2022年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（6）.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）集合 |(2)Ax yxx， |2xBy y，0 x ，则(AB ) A0，2 B(1，2 C1，2 D(1,) 2 （5 分）若复数z满足(2)14 (zii i 是虚数单位） ，则复数z的共轭复数为( ) A 29 55 i B 29 55 i C 29 55 i D 29 55 i 3 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，

2、次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤棉 花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子 为止分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为( ) A65 B99 C133 D150 4 （5 分）从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 3 8 D 5 8 5 （5 分）已知等比数列 n a的公比0q ，且 2 1a ， 21 2 nnn aaa ，则

3、 n a的前 2020 项和等于( ) A2020 B1 C1 D0 6 （5 分）如图，若 1 C， 2 C分别为函数logayx和logbyx的图象，则( ) A01ab B01ba C1ab Dbal 7 （5 分）已知向量(1,2)a ，(3,1)b ，则向量2ab与2ab的夹角的余弦值为( ) A 5 5 B 13 13 C 2 65 65 D 26 26 8 （5 分） 已知b，c是平面内的两条直线， 则 “直线a” 是 “直线ab且直线ac” 第 2 页（共 19 页） 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）设p： “函数

4、 2 ( )25f xxmxm在(，2上单调递减” ， q： “0 x ， 3 3 8 23xm x ” ，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）若直线0 xyk与圆 22 2410 xyxy 有两个公共点，则实数k的取值范 围是( ) A 4 (,) 3 B 4 (,) 3 C 4 (0, ) 3 D 4 (,0)( ,) 3 11 （5 分）设函数 1 ( )2(0)f xxx x ，则( )(f x ) A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 12 （5 分）已知P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab

5、ab 上一点，且在x轴上方， 1 F、 2 F分别是 双曲线的左、 右焦点， 且 12 | 12F F ， 直线 2 PF与 1 PF所成角为60， 12 PFF的面积为24 3， 则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 3 3 D3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 已知(0,) 2 ，(0,) 2 ， 3 sin() 3 ， 3 ， 则c o s2的值为 14（5 分） 设变量x，y满足约束条件 0 2 36 0 xy xy xy ， 则目标函数2zxy的最小值为 15 （5 分）某校高三年级 3 个学部共有

6、600 名学生，编号为：001，002，600，从 001 到 300 在第一学部，从 301 到 495 在第二学部，496 到 600 在第三学部采用系统抽样的 方法从中抽取 50 名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为 003，则第二学部被抽取的 人数为 第 3 页（共 19 页） 16（5 分） 对于 * nN， 将n表示 1210 0121 22222 kkk kk naaaaa ， 当0i 时，1 i a ，当1 i k剟时， i a为 0 或 1记( )I n为上述表示中 i a为 0 的个数（例如 0 1 1 2 ， 210 41 20 20 2 ) ，故I（1）0，I（4）2

7、，则 （1）1（8） ； （2）I（1）I（2）I（3）(2048)I 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）已知函数( )cos(2)2sin()sin() 344 f xxxx （1）求函数( )yf x在区间, 12 2 上的最值； （2）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足3c ，f（C）1，且 sin2sinBA，求a、b的值 18 （12 分） 某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生， 将其成绩 （均为整数） 分成六组40， 50)，50，60)90，100后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下 列问题：

8、 （）求成绩落在70，80)上的频率，并补全这个频率分布直方图； （） 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格）和平均分； （） 为调查某项指标， 从成绩在60 80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽 6 人， 再从这 6 人中选 2 人进行对比，求选出的这 2 名学生来自同一分数段组的概率 19 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，E，F分别为 11 AC，BC的中点， 1 2BBABBC， 1 C FAB （1）求证： 1 / /C F平面ABE； 第 4 页（共 19 页） （2）求证：平面ABE 平面 11 B BCC； （3）求三棱锥 1 CABE的体积 20

9、 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 经过点(0,1)，离心率为 3 2 ，A、B、C为椭 圆上不同的三点，且满足0OAOBOC，O为坐标原点 （）若直线AB、OC的斜率都存在，求证： ABOC kk为定值； （）求|AB的取值范围 21 （12 分）已知函数 2 ( )() x f xaexlnxx aR （1）当0a时，证明：函数( )f x单调递增； （2）当0a 时，令 ( ) ( ) f x g x x ，若( ) 2g x ，求实数a的取值范围 22 （10 分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形 成的曲面） 的一部分 过

10、对称轴的截口BAC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点 1 F上， 片门位于另一个焦点 2 F上由椭圆一个焦点 1 F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到 另一个焦点 2 F已知 112 BFFF， 1 6 | 3 FB ， 12 | 4FF （1）试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程； （2） 如图， 若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P， 且 12 90FPF， 求 12 FPF的面积 第 5 页（共 19 页） 第 6 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案

11、与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）集合 |(2)Ax yxx， |2xBy y，0 x ，则(AB ) A0，2 B(1，2 C1，2 D(1,) 【解答】解：集合 |(2) |02Ax yxxxx剟 |2xBy y，0 |1xy y， |12(1ABxx，2 故选：B 2 （5 分）若复数z满足(2)14 (zii i 是虚数单位） ，则复数z的共轭复数为( ) A 29 55 i B 29 55 i C 29 55 i D 29 55 i 【解答】解：由(2)14zii ， 得 14(14 )(2)29

12、29 2(2)(2)555 iiii zi iii ， 所以复数z的共轭复数为 29 55 zi 故选：B 3 （5 分） 算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传 ”意为：996 斤棉 花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子 为止分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为( ) A65 B99 C133 D150 【解答】解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列 n a， 由题设知：公差17d ， 又 12381 87 8179

13、96 2 aaaaa ，解得 1 65a ， 故 51 4654 17133aad， 故选：C 4 （5 分）从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 第 7 页（共 19 页） 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为( ) A 2 5 B 3 5 C 3 8 D 5 8 【解答】解：从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数4416n ， 抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有 10 种，分别为： (1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(

14、3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 105 168 p 故选：D 5 （5 分）已知等比数列 n a的公比0q ，且 2 1a ， 21 2 nnn aaa ，则 n a的前 2020 项和等于( ) A2020 B1 C1 D0 【解答】解：由 21 2 nnn aaa ， 2 ()2 nn a qqa，化为 2 20qq，0q ， 解得1q ， 又 21 1( 1)aa ，解得 1 1a 则 n a的前 2020 项和 2020 1( 1) 0 1( 1) ， 故选：D 6 （5 分）如图，若 1

15、C， 2 C分别为函数logayx和logbyx的图象，则( ) A01ab B01ba C1ab Dbal 【解答】 解： 根据 1 C， 2 C分别为函数logayx和logbyx的图象， 可得01b，01a， 且ba， 故选：B 7 （5 分）已知向量(1,2)a ，(3,1)b ，则向量2ab与2ab的夹角的余弦值为( ) 第 8 页（共 19 页） A 5 5 B 13 13 C 2 65 65 D 26 26 【解答】解：2(7,4),2( 1,3)abab ， (2 ) (2)7( 1)4 3526 cos2 ,2 26|2 |2|65105 26 abab abab abab

16、故选：D 8 （5 分） 已知b，c是平面内的两条直线， 则 “直线a” 是 “直线ab且直线ac” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：b，c是平面内的两条直线，直线a，直线ab且直线ac，即 充分性成立； b，c是平面内的两条直线，直线ab且直线ac，当b，c相交时，直线a，即 必要性不成立 直线a是直线ab且直线ac的充分不必要条件 故选：A 9 （5 分）设p： “函数 2 ( )25f xxmxm在(，2上单调递减” ， q： “0 x ， 3 3 8 23xm x ” ，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件

17、C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：p：因为函数 2 ( )25f xxmxm在(，2上单调递减，所以2 4 m ， 即8m q：因为0 x 时， 33 33 88 22 28xx xx ， 所以“0 x ， 3 3 8 23xm x ”等价于38m ，即5m ， 因为集合 5，) 8，)，p推不出q，而q能推出p， 所以p是q的必要不充分条件 故选：B 10 （5 分）若直线0 xyk与圆 22 2410 xyxy 有两个公共点，则实数k的取值范 第 9 页（共 19 页） 围是( ) A 4 (,) 3 B 4 (,) 3 C 4 (0, ) 3 D 4 (,0)( ,) 3

18、【解答】解：化圆 22 2410 xyxy 为 22 (1)(2)4xy， 则圆心坐标为( 1,2)，半径为 2， 直线0 xyk与圆 22 2410 xyxy 有两个公共点， 2 |2| 2 1 k k ，解得0k或 4 3 k 实数k的取值范围是 4 (,0)( ,) 3 故选：D 11 （5 分）设函数 1 ( )2(0)f xxx x ，则( )(f x ) A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数 【解答】解：0 x ， 11 ( )()2224f xxx xx ，当且仅当 1 x x ，即1x 时取等号， ( )f x有最大值， ( )f x在(,0)上没有单调性 故选：A

19、12 （5 分）已知P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上一点，且在x轴上方， 1 F、 2 F分别是 双曲线的左、 右焦点， 且 12 | 12F F ， 直线 2 PF与 1 PF所成角为60， 12 PFF的面积为24 3， 则双曲线的离心率为( ) A2 B3 C 3 3 D3 【解答】解：P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上一点，且在x轴上方， 不妨设P在右支上，双曲线的半焦距为c， 1 F， 2 F分别是双曲线的左、右焦点， 12 | 12F F ，即6c ， 可设 1 |PFm， 2 |PFn，可得2mna， 13 sin6024 3 2

20、4 mnmn ，即96mn ， 第 10 页（共 19 页） 又 2222 42cos60()144cmmmnmnmn， 即有 2 496144a ，解得2 3a ， 所以 6 3 2 3 c e a 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知(0,) 2 ，(0,) 2 ， 3 sin() 3 ， 3 ，则cos2的值为 63 6 【解答】解：(0,) 2 ，(0,) 2 ， 3 sin() 3 ， 6 cos() 3 ， 又 3 ， 163363 cos2cos()()cos()cos()sin()sin()

21、 23236 故答案为： 63 6 14（5 分） 设变量x，y满足约束条件 0 2 36 0 xy xy xy ， 则目标函数2zxy的最小值为 3 【解答】解：变量x，y满足约束条件 0 2 36 0 xy xy xy 的可行域如图 目标函数2zxy， 点(1,1)A，3 A z， (2,0)B，2204 B z ； (3,3)C，2339 C z ， z在点A处有最小值：3， 故答案为：3 第 11 页（共 19 页） 15 （5 分）某校高三年级 3 个学部共有 600 名学生，编号为：001，002，600，从 001 到 300 在第一学部，从 301 到 495 在第二学部，49

22、6 到 600 在第三学部采用系统抽样的 方法从中抽取 50 名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为 003，则第二学部被抽取的 人数为 17 【解答】解：样本间隔为6005012， 则抽出的号码为3 12(1)129nn， 由301 129 495n剟， 得310 12504n剟， 得 10 2542 12 n剟， 则26n ，27，42，共有4226117 个， 故答案为：17 16（5 分） 对于 * nN， 将n表示 1210 0121 22222 kkk kk naaaaa ， 当0i 时，1 i a ，当1 i k剟时， i a为 0 或 1记( )I n为上述表示中 i a为 0

23、 的个数（例如 0 1 1 2 ， 210 41 20 20 2 ) ，故I（1）0，I（4）2，则 （1）1（8） 3 ； （2）I（1）I（2）I（3）(2048)I 【解答】解： （1）根据题意， 3210 81 20 20 20 2 ，则I（8）3； （2）I（1） 1 00 2，I（2）I（3） 0 1 1 2 ， 第 12 页（共 19 页） I（4）I（5）I（6）I（7） 1 42 2， I（8）I（9） 2 (15)123 2I， 所以I（1）I（2）I（3）(2048)I 1019 0 21 22 210 211 9228 故答案为：3，9228 三解答题（共三解答题（共

24、6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）已知函数( )cos(2)2sin()sin() 344 f xxxx （1）求函数( )yf x在区间, 12 2 上的最值； （2）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足3c ，f（C）1，且 sin2sinBA，求a、b的值 【解答】解： （1）( )cos(2)2sin()sin() 344 f xxxx 13 cos2sin2(sincos )(sincos ) 22 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 13 cos2sin2cos2 22 xxx sin(2) 6 x ,

25、12 2 x ， 5 2, 636 x ， ( )f x在2 63 x ，即 12 x 时，取最小值 3 2 ； 在2 62 x 时，即 3 x 时，取最大值 1； （2）f（C）sin(2)1 6 C ， 0C，022C， 11 2 666 C ，则2 62 C ， 3 C sin2sinBA， 由正弦定理得：2ba， 第 13 页（共 19 页） 由余弦定理得： 222 2cos 3 cabab ， 即 222 3cabab， 解得：1a ，2b 18 （12 分） 某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生， 将其成绩 （均为整数） 分成六组40， 50)，50，60)90，100后画出如

26、下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下 列问题： （）求成绩落在70，80)上的频率，并补全这个频率分布直方图； （） 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格）和平均分； （） 为调查某项指标， 从成绩在60 80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽 6 人， 再从这 6 人中选 2 人进行对比，求选出的这 2 名学生来自同一分数段组的概率 【解答】解（）成绩落在70，80)上的频率是 0.3，频率分布直方图如下图 （） 估计这次考试的及格率(60)分及以上为及格为10.01 100.015 1075% 平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571，

27、 （ ） 成 绩 是6 0 7 0分A组 有0 . 0 1 51 06 09人 ， 成 绩 在70 80分B组 有 0 . 0 31 06 01 8人， 按分层抽样A组抽 2 人记为a，b，B组抽 4 人记为 1，2，3， 4 从 第 14 页（共 19 页） 这 6 人中抽 2 人有1a，2a，3a，4a，1b，2b，3b，4b，12，13，14，23，24，34， ab共 15 种选法 两人来自同一组有 12，13，14，23，24，34，ab有 7 种选法 所以两人来自同一组的概率为 7 15 p 19 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，E，F分别为 11 AC，BC

28、的中点， 1 2BBABBC， 1 C FAB （1）求证： 1 / /C F平面ABE； （2）求证：平面ABE 平面 11 B BCC； （3）求三棱锥 1 CABE的体积 【解答】证明： （1）取AB中点G，连结BG、GF， 在直三棱柱 111 ABCABC中，E，F分别为 11 AC，BC的中点， / /FGAC， 1 2 FGAC， 1/ / ECAC， 1 1 2 ECAC， 四边形 1 EGFC是平行四边形， 1 / /C FEG， 1 C F 平面ABE，EG 平面ABE， 1 / /C F平面ABE （2） 1 CCAB， 1 C FAB， 111 CCC FC， AB平面

29、11 BCC B， AB 平面EBA，平面ABE 平面 11 B BCC 解： （3）三棱锥 1 CABE的体积： 111 1112 2222 3323 CABEB AC EAC E VVS 第 15 页（共 19 页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 经过点(0,1)，离心率为 3 2 ，A、B、C为椭 圆上不同的三点，且满足0OAOBOC，O为坐标原点 （）若直线AB、OC的斜率都存在，求证： ABOC kk为定值； （）求|AB的取值范围 【解答】解： （）证明：由题意可得1b ， 3 2 c a ， 222 abc，解得 2 4a ， 2 1b ，

30、所以椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y； 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由0OAOBOC，可得 12 (Cxx， 12) yy， 因为直线AB、OC的斜率都存在，所以 12 12 AB yy k xx ， 1212 1212 OC yyyy k xxxx ， 所以 22 12 22 12 ABOC yy kk xx ，因为A，B在椭圆上，所以 2 21 1 2 22 2 1 4 1 4 x y x y ， 所以 22 2212 12 0 4 xx yy ，即 22 12 22 12 1 4 yy xx ， 所以可证， ABOC kk为定值 1 4 ； （）

31、1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y， 当AB的斜率不存在时即 12 xx， 12 0yy，可得 31 2xx ， 3 0y ， 代入椭圆方程可得1x ， 3 2 y ，则|3AB ； 设直线AB的方程为：ykxt，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线与椭圆联立可得 22 440 ykxt xy ，整理可得， 222 (1 4)8440kxktt， 2 222 644(1 4)(44)0k tkt，可得 22 14tk ， 第 16 页（共 19 页） 12 2 8 14 kt xx k ， 2 12 2 44 14 t

32、x x k ， 1212 2 2 ()2 14 t yyk xxt k ， 即 2 8 (1 4 kt C k ， 2 2 ) 14 t k ，代入椭圆方程可得 2 22 2222 164 1 (14)(14) k tt kk ， 化为 2 2 14 4 k t ， 又 2 222 22222 1212 2222 6416161 |1()414 14 (14)1414 k ttk ABkxxx xkkt kkk 22 2 22 131 4(14)2 3 14414 kk k kk ， 当0k 时，| 2 3AB ； 当AB的斜率不为 0，即0k ， 可得 2 2 2 11 | 2 32 3 3

33、 14 1 1 1 1 AB k k k ， 由 2 1 11 k ，可得 2 3 03 1 1 k ，则 2 3 1 14 1 1 k ， 即有 2 11 1 3 2 1 1 1 k ，则3 | 2 3AB， 故|AB的取值范围是 3，2 3 21 （12 分）已知函数 2 ( )() x f xaexlnxx aR （1）当0a时，证明：函数( )f x单调递增； （2）当0a 时，令 ( ) ( ) f x g x x ，若( ) 2g x ，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）证明，函数( )f x的定义域为(0,)， ( )(1)2(21) xx fxaelnxxaexlnx，

34、令 121 ( )21,( )2 x h xxlnxh x xx ， 令( )0h x， 可得 1 2 x ， 第 17 页（共 19 页） 可得函数( )h x的增区间为 1 ( ,) 2 ， 减区间为 1 (0, ) 2 ， 可得 11 ( )( )1120 22 h xhlnln ， 又由0 x ae ， 得( )0fx， 故当0a时，函数( )f x单调递增 （2）由题意有( ) x ae g xlnxx x ， 222 (1)1(1)11 ( )1(1)() xxx a xea xexae g xx xxxxxx ， 令( )0g x，可得1x ， 可得函数( )g x的增区间为(1

35、,)，减区间(0,1)， 有( )ming xg（1）1 2ae ， 可得 1 a e ， 故所求实数a的取值范围为 1 ,) e 22 （10 分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形 成的曲面） 的一部分 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点 1 F上， 片门位于另一个焦点 2 F上由椭圆一个焦点 1 F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到 另一个焦点 2 F已知 112 BFFF， 1 6 | 3 FB ， 12 | 4FF （1）试建立适当的坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程； （2） 如图， 若透明窗DE所在的直线与截口BA

36、C所在的椭圆交于一点P， 且 12 90FPF， 求 12 FPF的面积 第 18 页（共 19 页） 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设截口BAC所在椭圆的方程为： 22 22 1(0) xy ab ab ， 因为 112 BFFF， 1 6 | 3 FB ， 12 | 4FF ， 所以在直角 12 BFF中， 22 2112 5 6 | 3 BFBFFF， 故 12 2| 2 6aFBF B，6a ， 又 12 2| 4cF F，2c ，所以 222 2bac， 所以，所求的椭圆方程为 22 1 62 xy （2）点P在椭圆上， 12 | 22 6PFPFa， 又 12 90FPF，即 12 FPF为直角三角形， 222 1212 |16FFPFPF， 第 19 页（共 19 页） 有 12 22 12 2 6 |16 PFPF PFPF ， 2得： 12 | | 4PFPF， 故 12 PFF的面积为： 12 1 | | 2 2 PFPF