2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）2020 是等差数列 2，4，6，8，的( ) A第 1008 项 B第 1009 项 C第 1010 项 D第 1011 项 2 （5 分）已知0ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B1 a b C2 ba ab

2、 D 2 abb 3 （5 分）已知命题 0 :(0,)px， 00 0 x lnx ，则p为( ) A(0,)x ，0 xlnx B 0 (0,)x， 00 0 x lnx C(0,)x ，0 xlnx D(0,)x ，0 xlnx 4 （5 分）若椭圆 22 1 42 xy 与双曲线 2 2 2 1 x y m 有相同的焦点，则正实数m为( ) A1 B1 C1 D3 5 （5 分）已知命题:2p x ， 2 :2320qxx，则p是q的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）曲线( )f xaxlnx在点(1，f（1）)处的切线斜率为

3、 3，则实数a的值为( ) A1 B2 C3 D4 7 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 8 （5 分）设实数x，y满足约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y ，则目标函数3zxy的最小值为( ) A5 B6 C7 D10 9 （5 分）在等比数列 n a中，有 3159 8a aa，数列 n b是等差数列，且 99 ba，则 711 bb等 第 2 页（共 16 页） 于( ) A4 B8 C16 D24 10（5 分） 设 1 F， 2 F是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的两个焦

4、点，O为坐标原点， 点P在C上且| 2OP ， 则 12 PFF的面积为( ) A1 B2 C3 D 7 2 11 （5 分）已知函数( )yf x的导函数( )yf x的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A函数( )yf x在(, 1) 上是增函数 B3x 是函数( )yf x的极小值点 Cf（3）f（5） D( 1)ff（3） 12 （5 分）已知函数 2 ( )f xxm与函数 1 ( )g xlnx x ， 1 2 x，2的图象上恰有两对关 于x轴对称的点，则实数m的取值范围是( ) A(0，22ln B(0， 1 2 4 ln C 1 2 4 ln，22)ln D( 2ln，

5、1 2 4 ln 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知数列 n a为递增等比数列， 1 a， 2 a是关于x的方程 2 320 xx的两个实 数根，则其前 5 项和 5 S 14 （5 分）已知正实数x，y满足48xy，则xy的最大值为 15 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 22 ()6bac， 2 3 B ， 则ABC的面积是 第 3 页（共 16 页） 16 （5 分） 已知抛物线 2 2yx的焦点为F， 点A、B在抛物线上， 若FAB为等边三角形， 则其边长为 三、解答题：

6、本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题p：当 1 2 x，2时， 1 a x x 恒成立；命题q：对任意的xR，不 等式 2 0 xaxa恒成立，若命题pq是真命题，求实数a的取值范围 18 （12 分）已知数列 n a为等差数列，其前n项和为 n S，且 2 4a ， 4 22S （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2)cosc

7、osb cA aC， 6bc，2 3a 求： （）求角A的大小； （）求sin()BA的值 20 （12 分）2020 年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击为稳妥有序地推进复工 复产，2 月 11 日晚，郑州市相关政府部门印发了郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情 促进经济平稳健康发展的若干举措 的通知， 并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展 某 工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出若 不举行促销活动，该产品的年销售量为 28 万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万 件）与年促销费用(0)x x（单位：万元）满足30( 10 y x k k为常

8、数） 已知生产该产品 的固定成本为 80 万元，每生产 1 万件该产品需要再投生产成本 160 万元，厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促 销成本） （）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函 数关系； （）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？ 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，过左顶点与上顶点的直线与 圆 22 4 3 xy相切 第 4 页（共 16 页） （）求椭圆C的方程； （）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为

9、(0 |)mmb，l与椭圆交于A，B两点，是 否存在实数k使得 2 OAOB kkk成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由 22 （12 分）已知函数 32 ( )32() 3 a f xxxxaR （）若1a ，求函数( )yf x单调区间； （）当 3 (1,)xe时，不等式( )2f xxlnx恒成立，求实数a的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分

10、，共分，共 60 分分.在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）2020 是等差数列 2，4，6，8，的( ) A第 1008 项 B第 1009 项 C第 1010 项 D第 1011 项 【解答】解：由题意可得公差为 2，首项为 2， 则22(1)2 n ann， 22020n， 即1010n ， 故选：C 2 （5 分）已知0ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B1 a b C2 ba ab D 2 abb 【解答】解：已知0ab， 对于 22 ab和 2 abb，若2a ，1b ，AD选项错

11、误， 等于C，b正数，a负数，()()2 () ()2 bababa ababab ，则C选项错误， 而 a b 是负数，故B选项正确， 故选：B 3 （5 分）已知命题 0 :(0,)px， 00 0 x lnx ，则p为( ) A(0,)x ，0 xlnx B 0 (0,)x， 00 0 x lnx C(0,)x ，0 xlnx D(0,)x ，0 xlnx 【解答】解：命题是特称命题，则其否定是全称命题， 即(0,)x ，0 xlnx， 故选：A 4 （5 分）若椭圆 22 1 42 xy 与双曲线 2 2 2 1 x y m 有相同的焦点，则正实数m为( ) A1 B1 C1 D3 第

12、 6 页（共 16 页） 【解答】解：椭圆 22 1 42 xy 得 1 2c， 焦点坐标为( 2，0)(2，0)， 双曲线 2 2 2 1 x y m 的焦点必在x轴上， 则半焦距 2 1cm， 12m 解得实数1m 故选：A 5 （5 分）已知命题:2p x ， 2 :2320qxx，则p是q的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由命题:2p x ， 2 :2320qxx，即 1 2 2 x， 则p是q的必要不充分条件， 故选：C 6 （5 分）曲线( )f xaxlnx在点(1，f（1）)处的切线斜率为 3，则实数a的值为( ) A

13、1 B2 C3 D4 【解答】解：由( )f xaxlnx，得 1 ( )fxa x ， ( )f x在点(1，f（1）)处的切线斜率为 3， f （1）3，13a ，2a 故选：B 7 （5 分）在ABC中，7AC ，2BC ，60B ，则sin:sin(AC ) A 2 3 B 3 2 C 3 7 7 D 7 3 【解答】解：ABC中，7AC ，2BC ，60B ， 第 7 页（共 16 页） 由余弦定理得： 222 |2| |cosACABBCABBCABC， 可得： 2 7 |42|ABAB ， 即 2 |2| 30ABAB ， | 3AB sin:sin:2:3ACBC AB 故选：

14、A 8 （5 分）设实数x，y满足约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y ，则目标函数3zxy的最小值为( ) A5 B6 C7 D10 【解答】解：画出约束条件 2 0 25 0 2 0 xy xy y 表示的平面区域， 如阴影部分所示： 目标函数3zxy可化为 11 33 yxz ， 平移目标函数知，当直线 11 33 yxz 经过点A时，直线 11 33 yxz 的截距最小， 此时z最小 由 250 20 xy xy ，解得(3,1)A， 代入目标函数得33 16z 即3zxy的最小值为 6 故选：B 第 8 页（共 16 页） 9 （5 分）在等比数列 n a中，有 315

15、9 8a aa，数列 n b是等差数列，且 99 ba，则 711 bb等 于( ) A4 B8 C16 D24 【解答】解：因为在等比数列 n a中，有 3159 8a aa， 所以 2 99 8aa，解得 9 8a 或 9 0a （舍)， 所以 99 8ba， 因为数列 n b是等差数列， 所以 7119 216bbb 故选：C 10（5 分） 设 1 F， 2 F是椭圆 2 2 :1 5 x Cy的两个焦点，O为坐标原点， 点P在C上且| 2OP ， 则 12 PFF的面积为( ) A1 B2 C3 D 7 2 【解答】解：由题意可得：5a ，1b ，2c ， 所以 12 | 24FFc

16、，又| 2OP ，所以 12 1 | 2 OPFF， 所以三角形 12 PFF是以点P为直角的直角三角形， 所以 12 | |PFPF，则 222 12 |416PFPFc， 又 12 | 22 5PFPFa， 所以 12 | 2PFPF ， 则三角形 12 PFF的面积为 12 11 |21 22 SPFPF， 故选：A 11 （5 分）已知函数( )yf x的导函数( )yf x的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) 第 9 页（共 16 页） A函数( )yf x在(, 1) 上是增函数 B3x 是函数( )yf x的极小值点 Cf（3）f（5） D( 1)ff（3） 【解答】解：对于

17、A，由( )fx图象知，当1x 时，( )0fx， 此时函数( )f x为减函数，故A错误， 对于B，当13x 时，( )0fx，函数为增函数， 当35x时，( )0fx，函数为减函数， 则3x 是函数的一个极大值点，故B错误， 对于C，f（3）f（5） ，故C错误， 对于D，当13x 时，( )0fx， 函数为增函数，则( 1)ff（3）成立，故D正确， 故选：D 12 （5 分）已知函数 2 ( )f xxm与函数 1 ( )g xlnx x ， 1 2 x，2的图象上恰有两对关 于x轴对称的点，则实数m的取值范围是( ) A(0，22ln B(0， 1 2 4 ln C 1 2 4 ln

18、，22)ln D( 2ln， 1 2 4 ln 【解答】解：由已知得到方程( )( )f xg x 在 1 2 ，2上有两解，即 2 mxlnxx在 1 2 ，2 上有解 设 2 ( )h xxlnxx，则 2 121 ( )21 xx h xx xx ， 令( )0h x得1x 第 10 页（共 16 页） 当 1 1 2 x时，( )0fx，当12x时，( )0fx， ( )h x在 1 ( 2 ，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增 当1x 时，( )h x取得最小值h（1）0， 11 ( )2 24 hln，h（2）22ln ，且h（2） 1 ( ) 2 h， 1 02 4 m ln

19、 从而m的取值范围为(0， 1 2 4 ln 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知数列 n a为递增等比数列， 1 a， 2 a是关于x的方程 2 320 xx的两个实 数根，则其前 5 项和 5 S 31 【解答】解：由 2 320 xx，解得1x ，2， 数列 n a为递增等比数列， 1 a， 2 a是关于x的方程 2 320 xx的两个实数根， 1 1a， 2 2a ，公比2q 其前 5 项和 5 5 21 31 2 1 S 故答案为：31 14 （5 分）已知正实数x，y满足48xy，则x

20、y的最大值为 4 【解答】解：已知正实数x，y满足48xy， 则84yx， 即 22 (84 )484(1)4xyxxxxx，0 x ， 且仅当1x 时，xy的最大值为 4 故答案为：4 15 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 22 ()6bac， 2 3 B ， 则ABC的面积是 3 3 2 【解答】解：在ABC中， 2 3 B ， 2222 ()626bacacac， 第 11 页（共 16 页） 又 2222222 1 2cos2() 2 bacacBacacacac ， 6ac， 1133 3 sin6 2222 ABC SacB ， 故答案为： 3 3 2

21、16 （5 分） 已知抛物线 2 2yx的焦点为F， 点A、B在抛物线上， 若FAB为等边三角形， 则其边长为 【解答】解：因为三角形ABF为等边三角形，则AFBF， 又点F在抛物线的对称轴x轴上，所以点A，B两点的横坐标相等，纵坐标相反， 则设点(A m，)(0)n n ，所以( ,)B mn，满足 2 2nm，且2ABn， 又由抛物线的定义可得 1 2 22 p AFABmmn， 联立方程 2 2 1 2 2 nm mn ，解得23n ， 所以三角形ABF的边长为242 3n ， 故答案为：42 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字

22、说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题p：当 1 2 x，2时， 1 a x x 恒成立；命题q：对任意的xR，不 等式 2 0 xaxa恒成立，若命题pq是真命题，求实数a的取值范围 【解答】解：命题p：当 1 2 x，2时， 1 a x x 恒成立；若P真命题，则 1 ()minax x 因为 1 2 x，2，所以 11 22xx xx ，当且仅当 1 x x 时，即1x 时等号成立， 所以2a； 命题q：对任意的xR，不等式 2 0 xaxa恒成立，若q真命题，则， 2 40aa， 即04a 若命题pq是真命题，则pq都是真命题， 第

23、 12 页（共 16 页） 即 2 04 a a ， 所以02a 故答案为：实数a的取值范围为 |02aa 18 （12 分）已知数列 n a为等差数列，其前n项和为 n S，且 2 4a ， 4 22S （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）由题意，设等差数列 n a的公差为d， 则 1 1 4 4622 ad ad ，解得 1 1 3 a d ， 13(1)32 n ann ，*nN， （）由（） ，可得： 1 11111 () (32)(31)3 3231 n nn b a annnn ， 12nn Tbb

24、b 11111111 (1)()() 3434733231nn 111111 (1) 34473231nn 11 (1) 331n 31 n n 19 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2)coscosb cA aC， 6bc，2 3a 求： （）求角A的大小； （）求sin()BA的值 【 解 答 】 解 ：（ ） 已 知 等 式(2)coscosbcAaC， 由 正 弦 定 理 化 简 得 ( 2 s i ns i n) c o ss i nc o sBCAAC， 整理得：2sincossincossincosBACAAC，即2sincossin()sinBA

25、ACB， 在ABC中，sin0B ， 第 13 页（共 16 页） 1 cos 2 A， 3 A ； （）6bc，2 3a ， 由余弦定理得： 222 2 cosabcbA，即 22 24bcbc， 2 24()3bcbc， 6bc， 8bc， 2 4 b c 或 4 2 b c 当2b ，4c 时， 2 C ， 6 B ， 1 sin()sin() 62 BA 当4b ，2c 时， 2 B ， 1 sin()sin 62 BA 综上所述，sin()BA的值为 1 2 或 1 2 20 （12 分）2020 年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击为稳妥有序地推进复工 复产，2 月 11 日

26、晚，郑州市相关政府部门印发了郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情 促进经济平稳健康发展的若干举措 的通知， 并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展 某 工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出若 不举行促销活动，该产品的年销售量为 28 万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万 件）与年促销费用(0)x x（单位：万元）满足30( 10 y x k k为常数） 已知生产该产品 的固定成本为 80 万元，每生产 1 万件该产品需要再投生产成本 160 万元，厂家将每件产品 的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促

27、销成本） （）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函 数关系； （）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？ 第 14 页（共 16 页） 【解答】解： （1）不举行促销活动，该产品的年销售量为 28 万件， 当0 x 时，28y ， 2830 10 k ，解得20k， 20 30 10 y x ， 每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍， 每件产品的销售价格为 80160 1.5 y y 元， 80160 (1.5)(80160) y Lyyx y 4080yx 20 4080 (30) 10 x x 1600 2440(0) 10

28、 x x x （2）由（1）知， 16001600 24402450(10) 1010 Lxx xx 1600 24502(10)2370 10 x x ， 当且仅当 1600 10 10 x x ，即30 x 时，等号成立， 此时L取得最大值，为 2370 万元， 故该工厂计划投入促销费用 30 万元，才能获得最大利润 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，过左顶点与上顶点的直线与 圆 22 4 3 xy相切 （）求椭圆C的方程； （）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为(0 |)mmb，l与椭圆交于A，B两点，是 否存在实数k使得 2

29、 OAOB kkk成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由 【解答】解： （）因为 2 2 c e a ， 所以2ac， 又 222 bac，所以bc， 所以左顶点与上顶点的直线方程为1 2 xy cc ， 第 15 页（共 16 页） 即220 xyc， 所以 22 3 33 c ，2c ，2a ，2b ， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy （）假设存在实数k满足题意，理由如下： 由题知22m且0m ， 直线l的方程为yxmk， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 22 1 42 yxm xy k ，消去y得 222 (12)4240 xmxmkk，

30、所以 12 2 4 12 m xx k k ， 2 12 2 24 12 m x x k ， 22222 (4)4(1 2)(24)8(42)0mmmkkk恒成立， 因为 22 12121212 121212 ()()() OAOB y yxmxmx xm xxm x xx xx x kkkk kk 22222222 22 (24)4(12)4 2424 mmmm mm kkkk ， 所以 22 2 2 4 24 m m k k， 所以 22 (21)0mk，解得 2 2 k， 所以存在实数 2 2 k，使得 2 OAOB kkk成立 22 （12 分）已知函数 32 ( )32() 3 a

31、f xxxxaR （）若1a ，求函数( )yf x单调区间； （）当 3 (1,)xe时，不等式( )2f xxlnx恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （）( )f x定义域为R， 由1a ，得 32 1 ( )32 3 f xxxx ， 2 ( )23(1)(3)f xxxxx ， 第 16 页（共 16 页） 令( )0fx，得13x ，令( )0fx，得1x 或3x 函数( )f x的单调增区间为( 1,3)，单调减区间为(, 1) ，(3,) （） 32 ( )32 3 a f xxxx， ( )2fxxlnx ，即 2 232axxxlnx， 3 (1,)xe，原问题等价于

32、 2 21lnx a xxx 恒成立 令 3 2 21 ( ),(1) lnx g xxe xxx ， 则 2233 12232 ( ) lnxxxlnx g x xxxx ， 令 3 ( )32(1)h xxxlnxxe，则( )2h xlnx， 当 2 (1,)xe时，( )0h x，当 2 (xe， 3) e时，( )0h x， ( )h x在区间 2 (1,)e上是增函数，在区间 2 (e， 3) e上是减函数， 又h（1）50， 3 ()20h e，当 3 (1,)xe时，( )0h x ， ( )0g x ，函数 2 21 ( ) lnx g x xxx 在区间 3 (1,)e上是增函数， 3 36 11 ( )()g xg e ee ， 36 11 a ee ，即实数a的取值范围为 36 11 ,) ee