2020-2021学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“xR ，20 x ”的否定是( ) AxR ，20 x BxR ，20 x C 0 xR， 0 20 x D 0 xR， 0 20 x 2 （5 分）双曲线 2 2 1 16 y x 的渐近线方程是( ) A40 xy B160

2、xy C40 xy D160 xy 3 （5 分）在等比数列 n a中， 1 1a ， 5 3a ，则 3 (a ) A3 B3 C3 D3 4 （5 分）抛物线 2 yax的准线方程是1y ，则a的值为( ) A 1 4 B 1 4 C4 D4 5 （5 分） “1a ”是“直线10axy 与直线0 xaya互相平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）在等差数列 n a中，0 n a ， 2 132 aaa， 4 4a ，若 n a的前n项和为 n S，则 106 ( 106 SS ) A1 B2 C 1 2 D4 7 （5 分）

3、 直线:(2)(3)50()lmxmymR与圆 22 :(1)(2)16Pxy相交于A，B 两点，则|AB的最小值为( ) A6 B4 C3 2 D2 3 8 （5 分）双曲线 22 1 916 xy 的两个焦点分别是 1 F， 2 F，双曲线上一点P到 1 F的距离是 7， 则P到 2 F的距离是( ) A13 B1 C1 或 13 D2 或 14 第 2 页（共 16 页） 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分

4、，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9 （5 分）已知直线 1:3 30lxy，直线 2:6 10lxmy ，则下列表述正确的有( ) A直线 2 l的斜率为 6 m B若直线 1 l垂直于直线 2 l，则实数18m C直线 1 l倾斜角的正切值为 3 D若直线 1 l平行于直线 2 l，则实数2m 10 （5 分）若数列 n a对任意2()nnN满足 11 (1)(2)0 nnnn aaaa ，则下列关于数 列 n a的命题正确的是( ) A n a可以是等差数列 B n a可以是等比数列 C n a可以既是等差又是等比数列 D n a可以既不是等

5、差又不是等比数列 11 （5 分）已知点( 1,0)A ，(1,0)B均在圆 222 :(3)(3)(0)Cxyr r外，则下列表述正 确的有( ) A实数r的取值范围是(0, 13) B| 2AB C直线AB与圆C不可能相切 D若圆C上存在唯一点P满足APBP，则r的值是3 21 12 （5 分） 已知点 1 ( 2 A ，0)， 抛物线 2 :2C yx的焦点为F， 点P在抛物线C上， 直线AP 交y轴于点M，且2APAM，则下列表述正确的是( ) A点P的纵坐标为 1 BAPF为锐角三角形 C点A与点F关于坐标原点对称 D点P的横坐标为 1 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4

6、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 3 页（共 16 页） 13 （5 分）在数列 n a中， 1 1a ， *1 () 1 n n an nN an ，则 10 a 14 （5 分）已知圆 22 1: 4Cxy与圆 22 2:( 1)(1)4Cxy相交，它们公共弦所在直线的 方程是 15 （5 分）椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 1 2 ，则m 16 （5 分）在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足 | | PA PB ，当入0 且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们 称这个圆为阿波罗尼斯圆现有双曲线

7、22 22 1(0,0) xy ab ab ，A，B为双曲线的左、右 顶点，C，D为双曲线的虚轴端点， 动点P满足 | 2 | PA PB ，PAB面积的最大值为 64 3 ，PCD 面积的最小值为 4，则双曲线的离心率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知直线l过点(2,3)P，根据下列条件分别求直线l的方程： （1）直线l的倾斜角为45； （2）直线l在x轴、y轴上的截距相等 18 （12 分）在 3 7 2 S ， 6 63 2 S ； 2 21

8、a ， 3 7 2 S ； 2 1a ， 34 6aa这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中设等比数列 n a的前n项和为 n S，公比1q ，_ （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1b ， * 2 21 ( (1) n n n bnN nS 且2)n，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）已知点(1,0)A，(0,1)B，圆C的方程为 22 6890 xyxy，过点A的直线 l与圆C相切，点P为圆C上的动点 （1）求直线l的方程； （2）求PAB面积的最大值 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p上的点(3,)Mm（点M位于第四象限）到焦点F

9、 的距离为 5 （1）求p，m的值； （2）过点(1,2)P作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的 第 4 页（共 16 页） 方程 21 （12 分）数列 n a的前n项和 n S满足 1 31 22 nn Saa，且 1 5a ， 3 5a ， 4 15a 成等差 数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 3 21 n n n log a b a ，求数列 n b的前n和 n T 22 （12 分）已知椭圆 2 2 :1 10 x Cy的右焦点为F，原点为O，椭圆C的动弦AB过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线O

10、N于点M （1）证明：点M在定直线上； （2）当OMF最大时，求MAB的面积 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷学年湖北省荆州市六县市区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“xR ，20 x ”的否定是( ) AxR ，20 x BxR ，20 x C 0 xR， 0 20 x D 0

11、xR， 0 20 x 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为特称命题， 即 0 xR， 0 20 x ， 故选：D 2 （5 分）双曲线 2 2 1 16 y x 的渐近线方程是( ) A40 xy B160 xy C40 xy D160 xy 【解答】解：由题意知，双曲线焦点在x轴上，且1a ，4b ， 渐近线方程为4yx ，即40 xy 故选：A 3 （5 分）在等比数列 n a中， 1 1a ， 5 3a ，则 3 (a ) A3 B3 C3 D3 【解答】解：设 n a的公比为q，则 44 51 3aaqq， 所以 2 3q ，所以 2 31 3aa q 故选：B 4 （5 分）抛

12、物线 2 yax的准线方程是1y ，则a的值为( ) A 1 4 B 1 4 C4 D4 【解答】解：由 2 yax，变形得： 2 11 2 2 xyy aa ， 1 2 p a ，又抛物线的准线方程是1y ， 第 6 页（共 16 页） 1 1 4a ，解得 1 4 a 故选：B 5 （5 分） “1a ”是“直线10axy 与直线0 xaya互相平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由直线10axy 与直线0 xaya互相平行， 有 2 1 10 1( 1)0 a aa ，解得1a ， 所以“1a ”是“直线10axy 与直线0

13、 xaya互相平行”的充分不必要条件 故选：A 6 （5 分）在等差数列 n a中，0 n a ， 2 132 aaa， 4 4a ，若 n a的前n项和为 n S，则 106 ( 106 SS ) A1 B2 C 1 2 D4 【解答】解：在等差数列 n a中，0 n a ， 2 132 aaa， 4 4a ， 2 22 2aa，解得 2 2a ， 等差数列 n a的公差 42 1 42 aa d ， 12 1aad， 10 109 10155 2 S ， 6 65 6121 2 S ， 106 5521 2 106106 SS 故选：B 7 （5 分） 直线:(2)(3)50()lmxmy

14、mR与圆 22 :(1)(2)16Pxy相交于A，B 两点，则|AB的最小值为( ) A6 B4 C3 2 D2 3 【解答】解：直线:(2)(3)50lmxmy变形为()2350 xy mxy， 令 0 2350 xy xy ，解得 1 1 x y ， 所以直线l恒过定点( 1,1)E ， 第 7 页（共 16 页） 圆 22 :(1)(2)16Pxy，则圆心(1, 2)P，半径4r ， 故当ABPE时，|AB最小，此时 22 | 22 16132 3ABrPE 故选：D 8 （5 分）双曲线 22 1 916 xy 的两个焦点分别是 1 F， 2 F，双曲线上一点P到 1 F的距离是 7，

15、 则P到 2 F的距离是( ) A13 B1 C1 或 13 D2 或 14 【解答】解：由题意双曲线 22 1 916 xy ，3a ，5c ， 1 |PFac，所以P在靠近 1 F的那 一支上， 则由双曲线的定义可知 21 | 6PFPF，P到 1 F的距离是 7， 2 | 13PF， 故选：A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。

16、9 （5 分）已知直线 1:3 30lxy，直线 2:6 10lxmy ，则下列表述正确的有( ) A直线 2 l的斜率为 6 m B若直线 1 l垂直于直线 2 l，则实数18m C直线 1 l倾斜角的正切值为 3 D若直线 1 l平行于直线 2 l，则实数2m 【解答】解：直线 1:3 30lxy，直线 2:6 10lxmy ， 当0m 时，直线 2 l的斜率不存在，故选项A错误； 当直线 1 l垂直于直线 2 l，则有3610m ，解得18m ，故选项B正确； 直线 1 l的斜率为3，故倾斜角的正切值为3，故选项C错误； 当直线 1 l平行于直线 2 l，则 360 1 130 m m

17、，解得2m ，故选项D正确 第 8 页（共 16 页） 故选：BD 10 （5 分）若数列 n a对任意2()nnN满足 11 (1)(2)0 nnnn aaaa ，则下列关于数 列 n a的命题正确的是( ) A n a可以是等差数列 B n a可以是等比数列 C n a可以既是等差又是等比数列 D n a可以既不是等差又不是等比数列 【解答】解：由 11 (1)(2)0 nnnn aaaa ，得 1 10 nn aa 或 1 20 nn aa ， 即 1 1 nn aa 或 1 2 nn aa ， 若 1 1 nn aa ，则数列 n a是等差数列； 若 1 2 nn aa ，当0 n a

18、 时，数列 n a是等差数列，当0 n a 时，数列 n a是等比数列 数列 n a可以是等差数列也可以是等比数列； 由 11 (1)(2)0 nnnn aaaa ，不能得到数列为非 0 常数列，则不可以既是等差又是等比数 列； 可以既不是等差又不是等比数列，如 1，2，4，8，16，32 故选：ABD 11 （5 分）已知点( 1,0)A ，(1,0)B均在圆 222 :(3)(3)(0)Cxyr r外，则下列表述正 确的有( ) A实数r的取值范围是(0, 13) B| 2AB C直线AB与圆C不可能相切 D若圆C上存在唯一点P满足APBP，则r的值是3 21 【解答】解：点( 1,0)A

19、 ，(1,0)B均在圆 222 :(3)(3)(0)Cxyr r外， 第 9 页（共 16 页） 222 222 ( 13)(03) (13)(03) 0 r r r ，解得013r，故A正确； | 2AB ，故B正确； 013r，且圆心坐标为(3,3)，当3r 时，直线AB与圆C相切，故C错误； APBP，点P在以线段AB为直径的圆上， 又( 1,0)A ，(1,0)B，点P在圆 22 1xy上， 又点P在圆 222 :(3)(3)(0)Cxyr r上， 点( 1,0)A ，(1,0)B均在圆C外，圆 22 1xy与圆C外切，且点P为切点， 22 1(30)(30)r ，即3 21r ，故D

20、正确 故选：ABD 12 （5 分） 已知点 1 ( 2 A ，0)， 抛物线 2 :2C yx的焦点为F， 点P在抛物线C上， 直线AP 交y轴于点M，且2APAM，则下列表述正确的是( ) A点P的纵坐标为 1 BAPF为锐角三角形 C点A与点F关于坐标原点对称 D点P的横坐标为 1 2 【解答】解：由抛物线的方程可得 1 (2F，0)，C正确， 若2APAM，则点M是线段AP的中点，又坐标原点O是线段AF的中点， 所以OM是三角形APF的中位线，所以/ /OMPF， 因为OMx轴，所以PFx轴，所以三角形APF为直角三角形，B错误， 设点( , )P x y，则 1 2 x ，代入抛物线

21、方程可得1y ，A错误，D正确， 故选：CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在数列 n a中， 1 1a ， *1 () 1 n n an nN an ，则 10 a 1 10 【解答】解：在数列 n a中， 1 1a ， *1 () 1 n n an nN an ， 1092 101 981 9811 1 109210 aaa aa aaa ， 第 10 页（共 16 页） 故答案为： 1 10 14 （5 分）已知圆 22 1: 4Cxy与圆 22 2:( 1)(1)4Cxy相交，它们公共弦所在直线的

22、方程是 10 xy 【解答】解：根据题意， 22 1: 4Cxy， 圆 22 2:( 1)(1)4Cxy，其一般方程为 22 2220 xyxy， 可得：2210 xy ，即10 xy ； 则两圆公共弦所在的直线方程为10 xy ； 故答案为：10 xy 15 （5 分）椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 1 2 ，则m 3 或16 3 【解答】解：方程中 4 和m哪个大，哪个就是 2 a， （）若04m，则 2 4a ， 2 bm， 4cm ， 41 22 m e ，得3m ； （）4m ，则 2 4b ， 2 am， 4cm ， 41 2 m e m ，得 16 3 m ； 综上：3

23、m 或 16 3 m ， 故答案为：3 或 16 3 16 （5 分）在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足 | | PA PB ，当入0 且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们 称这个圆为阿波罗尼斯圆现有双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，A，B为双曲线的左、右 顶点，C，D为双曲线的虚轴端点， 动点P满足 | 2 | PA PB ，PAB面积的最大值为 64 3 ，PCD 面积的最小值为 4，则双曲线的离心率为 5 4 【解答】解：设(,0)Aa，( ,0)B a，( , )P x y， 由题意，可得| 2|PAPB，即

24、 2222 ()2 ()xayxay， 化简可得： 222 54 ()() 33 aa xy，圆心 5 ( 3 a ，0)，半径 4 3 a r ， 第 11 页（共 16 页） 所以PAB的最大面积为 1464 2 233 a a，解得4a ； PCD最小值 154 2()4 2333 a baab， 解得3b ，故双曲线的离心率 2 5 1( ) 4 cb e aa ， 故答案为： 5 4 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知直线l过点(2,3)P，

25、根据下列条件分别求直线l的方程： （1）直线l的倾斜角为45； （2）直线l在x轴、y轴上的截距相等 【解答】解： （1）根据题意，直线l的倾斜角为45，则其斜率tan451 k， 又由直线l过点(2,3)P，则直线l的方程为3(2)yx， 变形可得10 xy ， 即直线l的方程为10 xy （2）根据题意，分 2 种情况讨论： 若直线l经过原点，直线l的方程为 3 2 yx，即320 xy； 若直线l不经过原点，则直线l的方程为1 xy aa 将点(2,3)P代入，得 23 1 aa ，即5a 所以直线l的方程为50 xy 综合可得：直线l的方程为320 xy或50 xy 18 （12 分）

26、在 3 7 2 S ， 6 63 2 S ； 2 21a ， 3 7 2 S ； 2 1a ， 34 6aa这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中设等比数列 n a的前n项和为 n S，公比1q ，_ （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1b ， * 2 21 ( (1) n n n bnN nS 且2)n，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）选时，由 3 7 2 S ， 6 63 2 S ； 第 12 页（共 16 页） 得 3 1 6 1 (1)7 & 12 (1)63 & 12 aq q aq q ，解得2q ， 1 1 2 a ， 所以 2 2n n a

27、 选时， 2 21a ， 3 7 2 S ， 所以 17 1 2 q q ， 解得2q 或 1 2 ，因为1q ，所以2q ， 所以 2 2n n a 选时，由 2 1a ， 34 6aa 得 2 60qq，解得2q 或3（负值舍去） ，故2q ， 所以 2 2n n a （2）由于 1(1 )21 12 nn n aq S q ， 所以 2 21211 (1)(1)(1)11 n n n b nSnnnn ， 所以当1n 时， 11 1Tb， 当2n时， 11111111111521 1 1 32435312112(1) n n T nnnnnnn n 首项符合求和公式，故 521 2(1)

28、 n n T n n 19 （12 分）已知点(1,0)A，(0,1)B，圆C的方程为 22 6890 xyxy，过点A的直线 l与圆C相切，点P为圆C上的动点 （1）求直线l的方程； （2）求PAB面积的最大值 【解答】解： （1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为1x ，已知此直线与l相交，不 符合题意； 第 13 页（共 16 页） 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yxk， 圆 22 :(3)(4)16Cxy，圆心(3,4)C，半径4r ， 因为直线l与圆C相切， 所以圆心到直线的距离4d ， 则有 2 |34| 1 d kk k ， 解得k或 4 3 k， 所以直线l的方程

29、为0y 或4340 xy； （2）由题意可得，|2AB ，直线AB的方程为10 xy ， 则圆心(3,4)C到直线AB的距离 |34 1| 3 2 2 d ， 所以点P到直线AB的距离的最大值为3 24， 所以PAB面积的最大值为 2 (3 24)32 2 2 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p上的点(3,)Mm（点M位于第四象限）到焦点F 的距离为 5 （1）求p，m的值； （2）过点(1,2)P作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的 方程 【解答】解： （1）由抛物线的定义可知：| 35 2 p MF ， 解得：4p ， 2 :8C yx

30、， 2 8 324m ， 解得2 6m ， 点M在第四象限， 2 6m （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2 11 2 22 8 8 yx yx ，两式作差得 121212 ()()8()yyyyxx， 第 14 页（共 16 页） 直线l的斜率 12 1212 8yy xxyy k， (1,2)P为AB的中点， 12 4yy， 2k， 直线l的方程为22(1)yx， 即20 xy（经检验，所求直线符合条件） 21 （12 分）数列 n a的前n项和 n S满足 1 31 22 nn Saa，且 1 5a ， 3 5a ， 4 15a 成等差 数列 （1）求

31、数列 n a的通项公式； （2）设 3 21 n n n log a b a ，求数列 n b的前n和 n T 【解答】解： （1）依题意，当2n时，由 1 31 22 nn Saa，可得 111 31 22 nn Saa ， 两式相减，可得 1 33 22 nnn aaa ， 化简整理，得 1 3(2) nn aan ， 故数列 n a是以 3 为公比的等比数列， 31 9aa， 41 27aa， 1 5a ， 3 5a ， 4 15a 成等差数列， 314 2(5)(5)(15)aaa， 即 111 2(95)(5)(2715)aaa， 解得 1 3a ， 1 3 33 nn n a ，*

32、nN， （2）由（1） ，可得 第 15 页（共 16 页） 33 2123121 33 n n n nn n log alogn b a ， 123 123 13521 3333 nn n n Tbbbb ， 231 1132321 33333 n nn nn T ， 两式相减，可得 231 2122221 333333 n nn n T 121 121121 (1) 39333 nn n 1 1 1 1 1221 3 1 393 1 3 n n n 1 222 33n n ， 1 1 3 n n n T 22 （12 分）已知椭圆 2 2 :1 10 x Cy的右焦点为F，原点为O，椭圆C

33、的动弦AB过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M （1）证明：点M在定直线上； （2）当OMF最大时，求MAB的面积 【解答】证明： （1）椭圆 2 2 :1 10 x Cy的右焦点(3,0)F， 设AB所在直线为：(3)(0)yxkk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 2 (3) 1 10 yx x y k ，得 2222 (101)60(9010)0 xxkkk 则 2 12 2 60 101 xx k k ， 2 12 2 9010 101 x x k k ， 第 16 页（共 16 页） 点N的坐标为

34、2 2 30 (10 1 k k ， 2 3 ) 101 k k ，ON所在直线方程为 1 10 yx k ， FM所在直线方程为 1 (3)yx k ， 联立 1 (3) 1 10 yx yx k k ，解得 10 3 M x， 故M在定直线 10 3 x 上； 解： （2）由（1） 10 3 M x，得点M的坐标为 101 (,) 33 k ，且(3,0)F， 则 11 (,) 3 3 MF k ， 101 (,) 3 3 MO k ， 2 22 22 101 99 cos | | 11001 99 MF MO OMF MFMO k kk kk 42 42 2 2 100201812 10 1 1 100101111 100101 kk kk k k （当且仅当 2 1 10 k时不等式取等号） 若cosOMF取得最小值时，OMF最大，此时 12 3xx， 12 1 2 x x ， 则 22 12 1111 10 |1|134() 10210 ABxx k， 22 1011111 |(3)(0) 1 3393 9 10 FM k ， 111 110 | 260 MAB SABMF