABCD，PDAD，PDON， 第 13 页（共 22 页） 在Rt PDA中，2PD ， 3 APD ， 1 2 2 PMMNPA， 1 2 2 MDPA / /MNPD，MNON， 在菱形ABCD中， 3 B

28、AD ，则 22 422 3ABAD， 1 3 2 ONAB， 1 1 2 MNPD 22 2OMONMN， OMMAMDMP，M为三棱锥PAOD的外接球的球心，外接球的半径为 2 三棱锥PAOD的外接球表面积为 2 4216， 故答案为：16 15 （5 分） 数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个 问题，分为九类，每类九个问题， 数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在 卷五“三斜求积“中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公 式完全等价，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大 斜幂减上，余四约之，为

29、实，一为从隅，开平方得积 ”若把以上这段文字写成公式，即 222 222 1 () 42 cab Sc a ，S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边长， 现有ABC 满足sin:sin:sin3:2 2 :5ABC 且12 ABC S则ABC的外接圆的半径为 10 【解答】解：由正弦定理可得，sin:sin:sin: :3:2 2 :5ABCa b c， 设3 (0)a k k，则2 2b k，5c k， 由余弦定理可得， 222222 9852 cos 22232 2 abc C ab kkk kk ， 因为(0, )C，可得 4 C ， 由 222 222 1 () 12 42 cab

30、 Sc a ，将3a k，2 2b k，5c k代入，解得2k， 第 14 页（共 22 页） 所以可得2 5c ， 设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可知， 2 5 22 10 sin2 2 c R C ， 即ABC的外接圆的半径为10 故答案为：10 16 （5 分）F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过F且斜率为k的直线l与抛物线交于P、Q两 点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点M，且| 6PQ ，则|MF 3 【解答】解：因为F为抛物线 2 :4C yx的焦点，则(1,0)F，2p ， 则直线l的方程为(1)yxk，设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联立 2

31、 (1) 4 yx yx k ，消去y并整理得： 2222 (24)0 xxkkk， 则 12 2 4 2xx k ， 利用抛物线得定义可知： 1212 |26PQxxpxx， 则 12 2 4 24xx k ，解得2 k， 而线段PQ中点的横坐标为 12 2 2 xx ，则纵坐标为k， 所求线段PQ的垂直平分线的方程为 1 (2)yx k k ， 令0y ，可得4x ，即(4,0)M， 所以| 3MF 故答案为：3 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分） 24

32、 6aa， 9 45S ； 2 22 n nn S ； 1 1 (2),1 1 n n an na an 这三个条件 中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答 设等差数列 n a的前n项和为 n S，_，数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2aba b，求数列 nn a b的前n项和 n T 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：选时， 由于 24 6aa， 9 45S ； 所以 24 9 6& 45& aa S ，整理得 3 5 3& 5& a a ， 故 53 1 2 aa d ， 所以 3 (3) n aann， 数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2aba b， 整

33、理得 2 1 2 b q b ， 所以 1 1 2 nn n bb q ， 所以2n nn n ca bn， 故 12 1 22 22n n Tn ， 231 21 22 22n n Tn ， 得： 23 2(21) 222222 2 1 n nnn n Tnn ， 整理得 1 (1) 22 n n Tn 选时，当1n 时， 11 1aS， 当2n时， 1nnn aSSn ， （首项符合通项） ， 故 n an 数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2aba b， 整理得 2 1 2 b q b ， 所以 1 1 2 nn n bb q ， 所以2n nn n ca bn， 故 12 1

34、 22 22n n Tn ， 231 21 22 22n n Tn ， 第 16 页（共 22 页） 得： 23 2(21) 222222 2 1 n nnn n Tnn ， 整理得 1 (1) 22 n n Tn 选时， 1 1 (2),1 1 n n an na an ， 利用叠乘法， 1 12 121 n ann n ann ， 故 n an 数列 n b为等比数列 2 112 ,2 ,2aba b， 整理得 2 1 2 b q b ， 所以 1 1 2 nn n bb q ， 所以2n nn n ca bn， 故 12 1 22 22n n Tn ， 231 21 22 22n n T

35、n ， 得： 23 2(21) 222222 2 1 n nnn n Tnn ， 整理得 1 (1) 22 n n Tn 18 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 coscos1BC bca 且4a ，bac （1）求bc的值； （2）若ABC的面积2 7S ，求cosB 【解答】解： （1）因为 coscos1BC bca ，由正弦定理可得 coscos1 sinsinsin BC BCA ， 可得 sincoscossinsin()sin1 sinsinsinsinsinsinsin CBCBBCA BCBCBCA ， 所以 2 sinsinsinBCA，由

36、正弦定理可得 2 16bca； （2）因为 1 sin8sin2 7 2 ABC SbcAA ， 解得 7 sin 4 A ， 又bac， 第 17 页（共 22 页） 所以 2 3 cos1 4 Asin A， 在ABC中，由余弦定理 22222 163 cos 2324 bcabc A bc ，解得 22 40bc， 又16bc ，解得4 2b ，2 2c ， 所以 222222 4(2 2)(4 2)2 cos 24242 2 acb B ac 19 （12 分）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽测 120 名学生检测他们 的身高（单位：米） ，按数据分成1.2，1.3，(

37、1.3，1.4，(1.7，1.8这 6 组，得到如图 所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于 1.59 米的学生有 20 人，其身高分别为 1.59， 1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69， 1.69，1.71，1.72，1.74，以这 120 名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各 组身高的概率 （1）求该校学生身高大于 1.60 米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值； （2） 若从该校中随机选取 3 名学生 （学生数量足够大） ， 记X为抽取学生的身高在(1

38、.4，1.6 的人数，求X的分布列和数学期望 【解答】解： （1）由题意知，120 名学生中身高大于 1.6 米的有 18 人， 该校学生身高大于 1.6 米的频率为 18 0.15 120 ， 设a为学生的身高， 则(1.21.3)(PaP剟 3 1.71.8)0.025 120 a， 15 (1.31.4)(1.61.7)0.125 120 PaPa剟， 1 (1.41.5)(1.51.6)(120.02520.125)0.35 2 PaPa剟， 0.025 0.25 0.1 m， 0.125 1.25 0.1 n ， 0.35 3.5 0.1 t 第 18 页（共 22 页） （2）由（

39、1）知学生身高在1.4，1.6的概率为2 0.350.7p ， 随机变量X服从二项分布(3,0.7)XB， 则 03 3 (0)0 30.027P XC ， 12 3 (1)0.7 0 30.189P XC ， 22 3 (2)0 70.30.441P XC ， 33 3 (3)0 70.343P XC ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 30.72.1EX 20 （12 分） 在四棱锥PABCD中，PAB为直角三角形，90APB且 1 2 PAABCD， 四边形ABCD为直角梯形，/ /ABCD且DAB为直角，E为AB的中点，F为PE的

40、四等分 点且 1 4 EFEP，M为AC中点且MFPE （1）证明：AD 平面ABP； （2）设二面角APCE的大小为，求的取值范围 【解答】 （1）证明：取PE的中点N，连结DN，AN， 在直角梯形ABCD中，/ /CDAB且 1 2 CDAB， 又E为AB的中点，所以四边形AECD为矩形， 所以M为DE的中点， 所以MF为DEN的中位线， 又MFPE，所以DNPE， 第 19 页（共 22 页） 在直角ABP中， 1 2 APAB， 所以AEP为等边三角形， 所以ANPE，又DNANN，DN，AN 平面AND， 所以PE 平面AND，又AD 平面AND， 所以PEAD，又因为ADAB，AB

41、PEE，AB，PE 平面ABP， 所以AD 平面ABP； （2）解：如图，建立空间直角坐标系Axyz， 不妨设22ABPA，0ADh， 则(0A，0，0)， 3 1 (,0), (0,1,0),(0,1, ) 22 PECh， 所以 3 13 131 (, ),(,0),(,0) 222222 PCh APEP ， 设平面EPC的一个法向量为( , , )ma b c， 则有 0 0 m PC m EP ，即 31 0 22 31 0 22 abh c ab ， 取1a ，则3,0bc， 故(1, 3,0)m ， 同理可得平面PAC的一个法向量 3 (1,3,)n h ， 由图可知，二面角为锐

42、二面角， 所以 22 |1 3|11 cos(0, ) |233 13134 m n m n hh ， 又0 2 ， 所以(,) 3 2 第 20 页（共 22 页） 21 （12 分）已知点 1 F， 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为 2 2 ，点P是以坐标原点 O为圆心的单位圆上的一点，且 12 0PF PF （1）求椭圆C的标准方程； （2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线 1 MF 与 1 NF的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标 【解答】解： （1）设椭圆的方程为： 22 22 1(0) xy ab ab ，设( ,

43、)P x y， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 则由已知可得： 22 222 2 2 (, ) (, )0 1 c a xc yxc y xy abc ，即 222 22 222 2 2 0 1 c a xyc xy abc ，解得2a ，1bc， 故椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y； （2）证明：设直线l的方程为：yxmk， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 1 11 11 11 MF yxm xx k k， 1 22 22 11 NF yxm xx k k， 若x轴上任意一点到直线 1 MF与 1 NF的距离均相等，则x轴为直线 1 MF与 1

44、NF的夹角的角平 分线， 所以 11 0MFNF kk， 即 12 12 0 11 xmxm xx kk ， 整理可得： 1212 2()()20 x xmxxm kk 联立方程 2 2 1 2 yxm x y k ，消去y整理可得： 222 (12)4220 xm xmkk， 第 21 页（共 22 页） 则 2222 164(1 2)(22)0mmkk，解得 22 12m k， 且 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 22 12 m x x k ，代入整理可得：2m k， 即直线l的方程为：2(2)yxxkkk， 故直线l恒过定点( 2,0) 22 （12 分）已知函数

45、 2 ( )2 ()f xalnxxa aR x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若0 4 e a，求证 2 ( ) x e f xx x 【解答】解： （1） 2 ( )2 ()f xalnxxa aR x ，定义域是(0,)， 则 2 22 22 ( )1 axax fx xxx ，设 2 2(0)txaxx， 其中 2 80a，故令 2 20 xax， 解得： 2 8 2 aa x 又0 x ，故 2 8 2 aa x ， 令( )0fx，解得： 2 8 2 aa x ， 令( )0fx，解得： 2 8 0 2 aa x ， 故( )f x在 2 8 (0,) 2 aa 递减

46、，在 2 8 ( 2 aa ，)递增； （2）证明：要证 2 ( ) x e f xx x ，即证(2) x e a lnx x ， 即证 2 (2) x ea lnx xx ，设 2 ( )(0) x e g xx x ， 则 3 (2) ( ) x xe g x x ，令( ) 0g x，得02x， 令( )0g x，解得：2x ， 故( )g x在(0,2)递减，在(2,)递增， 故( )ming xg（2） 2 4 e ，即 2 ( ) 4 e g x ， 令 (2) ( )(0) a lnx h xx x ，则 2 (1) ( ) a lnx h x x ， 第 22 页（共 22 页） 令( )0h x，解得： 1 0 x e ，令( )0h x，解得： 1 x e ， 故( )h x在 1 (0, ) e 递增，在 1 ( e ，)递减， 故 1 ( )( ) max h xhae e ， 又0 4 e a， 2 ( ) 44 ee h xaee ， 故( )( )h xg x， 故 2 2 ( ) e f xx x 成立