2020-2021学年重庆市主城区七校高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年重庆市主城区七校高二（上）期末数学试卷学年重庆市主城区七校高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）下列四个命题中真命题的是( ) AxZ ，033x BxZ ，410 x CxR ， 2 40 x DxR ， 2 60 xx 2 （5 分）已知直线l过点(0,0)P、(1, 3)Q，则直线l的倾斜角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5

2、 6 3 （5 分）下列说法正确的是( ) A过空间中任意三点有且仅有一个平面 B四边形确定一个平面 C圆上不同两点和圆心确定一个平面 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4（5 分） 设 1 F、 2 F分别为椭圆 22 :1 4924 xy C的左、 右焦点，P是椭圆C上一点， 若 1 | 8PF ， 则点P到原点的距离|OP为( ) A4 B5 C8 D10 5 （5 分）设m，n是两条不同直线，是两个不同平面，l，下列说法正确 的是( ) A若/ /ml，则/ /m B若/ /mn，m，则n C若mn，m，n，则 D若mn，ml，则/ /nl 6

3、（5 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九 而一，所得开立方除之，即立半圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，其半径R 的一个近似公式 116 3 29 Rv 人们还用过一些类似的近似公式 根据3.14159 判 断下列近似公式中计算求半径R最精确的一个是( ) A 115 3 29 Rv B 1 32 2 Rv C 1300 3 2157 Rv D 121 3 211 Rv 7 （5 分）已知双曲线的渐近线方程为yx 且过点( 3, 2)P，则双曲线的方程是( ) 第 2 页（共 21 页） A 22 1xy B 22 1yx C 2 2 1 2

4、x y D 2 2 1 2 y x 8 （5 分）若 22 1:( 1)(2)4Cxy与 22 2:( )()4( ,)Cxayba bR有公共点，则 22 24abab的最大值为( ) A9 B10 C11 D12 9 （5 分）设A，B，C，D是半径为R的球O的球面上四点，ABC是以AC为斜边的等 腰直角三角形且其面积为 16，若三棱锥DABC体积的最大值为128 3 ，则该球的表面积为( ) A80 B90 C100 D128 10 （5 分）已知点 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的左、右焦点，过 2 F的直 线与双曲线T的左、右两支分别交

5、于A、B两点，若 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ，则双曲线T 的离心率为( ) A 46 2 B46 C2 7 D7 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 11 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M，N，P分别是线段 11 C D，线 段 1 C C，线段 1 A B上的动点，且 11 0MCNC

6、，则下列说法正确的有( ) A三棱锥 1 PB BM的体积为定值 B异面直线MN与 1 BC所成的角为60 C 1 APPC的长的最小值为26 第 3 页（共 21 页） D点 1 B到平面 1 BCD的距离为 2 2 3 12 （5 分）已知P是椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的 交点分别为A、B，左、右焦点分别为 1 F、 2 F下列关于椭圆的四个结论中正确的是( ) A若PA、PB的斜率存在且分别为 1 k、 2 k，则 12 k k为一定值 B根据光学现象知道：从 1 F发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 2. F若一束光线从 1 F

7、出发经椭圆反射，当光线第n次到达 2 F时，光线通过的总路程为4na C设 12 F PF，则关于的方程 2 cos12e 一定有解 D平面内动点M到定点F的距离与它到定直线( l Fl距离的比值是一个正常数，则动 点M的轨迹是一个椭圆 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分（其中分（其中 16 题第一空两分，第二空三分）共题第一空两分，第二空三分）共 20 分，分， 把答案分别填写在答题卡相应位置。把答案分别填写在答题卡相应位置。 13 （5 分）如果4x 是xm是成立的充分不必要条件，则m的取值范围 14 （5 分）已知三棱锥ABCD，三条侧棱长相等且两

8、两互相垂直，则侧棱与底面所成的 角的正切值 15 （5 分） 已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F， 准线为l， 过F的直线交抛物线于M， 交准线于N，且 1 3 MFMN，则直线MN的倾斜角的正弦值为 16（5 分） 设动点P与两不同定点A、B在同一平面上且满足 | | PA PB ， 当0且1时， P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为 阿波罗尼斯圆在直角坐标系xOy中，( 3,0)A ，(3,0)B，( , )P x y，动点P满 | 2 | PA PB ，P 点的轨迹的方程为 .点Q是直线:34100lxy上任意一点，过Q作的切线，相 切

9、于M，N，当|MN取得最小值时，求cosMQN的值 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知圆 22 :(1)9C xy与直线: l yxb （1）若2b ，直线l与圆相交于A、B，求弦长|AB； （2）若直线与圆无公共点，求b的取值范围 第 4 页（共 21 页） 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，点M是 线段PD上一点 （1）若/ /OM平面PAB，指出M的位置并证明； （2）若PO 平面ABCD，证明：ACO

10、M 19 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，E为线段AB的中点，G为棱 1 CD 的中点， （1）证明：/ /EG平面 11 ADD A； （2）求多面体 11 ADCBE的体积 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，M、H为抛物线C上两个不同的 动点，当MH过F且与y轴平行时OMH的面积为 2 （1）求抛物线C的方程； （2）分别过M、H作MA、HB垂直于y轴，若3 ABFMHF SS ，求MH与x轴的交点的横 轴标的取值范围 21 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC，底面ABC是边长为 2 的正三角形， 11 A

11、 AAB， 第 5 页（共 21 页） 平面ABC 平面 11 AAC C （1）证明： 1 AC 平面ABC； （2）若BC与平面 1 AA B所成角的正弦值为 21 7 ，求平面 1 AA B与平面 11 BBC C所成角的正弦 值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 8，以椭圆的左焦点为圆心，短半 轴长为半径的圆与直线 2 :(4) 2 h yx直线相切 （1）求椭圆的方程C； （2）已知直线:8l x ，过右焦点F的直线（不与轴重合）与椭圆C交于A，B两点，过 点A作ADl，垂足为D 求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标； 点O为坐

12、标原点，求OBD面积的最大值 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年重庆市主城区七校高二（上）期末数学试卷学年重庆市主城区七校高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）下列四个命题中真命题的是( ) AxZ ，033x BxZ ，410 x CxR ， 2 40 x DxR ， 2 60 xx 【解答】解：对于A，03301xx 在 0 和 1

13、 之间，不存在整数，所以A错； 对于B， 1 410 4 xxZ ，所以B错； 对于C，当0 x 时， 2 040，即 2 40 x 不成立，所以C错； 对于D，因为 22 123 6()0 24 xxx 在R上恒成立，所以D对； 故选：D 2 （5 分）已知直线l过点(0,0)P、(1, 3)Q，则直线l的倾斜角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：直线l过点(0,0)P、(1, 3)Q，则直线l的斜率为 30 3 10 k， 故它的倾斜角为 3 ， 故选：B 3 （5 分）下列说法正确的是( ) A过空间中任意三点有且仅有一个平面 B四边形确定一个平面 C圆上不同两

14、点和圆心确定一个平面 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解答】解：对于A，过空间中共线三点不只一个平面，所以A错； 对于B，不共面的空间四边形，不在一平面内，不能确定一平面，所以B错； 对于C，圆的某直径，两个端点为在圆上不同两点，与圆心在一条直线上，不能确定一个 平面，所以C错； 对于D，此命题是立体几何的一条公理，所以D对； 第 7 页（共 21 页） 故选：D 4（5 分） 设 1 F、 2 F分别为椭圆 22 :1 4924 xy C的左、 右焦点，P是椭圆C上一点， 若 1 | 8PF ， 则点P到原点的距离|OP为( ) A4 B5 C8

15、D10 【解答】解：由椭圆的方程可得： 2 49a ， 2 24b ，所以7a ，5c ， 则 12 | 210FFc，且 12 | 214PFPFa，所以 2 | 6PF ， 所以 222 1212 |PFPFFF， 所以三角形 12 PFF是以P为直角顶点的直角三角形， 又OP是斜边 12 F F的中线，所以 12 1 | 5 2 OPFF， 故选：B 5 （5 分）设m，n是两条不同直线，是两个不同平面，l，下列说法正确 的是( ) A若/ /ml，则/ /m B若/ /mn，m，则n C若mn，m，n，则 D若mn，ml，则/ /nl 【解答】解：由m，n是两条不同直线，是两个不同平面

16、，l，得： 对于A，若/ /ml，则/ /m或m，故A正确； 对于B，若/ /mn，m，则由线面垂直的判定定理得n，故B正确； 对于C，若mn，m，n，则与不一定垂直，故C错误； 对于D，若mn，ml，则n与l相交、平行或异面，故D错误 故选：B 6 （5 分）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九 而一，所得开立方除之，即立半圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，其半径R 的一个近似公式 116 3 29 Rv 人们还用过一些类似的近似公式 根据3.14159 判 断下列近似公式中计算求半径R最精确的一个是( ) A 115 3 29 Rv B 1 32

17、 2 Rv C 1300 3 2157 Rv D 121 3 211 Rv 【解答】解：由 3 4 3 VR，解得 316 33 42 VV R ， 第 8 页（共 21 页） 所以可以比较 6 与各选项中三次根号下V的系数， 因为 615 9 ，解得3.6， 因为 6 2 ，解得3， 因为 6300 157 ，解得3.14， 因为 621 11 ，解得3.142857， 而3.1415926， 故选项D中的数值最接近 故选：D 7 （5 分）已知双曲线的渐近线方程为yx 且过点( 3, 2)P，则双曲线的方程是( ) A 22 1xy B 22 1yx C 2 2 1 2 x y D 2 2

18、 1 2 y x 【解答】解：设双曲线方程为 22 yx， 代入点( 3, 2)P，可得1 ， 双曲线的方程为 22 1xy 故选：A 8 （5 分）若 22 1:( 1)(2)4Cxy与 22 2:( )()4( ,)Cxayba bR有公共点，则 22 24abab的最大值为( ) A9 B10 C11 D12 【解答】解：根据题意， 22 1:( 1)(2)4Cxy，其圆心为(1,2)，半径2R ， 22 2:( )()4Cxayb，其圆心为( , )a b，半径2r ， 两圆的圆心距 2222 12 |(1)(2)245CCababab， 若 两 圆 有 公 共 点 ， 则 12 0|

19、4C CRr剟， 即 22 245 16abab ， 则 有 22 2411abab， 则 22 24abab的最大值为 11， 故选：C 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分）设A，B，C，D是半径为R的球O的球面上四点，ABC是以AC为斜边的等 腰直角三角形且其面积为 16，若三棱锥DABC体积的最大值为128 3 ，则该球的表面积为( ) A80 B90 C100 D128 【解答】解：如图， ABC是斜边AC的等腰直角三角形且面积为 16， 故其直角边长为4 2，斜边长为 8， 则当D位于直径的端点时，三棱锥DABC体积取最大值为 128 3 ， 由ABBC，ABBC，8AC ，可

20、得斜边AC上的高4BE ， 由 1128 33 ABC SDE ，解得8DE ， 则 2 2 BE EF DE 球O的直径为10DEEF， 则球O的半径为： 1 105 2 该球的表面积为 2 45100S 故选：C 10 （5 分）已知点 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的左、右焦点，过 2 F的直 线与双曲线T的左、右两支分别交于A、B两点，若 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ，则双曲线T 的离心率为( ) A 46 2 B46 C2 7 D7 【解答】解： 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ， 第 10 页（共 21 页）

21、设 2 |BFm， 1 | 5AFt，| 4ABt，则 1 | 5BFt， 1 | 5AFt， 根据双曲线的定义，得 2112 | | 2AFAFBFBFa， 即4552tmttma， 解得ta，3ma， 即 1 | 5AFa， 2 | 7AFa， 1 | 5BFa，| 21 F BF中， 222 12121221 |2| |cosFFBFBFBFBFF BF 222 21 49252 35coscaaaaF BF ， 在三角形 12 ABF F中， 222 1111 |2| |cosAFBFABBFABABF 222 1 416252 45coscaaaaABF ， 211 coscos0F

22、 BFABF， 22 446ca，可得 46 2 ca， 因此，该双曲线的离心率 46 2 e 故选：A 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 11 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M，N，P分别是线段 11 C D，线 段 1 C C，线段 1 A B上的动点，且 11 0MCNC，则下列说法正确的有(

23、) 第 11 页（共 21 页） A三棱锥 1 PB BM的体积为定值 B异面直线MN与 1 BC所成的角为60 C 1 APPC的长的最小值为26 D点 1 B到平面 1 BCD的距离为 2 2 3 【解答】解：对于A， 1111 12 33 P B BMMPBBPBBPBB VVShS ，因为 1 PBB S不是定值，所以A 错； 对于B，因为 11 / / /MNDCAB，所以异面直线MN与 1 BC所成的角为，为 11 ABC， 因为 1 A BC为正三角形，从而 11 60ABC，所以B对； 对于C，将空间四边形 11 A ABC展开成平面图形，线段 1 AC最短，长度为： 1 1

24、2 22 2sin6026 2 AEEC ，所以C对； 对于D，过1B作 11 B EAB交 1 A B于E，点 1 B到平面 1 BCD的距离等于 点 1 B到平面 11 BCD A的距离等于 1 1 2 22 2 B E ，所以D错； 故选：BC 第 12 页（共 21 页） 12 （5 分）已知P是椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的 交点分别为A、B，左、右焦点分别为 1 F、 2 F下列关于椭圆的四个结论中正确的是( ) A若PA、PB的斜率存在且分别为 1 k、 2 k，则 12 k k为一定值 B根据光学现象知道：从 1 F发出的光

25、线经过椭圆反射后一定会经过 2. F若一束光线从 1 F 出发经椭圆反射，当光线第n次到达 2 F时，光线通过的总路程为4na C设 12 F PF，则关于的方程 2 cos12e 一定有解 D平面内动点M到定点F的距离与它到定直线( l Fl距离的比值是一个正常数，则动 点M的轨迹是一个椭圆 【解答】解：对于A，设( , )P x y，由题意得， 22 22 1 xy ab ，(,0)Aa，( ,0)B a， 222 abc 22 2222 22 (1)() xb ybax aa ， 22 12 222 00yyyb xa xaxaa k k 常数，所以A对； 对于B， 因为光线从 1 F发

26、出， 经过椭圆反射后一定会经过 2 F， 再反射回 1 F， 一周长度为4a， 经过 2 F n次，需要n周半，最后一周只走半周，所以总程长为42naa，所以B错； 对于C， 1 PFaex， 2 PFaex， 12 2FFc， 222222 2 222 ()()(2 )4 cos12 2()() aexaexcae xc e aex aexae x ， 解之得： 3 1 a x e ，即方程 2 cos12e 一定有解，所以C对； 对于D，当正常数大于 1 时，动点M的轨迹是一个双曲线，不是椭圆，所以D错； 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5

27、分（其中分（其中 16 题第一空两分，第二空三分）共题第一空两分，第二空三分）共 20 分，分， 把答案分别填写在答题卡相应位置。把答案分别填写在答题卡相应位置。 13 （5 分）如果4x 是xm是成立的充分不必要条件，则m的取值范围 (4,) 【解答】解：如果4x 是xm是成立的充分不必要条件， 则(，4)(，)m， 故4m ， 第 13 页（共 21 页） 故答案为：(4,) 14 （5 分）已知三棱锥ABCD，三条侧棱长相等且两两互相垂直，则侧棱与底面所成的 角的正切值 2 2 【解答】解：三棱柱ABCD，三条侧棱长相等且两两互相垂直， 不妨直接将三棱锥放入正方体中， 设三棱锥的侧棱长为

28、 1， 则1ABABAD，2CDBCBD， 过点A作平面BCD的垂线，垂足为O，则O为BCD的重心， 所以 26 cos30 33 ODBD ， 由勾股定理可得， 22 3 3 AOADOD， 又侧棱与底面所成的角为ADO， 在Rt ADO中， 2 tan 2 AO ADO DO ， 所以侧棱与底面所成的角的正切值为 2 2 故答案为： 2 2 15 （5 分） 已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F， 准线为l， 过F的直线交抛物线于M， 交准线于N，且 1 3 MFMN，则直线MN的倾斜角的正弦值为 2 2 3 【解答】解：如图所示：过点M作MD 准线l， 则| |MFMD，又 1

29、3 MFMN， 所以 1 | 3 MFMN，即 1 | 3 MDMN， 所以 |1 |3 MD MN ，设直线与准线的夹角为，直线的倾斜角为， 第 14 页（共 21 页） 则 1 sin 3 ，且sinsin()cos 2 ，0，)， 所以 2 2 sin 3 ， 故答案为： 2 2 3 16（5 分） 设动点P与两不同定点A、B在同一平面上且满足 | | PA PB ， 当0且1时， P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为 阿波罗尼斯圆在直角坐标系xOy中，( 3,0)A ，(3,0)B，( , )P x y，动点P满 | 2 | PA PB ，P

30、点的轨迹的方程为 22 (5)16xy .点Q是直线:34100lxy上任意一点，过Q 作的切线，相切于M，N，当|MN取得最小值时，求cosMQN的值 【解答】解： （1）设点P的坐标为( , )x y，则 22 |(3)PAxy， 22 |(3)PBxy，由 | 2 | PA PB ，得 22 22 (3) 2 (3) xy xy ， 化简可得 22 (5)16xy， 此曲线的方程为 22 (5)16xy； （2）曲线是以点(5,0)E为圆心，4 为半径的圆，如图， 要使|MN最小，则MN最小，可知Q离圆心E最近， 此时 22 |1510| |5 3( 4) QE ，| 4NE ，则| 3

31、QN ， 3 cos 5 NQE，则 22 37 cos212( )1 525 MQNcosNQE 故答案为： 22 (5)16xy； 7 25 第 15 页（共 21 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知圆 22 :(1)9C xy与直线: l yxb （1）若2b ，直线l与圆相交于A、B，求弦长|AB； （2）若直线与圆无公共点，求b的取值范围 【解答】解： （1）圆C的圆心坐标为(0,1)C，到直线l的距离 | 12|2 22 d ， 则写出 3

32、2 2 | 2 3()34 2 AB ； （2）若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径， 即 |1| 3 2 b ，解得13 2b 或13 2b b的取值范围是(，13 2)(13 2，) 18 （12 分）如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，点M是 线段PD上一点 （1）若/ /OM平面PAB，指出M的位置并证明； （2）若PO 平面ABCD，证明：ACOM 【解答】解： （1）当M是PD的中点，/ /OM平面PAB 证明如下： 第 16 页（共 21 页） / /OM平面PAB，OM 平面PBD，平面PAB平面PBDPB， / /OMPB， 又O是BD

33、的中点， M是PD的中点 （2）证明：PO 平面ABCD，且AC 平面ABCD，所以POAC， 四边形ABCD是菱形， BDAC， 又POBDO，PO 平面PBD，BD平面PBD， AC平面PBD， 又OM 平面PBD， ACOM 19 （12 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，E为线段AB的中点，G为棱 1 CD 的中点， （1）证明：/ /EG平面 11 ADD A； （2）求多面体 11 ADCBE的体积 【解答】解： （1）证明：过G作 1 GHDD于H，则H为 1 DD的中点，连接AH， G为 1 CD的中点，且该几何体为正方体， / /GHAE，GHAE，

34、 四边形 11 ADD A为平行四边形， / /EGAH， 第 17 页（共 21 页） EG平面 11 ADD A，AH 平面 11 ADD A， / /EG平面 11 ADD A （2）多面体 11 ADCBE的体积 1111 A D CBEEA D CB VV ， 连接 1 AB，该四边形 11 ABB A为正方形， 11 ABAB， BC 平面 11 ABB A， 1 AB平面 11 ABCD，E为AB的中点， E到平面 11 ADCB的距离为A到平面 11 ADCB的 1 2 ， E到平面 11 ADCB的距离为 1 4 22 4 ， 多面体 11 ADCBE的体积 1111 132

35、 24 24 33 A D CBEEA D CB VV 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，M、H为抛物线C上两个不同的 动点，当MH过F且与y轴平行时OMH的面积为 2 （1）求抛物线C的方程； （2）分别过M、H作MA、HB垂直于y轴，若3 ABFMHF SS ，求MH与x轴的交点的横 轴标的取值范围 【解答】解： （1）当MH过F且与y轴平行时，| 2MHp， 1 22 22 OMH P Sp ，解得2p 抛物线C的方程为 2 4yx； （2）设 1 (M x， 1) y， 2 (H x， 2) y，MH与x轴的交点设为( ,0)D m， 由抛物线的几何

36、图形可知，无论M，H位于x轴的同侧或异侧， 都有 12 1 | | 2 ABF SyyOF ， 12 1 | | 2 MHF SyyDF ， 第 18 页（共 21 页） 3 ABFMHF SS ，| 3|OFDF， 则13|1|m，解得 24 33 m， 又1m 时MHF不存在， 24 33 m，且1m MH与x轴的交点的横轴标的取值范围是 2 ( 3 ，1)(1， 4) 3 21 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCABC，底面ABC是边长为 2 的正三角形， 11 A AAB， 平面ABC 平面 11 AAC C （1）证明： 1 AC 平面ABC； （2）若BC与平面 1 AA B

37、所成角的正弦值为 21 7 ，求平面 1 AA B与平面 11 BBC C所成角的正弦 值 【解答】解： （1）证明：如图，取AB的中点O，AC的中点H，连接OC， 1 OA，BH， 因为 11 A AAB，ACBC，O是AB的中点，所以 1 O AAB，OCAB， 又 1 OAOCO，所以AB 平面 1 AOC， 1 AC 平面 1 AOC， 1 ACAB， 第 19 页（共 21 页） ABBC，H是AC的中点，所以BHAC， 因为平面ABC 平面 11 AAC C平面ABC平面 11 AAC CAC，BH 平面ABC，所以 BH 平面 11 AAC C 又 1 AC 平面 11 AAC

38、C，所以 1 BHAC，且BHABB， 1 AC平面ABC； （2）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 1 ACa， 则( 1A ，0，0)，(1B，0，0)，(0C，3，0)， 1(0 A，3，)a， 则( 1, 3,0)BC ，(2AB ，0，0)， 1 (1AA ，3，)a， 设平面 1 AA B的法向量为(mx，y，) z， 由 1 30 20 m AAxyaz m ABx 可得(0m ，a，3)， 设BC与平面 1 AA B所成角的为， 则sin|cosm， 2 321 | 7 23 a BC a ，解答2a 从而(0m，2，3)， 11 (1BBAA，3，2)， 设平面

39、11 BBC C的法向量为( , , )na b c， 1 320 30 n BBabc n BCab ，可得( 3,1,3)n ， 55 cos, 777 m n ， 2 6 sin, 7 m n， 故平面 1 AA B与平面 11 BBC C所成角的正弦值为 2 6 7 第 20 页（共 21 页） 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 8，以椭圆的左焦点为圆心，短半 轴长为半径的圆与直线 2 :(4) 2 h yx直线相切 （1）求椭圆的方程C； （2）已知直线:8l x ，过右焦点F的直线（不与轴重合）与椭圆C交于A，B两点，过 点A作AD

40、l，垂足为D 求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标； 点O为坐标原点，求OBD面积的最大值 【解答】解： （1）因为椭圆的长轴长为 8， 所以28a ，即4a ， 因为左焦点(,0)c到直线h的距离为 |24 2 | 6 c b ， 又因为 22 16bc， 所以2 3b ，2c ， 所以椭圆的方程为 22 1 1612 xy （2）由对称性，若直线BD过定点E，则该定点E必在x轴上， 证明： 由题意得(2,0)F， 设直线:2()AB xmymR， 设 1 (A x，1)y， 2 (B x， 2) y， 1 (8,)Dy， 联立方程 22 2 1 1612 xmy xy ，得 22 (

41、34)12360mymy，(*) 所以 12 2 12 34 m yy m ， 12 2 36 34 y y m ，且 1212 3()my yyy， 第 21 页（共 21 页） 因为 21 2 8 BD yy x k，所以直线BD的方程为 21 1 2 (8) 8 yy yyx x ， 令0y ，得 1212121 212121 (8)(6)6 888 y xy mymy yx x yyyyyy ，(*) 将 1212 3()my yyy，代入(*)，则 121 21 3()6 8835 yyy x yy ， 故直线BD过定点(5,0)，即定点(5,0)E 在(*)中， 222 1444 36(34)144 4(1)mmm ， 所以 2 12 2 241 | 34 m yy m ，又直线BD过定点(5,0)E， 所以 22 21 22 15 241601 | | 223434 OBDOEDOEB mm SSSOEyy mm ， 令 2 1 1tm ，则 2 6060 1 31 3 OBD t S t t t ，在1t，)上单调递减， 所以当1t ，0m 时，()15 OBDmax S