（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册课件：9.2　正弦定理与余弦定理的应用.pptx

1、9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课标阐释 思维脉络 1.利用正弦定理、余弦定理解 决生产实践中的有关距离的测 量问题. 2.能运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些有关底 部或顶部不可到达的物体高度 测量的问题. 3.能运用正弦定理、余弦定理 解决测量角度的实际问题. 激趣诱思 知识点拨 蜂窝是大自然最奇妙的建筑之一,它排列形状极有规则,所有的蜂 窝都是六边形.六边形像三角形一样有稳定性,因而蜜蜂在建窝时 为了使其更稳定,便建成六边形.更使人惊讶的是法国科学家马拉 尔的发现,马拉尔通过对蜂窝的多年研究,发现所有蜂窝的钝角都 是10928,所有的锐角都是7032.这不能不说是蜜蜂建筑的奇

2、迹. 那么当你研究蜂窝的特征时,需要什么数学知识呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:测量中的基本术语 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适 当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线 在水平线上方时与水平线 的夹角叫做仰角 俯角 在同一铅垂平面内,视线 在水平线下方时与水平线 的夹角叫做俯角 激趣诱思 知识点拨 名称 定义 图示 方向 角 从指定方向线到目标方 向线的水平角叫做方向 角(指定方向线是指正北 或正南或正东或正西,方 向角小于90) 南偏西60(指以正南方向为始边, 转向目标方向线形成的角) 激趣诱思 知识点拨 名称 定义 图示 方位 角 从正北的方向线按顺时

3、针到目标方向线所转过 的水平角叫做方位角 视角 观察物体的两端视线张 开的角度,叫做视角 在点A处观察一物体的视角为50 激趣诱思 知识点拨 名称 定义 图示 坡角 坡面与水平面 的夹角.如图中 的角 坡比 坡面的铅直高 度与水平宽度 之比.如图中的 激趣诱思 知识点拨 微练习1 若P在Q的北偏东4450方向上,则Q在P的( ) A.东偏北4550方向上 B.北偏东4550方向上 C.南偏西4450方向上 D.西偏南4550方向上 答案:C 解析:如图所示,点Q在点P的南偏西4450的方向上.故选C. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为 (

4、) A. B.= C.+=90 D.+=180 答案:B 解析:根据题意和仰角、俯角的概念,得=,故选B. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 已知目标A的方位角为135,请画出其图示. 提示:如图所示: 激趣诱思 知识点拨 微练习4 请分别画出北偏东30,南偏东45的方向角. 提示:如图所示: 激趣诱思 知识点拨 知识点二:解三角形应用题 1.解题思路 激趣诱思 知识点拨 2.基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下: 分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角 形); 建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中,建立一个解三角形的

5、数学模型; 求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; 检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解. 激趣诱思 知识点拨 3.主要类型 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.解三角形应用问题常见的几种情况 解三角形应用题经抽象概括为解三角形问题时,常有以下几种情 况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可直接用正弦定 理或余弦定理求解;(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角 形时,可先解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需 要设出未知量,从几个三角形中列方程(组),通过解方程(组)得出所 求的解. 激趣诱思 知识点拨 2.求解模型的解时应该注意的

6、问题 在求模型的解时,为避免误差的积累,尽可能用原始数据,少用间接 求出的量,要根据求解问题对精确度的要求合理地选择近似值,要 注意实际问题中是否有一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角 形、等腰三角形等,以优化解题过程,如果将正弦定理、余弦定理 看成是几个“方程”的话,那么解三角形应用题的实质就是把已知量 按方程思想进行处理,解题时应根据已知量和未知量,选择一个比 较容易解的方程,从而使解题过程简捷. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 距离问题的处理方法是什么? 提示:测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距 离问题.如图所示. 这实际上就是已知三角形的两个角和一边解三角形的问题,用正

7、弦 定理就可解决. 激趣诱思 知识点拨 测量两个不可到达的点A,B之间的距离问题.如图所示. 首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用余弦定理求 三角形的边长问题,然后把求B,C和A,C的距离问题转化为测量可到 达的一点与不可到达的一点之间的距离问题. 激趣诱思 知识点拨 微思考2 高度问题的处理方法是什么? 提示:测量底部不可到达的建筑物的高度时,由于底部不可到达, 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理或 余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离, 然后转化为解直角三角形的问题. 在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余 弦定理,构

8、造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角 和仰角)和一边,如下图. 激趣诱思 知识点拨 微思考3 角度问题的处理方法是什么? 提示:测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确 定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据 题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形 中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而 得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是 最关键、最重要的一步. 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图,某船开始航行时,灯塔在该船北偏东30方

9、向,后来该船沿北 偏东60的方向航行60海里,此时灯塔在正西方向,则此时船与灯 塔的距离是( ) A.30海里 B.60海里 C.10 3海里 D.20 3海里 激趣诱思 知识点拨 答案:D 解析:如题图,在ABC 中,BAC=60-30=30, ACB=30,AC=60,根据正弦定理得 BC 30 = AC 120, 即 BC=1 2 60 3 2 =20 3.故选 D. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 测量高度问题测量高度问题 例1如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为,在塔 底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD. 探究一 探究二 探究三 素

10、养形成 当堂检测 解:在ABC 中,BCA=90+, ABC=90-,BAC=-,CAD=. 根据正弦定理得 sin = sin, 即 sin(90-) = sin(-), 所以 AC= cos sin(-) = cos sin(-). 在 RtACD 中,CD=ACsinCAD=ACsin =cossin sin(-) . 即山的高度为cossin sin(-) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求高度(距离)问题应注意的两点 (1)根据题意,如果没有图形,先画出示意图,然后选定或确定所求量 所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知 量放在另一确

11、定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都有可能,则选择更便于计 算的定理.当题目中出现互补(余)的角时,注意补角(余角)之间的关 系. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1在飞机上,某一时刻测得地面上两建筑物的俯角分别为 45和30,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45.若两建筑物 之间的距离为2 km,则飞机的飞行高度为 . 2 答案:2 km 解析:设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位 置为P,其在地面上的投影为D,则由题意知, PAD=30,PBD=45,APB=45,设飞 机飞行高度为h,所以 由余弦定理得AB2=PA2+PB2- 2PA PBco

12、sAPB, 所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2 km. PA= sin30=2h,PB= sin45 = 2h, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 测量角度问题测量角度问题 例2如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的 B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知 在甲船南偏西30,相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏 东多少度的方向沿直线前往B处救援 参考数据:sin 41 21 7 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:如图所示,连接CB. 在ABC中,CAB=90+30=120. 由余弦定

13、理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120. 又AC=10,AB=20,得 BC2=202+102-22010 - 1 2 , 所以 BC=10 7 n mile. 由正弦定理,得 sinACB=sin = 20sin120 10 7 = 21 7 . 又ACB为锐角,所以ACB41. 作CMBA,交BA的延长线于点M, 则BCM=30+ACB71.所以乙船应朝北偏东约71的方向 沿直线前往B处救援. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解答角度问题的解决策略 解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距 离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与

14、待求角的关系, 确定解题步骤. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50的方向,距小岛A 12 n mile的B处,发现隐藏在小岛A边上的一走私船正开始向小岛A北 偏西10方向行驶,测得其速度为每小时10 n mile,问巡逻艇需用多 大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船?(参 考数据:sin 380.62) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:如右图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处 截获走私船,巡逻艇的速度为每小时x n mile,则BC=2x,AC=20. 依题意BAC=180-50-10=120

15、, 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB ACcos 120 =122+202-21220 - 1 2 =784,所以 BC=28, 因为 BC=2x,所以 x=14. 又由正弦定理,得 sinABC=sin = 20 3 2 28 0.62. 所以ABC38. 而如图所示的RtADB中,ABD=40.所以EBC=90-38- 40=12.即巡逻艇用每小时14 n mile的速度向北偏东12的方 向航行. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 正弦定理、余弦定理在力学中的应用正弦定理、余弦定理在力学中的应用 例3如图,在墙上有一个三角形支架OAB,吊着一个重力为12 N的 灯,

16、OA,OB都是轻杆,只受沿杆方向的力,试求杆OA,OB所受力的大 小. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:点 O受三个力的作用,灯线的拉力 F,方向向下,灯杆 OA的拉力 F1,方向与 同向,灯杆 OB 的支持力 F2,方向与 同向,三力平衡, 所以 F+F1+F2=0. 设 =F,将力 F 沿 , 两个方向进行分解,作OCED,则 =- F1, =-F2,由题设条件知| |=12,COE=60,OCE=45,所以 OEC=75. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 在OCE 中,由正弦定理得, 12 sin45 = sin75 = sin60, 所以 CE=12sin6

17、0 sin45 =6 6,OC=12sin75 sin45 =6( 3+1),所以 |F1|=| |=CE=6 6 N, |F2|=| |=OC=6( 3+1) N.所以杆 OA,OB 所受力的大小为 6 6 N,6( 3+1) N. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解答力学问题的解决策略 解答与力学有关的三角形问题,要抓住力的方向与大小和受力平衡 的关系,准确进行受力分解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3作用在小车A上的两个水平力F1,F2,|F1|=40 N,|F2|=20 N, 夹角为60,小车的摩擦力大小为20 N,则小车在力的作用下能

18、否保持静止? 7 解:如图所示. 在ABCD中,由题意AB=20,AD=BC=40,ABC=120, 在ABC中,由余弦定理,得 AC= 2+ 2-2 cos120=20 7, 所以|F合|=AC=20 7(N).所以小车能保持静止. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究距离测量问题探究距离测量问题 【角度一】 两点不相通的距离 典例1如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选 定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可 求出A,B两点间的距离.即AB= . 若测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,试计算AB长. 2 + 2-

19、2cos 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:在ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC BCcosACB, 所以AB2=4002+6002-2400600cos 60=280 000.所以 AB=200 7(m). 即 A,B 两点间的距离为 200 7 m. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 【角度二】两点间可视但有一点不可到达 典例2如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在点A的同侧,且点 B不可到达,要测出AB的长度,其方法是在点A所在的岸边选定一点 C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出ACB=,CAB=,在 ABC中,运用正弦定理就可以求

20、出AB. 若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离 为 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:ABC=180-75-45=60, 所以由正弦定理,得 sin = sin, 所以 AB= sin sin = 60sin45 sin60 =20 6(m). 即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6 m 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 【角度三】 两点都不可到达 典例3如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出AB的 距离,其测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D 两点分别测得BCA=,

21、ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和 BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦 定理计算出AB. 若测得 CD= 3 2 km,ADB=CDB=30,ACD=60, ACB=45,求 A,B 两点间的距离. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:因为ADC=ADB+CDB=60,ACD=60, 所以DAC=60,所以 AC=DC= 3 2 . 在BCD 中,DBC=45,由正弦定理, 得 BC= sin sin = 3 2 sin30 sin45 = 6 4 . 在ABC中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC BCcos 45 =3 4 + 3

22、 8-2 3 2 6 4 2 2 = 3 8. 所以 AB= 6 4 km. 所以 A,B 两点间的距离为 6 4 km. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.某船从 A 处向北偏东 60方向航行 2 3千米后到达 B 处,然后朝 南偏西 30的方向航行 6 千米到达 C 处,则 A 处与 C 处之间的距离 为( ) A. 3千米 B.2 3千米 C.3 千米 D.6 千米 答案:B 解析:设 A 处与 C 处之间的距离为 x 千米,由余弦定理可得 x2=(2 3)2+62-22 36cos(60-30)=12, 则 x=2 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.(

23、2020天津一中高一期末)雕塑是大学校园不可分割的一部分,有 些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一 座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在 RtABC中,ABC=70.5,在RtDBC中, DBC=45,且CD=2.3米,则像体AD的高 度为( )(最后结果精确到0.1米,参考数 据:sin 70.50.943,cos 70.50.334, tan 70.52.824) A.4.0米 B.4.2米 C.4.3米 D.4.4米 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案:B 解析:在 RtBCD 中,DBC=45,所以 BC=CD=2.3 米.

24、在 RtABC 中,ABC=70.5,A=90-ABC. 由正弦定理,得 sin = sin, 所以 sin = sin(90-), 整理得 AC= sin cos , 所以 AC2.30.943 0.334 6.5(米). 即得 AD=AC-CD6.5-2.3=4.2(米). 故选 B. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.一艘轮船按照北偏西30的方向以每小时21海里的速度航行,一 个灯塔M原来在轮船的北偏东30的方向,经过40分钟后,测得灯塔 在轮船的北偏东75的方向,则灯塔和轮船原来的距离是 海里. 答案:7( 3+1) 解析:如图所示:M为灯塔,C为轮船, MBC=180-

25、75-30=75, MCB=30+30=60,M=45,则 在MBC 中,有 sin75 = sin45, 且 BC=21 2 3=14(海里),则 MC=7( 3+1) 海里. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.甲船在A处发现乙船在北偏东60的B处,乙船正以a n mile/h的速 度向北行驶.已知甲船的速度是 a n mile/h,则甲船应沿着 方向前进,才能最快与乙船相遇? 3 答案:北偏东30 解析:如图,设经过t h两船在点C相遇, 则在ABC 中,BC=at,AC= 3at,B=180- 60=120,由 sin = sin, 得 sinCAB=sin = sin12

26、0 3 = 1 2. 因为0CAB90,所以CAB=30,所以DAC=60- 30=30. 即甲船应沿北偏东30的方向前进,才能最快与乙船相遇. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.要测量对岸两点A,B之间的距离,工作人员选取了相距200 m的 C,D两点,并测得 ADC=105,BDC=15,BCD=120,ACD=30,求A,B两 点之间的距离. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:在ACD中,因为ACD=30,ADC=105, 所以DAC=180-30-105=45. 由正弦定理,得 sin45 = sin30,且 CD=200, 所以 AD=100 2. 同理,在BCD 中,可得CBD=45, 由正弦定理,得 sin120 = sin45, 所以 BD=100 6. 在ABD 中,BDA=105-15=90, 由勾股定理,得 AB= 2+ 2=200 2, 即 A,B 两点间的距离为 200 2 m.