1、一元二次方程根与系数关系一元二次方程根与系数关系 一、复习目标：一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解 决问题. 二、复习重点和难点：二、复习重点和难点： （一）复习重点：（一）复习重点： 一元二次方程根的韦达定理. （二）复习难点：（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题. 三、复习过程：三、复习过程： 一、复习引入一、复习引入 一元二次方程：一元二次方程： 1.1. 一般形式是什么？一般形式是什么？ 2.2. 根的判别式是什么？根的判别式是什么？ 3.3. 根与系数的关系是什么？根与系数的关系是什么？ 4.4. 用根与系数关系解题的条件是用根与系数关系解题的
2、条件是 ？ 二、二、口答训练口答训练 说出下列各方程的两根之和与两根之积：说出下列各方程的两根之和与两根之积： (1)(1) x x 2 2 - - 2x 2x - - 1=0(2) 2x1=0(2) 2x 2 2 - - 3x + 3x + 2 1 =0 (3) 2x=0 (3) 2x 2 2 - - 6x =0 (4) 3x 6x =0 (4) 3x 2 2 = 4= 4 教师提醒：在使用韦达定理时，应注意：教师提醒：在使用韦达定理时，应注意： 、不是一般式的要先化成一般式；、不是一般式的要先化成一般式； 、在使用、在使用 X X1 1+X+X2 2= = 时，注意“时，注意“ ”不要漏写
3、。”不要漏写。 （3 3） 前提是方程有实数根即前提是方程有实数根即0 0 三、几种常见韦达定理的运用三、几种常见韦达定理的运用 （一） 、几种常见的求代数式的值：（一） 、几种常见的求代数式的值： 2 2 2 1 1xx 、 1 2 2 1 . 5 x x x x 2 2 12 2 1 2xxxx、 ) 2)(2.(6 21 xx 21 11 3 xx 、 21 . 7xx 2 21 )(4xx 、 （二） 、利用（二） 、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号：根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号： 由可判断两根符号之间的关系： 若，则 x1，x2同号； 若x x c a 12
4、0，则 x1，x2异号，即一正 一负 （三） 、由 x1，x2两根可构造的一元二次方程 以 x1，x2为根的一个一元二次方程 为； 四、典例精析：四、典例精析： 作用作用 1 1：已知方程一根，求另一根及未知数。：已知方程一根，求另一根及未知数。 例 1、已知方程 x 2-(k+1)x+3k=0 的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值。 分析：分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程， 先求出 k 的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 k 的值。 练习 1.方程 0123 2 kkxx 的两根互为倒数，求 k 的值。
5、 练习 2.方程 3x 2+x+k=0 的两根之积为-3,求 k 的值。 作用作用 2 2：求代数式的值：求代数式的值 例1、已知 2x 2-x-2=0 的两根是 x 1,x2 。求下列代数式的值 (1) x 1 2+x 2 2 （2） 2 1 1 1 xx （3） （x1-x2) 2 (4) (x1+1)(x2+1) （5）x1-x2 （6） 1 2 1 x x + 12 1 - 1 7 xx ）（ 2 1 1 2 )8( x x x x + 例2. 已知 a、b 是一元二次方程 x2+3x-7=0 的两个实数根，求代数式 a2+4a+b 的值 练习：已知 m、n 是方程 x2-3x+1=0
6、 的两根，求 2m2+4n2-6n+2014 的值。 作用作用 3：求作一个一元二次方程：求作一个一元二次方程 例 1.求作一个一元二次方程， 使它的两根分别是方程 x2-6x+2=0 的两根平方的倒 数. 作用作用 4：研究方程根的情况：研究方程根的情况 例 1：已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0 （1）k 为何值时，方程有两个负数根？ （2）k 为何值时，方程有一正根和负根？ 练习 方程 )0(012 2 mmmxmx 有一个正根， 一个负根， 求 m 的取值 范围。 五、五、总结归纳总结归纳 1、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式、应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 2、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用根与系数关系解决问题；、熟练掌握根与系数的关系，灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。、探索解题思路，归纳解题思想方法。
