江苏省常州市2021届高三下学期第一次模拟考试 数学试题Word版含答案.doc

1、1 20202021 学年高三年级模拟考试卷学年高三年级模拟考试卷 数数 学学 (满分：150 分 考试时间：120 分钟) 202102 一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合 Ax|x22ax3a20，Bx|x23x0若 AB，则实数 a 的取值范 围是( ) A. 0 B. 1，3 C. (，0)(3，) D. (，1)(3，) 2. i 是虚数单位，在复平面内复数 3i 2 3i对应的点的坐标为( ) A. (3 3 2 ，1 2) B. ( 3 3 2 ，3 2) C. ( 3 2 ，1

2、2) D. ( 3 2 ，3 2) 3. 已知 a，b，c 是实数，则“ab”是“ac2bc2”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数 f(x)aln xbx2，若函数 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 yx，则函 数 yf(x)的增区间为( ) A. (0，1) B. (0， 2 2 ) C. ( 2 2 ，) D. ( 2 2 ，1) 5. 用红、黄、蓝、绿、黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“任意 两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为( ) A. 43 53 B. 44 53

3、C. 43 54 D. 44 54 6. 如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5， 6.7)，则 y 对 x 的线性回归方程是( ) A. y 0.15x4.05 B. y x1.45 C. y 1.05x1.15 D. y 1.15x1.05 7. 令(x1)2 020a1x2 020a2x2 019a3x2 018a2 020 xa2 021(xR)，则 a22a32 019a2 0202 020a2 021( ) A. 2 01922 019 B. 2 01922 020 2 C. 2 02022 019 D. 2 02022

4、 020 8. 若函数 f(x)Asin(2x)kxb，A0，0，k，bR，则函数 f(x)在区间(， )上的零点最多有( ) A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9. 已知 a，b 是平面上夹角为 3 的两个单位向量，向量 c 在该平面上，且(ac) (bc) 0，则下列结论中正确的有( ) A. |ab|1 B. |ab|1 C. |c| 3 D. 向量 ab，c 的夹角是钝角 10. 已知在数学测验中

5、，某校学生的成绩服从正态分布 N(110, 81)，其中 90 分为及格线， 则下列结论中正确的有( ) 附：随机变量 服从正态分布 N(，2)，则 P(2f(t2)成立的实数 t 的取值 范围是_ 四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 3 设等比数列an的公比为 q(q1)，前 n 项和为 Sn. (1) 若 a1 1，S69 8S3，求 a3 的值； (2) 若 q1，amam25 2am1，且 S2m9Sm，mN *，求 m 的值 18. (本小题满分 12 分) 已知ABC 中，它的内角 A，B，C 的对边

6、分别为 a，b，c，且 3b23c23a22bc. (1) 求 sin A 的值； (2) 若 sin B2sin C，求 tan C 的值 4 19. (本小题满分 12 分) 已知某射手射中固定靶的概率为3 4，射中移动靶的概率为 2 3，每次射中固定靶、移动靶分 别得 1 分、2 分，脱靶均得 0 分；每次射击的结果相互独立该射手进行 3 次打靶射击：向 固定靶射击 1 次，向移动靶射击 2 次 (1) 求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”的概率； (2) 求该射手的总得分 X 的分布列和数学期望 20. (本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 A

7、BCD 是矩形，ABAP2BC，平面 PAB平 面 ABCD，二面角 PBCA 的大小为 45. (1) 求证：PA平面 ABCD； (2) 求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 5 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)xaln xb x，a，bR. (1) 若 a0，b0，且 1 是函数 f(x)的极值点，求1 a 2 b的最小值； (2) 若 ba1，且存在 x01 e，1，使 f(x0)0，b0)经过点( 5 2 ，1 2) (1) 求双曲线 C 的标准方程； (2) 已知点 B(0，1) 过原点且斜率为 k 的直线与双曲线 C 交于 E，F 两点，求EBF 最小

8、时 k 的值； 点 A 是 C 上一定点， 过点 B 的动直线与双曲线 C 交于 P， Q 两点， kAPkAQ为定值 ， 求点 A 的坐标及实数 的值 7 20202021 学年高三年级模拟考试卷学年高三年级模拟考试卷(常州常州) 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. BC 10. ABD 11. ACD 12. AD 13. 80 14. 2 15. 4，1 2 16. ( 1 3， 1 2)( 1 2，1) 17. 解：(1) S6a1a2a3a4a5a6a1a2a3a1q3a2q3a3q3S3

9、(q31) S69S3， S3(q31)9 8S3，解得 q 1 2， a3a1q 21 4.(4 分) (2) amam25 2am1， amamq 25 2amq，得 q 25 2q10. q1， q2. 由 S2m9Sm，a1（12 2m） 12 9a1（12 m） 12 ，又 a10， 122m9(12m)，(7 分) 即(12m)(12m)9(12m) mN*，则 12m0， 12m9，解得 m3.(10 分) 18. 解：(1) 因为 3b23c23a22bc，由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 2 3bc 2bc 1 3；(3 分) 因为 A(0，)，所以 sin A

10、 1cos2A11 9 2 2 3 .(5 分) (2) ABC 中，B(AC)，(6 分) 所以 2sin Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C2 2 3 cos C1 3sin C，(9 分) sin C2 2 5 cos C，cos C0，所以 tan Csin C cos C 2 2 5 .(12 分) 19. 解： 记“该射手射中固定靶”为事件 A， “该射手第 1 次射击移动靶射中”为事件 B， “该射手第 2 次射击移动靶射中”为事件 C.(1 分) (1) 记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”为事件 D，则 P(A)3 4， P(B)P(

11、C)2 3，DABCABC，其中 ABC，ABC 互斥，A，B，C，B，C 相互独立(3 分) 从而 P(ABC)P(A)P(B)P(C)3 4 2 3(1 2 3) 1 6， P(ABC)P(A)P(B)P(C)3 4(1 2 3) 2 3 1 6， 有 P(D)P(ABCABC)P(ABC)P(ABC)1 3. 答：“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1 次”的概率为1 3.(5 分) (2) X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5.(6 分) 8 P(X0)P(A B C)P(A)P(B)P(C)(13 4)(1 2 3)(1 2 3) 1 36， P(X1)P(AB C)P(A)P(

12、B)P(C)3 4 1 3 1 3 1 12， P(X2)P(ABCA BC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)1 4 2 3 1 3 1 4 1 3 2 3 1 9， P(X3)P(ABCABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)3 4 2 3 1 3 3 4 1 3 2 3 1 3， P(X4)P(ABC)P(A)P(B)P(C)1 4 2 3 2 3 1 9， P(X5)P(ABC)P(A)P(B)P(C)3 4 2 3 2 3 1 3，(10 分) 该射手的总得分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1

13、 3 X 的数学期望 E(X)0 1 361 1 122 1 93 1 34 1 95 1 3 41 12.(12 分) 20. (1) 证明：四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，所以 BCAB. 因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，BC平面 ABCD， 所以 BC平面 PAB.(2 分) 因为 AB，BP，PA平面 PAB，所以 BCAB，BCPB，BCPA， 从而PBA 是二面角 PBCA 的平面角 因为二面角 PBCA 的大小为 45，所以PBA45. 因为PAB 中 ABAP，所以BPAPBA45，(5 分) 所以PAB90，即 ABPA. 因

14、为 BCPA，ABBCB，AB，BC平面 ABCD，所以 PA平面 ABCD.(7 分) (2) 解：底面 ABCD 内，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，连接 PH， 由(1)知 PA平面 ABCD，又 BH平面 ABCD，所以 PABH. 因为 PAACA，PA，AC平面 PAC，所以 BH平面 PAC，(10 分) 从而BPH 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角，其中 BHBABC AC 2 5BC， PB 2AB2 2BC，所以直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为BH PB 10 10 .(12 分) 21. 解：(1) f(x)1a x b x2，因为 1 是函数 f(

15、x)的极值点，所以 f(1)1ab0， 即 ab1，此时 f(x)1a x b x2 x2axb x2 x 2（1b）xb x2 （x1）（xb） x2 ， 当 0 x1，f(x)0，当 x1，f(x)0，所以函数 f(x)在 x1 处取极小值(2 分) 所以1 a 2 b( 1 a 2 b)(ab)3 b a 2a b . 因为 a0，b0， 9 所以b a 2a b 2 b a 2a b 2 2(当且仅当 b2 2，a 21 时等号成立) 此时1 a 2 b有最小值 32 2，(5 分) (2) 当 ba1 时，f(x)xaln xa1 x ， 存在 x01 e，1，使 f(x0)0 成立

16、，即函数 f(x)在 1 e，1上的最小值小于 0.(7 分) f(x)1a x a1 x2 （x1）x（1a） x2 (x0)， 当 1a1，即 a0 时，f(x)在1 e，1上单调递减， 所以 f(x)在1 e，1上的最小值为 f(1)1a1a20， 所以 a2，不符，舍去；(8 分) 当 1a1 e，即 a 1 e1 时，f(x)在 1 e，1上单调递增， 所以 f(x)在1 e，1上的最小值为 f( 1 e) 1 eae(a1)(e1)ae 1 e0， 所以 a e21 e（e1）. 又 a1 e1，所以 a e21 e（e1）；(9 分) 当1 e1a1，即 1 e1a0 时， f(

17、x)在1 e，1a上单调递减，在1a，1上单调递增， 所以 f(x)在1 e，1上的最小值为 f(1a)a11aln(a1)a1ln(a1)2. 因为1 e1a1，所以1ln(a1)0，所以 11ln(a1)2， 所以 aa1ln(a1)2a， 所以 f(1a)a1ln(a1)22a20，不符，舍去，(11 分) 综上可得，实数 a 的取值范围是 a e21 e（e1）.(12 分) 22. 解：(1) 由题意 ab，且 5 4 a2 1 4 b21，解得 ab1， 所以双曲线 C 的标准方程为 x2y21.(2 分) (2) 由对称性可设 E(x，y)，F(x，y)， 则BE BF(x，y1

18、) (x，y1)x2y21. 因为点 E 在双曲线 C 上，所以 x2y21，所以 y2x21， 所以BE BF2(1x2)0， 10 当|x|1 时，BE BF0，EBF 为直角， 当|x|1 时，BE BF0，EBF 为钝角 因此，EBF 最小时，|x|1，k0.(5 分) 设 A(m，n)，过点 B 的动直线为 ytx1. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 x2y21， ytx1， 得(1t2)x22tx20， 所以 1t20， 4t28（1t2）0， x1x2 2t 1t2， x1x2 2 1t2. 由 1t20，且 0，解得 t22 且 t21，(7 分) kAPkAQ，

19、即y1n x1m y2n x2m，即 tx11n x1m tx21n x2m ， 化简得(2t)x1x2(mt1nm)(x1x2)2m2mnm20， 所以(2t) 2 1t2(mt1nm) 2t 1t22m2mnm 20， 化简得(m22mn)t22(mn1)t22m2mnm20. 由于上式对无穷多个不同的实数 t 都成立， 所以 m 22mn0， mn10， 22m2mnm20， (10 分) 将代入得到 m，从而 m32mn， m2n1， 如果 m0，那么 n1，此时 A(0，1)不在双曲线 C 上，舍去 因此 m0，从而 m22n，代入 m2n1 解得 n1，m 2. 此时 A( 2，1)在双曲线 C 上 综上，A( 2，1)， 2或者 A( 2，1)， 2.(12 分)