2022年新高考数学模拟试卷（3）.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 |02Mxx剟， |Nx x a，若MN，则a的取值范围是( ) A2a B2a C0a D0a 2 （5 分）在复平面内，复数 5 2 i i 对应的点的坐标为( ) A( 1,2) B(1,2) C(2,1) D(2, 1) 3 （5 分）已知xR，则条件“|1| 1x ”是条件“ 2 4x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）

2、函数 3 ( )f xlnxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为( ) A430 xy B430 xy C430 xy D430 xy 5 （5 分）已知集合Aa，b，c，d，从集合A中任取 2 个元素组成集合B，则集合B 中含有元素b的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D1 6 （5 分）某单位为了了解用电量y（度)与气温( C)x 之间的关系，随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温，并制作了对照表： 气温( C)x 1 10 13 18 用电量（度) 64 38 34 24 由表中数据得线性回归方程3yxa ，预测当气温为4 C 时用电量度数为( ) A65 B67

3、 C78 D82 7 （5 分）已知 25 2 (231)(1) a xx x 的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是 ( ) A10 B7 C10 D9 8 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx满足对任意xR，( )()f xf x，则函数( )f x在 0，2 上的零点个数不可能为( ) A5 B9 C21 D23 第 2 页（共 17 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）点 O 在ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是（ ） A若 ，则点 O 为ABC 的重心 B若 （） （）0，点 O

4、为ABC 的内心 C若（） （） 0，则点 O 为ABC 的外心 D若，则点 O 为ABC 的垂心 10 （5 分）已知随机变量X服从正态分布(3,4)N，则以下说法正确的是( ) （附:()68.3%Px剟；(22 )95.4%Px剟； (33 )99.7%)Px剟 AX的均值为 3 BX的标准差为 4 C 1 (3) 2 P X D( 17)0.683PX剟 11 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ，则下列各数是 n a的项的有( ) A2 B 2 3 C 3 2 D3 12 （5 分） 我们把定义域为0，)且同时满足以下两个条件的函数( )f

5、 x称为 “函数” ： （1）对任意的0 x，)，总有( ) 0f x ； （2）若0 x，0y，则有()( )( )f xyf xf y成立，下列判断正确的是( ) A若( )f x为“函数” ，则(0)0f B若( )f x为“函数” ，则( )f x在0，)上为增函数 C函数 0, ( ) 1, xQ g x xQ 在0，)上是“函数” D函数 2 ( )g xxx在0，)上是“函数” 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为 3 和 4，圆台的高 为 7，则该球的

6、表面积为 第 3 页（共 17 页） 14 （5 分）函数sin(2) 6 yx 的最小正周期为 15 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 2 1(3) 9 xy a a 与为双曲线 22 2 1 4 xy m 有公 共焦点 1 F， 2. F设P是椭圆与双曲线的一个交点，则 12 PFF的面积是 16 （5 分）函数( )f x是定义在R上的偶函数，(1)f x是奇函数，且当01x 时， 2020 ( )logf xx，则 1 (2019)() 2020 ff 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列 n a的公比为 2，

7、 4 1S ，求 8 S 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知6sinsin1cos2BCC ， AD为BAC的角平分线 （）求 ABD ADC S S 的值； （）若3,3 3ACBD，求AD的长 19 （12 分）某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取 100 个新生产的5G芯片 进行检测若每块芯片的生产成本为 1000 元，一级品每个芯片可卖 1500 元，二级品每个芯 片可卖 900 元，三级品禁止出厂且销毁某日检测抽取的 100 个5G芯片的柱状图如图所示 （用样本的频率代替概率） （1）若该生产线每天生产 2000 个5G芯片，求出该生产

8、线每天利润的平均值； （2）若从出厂的所有5G芯片中随机取出 3 个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期 望与方差 20 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAB是等腰直角三角形，BC 平面PAB， 第 4 页（共 17 页） PAPB，2ABBC，5ADBD （1）求证：PA平面:PBC （2）求直线PC与平面PAD所成的角的正弦值 21 （12 分）已知函数 22 ( )(1)f xx lnxax （1）证明： 1 1lnx x ； （2） （）证明：当 1 0 2 a时，对任意(0,) 1 a x a ，总有( )0f x ； （）讨论函数( )f x的零点个数 22 （12

9、 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的实轴长为2 2，F为右焦点，(0,1)M， (0, 1)N，且MNF为等边三角形 （1）求双曲线E的方程； （2）过点M的直线l与E的左右两支分别交于P、Q两点，求PQN面积的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 |02Mxx剟， |Nx x a，若MN，则a的取值范围是( ) A2a B2a C0a D0a 【解

10、答】解：集合 |02Mxx剟， |Nx x a， 若MN， 则N集合包含M集合中所有元素，即2a， 故a的取值范围是：2a， 故选：A 2 （5 分）在复平面内，复数 5 2 i i 对应的点的坐标为( ) A( 1,2) B(1,2) C(2,1) D(2, 1) 【解答】解： 22 55 (2)105 12 2(2)(2)21 iiii i iii ， 复数 5 2 i i 对应的点的坐标为(1,2)， 故选：B 3 （5 分）已知xR，则条件“|1| 1x ”是条件“ 2 4x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由|1| 1x

11、 ，解得02x，由 2 4x 解得22x ， 故由|1| 1x ，成立，可以推出 2 4x 成立，即充分性成立； 当 2 4x 时，无法推出|1| 1x 成立，即必要性不成立； 所以“|1| 1x ”是条件“ 2 4x ”的充分不必要条件， 故选：A 4 （5 分）函数 3 ( )f xlnxx的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为( ) A430 xy B430 xy C430 xy D430 xy 【解答】解： 2 1 ( )3fxx x ， 第 6 页（共 17 页） f （1）134 ，即函数( )f x的图象在在点(1，f（1）)处的切线斜率为 4， 又f（1）1， 切线方程为14

12、(1)yx ，即430 xy 故选：A 5 （5 分）已知集合Aa，b，c，d，从集合A中任取 2 个元素组成集合B，则集合B 中含有元素b的概率为( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D1 【解答】解：集合Aa，b，c，d，从集合A中任取 2 个元素组成集合B， 基本事件总数 2 4 6nC， 集合B中含有元素b包含的基本事件个数 11 13 3mC C， 集合B中含有元素b的概率为 31 62 m p n 故选：C 6 （5 分）某单位为了了解用电量y（度)与气温( C)x 之间的关系，随机统计了某 4 天的用 电量与当天气温，并制作了对照表： 气温( C)x 1 10 13 18

13、用电量（度) 64 38 34 24 由表中数据得线性回归方程3yxa ，预测当气温为4 C 时用电量度数为( ) A65 B67 C78 D82 【解答】解： 1 101318 10 4 x ， 64383424 40 4 y ， 把样本中心点(10,40)代入3yxa ，得403 10a ， 所以70a ，即370yx ， 当4x 时，3 ( 4)7082y ， 故选：D 7 （5 分）已知 25 2 (231)(1) a xx x 的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是 ( ) A10 B7 C10 D9 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：令1x ，可得 5 6 (1)

14、0a，解得1a ， 25 2 1 (231)(1)xx x ， 其中 55 22 11 (1)( 1) xx 通项公式为 52 5 ( 1) rrr C x ， 要求展开式的常数项，则0r ，1r ， 故常数项为 4150 55 2 ( 1)( 1)10 19CC ， 故选：D 8 （5 分）已知函数( )sin(0)f xx满足对任意xR，( )()f xf x，则函数( )f x在 0，2 上的零点个数不可能为( ) A5 B9 C21 D23 【解答】解：( )f x的最小正周期为 2 T ， 对任意xR，( )()f xf x， 2 k ，kN， 故( )f x在0，2 上有偶数2k个

15、周期， ( )f x在0，2 上的零点个数为41k 个， 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）点 O 在ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是（ ） A若 ，则点 O 为ABC 的重心 B若 （） （）0，点 O 为ABC 的内心 C若（） （） 0，则点 O 为ABC 的外心 D若，则点 O 为ABC 的垂心 【解答】解：对于 A：点 O 在ABC 所在的平面内，设点 D 为 BC 的中点， 所以， 所以 O 为 BC 边上中线的三等分点， 所以点 O 为ABC 的重心，故 A 正确； 第 8 页（共 17

16、页） 对于 B：为的单位向量，和为单 位向量的运算，且为菱形的对角线，由于，所以点 O 在BAC 的平分线上， 同理，点 O 在ABC 的平分线上，故点 O 为ABC 的内心；故 B 正确； 对于 C：是以为邻边的平行四边形的对角线， 而为平行四边 形的另一条对角线， 所以（） 0， （） 0，即，所以点 O 为ABC 的外心，故 C 正确； 对于 D：若， 则， 所以，即 OBCA， 同理 OACB，OCAB，故点 O 为ABC 的垂心，故 D 正确 故选：ABCD 10 （5 分）已知随机变量X服从正态分布(3,4)N，则以下说法正确的是( ) （附:()68.3%Px剟；(22 )95.

17、4%Px剟； (33 )99.7%)Px剟 AX的均值为 3 BX的标准差为 4 C 1 (3) 2 P X D( 17)0.683PX剟 【解答】解：对于A，(3,4)XN，所以X的均值为3，所以A正确； 对于B，由 2 4，得2，所以X的标准差是2，B错误； 对于C，由正态分布曲线的概率性质知， 1 (3)(3) 2 P XP X剠，所以C正确； 对于D，由题意知( 17)(32 232 2)95.4%0.954PXPX 剟剟，所以D错误 故选：AC 11 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ，则下列各数是 n a的项的有( ) 第 9 页（共

18、17 页） A2 B 2 3 C 3 2 D3 【解答】解：因为数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ， 2 12 1 3 1() 2 a ； 3 2 1 3 1 a a ； 4 3 11 12 a a ； 数列 n a是周期为 3 的数列，且前 3 项为 1 2 ， 2 3 ，3； 故选：BD 12 （5 分） 我们把定义域为0，)且同时满足以下两个条件的函数( )f x称为 “函数” ： （1）对任意的0 x，)，总有( ) 0f x ； （2）若0 x，0y，则有()( )( )f xyf xf y成立，下列判断正确的是( ) A若( )f x为“函数” ，则

19、(0)0f B若( )f x为“函数” ，则( )f x在0，)上为增函数 C函数 0, ( ) 1, xQ g x xQ 在0，)上是“函数” D函数 2 ( )g xxx在0，)上是“函数” 【解答】解：:A对任意的0 x，)，总有( ) 0f x ，(0) 0f， 又0 x，0y，则有()( )( )f xyf xf y成立， (0)(0)(0)fff，(0) 0f，(0)0f，故A正确； :( )0(0)B f xx，是函数，但不单调，故B错误； C：显然( )g x满足条件（1） ，如果x、yQ，则()0g xy， ( )( )000g xg y，()( )( )g xyg xg y

20、； 如果x、yQ，设2x 、3y ，则()1g xy，( )( )1 12g xg y ， ()( )( )g xyg xg y，故C错误； D：显然( )(0)0 0 min g xg ，满足条件（1） ， 222 ()( )( )()20g xyg xg yxyxyxxyyxy， 满足条件（2） ，故D正确 第 10 页（共 17 页） 故选：AD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为 3 和 4，圆台的高 为 7，则该球的表面积为 100 【解答】解：如图，圆台

21、的轴截面ABCD为球的大圆的内接梯形 易知球心O落在梯形上下底中点连线 12 O O上，设球半径为R 在直角三角形 2 AOO中， 2 2 16OOR， 在直角三角形 1 DOO中， 2 1 9OOR， 故 22 12 1697OORR， 所以 22 1679RR，两边平方整理，得 2 316R， 再平方可得 2 25R 故球的表面积 2 4100SR 故答案为：100 14 （5 分）函数sin(2) 6 yx 的最小正周期为 【解答】解：函数sin(2) 6 yx 的最小正周期是： 2 2 故答案为： 15 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 2 1(3) 9 xy a a 与

22、为双曲线 22 2 1 4 xy m 有公 共焦点 1 F， 2. F设P是椭圆与双曲线的一个交点，则 12 PFF的面积是 6 第 11 页（共 17 页） 【 解 答 】 解 ： 根 据 对 称 性 ， 不 妨 设P在 第 一 象 限 由 题 设 可 知 2222 12 |4(9)4(4)4FFamc 即 22 13am， 22 9ac， 22 4cm 根据椭圆与双曲线的定义得， 在 12 PFF中， 由余弦定理得 222222 1212 12 12 |()()4 cos 2 | |2()() PFPFFFamamc FPF PFPFam am 2222222 2222 2()()5 13

23、 amcaccm amam 所以， 12 12 sin 13 FPF， 1 2 22 1212 1112 | | sin()6 2213 PF F SPFPFFPFam 故答案为：6 16 （5 分）函数( )f x是定义在R上的偶函数，(1)f x是奇函数，且当01x 时， 2020 ( )logf xx，则 1 (2019)() 2020 ff 1 【解答】解：因为( )f x是定义在R上的偶函数，所以()( )fxf x， 可得(1)(1)fxf x ， 因为(1)f x是奇函数，所以(1)(1)fxf x ， 所以(1)(1)f xf x ，(2)( )f xf x ， (4)( )f

24、 xf x， 所以( )f x为周期是 4 的周期函数， 所以 11 (2019)()( 1)() 20202020 fffff（1） 2020 11 ()0log1 20202020 f 故答案为：1 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等比数列 n a的公比为 2， 4 1S ，求 8 S 【解答】解：等比数列 n a的公比为 2， 4 1S ， 4 1 41 (12 ) 151 12 a Sa ，解得 1 1 15 a ， 8 8 1 (12 ) 15 17 12 S 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

25、已知6sinsin1cos2BCC ， AD为BAC的角平分线 第 12 页（共 17 页） （）求 ABD ADC S S 的值； （）若3,3 3ACBD，求AD的长 【解答】解： （）因为6sinsin1cos2BCC ，所以 2 6sinsin1cos22sinBCCC ，因 为0C， 所以sin0C ，得3sinsinBC， 由正弦定理得3bc 因为AD为BAC的角平分线， 所以BADCAD 所以 1 sin 2 3 1 sin 2 ABD ADC AB ADBAD SABc SACb AC ADCAD （）设ABC的BC边上的高为h，由（1）知， 11 3 22 BD hDC h，

26、 所以33 3BDDC， 在ABD中，由余弦定理，得 222 cos 2 ABADBD BAD AB AD ， 在ACD中，由余弦定理，得 222 cos 2 ACADCD CAD AC AD ， 所以 222222 22 ABADBDACADCD AB ADAC AD ， 即 222222 81(3 3)3( 3) 186 ADAD ADAD ， 解得3 2AD 19 （12 分）某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取 100 个新生产的5G芯片 进行检测若每块芯片的生产成本为 1000 元，一级品每个芯片可卖 1500 元，二级品每个芯 片可卖 900 元，三级品禁止出厂且销毁某

27、日检测抽取的 100 个5G芯片的柱状图如图所示 （用样本的频率代替概率） （1）若该生产线每天生产 2000 个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值； （2）若从出厂的所有5G芯片中随机取出 3 个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期 望与方差 第 13 页（共 17 页） 【解答】解： （1）该生产线每天利润的平均值为20 (70 50020 100 10 1000)460000 元； （2）由题意可得 2 (3, ) 9 XB， 03 3 2343 (0)(1) 9729 P XC， 12 3 22294 (1)(1) 99729 P XC， 22 3 7284 (2)( )( )

28、 99729 P XC， 33 3 28 (3)( ) 9729 P XC， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 343 729 294 729 84 729 8 729 22 ()3 93 E Xnp ， 2714 ()(1)3 9927 D Xnpp 20 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAB是等腰直角三角形，BC 平面PAB， PAPB，2ABBC，5ADBD （1）求证：PA平面:PBC （2）求直线PC与平面PAD所成的角的正弦值 【解答】解： （1）证明：因为BC 平面PAB，PA平面PAB， 所以BCPA， 第 14 页（共 17 页） 由PAB 为等腰直角三角形

29、， 所以PAPB， 又PBBCB，故PA平面PAB （2）取AB 的中点O，连接OP，OD， 因为PAPB，ADBD， 所以POAB，DOAB， 因为BC 平面PAB， 所以PAB 平面ABCD， 所以PO 平面ABCD，POOD， 如图，以O 为坐标原点，OD，OB，OP 分别为x，y，z 正半轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 22 1,2AOBOPODOADAO， 又BCAB，DOPA， 所以/ /ODBC 且ODBC，于是 (0P，0，1)，(0A，1，0)，(2D，0，0)，(2C，1，0)， (2,1, 1),(0,1,1),(2,1,0)PCAPAD， 设平面PAD 的法向量为

30、( , , )nx y z，则 0 20 n APyz n ADxy ， 令1x 得平面PAD 的一个法向量(1, 2,2)n ， 设直线PC 与平面PAD 所成的角为， 则 26 sin|cos,| 9| |6 3 PC n PC n PCn 第 15 页（共 17 页） 21 （12 分）已知函数 22 ( )(1)f xx lnxax （1）证明： 1 1lnx x ； （2） （）证明：当 1 0 2 a时，对任意(0,) 1 a x a ，总有( )0f x ； （）讨论函数( )f x的零点个数 【解答】 （1）证明：令 1 ( )1(0)g xlnxx x ， 则 22 111

31、( ) x g x xxx 当01x时，( )0g x；当1x 时，( )0g x， 故( )g x在(0,1)上单调递减；( )g x在(1,)上单调递增， 所以( )g xg（1）0，即 1 1lnx x （2）( ) i证明： 由 （1） 知： 2222 1 ( )(1)(1)(1)(1)(1)f xx lnxaxxaxxa xa x 当 1 0 2 a，(0,) 1 a x a 时，(0,1) 1 a a ，(1)(1)0 xa xa，故( )0f x ( )ii解： 2 2 1 ( )(1)f xx lnxa x ，令 2 1 ( )(1)xlnxa x ，则 2 ( )( )f x

32、xx 因为函数 2 ( )( )f xxx的定义域为(0,)， 故( )yf x的零点与( )yx的零点相同， 所以下面研究函数( )yx在(0,)上的零点个数 第 16 页（共 17 页） 2 1 ( )(1)xlnxa x ， 2 33 122 ( ) axa x xxx 当0a时，( )0 x在(0,)x上恒成立， ( ) x在(0,)x上单调递增 2 ()0 a a a e e ，(2)20 4 a lna 存在唯一的零点 0 (,2) a xe，使得 0 ()0 x 当0a 时， 3 (2 )(2 ) ( ) xaxa x x ， 可得( )yx在(0, 2 )xa上单调递减，在(

33、2a，)上单调递增 ( )yx的最小值为 1 ( 2 )2 2 alnaa 令 1 ( )2 2 m alnaa，则 1 ( )1 2 m a a ， 所以m（a）在 1 (0, ) 2 上单调递增，在 1 ( ,) 2 上单调递减，又 1 ( )0 2 m 当 1 2 a 时，( )yx有唯一零点21xa； 当 1 0 2 a，即021a时，且( 2 )0a （1）0，( ) x在( 2 ,)a 上有唯一的零点1x 又由( ) i知：( )yx在,2 ) 1 a a a 上存在唯一零点，不妨设 1 xx， ( ) x在(0, 2 )a上有唯一的零点 1 xx， 故此时( )yx在(0,)上有

34、两个零点； 当 1 2 a ，即21a 时，且( 2 )0a，（1）0， 1 2 1 a ee 又 2 ()0 a a a e e ，由函数零点存在定理可得( )yx在( 2a，) a e上有唯一零点， 故( )yx在(0, 2 )a，( 2 ,)a 上各一个唯一零点 综上可得：当0a或 1 2 a 时，函数( )f x有唯一零点； 当0a 且 1 2 a 时，函数( )f x有两个零点 22 （12 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的实轴长为2 2，F为右焦点，(0,1)M， (0, 1)N，且MNF为等边三角形 第 17 页（共 17 页） （1）求双曲线

35、E的方程； （2）过点M的直线l与E的左右两支分别交于P、Q两点，求PQN面积的取值范围 【解答】解： （1）设焦距为2c，因为(0,1)M，(0, 1)N，且MNF为等边三角形， 所以3c ， 又22 2a ，所以2a ， 222 1bca， 所以双曲线方程为 2 2 1 2 x y； （2）当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点； 当直线l的斜率存在时，设其方程为1ykx， 联立方程 2 2 1 1 2 ykx x y ，消去y得： 22 (1 2)440kxkx， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 12 2 4 12 k xx k ， 12 2 4 12 x x k ， 因为直线l与双曲线E的左右两支分别交于两点，所以 12 0 0 x x ，解得 22 22 k， 2 2 12121212 22 11 | |()44 2(12) PQN k SMNxxxxxxx x k ， 2 1 0 2 k ， 令 2 2 1(,1 2 tk， 则 2 44 1 21 2 t S t t t ， 因为 1 2yt t 在 2 ( 2 ，1上单调递增， 所以当1t 时，y取得最大值 1， 故当1t 时，S取得最小值，其为 4， 即4S，)