2013年高考理科数学天津卷-答案解析163wenku.com.docx

1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（天津 卷 ） 数学（理工 类 ）答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】由已知得 2 2A x x? ? ? ? ?R ，于是 2 1A B x x? ? ? ? ?R 【提示】先化简集合 A ，解绝对值不等式可 求出 集合 A ，然后 根据交集 的 定义 求出 AB即可 . 【考点】 集合的基本运算 2.【答案】 A 【解析】作出可行域，平移直线 2yx? ，当直线过可行域内的点 (5,3)A 时， Z 有最小值， min 3 2 5 7Z ? ? ? ? ?. 【提示】先根据条件作出可行域，通过平移目标

2、函数，求可行域的最值 . 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 3.【答案】 B 【解析】 1 0 1 5 0 2 9 5 0 4 7 3 5 0x S S S x S S x S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ，跳出循环，输出 73S? . 【提示】直接执行程序框图中的语句求值 . 【考点】循环结构的程序框图 4.【答案】 C 【解析】命题，设球的半径为 R，则 3 34 1 4 3 2 8 3R R?，故体积缩小到原来的 18 ，命题正确； 对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据： 1， 3， 5 和 3， 3， 3 的平均数

3、相同，但标准差不同，命题不正确； 【 ;百万教育资源文库 】 对于命题，圆 2212xy?的圆心 (0,0) 到直线 10xy? ? ? 的距离 1222d ?，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确 . 【提示】对于由球 的体积公式 可知命题 正确 ；对于 通过 举反例 ，如 1， 3， 5 和 3， 3， 3 的平均数相同，但标准差不同， 故 命题 错误 ；对于 利用 圆 2212xy?的圆心到直线 10xy? ? ? 的距离与圆的半径之间 的关系 进行 判断即可 . 【考点】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系 5.【答案】 C 【解析】由已知得 2ca? ，所以 222 4aba?

4、?，解得 3ba? ，即渐近线方程为 3yx? .而抛物线的方程为2px? ，于是 3,22ppA?， 3,22ppB?，从而 AOB 的面积为 1 3 = 322pp ，可得 2p? . 【提示】求出双曲线 的 渐进 方程 和抛物线的 准线方程 ， 进而 求出 A， B 两点 的坐标 ，再 由 双曲线的 离心率为2， AOB 的 面积为 3 ， 可求 p 的值 . 【考点】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质 6.【答案】 C 【解析】由余弦定理可得 22 22 c o s 2 9 2 2 3 52A C B A B C B A B C A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5、?，于是由正弦定理可得 sin sinB C A CB A C A B C?，于是 23 3 1 02s in 105BAC ? ? ?. 【提示】由已知条件，利用余弦定理求出 AC 的 长，再由 正弦定理即可 求出 sin BAC? 的值 . 【考点】正弦定理，余弦定理 7.【答案】 B 【解析】令 0 .5( ) 2 | lo g | 1 0xf x x? ? ?，可得0.5 1| log | 2xx ?.设 0.5( ) | log |g x x? ， 1()2xhx ?在同一坐标系下分别画出函数 ()gx， ()hx 的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 ()fx有

6、 2 个零点 . 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】函数的零点转化为两个 函数图像的交点 个数，作出函数的图象即可判断 . 【考点】函数的图象，函数零点的判断 8.【答案】 A 【解析】 11,22 A?， ( ) (0)f a f?， (1 | |) 0a a a? ? ? ，解得 10a? ? ，可排除 C， 又 1122f a f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1112 2 2 2aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 1 52 2 4aa a a? ? ? ? ? ? ?10a? ? ? ， 1 1 52

7、 2 4aa? ? ? ? ? ? ? 21524a? ? ? ? ?， 21524a? ? ? ?， 15 02 a? ? ? .排除 B，D， 应选 A. 【提示】由 题目可知 11,22 A?，将 0x? 带入 ( ) ( )f x a f x? 可得 ( ) (0)f a f? ， 解得 10a? ? ；将12x? 代入 ( ) ( )f x a f x? 解得 15 02 a? ?. 【考点】解含参的一元二次不等式 第 卷 二、填空题 9.【答案】 12i? 【解析】由 ( i)(1 i) iab? ? ? 可得 ( 1) ( 1)i ia a b? ? ? ?，因此 10a? ，

8、1ab? ，解得 1a? ， 2b? ， 故 i 1 2iab? ? ? 【提示】利用复数 的乘法 展开等式的 左边， 通过 复数 的 相等 ， 求出 a， b 的 值即可 得到 结果 . 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【答案】 15 【解析】 61xx?的展开通项为 366 21 6 61( 1 ) ( 1 )r rr r r r rrT C x C xx ? ? ? ? ?，令 3602r?，解得 4r? ，故常数项为 446( 1) 15C?. 【提示】利用二项式展开式的通项公式 36 216( 1) rrrrT C x ? ?中 x 的幂指数 为 0 即可求得答案 . 【考点】

9、二项式定理 11.【答案】 23 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】由 4cos? 可得 224x y x?，即 22( 2) 4xy? ? ? ，因此圆心 C 的直角坐标为 (2,0) ，又点 P 的直角坐标为 (2,2 3) ，因此 | | 2 3CP? . 【提示】求出圆的直角坐标方程，求出圆心坐标， 化 P 的 极坐标为 直角坐标，利用两点间的距离公式求出距离即可 . 【考点】坐标系与参数方程，两点间的距离公式 12.【答案】 12 【解析】 用 AB ， AD 表示 AC 与 BE ，然后进行向量的数量积运算 . 由已知得 AC AD AB?， 12B E B C C E A D

10、A B? ? ? ?， ? 221122A C B E A D A B A D A B A D A B? ? ? ? 221 1 1 11 | | 1 | | | | c o s 6 0 | | 12 2 2 2A B A D A B A B A D A B? ? ? ? ? ? ?， 12AB? . 【提示】 已知平行四边形及部分条件，用向量表示，利用向量 的 三角形法则 和 平行四边形 法则 和 数量 积的运算即可得出 . 【考点】向量的线性运算，平面 向量的数量积运算 13.【答案】 83 【解析】因为 AB AC? ，所以 ABC C? ? ，因为 AE 与圆相切，所以 EAB C?

11、? ，所以 ABC EAB? ? ，所以 AE BC .又因为 AC DE ，所以四边形 AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得 2AE EB ED? ，于是 26 ( 5)EB EB?，所以 4EB? （负值舍去），因此 4AC? ， 6BC? .又因为 AFC DFB ，所以456CFCF? ? ，解得 83CF? . 【提示】 证明 四边形 AEBC 是平行四边形，利用圆的 切割线定理求出 EB，通过三角形相似求出 CF 即可 . 【考点】圆的 切割线定理，三角形相似 【 ;百万教育资源文库 】 14.【答案】 2? 【解析】由于 2ab? ，所以 1 | | | | | |2 | |

12、 4 | | 4 | | 4 | |a a b a a b aa b a b a a b? ? ? ? ? ?，由于 0b? ， | | 0a? ，所以| | | |214 | | 4 | |b a b aa b a b? ? ?，因此当 0a? 时， 1 | |2| | aab? 的最小值是 15144? ；当 0a? 时 1 | |2| | aab? 的最小值是 13144? ? ? ，故 1 | |2| | aab? 的最小值为 34 ，此时 |4| |0baaba? ? ?，即 2a? . 【提示】由于 2ab? ， 从而 1 | | | | | |2 | | 4 | | 4 | |

13、4 | |a a b a a b aa b a b a a b? ? ? ? ? ?， 由于 0b? ， | | 0a? ，所以| | | |214 | | 4 | |b a b aa b a b? ? ?， 由 1 |2| | aab? 的最小值 求 a 的值 . 【考点】基本不等式求最值 三、解答题 15.【答案】（ ） 2 2T? （ ） ()fx在 0,2?上的最大值为 22，最小值为 2? 【解析】（ ） ( ) 2 s i n 2 c o s 2 c o s 2 s i n 3 s i n 2 c o s 244f x x x x x? ? ? ? ?， 2 s i n 2 2 c

14、 o s 2 2 2 s i n 2 4x x x? ? ? ?，故 ()fx的最小正周期 2 2T?； （ ） 因为 ()fx在区间 30,8?上单调递增，在区间 3,82?上单调递减，并且 (0) 2f ? ， 3 228f ?， 22f? ，故 ()fx在 0,2?上的最大值为 22，最小值为 2? . 【提示】（ ）利用两角和的正弦公式将 sin 2 4x?展开 ， 结合二倍角的正余弦公式化简合并，得 ( ) 2 sin 2 2 c o s 2f x x x?，再利用辅助角公式化简得 ( ) 2 2 s in 2 4f x x?，最后利用正弦函数的周期公式即可算出 ()fx的最小正周期

15、； 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）由 ()fx在 区间 30,8?上单调递增，在区间 3,82?上单调递减 ，可得 ()fx在 0,2?上的最大值和最小值 . 【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】（ ） 67 （ ） 175EX? 【解析】（ ）记“取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片”为事件 A ，则 1 3 2 22 5 2 547 6() 7C C C CPA C?，故所求概率为 67 ； （ ） X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4. 3347 1( 1) 35CPX C? ? ?， 3447 4( 2) 35CPX C? ? ?， 3547 2( 3) 7

16、CPX C? ? ?， 3647 4( 4) 7CPX C? ? ?， 故 X 的分布列如下表是： X 1 2 3 4 P 135 435 27 47 其期望 1 4 2 4 1 71 2 3 43 5 3 5 7 7 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】（ ）从 7 张卡片中取出 4 张的所有可能结果数有 47C ，然后求出取出的 4 张卡片中，含有编号为 3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解； （ ）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4， 根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列和期望值 . 【考点】古典概型，离散型随机变量的分

17、布列和期望 17.【答案】 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得 (0,0,0)A ， (0,0,2)B ， (1,0,1)C ， 1(0,2,2)B ，1(1,2,1)C ， (0,1,0)E . （ ）易得 11 (1,0, 1)BC ?， ( 1,1, 1)CE ? ? ? ，故 11 0BC CE? ，因此 11BC CE? ； （ ） 1 (1, 2, 1)BC? ? ? ，设 ( , , )n x y z? 是平面 1BCE 的法向量，则 1 00n BCnCE? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 得 200x y zx y z? ? ? ? ? ?，取 1z? 可得

18、平面 1BCE 的一个法向量 ? ?3, 2,1n? ? ? ； 由 （ ） 11BC CE? ，又 1 1 1BC CC? ，故 11BC? 平面 1CEC ，知 11 (1,0, 1)BC ?为平面 1CEC 的一个法向量 . 故 1111 11 4 2 7c o s , 71 4 2|n B Cn B C n B C ? ? ? ? ? ?|，知11 21sin , 7n B C? ?，所以所求二面角的正弦值为 217； （ ） (0,1,0)AE? ， 1 (1,1,1)EC ? ，设 1 ( , , ) ( 0 1 )E M E C? ? ? ? ? ? ? ?， 则 ( , 1, )A M A E E M ? ? ? ? ? ?.