2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（14）.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（14） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 2 |20AxR xx，|1327 x BxN，则()( RA B ) A(0,1) B1，2 C(2，3 D3 2 （5 分）已知复数 1 2zi， 2 12zi ，则 1 1 2 | z z z 为( ) A1 B2 C2 D5 3 （5 分）已知单位向量, a b的夹角为60，abk与b垂直，则k的值为( ) A2 B 3 2 C 2 2 D 1 2 4

2、（5 分）很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问” ， “64 片金片在三根金针上移动的 寓言” )都涉及 64 2这个数请你估算这个数 64 2大致所在的范围是( )（参考数据： 20.30lg，30.48)lg A 12 (10， 13 10 ) B 19 (10， 20 10 ) C 20 (10， 21 10 ) D 30 (10， 31 10 ) 5 （5 分） 为落实 国家学生体质健康标准 达标测试工作， 全面提升学生的体质健康水平， 某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生， 测试了立定跳远项目， 依据测试数 据绘制了如图所示的频率直方图已知立定跳远200cm以上成绩为

3、及格，255cm以上成绩 为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是( ) A87%，3% B80%，3% C87%，6% D80%，6% 6 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) 第 2 页（共 19 页） A 1 3 B 4 6 C 2 6 D 4 12 7（5 分） 过点( , )P x y作圆 22 1: 1Cxy与圆 22 2:( 2)(2)1Cxy的切线， 切点分别为A、 B，若| |PAPB，则 22 xy的最小值为( ) A2 B2 C2 2 D8 8 （5 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左

4、焦点(,0)Fc关于直线 b yx a 的对称点Q在 该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A 5 2 B5 C3 D 3 2 9 （5 分）若 2 1 sin2sin0 2 ，则cos(2)( 4 ) A1 B 2 2 C 2 2 D 2 2 10 （5 分）若x，y满足约束条件 236 0 24 4 xy xy xy a ，且3zxy的最大值为 12，则a的取值 范围为( ) A4a B16a C12a D16a 11 （5 分）已知直线(0)yxkk和曲线( )(0)f xxalnx a相切，则a的取值范围是( ) A(，0)(0，) e B(0, ) e C(0，1)(1，) e D(

5、，0)(1，) e 12 （5 分）已知 235 logloglog1xyz ，则2x，3y，5z的大小关系为( ) A235xyz B325yxz C523zxy D532zyx 第 3 页（共 19 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）某“2020 年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织 4 名男生 6 名女生志愿者到社 区进行防震减灾图片宣讲， 若这些选派学生只考虑性别， 则派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率为 14 （5 分）已知函数( )f x满足(1)(1)0f xfx，且(1)f x是奇函数

6、，有以下四个说 法：( )f x是奇函数；( )f x是周期函数；f（1）0；(1)f x是奇函数则上述 说法正确的是 15 （5 分）已知等比数列 n a中， 2 1a ， 5 8a ，则 n a的前 5 项和为 16 （5 分）沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为3，若该正三角形 边长为 2，则四面体ABCD外接球表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数( )sin(2)sin(2)cos2 66 f xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期及单调递减区间； （2）当(0,)

7、 2 x 时，求( )f x的取值范围 18 （12 分）如图，ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是BC上的动点（不 包括点B，)C，平面ABC 平面BCD （1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置；若不存在，请说明理由 （2）若30CBD，求二面角OADC的余弦值 19 （12 分）自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国 2020 年 4 月 9 日12月 14 日每隔 25 天统计 1 次共 11 次累计确诊人数（万) 日期（月/日） 4 / 09 5 / 04 5/ 29 6 / 23 7 /18 8/13 统计时间顺序x 1 2 3 4 5 6

8、 第 4 页（共 19 页） 累计确诊人数y 43.3 118.8 179.4 238.8 377.0 536.0 日期（月/日） 9 / 06 10 / 01 10/ 26 11/19 11/14 统计时间顺序x 7 8 9 10 11 累计确诊人数y 646.0 744.7 888.9 1187.4 1673.7 （1）将 4 月 9 日作为第 1 次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为 变量y，得到函数关系( ,0) bx yaea b对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似 处理的一些统计量的值6x ，603.09y ， 11 1 1 5.98 11 i i ln

9、y ， 11 1 ()()15835.70 ii i xxyy ， 11 1 ()()35.10 ii i xx lnylny ， 11 2 1 ()110 i i xx ， 11 2 1 ()11.90 i i lnylny ， 4.06 57.97e， 4.07 58.56e， 4.08 59.15e根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01) （2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常 有长达 14 天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超 过 15 秒，就有可能传染病毒如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他

10、人的概率为 0.3，在 一次36人的家庭聚餐中， 只有一位感染者参加了聚餐， 记余下的人员中被感染的人数为X， 求X k最有可能（即概率最大）的值是多少 20 （12 分）在平面直角坐标系中，曲线:( , )0F x y和函数 2 1 ( ) 4 f xx的图象关于点(1,2) 对称 （1）函数 2 1 ( ) 4 f xx的图象和直线4yxk交于A、B两点，O是坐标原点，求证： 2 AOB ； （2）求曲线的方程； （3）对于（2） ，依据课本章节圆锥曲线的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线 21 （12 分）已知函数 432 ( ) 46 ab f xxxcxmxlnx （）当1ac，0b

11、时，( )f x在定义域上单调递增，求m的取值范围； （）当0ac，1b 时，( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 2xx 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 5 页（共 19 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数） ，以坐标原 点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 3 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线OP的极坐标方程为 6 ，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点)O，与直 线l的

12、交点为B，求线段AB的长 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |1| 2|f xxxa （1）当2a 时，求( )f x的最小值； （2）若函数在区间 1，1上递减，求a的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（14） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 2 |20AxR xx，|1327 x BxN，则()( RA B ) A(0,1) B1，2 C(2，3 D3 【

13、解答】解：0A，2，|031BxNx，2，3， ( RA ，0)(2，)，()3 RA B 故选：D 2 （5 分）已知复数 1 2zi， 2 12zi ，则 1 1 2 | z z z 为( ) A1 B2 C2 D5 【解答】解：因为复数 1 2zi， 2 12zi ， 所以 1 1 2 2(2)( 12 ) 2222 125 ziii ziiii zi ， 所以 1 1 2 | z z z 为 2 故选：C 3 （5 分）已知单位向量, a b的夹角为60，abk与b垂直，则k的值为( ) A2 B 3 2 C 2 2 D 1 2 【解答】解：单位向量, a b的夹角为60， 1 1 1

14、 cos60 2 a b ， abk与b垂直，( 2 )10 2 abba bb k kk，2k， 故选：A 4 （5 分）很多关于大数的故事里（例如“棋盘上的学问” ， “64 片金片在三根金针上移动的 寓言” )都涉及 64 2这个数请你估算这个数 64 2大致所在的范围是( )（参考数据： 20.30lg，30.48)lg A 12 (10， 13 10 ) B 19 (10， 20 10 ) C 20 (10， 21 10 ) D 30 (10， 31 10 ) 【解答】解：设 64 2N， 两边同时取常用对数得： 64 2lglgN， 第 7 页（共 19 页） 642lglgN，

15、64 0.3019.2lgN， 19.2 10N， 故选：B 5 （5 分） 为落实 国家学生体质健康标准 达标测试工作， 全面提升学生的体质健康水平， 某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生， 测试了立定跳远项目， 依据测试数 据绘制了如图所示的频率直方图已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩 为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是( ) A87%，3% B80%，3% C87%，6% D80%，6% 【解答】 解： 由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.003200.06， 即为6% 则立定跳远200cm以上

16、， 5 1(0.0030.014)200.87 20 ，即及格率为87%， 故选：C 6 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A 1 3 B 4 6 C 2 6 D 4 12 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个三棱锥体和一个 1 4 圆 第 8 页（共 19 页） 锥组成的几何体； 其中三棱锥体的一个面为腰长为 1 的等腰直角三角形， 对应的高为 2， 圆锥的底面半径为 1， 高为 1， 则该几何体的体积为： 2 11114 11 1 2 433212 V 故选：D 7（5 分） 过点( , )P x y作圆 22 1: 1Cxy与圆 2

17、2 2:( 2)(2)1Cxy的切线， 切点分别为A、 B，若| |PAPB，则 22 xy的最小值为( ) A2 B2 C2 2 D8 【解答】解：易知 22 1: 1Cxy与圆 22 2:( 2)(2)1Cxy的半径都为 1， 故 22 12 |1,|1PAPCPBPC，由| |PAPB得 12 | |PCPC， 故P在线段 12 C C的中垂线上，由 1(0,0) C， 2(2,2) C，易得中垂线为：1(1)yx ，即 20 xy 当 22 xy的值最小时，原点到该直线的距离为最小值，即 22 2 2 11 故 22 xy的最小值为 2 ( 2)2 故选：B 8 （5 分）双曲线 22

18、 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点(,0)Fc关于直线 b yx a 的对称点Q在 该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A 5 2 B5 C3 D 3 2 【解答】解：设左焦点关于0bxay的对称点为( , )Q x y， 由题意可得 0 22 ya xcb xcy ba ， 解得： 22 ba x c ， 2ab y c ， 即 22 (b a Q c ， 2 ) ab c ，而Q在双曲线上， 22 222 2222 ()4 1 baa b a cc b ， 整理可得 22 2422 (2)40caaa c，即 422 5ca c， 第 9 页（共 19 页） 整理可得： 2

19、2 5ca，所以离心率5 c e a ， 故选：B 9 （5 分）若 2 1 sin2sin0 2 ，则cos(2)( 4 ) A1 B 2 2 C 2 2 D 2 2 【解答】解：因为 2 1 sin2sin0 2 ， 所以 2 sincossin0， 所以sin0或sincos， 当sin0时， 2 222 cos(2)(cos2sin2 )(122sincos ) 4222 sin ， 当sincos即tan1时， 2 cos(2)(cos2sin2 ) 42 ， 22 2 (cossin2sincos ) 2 ， 2 22 2 12tan2 () 2112 tan tantan 故选：

20、D 10 （5 分）若x，y满足约束条件 236 0 24 4 xy xy xy a ，且3zxy的最大值为 12，则a的取值 范围为( ) A4a B16a C12a D16a 【解答】解：画出约束条件 236 0 24 4 xy xy xy a 表示的平面区域，如图阴影部分所示； 第 10 页（共 19 页） 目标函数3zxy可化为3yxz， 平移目标函数知，3yxz过点C时，直线在y轴上的截距最小，z取得最大值； 由 4 24 xya xy ，求得 24 ( 7 a C ， 16 ) 7 a ， 所以z的最大值为 2416 3412 77 max aa za ， 解得16a 故选：D 1

21、1 （5 分）已知直线(0)yxkk和曲线( )(0)f xxalnx a相切，则a的取值范围是( ) A(，0)(0，) e B(0, ) e C(0，1)(1，) e D(，0)(1，) e 【解答】解：函数( )(0)f xxalnx a的定义域为(0,)， 设直线(0)yxkk和曲线( )(0)f xxalnx a相切于 0 (x， 00 )(0)xx k， ( )1 a fx x ，切线斜率 0 0 ()1 a fx x k， 又切点在曲线( )f x上， 000 0 1 xxalnx a x k k ， 整理得 00 0 (1) 1 xalnx a x k k ，解得 0 (1)

22、xe ae k ， 0k，(1)aee k，且0a a的取值范围是(，0)(0，) e 第 11 页（共 19 页） 故选：A 12 （5 分）已知 235 logloglog1xyz ，则2x，3y，5z的大小关系为( ) A235xyz B325yxz C523zxy D532zyx 【解答】解： 235 logloglog1xyz ， 设 235 log (2 )log (3 )log (5 )0 xyzk，则22kx ，33ky ，55kz ， 0k ，532 kkk ， 532zyx 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分

23、） 13 （5 分）某“2020 年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织 4 名男生 6 名女生志愿者到社 区进行防震减灾图片宣讲， 若这些选派学生只考虑性别， 则派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率为 1 3 【解答】解：10 人中选 3 人的可能 3 10 C种，3 人中至少 2 个男生的可能数 321 446 CCC， 故派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率为 321 446 3 10 4661 1203 CC C P C 故答案为： 1 3 14 （5 分）已知函数( )f x满足(1)(1)0f xfx，且(1)f x是奇函数，有以下四个说 法：( )f x是奇函

24、数；( )f x是周期函数；f（1）0；(1)f x是奇函数则上述 说法正确的是 【解答】解：根据题意，依次分析四个说法： 对于，无法分析( )f x与()fx的关系，即无法得知( )f x是否为奇函数，错误； 对于，因为(1)(1)0f xfx，则( )(2)f xfx ， 又由(1)f x是奇函数，则有( )( 2)f xfx ， 所以(2)( 2)fxfx ，即( )(4)f xf x， 所以( )f x是周期函数，正确； 对于， 因为(1)(1)0f xfx， 所以令0 x ， 则f（1）f（1）0， 变形可得f（1） 0，正确； 对于，因为(1)(1)0f xfx，所以(1)(1)f

25、xfx ，所以( )f x关于(1,0)点成中心 第 12 页（共 19 页） 对称， 则(1)f x关于(0,0)点成中心对称，所以(1)f x是奇函数，正确； 故答案为： 15 （5 分）已知等比数列 n a中， 2 1a ， 5 8a ，则 n a的前 5 项和为 11 2 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q，若 2 1a ， 5 8a ， 则有 35 2 8 a q a ，则2q ； 则 2 1 1 2 a a q 则 n a的前 5 项和 5 1 5 (1)11 12 aq S q ， 故答案为： 11 2 16 （5 分）沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C

26、间的距离为3，若该正三角形 边长为 2，则四面体ABCD外接球表面积为 7 【解答】解：根据题意可知，四面体ABCD的三条棱满足BDAD、DCDA， 把四面体扩展为三棱柱，则三棱柱的底面边长分别为 1，1，3， 由题意可得，三棱柱上下底面外心连线的中点O，到三棱柱顶点的距离相等， O就是外接球的球心， 设外接球的半径为r，棱柱的高为3，球心到底面的距离为 3 2 ， 底面BDC中，1BDCD，3BC ，得120BDC， BDC的外接圆的半径为： 3 1 2sin120 ， 球的半径为 37 1 42 r ， 外接球的表面积为： 2 47r 故答案为：7 第 13 页（共 19 页） 三解答题（

27、共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知函数( )sin(2)sin(2)cos2 66 f xxxx （1）求函数( )f x的最小正周期及单调递减区间； （2）当(0,) 2 x 时，求( )f x的取值范围 【解答】解： （1）函数( )sin(2)sin(2)cos2 66 f xxxx 3131 sin2cos2sin2cos2cos2 2222 xxxxx， 3sin2cos2xx， 2sin(2) 6 x 所以函数的最小正周期 2 2 T ， 令 3 222() 262 xZ k 剟kk， 解得： 2 () 63

28、 xZ k 剟kk， 所以函数的单调递减区间为： 2 ,() 63 Z kkk （2）由于(0,) 2 x 时， 所以 7 2(,) 666 x ， 故 1 ( )( ,1 2 f x 当 6 x 时取得最大值为 1 18 （12 分）如图，ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是BC上的动点（不 包括点B，)C，平面ABC 平面BCD （1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置；若不存在，请说明理由 （2）若30CBD，求二面角OADC的余弦值 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）不存在 下面用反证法证明：假设存在点D，使得BDAC， ABC为正三角形，O为

29、BC的中点， OABC， 又平面ABC 平面BCD，平面ABC平面BCDBC， OA平面BCD， BDAC，即90CBD， 又点D在以线段BC为直径的半圆上， 90BDC， 在BCD中有两个角均为直角，明显不成立， 故假设不成立，即不存在点D，使得BDAC （2）由（1）知，AO 平面BDC，以O点为坐标原点，OC，OA所在直线分别为y轴， z轴，平面BCD内过点O且垂直于BC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设1OC ，则 3 1 (0,0,0), (0,0, 3),(0,1,0),(,0) 22 OACD， 3 131 (,3),(0,0, 3),(,0) 2222 ADO

30、ACD， 设平面OAD的法向量为( , , )mx y z， 则 31 30 22 30 m ADxyz m OAz ， 可取( 1, 3,0)m ， 设平面ADC的法向量为( , , )na b c，则 31 30 22 31 0 22 n ADabc n CDab ，可取(1, 3,1)n ， 则 5 cos, |5 m n m n m n ， 第 15 页（共 19 页） 易知二面角OADC为锐二面角，故二面角OADC的余弦值为 5 5 19 （12 分）自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国 2020 年 4 月 9 日12月 14 日每隔 25 天统计 1 次共 11

31、 次累计确诊人数（万) 日期（月/日） 4 / 09 5 / 04 5/ 29 6 / 23 7 /18 8/13 统计时间顺序x 1 2 3 4 5 6 累计确诊人数y 43.3 118.8 179.4 238.8 377.0 536.0 日期（月/日） 9 / 06 10 / 01 10/ 26 11/19 11/14 统计时间顺序x 7 8 9 10 11 累计确诊人数y 646.0 744.7 888.9 1187.4 1673.7 （1）将 4 月 9 日作为第 1 次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为 变量y，得到函数关系( ,0) bx yaea b对如表的数

32、据作初步处理，得到部分数据已作近似 处理的一些统计量的值6x ，603.09y ， 11 1 1 5.98 11 i i lny ， 11 1 ()()15835.70 ii i xxyy ， 11 1 ()()35.10 ii i xx lnylny ， 11 2 1 ()110 i i xx ， 11 2 1 ()11.90 i i lnylny ， 4.06 57.97e， 4.07 58.56e， 4.08 59.15e根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01) （2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常 有长达 14 天的潜伏期，

33、这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超 过 15 秒，就有可能传染病毒如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为 0.3，在 一次36人的家庭聚餐中， 只有一位感染者参加了聚餐， 记余下的人员中被感染的人数为X， 求X k最有可能（即概率最大）的值是多少 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）因为( ,0) bx yaea b，所以lnybxlna， 由已知可得 11 1 11 2 1 ()() 35.10 0.32 110 ii i i i xx lnylny b xx ，0.325.980.32 64.06lnalnyx， 则 4.06 57.97ae，

34、 所以所求函数方程为 0.32 57.97 x ye； （ 2 ） 设 余 下 的35人 中 被 感 染 的 人 数 为X， 则( 3 5 , 0 . 3 )XB， 所 以 35 35 ()0 30 7P XC kkk k， 要使()P X k最大，需 ()(1) ()(1) P XP X P XP X k 卥 k 卥 ， 所 以 351136 3535 351134 3535 03070307 03070307 CC CC kkkkkk kkkkkk ， 即 0 . 30 . 7 ! ( 3 5) !(1 ) ! ( 3 6) ! 0 . 70 . 3 ! ( 3 5) !(1 ) ! (

35、3 4) ! kkkk kkkk ， 即 1 0 . 80 . 30 . 7 0 . 70 . 71 0 . 50 . 3 k卥 k卥 ，解得9.810.8刱 ?， 因为Nk，所以10k， 所以X k最有可能（即概率最大）的值是10k 20 （12 分）在平面直角坐标系中，曲线:( , )0F x y和函数 2 1 ( ) 4 f xx的图象关于点(1,2) 对称 （1）函数 2 1 ( ) 4 f xx的图象和直线4yxk交于A、B两点，O是坐标原点，求证： 2 AOB ； （2）求曲线的方程； （3）对于（2） ，依据课本章节圆锥曲线的抛物线的定义，求证：曲线为抛物线 【解答】解： （1）

36、证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立直线4yxk与 2 1 4 yx可得 2 4160 xxk， 则 12 4xx k， 12 16x x ， 1212 (4)(4)y yxxkk 222 1 212 4 () 1616161616x xxxkkkk， 第 17 页（共 19 页） 所以 1212 16160OA OBx xy y ， 所以OAOB，即 2 AOB ； （2）设曲线上任一点的坐标为( , )x y， 可得它关于点(1,2)对称的点的坐标为(2,4)xy， 由点(2,4)xy在函数 2 1 ( ) 4 f xx的图象上，可得 2 1 4(2) 4

37、 yx， 整理可得曲线的方程为 2 1 3 4 yxx ； （3）证明：设曲线上任一点( , )P x y满足 2 1 3 4 yxx ， 设(2,3)F，直线:5l y ， 则 2222224232 111 |(2)(3)(2)(33)44 4162 PFxyxxxxxxxx 22222 11 (2)(35)(5) 44 xxxxy ， 所以曲线上任一点( , )P x y到(2,3)F的距离与到直线5y 的距离相等， 根据抛物线的定义可得曲线为抛物线 21 （12 分）已知函数 432 ( ) 46 ab f xxxcxmxlnx （）当1ac，0b 时，( )f x在定义域上单调递增，求

38、m的取值范围； （）当0ac，1b 时，( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 2xx 【解答】 （）解：易知函数( )f x的定义域为(0,)， 由题意知函数 42 1 ( ) 4 f xxxmxlnx， 所以 3 1 ( )20fxxxm x 在(0,)上恒成立， 即 3 1 2m xx x 在(0,)上恒成立， 令函数 3 1 ( )2(0)g xxxx x ， 则 4222 2 222 1321(31)(1) ( )32 xxxx g xx xxx ， 所以当1x 时，( )0g x，函数( )g x在(1,)上单调递增； 当01x时，( )0g x，函数( )g

39、x在(0,1)上单调递减， 则当1x 时，( )g x取得最小值，即( )ming xg（1）0， 故0m 第 18 页（共 19 页） （）证明：由题意的 3 1 ( )(0) 6 f xxmxlnx x， 令 2 11 ( )0 2 fxxm x ，得 2 11 2 mx x ， 设函数 2 11 ( )(0) 2 h xxx x ， 则 12 ()()h xh x，且函数( )h x在(,)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 不妨设 12 xx，所以 12 01xx ， 令函数( )( )(2)H xh xhx，(0,1)x， 则 222 222222 112442(1) (1)3 (

40、 )22 (2)(2)(2) xxxx H xxx xxxxxx ， 所以函数( )H x在(0,1)上单调递减， 又H（1）0，故( )H xH（1）0恒成立， 则( )(2)h xhx对(0,1)x恒成立， 因为 1 01x，所以 11 ()(2)h xhx，即 21 ()(2)h xhx， 又 2 1x ， 1 21x且函数( )h x在(1,)上单调递增， 所以 21 2xx，即 12 2xx 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 cos ( 1sin x y 为参数）

41、，以坐标原 点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()3 3 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线OP的极坐标方程为 6 ，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点)O，与直 线l的交点为B，求线段AB的长 【解答】解： （1）由 cos 1sin x y ，转换为直角坐标方程为 22 (1)1xy， 由直线l的极坐标方程为sin()3 3 根据 222 cos& sin& & x y xy ，转换为直角坐标方程为：32 30 xy （2）曲线C的方程可化为 22 20 xyy， 第 19 页（共 19 页） 所以曲线C的极坐标方程为2sin，

42、 由题意设 1 (,) 6 A ， 2 (,) 6 B ， 将 6 代入2sin，得到 1 1 将 6 代入sin()3 3 ，得到 2 3， 所以 12 | |31AB 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |1| 2|f xxxa （1）当2a 时，求( )f x的最小值； （2）若函数在区间 1，1上递减，求a的取值范围 【解答】解： （1）当2a 时， 33,1 ( ) |1| 2|2|5, 12 33,2 xx f xxxxx xx ， 当1x时，函数( )33( 1)6f xxf ， 当12x 时，( )5f xxf （2）3， 当2x时，( )33f xxf （2）3， 综上所述函数( )f x的最小值为 3； （2）当1a 时，1x时，( )12()312f xxxaxa ，函数单调递增，与题意不 符合， 当1a时， 312 , ( )21, 1 321,1 xa x a f xxax a xax 剟， ( )f x在 1，1上单调递减， 则1a， 综上所述a的取值范围为1，)