2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）是sinsin的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分） 5 (2)(1 2 )xx的展开式中， 2 x的系数为( ) A70 B70 C120 D120 3 （5 分）如图是容量为n的

2、样本的频率分布直方图，已知样本数据在14，18)内的频数是 6，则样本数据落在6，10)的频数是( ) A6 B8 C9 D10 4 （5 分）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A若/ /l，/ /l，则/ / B若/ /l，l，则 C若，l，则l D若，/ /l，则l 5 （5 分）直线34yxkk与双曲线 22 1 169 xy 有且只有一个公共点，则k的取值有( )个 A1 B2 C3 D4 6 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC，底面正三角形ABC的边长为 2，侧棱 1 AA长为 2， 则点 1 B到平面 1 A BC的距离为( ) A 2 21 7

3、 B 2 21 21 C 4 7 7 D 4 7 21 7 （5 分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国 古代十大乐器” 为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中 开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最 第 2 页（共 22 页） 多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A 1 360 B 1 6 C 1 15 D 7 15 8 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 :1 3 xy C m 的两个焦点，若椭圆C上存在点M满足 12 120FMF，则m的取值

4、范围是( ) A 3 (0, 4,) 4 B 9 (0, 4,) 4 C 3 (0, 12,) 4 D 9 (0, 12,) 4 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知双曲线 22 :1 9 xy C mm 的离心率3e ，则下列说法正确的是( ) A3m B双曲线C的渐近线方程为2yx C双曲线C的实轴长等于2 3

5、 D双曲线C的准线为1y 10 （5 分）给出下列命题，其中正确命题为( ) A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字 1，2，3， 4，5，6)各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是 2 为事件B，则事件A和 事件B同时发生的概率为 1 12 B以模型 x yce k 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zlny，将其变换后得到 线性方程0.34zx，则c，k的值分别是 4 e和 0.3 C随机变量X服从正态分布 2 (1,)N，(1.5)0.34P X ，则(0.5)0.16P X D某选手射击三次，每次击中目标的概率均为 1 2 ，且每次射击都是相互

6、独立的，则该 选手至少击中 2 次的概率为 1 2 11 （5 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3 A ，2a ，若满 足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为( ) A1 B 4 3 3 C2 D3 12 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是线段 11 AC上一个动点，则下列 第 3 页（共 22 页） 结论正确的是( ) A存在M点使得异面直线BM与AC所成角为75 B存在M点使得二面角MBDC为135的二面角 C直线 1 D M与平面 1 ADC所成角正弦值的最大值为 6 3 D当 111 4AMAC时，平面BDM截正方体所

7、得的截面面积为 9 4 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）作家马伯庸小说长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息同 名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可 以在白色和紫色 （此处以阴影代表紫色） 之间变换， 从而一共可以有 512 种不同的颜色组合， 即代表 512 种不同的信息现要求每一行、每一列上都有且只有 1 个紫色小方格（如图所示 即满足要求） 则一共可以传递 种信息 （用数字作答） 14 （5 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点分别为

8、1 F、 2 F，点(4,4)M若点P为椭 圆C上的一个动点，则 1 PMPF的最小值为 15 （5 分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的 最后遗产” ，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点 间 的 距 离 ， 现 在 珊 瑚 群 岛 上 取 两 点C，D， 测 得45CDm，135ADB， 15BDCDCA ，120ACB，则AB两点的距离为 m 16 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长均为 2，其内有 9 个小球，球 1 O与正方体 第 4 页（共 22 页） 1111 ABCDABC D的六个面都相切

9、，球 2 O， 3 O， 4 O， 5 O， 6 O， 7 O， 8 O， 9 O与正方体 1111 ABCDABC D三个面和球 1 O都相切， 则球 1 O的体积等于 ， 球 2 O的表面积等于 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： 4,3cab； 37 6,sin() 24 bB ； 5 2, 12 bC 问 题 ： 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 满 足 si

10、n sin()sin() Bc AbcAB aa ，且 _求： （1）a的值； （2）ABC的面积 18 （12 分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，点G、E分别在线段AO和BC上， 2BEEC，2AGGO，2CACBCDBD，2ABAD （1）求证：/ /GE平面ACD； （2）求证：平面ABD 平面BCD 19（12分） 已知直线:1l yxk过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点， 且与抛物线E交于A， B两点，点M为AB中点 （1）求抛物线E的方程； （2） 以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点， 求MCD面积取得最小值时直线l的方程 20 （12 分）为了解使用手机是否

11、对学生的学习有影响，某校随机抽取 50 名学生，对学习 成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）: 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 第 5 页（共 22 页） 学习成绩一般 总计 30 50 （1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与 使用手机有关； （2） 现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 再从这 9 人中 随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其

12、中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 21 （12 分）如图，在棱柱ABCDA B C D 中，底面ABCD为平行四边形，4DDCD ， 2AD ， 3 BAD ，且 D 在底面上的投影H恰为CD的中点 （1）求证：BC 平面B D H ； （2）求二面角CBHC 的大小 22 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知A，B两点是椭圆 2 2 :1 9 x Ey的左、 右顶点， P为直线6x 上的动点，PA与椭圆E的另一交点为Q，当点P不为点(6,0)时，过P作直 线PHQB，垂足为H （1）证

13、明：直线PH过定点M； （2）过（1）中的定点M作斜率为k的直线与椭圆E交于C，D两点，设直线AC，AD的 斜率分别为 1 k， 2 k，试判断 12 ()kkk是否为定值？如果是定值，求出定值 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷学年江苏省南通市如皋市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）是si

14、nsin的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当，比如31030 ，但是sinsin，故充分性不成立， 当sinsin，比如sin90sin180 ，但是，故不必要性不成立， 所以是sinsin的既不充分也不必要条件 故选：D 2 （5 分） 5 (2)(1 2 )xx的展开式中， 2 x的系数为( ) A70 B70 C120 D120 【解答】解： 5 (2)(1 2 )xx的展开式中， 2 x的系数为 122 55 ( 2)2( 2)70CC ， 故选：A 3 （5 分）如图是容量为n的样本的频率分布直方图，已知样本数据在14，18

15、)内的频数是 6，则样本数据落在6，10)的频数是( ) A6 B8 C9 D10 【解答】解：容量为n的样本的频率分布直方图中， 样本数据在14，18)内的频率为： 1 (0.020.080.09)40.24， 样本数据在14，18)内的频数是 6， 6 25 0.24 n， 第 7 页（共 22 页） 样本数据落在6，10)的频数是： 250.0848 故选：B 4 （5 分）设l是直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( ) A若/ /l，/ /l，则/ / B若/ /l，l，则 C若，l，则l D若，/ /l，则l 【解答】解：由l是直线，是两个不同的平面，知： 在A中，若/

16、/l，/ /l，则与相交或平行，故A错误； 在B中，若/ /l，l，则由面面垂直的判定定理得，故B正确； 在C中，若，l，则l与相交、平行或l，故C错误； 在D中，若，/ /l，则l与相交、平行或l，故D错误 故选：B 5 （5 分）直线34yxkk与双曲线 22 1 169 xy 有且只有一个公共点，则k的取值有( )个 A1 B2 C3 D4 【解答】解：由直线34yxkk与双曲线 22 1 169 xy ，得 222 ( 91 6)1 6 ( 86)5 4 40 xxkkk， 当 2 9 160k，即 3 4 k时，此时直线与双曲线相交，只有一个公共点； 当 2 9 160k，即 3 4

17、 k时， 222 16(86)4(9 16)( 544)0kkk，解得k有 2 个值， 此时直线与双曲线相切，只有一个公共点； 综上，k的值有 4 个 故选：D 6 （5 分）已知正三棱柱 111 ABCABC，底面正三角形ABC的边长为 2，侧棱 1 AA长为 2， 则点 1 B到平面 1 A BC的距离为( ) A 2 21 7 B 2 21 21 C 4 7 7 D 4 7 21 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：如图，正三棱柱 111 ABCABC，底面正三角形ABC的边长为 2，侧棱 1 AA长为 2， 则 11 2 2ABAC， 1 22 1 2(2 2)17 2 A BC

18、S ， 取 11 BC的中点 1 D，则 1111 ADBC，且 11 3AD ， 平面 111 A BC 侧面 11 BBC C，且平面 111 ABC侧面 1111 BBC CBC， 11 A D平面 11 BBC C， 设 1 B到平面 1 A BC的距离为h， 由 1111 ABB CBBAC VV ，得 111 2237 323 h ， 即 2 21 7 h 点 1 B到平面 1 A BC的距离为 2 21 7 故选：A 7 （5 分）琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国 古代十大乐器” 为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动

19、中 开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最 多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为( ) A 1 360 B 1 6 C 1 15 D 7 15 【解答】解：根据题意，在“中国古代十大乐器”中任选 4 个，连续安排四节课，有 4 10 A种 选法， 其中琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的安排方法有 222 823 C A A种， 第 9 页（共 22 页） 则要求概率 222 823 4 10 1 15 C A A P A ， 故选：C 8 （5 分）设 1 F， 2 F是椭圆 22 :1 3 xy C m 的两个焦点

20、，若椭圆C上存在点M满足 12 120FMF，则m的取值范围是( ) A 3 (0, 4,) 4 B 9 (0, 4,) 4 C 3 (0, 12,) 4 D 9 (0, 12,) 4 【解答】解：当点M位于椭圆的短轴端点时，角 12 FMF达到最大， 由椭圆的对称性可知， 1 60MOF， 当焦点在x轴时， 2 bm，3 c b ， 2 3cm， 由 222 abc得， 2 34mcm，解得 3 0 4 m； 当焦点在y轴上时， 2 3b ，3 c b ， 3c ，由 222 abc得， 22 12mbc， 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题

21、 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知双曲线 22 :1 9 xy C mm 的离心率3e ，则下列说法正确的是( ) A3m B双曲线C的渐近线方程为2yx C双曲线C的实轴长等于2 3 D双曲线C的准线为1y 【解答】解：双曲线 22 :1 9 xy C mm 的离心率3e ， 可得 9 3 m ，解得3m ，所以A正确 第 10 页（共 22 页） 所以双曲线方程为： 22 1 36

22、 xy ，渐近线方程为：2yx ，所以B正确 双曲线C的实轴长等于2 3，所以C正确 双曲线C的准线为 3 1 3 y ，所以D正确 故选：ABCD 10 （5 分）给出下列命题，其中正确命题为( ) A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字 1，2，3， 4，5，6)各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是 2 为事件B，则事件A和 事件B同时发生的概率为 1 12 B以模型 x yce k 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zlny，将其变换后得到 线性方程0.34zx，则c，k的值分别是 4 e和 0.3 C随机变量X服从正态分布 2 (1,)N，(

23、1.5)0.34P X ，则(0.5)0.16P X D某选手射击三次，每次击中目标的概率均为 1 2 ，且每次射击都是相互独立的，则该 选手至少击中 2 次的概率为 1 2 【解答】解：对于A，根据乘法原理，事件所以可能数为2612， 事件A和事件B同时发生的概率为 1 12 ，所以A对； 对于B， x yce k ，lnyxlnck，zlny，0.34zx， 所以 4 4lncce，0.3k，则c，k的值分别是 4 e和 0.3，所以B对； 对于C， 2 (1,)XN，1， (0.5)(1 0.5)(10.5)(1.5)0.340.16P XP XP XP X ，所以C错； 对于D，选手射

24、击三次，至少击中 2 次，即击中 2 次或 3 次， 其概率为 23 2233 33 1111 (1)( )( ) 2222 CC ，所以D对 故选：ABD 11 （5 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3 A ，2a ，若满 足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为( ) A1 B 4 3 3 C2 D3 第 11 页（共 22 页） 【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3 A ，2a ， 所以 22222 1 42 2 abcbcbbcc， 整理得： 22 40cbcb， 故 22 4(4)0bb，解得2b ， 或 2 4 0b ，解

25、得02b 故b的取值为(0，22 故选：AC 12 （5 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是线段 11 AC上一个动点，则下列 结论正确的是( ) A存在M点使得异面直线BM与AC所成角为75 B存在M点使得二面角MBDC为135的二面角 C直线 1 D M与平面 1 ADC所成角正弦值的最大值为 6 3 D当 111 4AMAC时，平面BDM截正方体所得的截面面积为 9 4 【解答】解：对于A， 11 / /ACACBM与 11 AC所成角，等于BM与AC所成角， 当M运动到 11 AC中点时，成角为90，当M运动到 1 A时，成角为60， 所以存在一点使得直线

26、BM与AC所成角为75，所以A对； 对于B，因为BD 平面 11 AAC C，所以BDFM，BDFC， MFC为二面角MBDC的平面角，最大角为 1 135AFC所以B错； 对于C，设点M到平面 1 ADC距离为h， 1111 / / /ACACAC平面 1 ADC， 所以h不变，用等体积法求h， 2 1 11 1 ( ( 2) sin60 )(1 1) 1 3 23 2 h ， 3 3 h ， 1 D M的最小值为 2 2 ，直线 1 D M与平面 1 ADC所成角正弦值为 1 h D M ， 其最大值 3 6 3 32 2 ，所以C对； 第 12 页（共 22 页） 对于D，过M作 11

27、/ /HIAC，连接HD，IB，等腰梯形HJBD为平面BDM截正方体所得的 截面， 其面积为 22 1 1299 (22)1() 2 2484 ，所以D错 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）作家马伯庸小说长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息同 名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可 以在白色和紫色 （此处以阴影代表紫色） 之间变换， 从而一共可以有 512 种不同的颜色组合， 即代表 512 种不同的信息现要求每一行、每一列上都有且只有 1 个紫色

28、小方格（如图所示 第 13 页（共 22 页） 即满足要求） 则一共可以传递 6 种信息 （用数字作答） 【解答】解：根据题意，分 3 步分析： ，在第一行中，有且只有 1 个紫色小方格，有 3 种情况， ， 在第二行的三个方格， 要求每一列上都有且只有 1 个紫色小方格， 则第二行有 2 种情况， ，在第三行，只有 1 种情况， 则有32 16 种情况，即可以传递 6 种信息， 故答案为：6 14 （5 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点(4,4)M若点P为椭 圆C上的一个动点，则 1 PMPF的最小值为 1 【解答】解：由已知椭圆的方程可得：2

29、a ，3b ，则1c ， 所以点 2(1,0) F， 由椭圆的定义可得 12 | 24PFPFa， 所以 12 | 4 |PFPF ， 所以 22 122 44(4 1)44541PMPFPMPFMF， 当且仅当P，M， 2 F三点共线时取等号， 此时 1 PMPF的最小值为 1， 故答案为：1 第 14 页（共 22 页） 15 （5 分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的 最后遗产” ，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点 间 的 距 离 ， 现 在 珊 瑚 群 岛 上 取 两 点C，D， 测 得45CDm，135ADB， 1

30、5BDCDCA ，120ACB，则AB两点的距离为 45 5 m 【解答】解：如图所示： BCD中，45CD ，15BDC，12015135BCDACBDCA ， 30CBD，由正弦定理，得 45 sin135sin30 BD ，解得45 2BD ， ACD中，45CD ，15DCA， 13515150ADCADBBDC ， 15CAD，45ADCD， ABD中，由余弦定理，得 222 2cosABADBDAD BDADB 22 45(45 2)245 45 2cos135 2 455， 45 5AB，即A，B两点间的距离为45 5， 故答案为：45 5 16 （5 分）已知正方体 1111

31、ABCDABC D的棱长均为 2，其内有 9 个小球，球 1 O与正方体 1111 ABCDABC D的六个面都相切，球 2 O， 3 O， 4 O， 5 O， 6 O， 7 O， 8 O， 9 O与正方体 第 15 页（共 22 页） 1111 ABCDABC D三个面和球 1 O都相切，则球 1 O的体积等于 4 3 ，球 2 O的表面积等 于 【解答】解：球 1 O在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D内， 且与正方体 1111 ABCDABC D的六个面均相切， 球半径1r ， 球 1 O的体积为 3 44 33 Vr 如图，可得 1 2 3AC ， 1 1O Mr， 2

32、12 111 O NAO O MAO ， 22 31 13 O NO N ， 解得 2 23O N ，即球 2 O的半径为23， 故球 2 O的表面积等于 2 4(23)(28 16 3) 故答案为： 4 3 ，(28 16 3) 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： 4,3cab； 37 6,sin() 24 bB ； 5 2, 12 bC 问 题 ： 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分

33、别 为a，b，c， 满 足 sin sin()sin() Bc AbcAB aa ，且 _求： （1）a的值； （2）ABC的面积 【解答】解：因为 sinsin sin()sin()()sin BcBc AbcABbcC aaaa ， 第 16 页（共 22 页） 利用正弦定理可得： 2 () bc abc aa ，整理可得 222 bcabc， 利用余弦定理可得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ， 由于(0, )A，可得 3 A ， 若选，4,3cab， （1） 利用正弦定理可得： 3 sin3sin 2 AB， 可得 1 sin 2 B ， 由ab， 可得 6 B

34、， 2 C ， 所以由正弦定理可得 3 4 sin 2 2 3 sin1 cA a C （2） 11 sin2 22 ABC SacB 1 342 3 2 若选， 37 6,sin() 24 bB ， （1） 可得 7 cos 4 B ， 2 3 sin1 4 Bcos B， 由正弦定理可得 3 6 sin 2 4 3 3 sin 4 bA a B （2）因为 3713213 sinsin()sincoscossin 24248 CABABAB ， 所以 11 sin4 22 ABC SabC 2139 79 3 36 82 若选， 5 2, 12 bC ， （1）因为 4 BAC ， 所以由

35、正弦定理可得 3 2 sin 2 6 sin2 2 bA a B （2） 11533 sin62 sin 22122 ABC SabC 18 （12 分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，点G、E分别在线段AO和BC上， 2BEEC，2AGGO，2CACBCDBD，2ABAD （1）求证：/ /GE平面ACD； （2）求证：平面ABD 平面BCD 第 17 页（共 22 页） 【解答】证明： （1）因为O为BD的中点，且2AGGO，可得G为ABD的重心， 连接BG，延长交AD于H，连接CH， 可得2BGGH，又2BEEC， 即 BGBE GHEC ， 可得/ /GEHC， 而CH 平面A

36、CD，GE 平面ACD， 所以/ /GE平面ACD （1）BODO，ABAD，AOBD， BODO，BCCD，COBD 又2ABAD，2BD ，可得ABD为等腰直角三角形， 可得 1 1 2 AOBD， 由BCD为等边三角形，可得 3 3 2 COBD， 在AOC中，2AC ， 222 AOCOAC， 90AOC，即AOOC 又AOBD，BDOCO， AO平面BCD， AO 平面ABD， 平面ABD 平面BCD 第 18 页（共 22 页） 19（12分） 已知直线:1l yxk过抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点， 且与抛物线E交于A， B两点，点M为AB中点 （1）求抛物线E的方程

37、； （2） 以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点， 求MCD面积取得最小值时直线l的方程 【解答】解： （1）抛物线 2 :2(0)E xpy p的焦点为(0,) 2 p ， 则(0,) 2 p 在直线:1l yxk上， 所以1 2 p ，解得2p ， 所以抛物线E的方程为 2 4xy； （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 2 1 4 yx xy k ，所以 2 440 xxk， 则有 2 12 12 16160 4 4 xx x x k k， 则AB的中点 2 (2 ,21)Mkk， 2222 12 1|116164(1)ABxxkkkk， 所以以AB为直径

38、的圆M的半径 2 2(1)r k， 点M到CD的距离 2 21d k， 222 22 43CDrdk， 所以MCD的面积为 2222 1 2(21) 43(21) 43 2 S kkkk， 令 2( 0)ttk?， 第 19 页（共 22 页） 则 2 (21) 43Stt在0，)上单调递增， 所以当0t ，即0k时，S取得最小值3，此时直线l的方程为1y 20 （12 分）为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取 50 名学生，对学习 成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）: 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般 总计 30 50 （1

39、）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与 使用手机有关； （2） 现从如表 不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 再从这 9 人中 随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）完成列联表如下： 使用手机 不使用手机 总计 学习成绩优秀 5 20 25 学习

40、成绩一般 15 10 25 总计 20 30 50 22 2 ()50(5 1020 15) 0.053310.828 ()()()()20302525 n adbc K ab cd ac bd ， 没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从如表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出 9 人， 则从学习成绩优秀中抽取 20 96 30 人，从学习成绩一般中抽取 10 93 30 人， 再从这 9 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中“学习成绩优秀”的人数为X， 第 20 页（共 22 页） 则X的可能取值为 0，1，2，3， 3 3 3 9 1 (0) 84

41、C P X C ， 12 63 3 9 18 (1) 84 C C P X C ， 21 63 3 9 45 (2) 84 C C P X C ， 3 6 3 9 20 (3) 84 C P X C ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 84 18 84 45 84 20 84 数学期望 1184520 ()01232 84848484 E X 21 （12 分）如图，在棱柱ABCDA B C D 中，底面ABCD为平行四边形，4DDCD ， 2AD ， 3 BAD ，且 D 在底面上的投影H恰为CD的中点 （1）求证：BC 平面B D H ； （2）求二面角CBHC 的大小 【解答

42、】 （1）证明：在棱柱ABCDA B C D 中，四边形ABB A ，ADDA 为平行四边形， 所以/ /AADD，AADD，/ /AABB，AABB， 所以/ /BBDD，BBDD， 所以四边形BDDB 为平行四边形，所以/ /BDB D ， 在ABD中，因为2AD ，4AB ，60BAD， 所以 2 164224cos12 3 BD ， 第 21 页（共 22 页） 所以 222 ADBDAB，故ADBD， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以/ /ADBC， 所以BCBD，所以BCB D ， 因为 D 在平面ABCD上的投影为H， 所以DH平面ABCD，又BC 平面ABCD， 所以BCD

43、 H，又BCB D ，且D HB DD ，D H，B D 平面B D H ， 所以BC 平面B D H ； （2）解：以H为坐标原点，HC， HD 所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系如 图所示， 则(0H，0，0)，( 3,1,0), (0,2,0),(0,4,2 3)BC C ， 设平面DBH的法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n HB n HC ，即 30 42 30 xy yz ， 令1x ，则3,2yz ， 则(1,3,2)n ， 又(0,0,1)m 是平面BHC的一个法向量， 所以 22 cos, |22 2 1 n m n m n m ， 所以二面角CBH

44、C 的大小为 4 22 （12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知A，B两点是椭圆 2 2 :1 9 x Ey的左、 右顶点， P为直线6x 上的动点，PA与椭圆E的另一交点为Q，当点P不为点(6,0)时，过P作直 第 22 页（共 22 页） 线PHQB，垂足为H （1）证明：直线PH过定点M； （2）过（1）中的定点M作斜率为k的直线与椭圆E交于C，D两点，设直线AC，AD的 斜率分别为 1 k， 2 k，试判断 12 ()kkk是否为定值？如果是定值，求出定值 【解答】解： （1）证明：设 0 (Q x， 0) y，(6P，)(0)t t ， 由已知得( 3,0)A ，(3,0)B，

45、 所以 00 00 1 339 QAQB yy xx kk， 9 QAPA t kk， 所以 1 QB t k， 因为PHQB， 所以 PH tk， 所以PH的方程为(6)ytt x ，即(5)yt x经过定点(5,0)M （2）设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，则直线CD的方程为(5)yxk， 由 2 2 (5) 1 9 yx x y k ，得 2222 (1 9)9022590 xxkkk， 所以 2 12 2 2 12 2 0 90 19 2259 19 xx x x k k k k ， 所以 2121221 12 1212 (5)(3)(5)(3) ()() 33(3)(3) yyxxxx xxxx k kkkk 221212 2 1212 22()30481 3()957612 x xxx x xxx kk k 为定值