1、17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 学习目标学习目标 1掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2会利用根与系数的关系解决有关的问题(难点) 教学过程教学过程 一、情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积 和原来的方程有什么联系？ (1)x22x0； (2)x23x40； (3)x25x60. 方程 x1 x2 x1x2 x1 x2 x22x0 x23x40 x25x60 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求方程 3x26x10 的两根之和、两根之积 解析：由一元二次方程根与系数的关
2、系可求得 解：这里 a3，b6，c1. b24ac624 3 (1)3612480， 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1x22，x1 x21 3. 方法总结：如果方程 ax2bxc0(a0)，b24ac0，有两个实数根 x1， x2，那么 x1x2b a，x1x2 c a. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设 x1，x2是方程 2x24x30 的两个不相等的实数根，利用根与系数 的关系，求下列各式的值： (1)(x12)(x22)； (2)x2
3、 x1 x1 x2. 解析：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式子做 适当变形，把 x1x2与 x1x2的值整体代入求解即可 解：根据根与系数的关系，得 x1x22，x1x23 2. (1)(x12)(x22)x1x22(x1x2)43 22 (2)4 3 2； (2)x2 x1 x1 x2 x22x21 x1x2 （x 1x2）22x1x2 x1x2 （2）22 （3 2） 3 2 14 3 . 方法总结：先确定 a，b，c 的值，再求出 x1x2与 x1x2的值，最后将所求式 子做适当的变形，把 x1x2与 x1x2的值整体带入求解即可 变式训练：见学练
4、优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根 已知方程 5x2kx60 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值 解析：由方程 5x2kx60 可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之 积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出 k 的值 解：设方程的另一个根是 x1，则 2x16 5， x13 5.又x12 k 5， 3 52 k 5，k7. 方法总结：对于一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次 项系数和常数项时， 可求得方程的两根之积； 当已知二次项系数和一次项系数时， 可求得方程的两根之和 变式训练：见学练优本
5、课时练习“课堂达标训练”第 4 题 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 已知 、 是关于 x 的一元二次方程 x2(2m3)xm20 的两个不相 等的实数根，且满足1 1 1，求 m 的值 解析：利用韦达定理表示出 ，再由1 1 1 建立方程，求 m 的 值 解：、 是方程的两个不相等的实数根， (2m3)，m2. 又1 1 （2m3） m2 1， 化简整理，得 m22m30. 解得 m3 或 m1. 当 m1 时，方程为 x2x10， 此时 1240，方程无解， m1 应舍去 当 m3 时，方程为 x29x90， 此时 924 90， 方程有两个不相等的实数根 综上所述，m3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母 m 的值，但一定要代入判别式 验算，字母 m 的取值必须使判别式大于 0，这一点很容易被忽略 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 8 题
