2022年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（8）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合A 2 |log (1) 2xx ，则(AN N为自然数集）的元素个数为( ) A4 B5 C3 D2 2 （5 分）设i是虚数单位，复数12i的虚部是( ) A2 B2 C2i D2i 3 （5 分）一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 1 x， 2 x， * () n x nN，其中(1 k x k ，2， 3，)n称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但

2、在通信过程中有时会发生码元错误 （即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0 已知某种二元码 127 x xx 的码元满足如下校验方程组： 4567 2367 1357 0 0 0 xxxx xxxx xxxx 其中运算定义 为000，011，101，110 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用 上述校验方程组可判定k等于( ) A3 B4 C5 D6 4 （5 分）已知 3 log 0.8a ， 0.8 3b ， 2.1 0.3c ，则( ) Aaabc Bacbc Cabac Dcacb 5 （5 分）若某程序框图如图所示，当输入 50

3、 时，则该程序运行后输出的结果是( ) 第 2 页（共 21 页） A8 B7 C6 D5 6 （5 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 7 （5 分）已知a，b都是实数，那么“33 ab ”是“ 33 ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分） 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 26 4a a ， 3 1a ， 则 2 9 () 4 2 n n S a 的最小值为( ) A4 B6 C8 D12 9 （5 分）在ABC中，3BCAC，60B

4、AC，点D与点B分别在直线AC的两侧， 且1AD ，3DC ，则BD长的最大值是( ) A4 3 B3 3 C6 D4 10 （5 分）在三棱锥SABC中，SA 底面ABC，且22ABAC，30C，2SA ， 则该三棱锥外接球的表面积为( ) 第 3 页（共 21 页） A20 B12 C8 D4 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线交 椭圆C于A，B两点，若 2 90ABF，且 2 ABF的三边长 2 |BF，|AB， 2 |AF成等差数 列，则C的离心率为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D

5、3 2 12 （5 分）设函数( )fx是奇函数( )()f xxR的导函数，( 1)0f ，当0 x 时， ( )( )0 xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的取值范围是( ) A(，1)( 1，0) B(0，1)(1，) C(，1)(0，1) D( 1，0)(1，) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 2 0 2 0 2 0 xy y xy ，则 22 xy的最小值为 14 （5 分）若 23 (2)nab的二项展开式中有一项为 412 ma b，则m 15 （5 分）小王同学有 4

6、本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任 取 2 本，则这 2 本书属于不同学科的概率是 （结果用分数表示） 16 （5 分）在等差数列 n a中，首项 1 3a ，公差2d ，若某学生对其连续 10 项求和，在 遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 199，则此连续 10 项的和为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 10 sin 24 C （1）求cosC的值； （2）若ABC的面积为 3 15 4 ，且 222 13 sinsin

7、sin 16 ABC，求a，b及c的值 18 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，底面ABCD是正方形， 点P为侧棱 1 CC上的一点，且 1 33AAAB （）若点P为 1 CC的中点，求证： 1/ / AC平面PBD； （）若 1 1 3 PC CC ，求直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值； （）若二面角BPDC的余弦值为 2 3 ，求PC的长 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为 研究工人的日平均生产量是否与年龄有关 现采用分层抽样

8、的方法， 从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁） ”和 “25 周岁以下” 分为两组， 在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50，60)，60，70)， 70，80)，80，90)，90，100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率 （2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知条件完成22的列 第 5 页（共 21 页） 联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手

9、与工人所在的年龄组有关”？ 2 ()P Xk 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 20 （12 分）已知函数( ) x me f xlnx x ，mR （1）当1m 时，求曲线( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线方程； （2）当 2 2me时，证明：( )0f x 21 （12 分）已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为 2 5 e ，过椭圆的右焦 点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点 （1）求椭圆的方程； （2）设点C是

10、点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三 点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由； （3）设( ,0)M m，是线段(OF O为坐标原点）上的一个动点，且()MAMBAB，求m的 取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为 2 22 9 cos9sin ，以极点为平面直角坐标系的 原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 （1）求曲线C的普通方程； （2）A、B为曲线C上两个点，若OAOB，求 22 11 |OAOB 的值 第 6 页（共 21 页）

11、 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合A 2 |log (1) 2xx ，则(AN N为自然数集）的元素个数为( ) A4 B5 C3 D2 【解答】解：求解对数不等式可得 | 13Axx ，则0AN ，1，2，3，AN的 元素个数为 4 故选：A 2 （5 分）设i是虚数单位，复数12i的虚部是( ) A2 B2 C2i D2i 【解答】解：复数12i的虚部是2 故选：A 3 （5 分）

12、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 1 x， 2 x， * () n x nN，其中(1 k x k ，2， 3，)n称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误 （即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0 已知某种二元码 127 x xx 的码元满足如下校验方程组： 4567 2367 1357 0 0 0 xxxx xxxx xxxx 其中运算定义 为000，011，101，110 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用 上述校验方程组可判定k等于( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：依题意，二元码

13、在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了 1101101， 若1k ，则 1 0 x ， 2 1x ， 3 0 x ， 4 1x ， 5 1x ， 6 0 x ， 7 1x ， 从而由校验方程组，得 4567 1xxxx ，故1k ； 若2k ，则 1 1x ， 2 0 x ， 3 0 x ， 4 1x ， 5 1x ， 6 0 x ， 7 1x ， 从而由校验方程组，得 2367 1xxxx ，故2k ； 第 7 页（共 21 页） 若3k ，则 1 1x ， 2 1x ， 3 1x ， 4 1x ， 5 1x ， 6 0 x ， 7 1x ， 从而由校验方程组，得 2367 1xxxx

14、，故3k ； 若4k ，则 1 1x ， 2 1x ， 3 0 x ， 4 0 x ， 5 1x ， 6 0 x ， 7 1x ， 从而由校验方程组，得 1357 1xxxx ，故4k ； 若5k ，则 1 1x ， 2 1x ， 3 0 x ， 4 1x ， 5 0 x ， 6 0 x ， 7 1x ， 从 而 由 校 验 方 程 组 ， 得 4567 0 xxxx ， 2367 0 xxxx ， 1357 0 xxxx ， 故5k 符合题意； 若6k ，则 1 1x ， 2 1x ， 3 0 x ， 4 1x ， 5 1x ， 6 1x ， 7 1x ， 从而由校验方程组，得 2367 1

15、xxxx ，故6k ； 若7k ，则 1 1x ， 2 1x ， 3 0 x ， 4 1x ， 5 1x ， 6 0 x ， 7 0 x ， 从而由校验方程组，得 2367 1xxxx ，故7k ； 综上，k等于 5 故选：C 4 （5 分）已知 3 log 0.8a ， 0.8 3b ， 2.1 0.3c ，则( ) Aaabc Bacbc Cabac Dcacb 【解答】解：0a ，1b ，01c， abac 故选：C 5 （5 分）若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运行后输出的结果是( ) 第 8 页（共 21 页） A8 B7 C6 D5 【解答】解：由程序框图知：第一次

16、循环1S ，2i ； 第二次循环2 124S ，3i ； 第三次循环24311S ，4i ； 第四次循环2 11426S ，5i ； 第五次循环226557S ，6i ， 满足条件50S ，跳出循环体，输出6i 故选：C 6 （5 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 【解答】解：根据题意，向量( 1,2)a ，( ,4)bx， 若ab，则80a bx ，则8x ， 故(8,4)b ，则|64164 5b ， 故选：C 7 （5 分）已知a，b都是实数，那么“33 ab ”是“ 33 ab”的( ) 第 9 页（共 21 页）

17、 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为函数3xy 在R上为增函数，所以33 ab 等价于ab，由于 3 yx在R上 是增函数，所以由ab得到 33 ab； 由 33 ab也能得到ab，因此“33 ab ”是“ 33 ab”的充分必要条件 故选：C 8 （5 分） 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S， 若 26 4a a ， 3 1a ， 则 2 9 () 4 2 n n S a 的最小值为( ) A4 B6 C8 D12 【解答】解：各项均为正数的等比数列 n a的公比设为q，0q ， 若 26 4a a ， 3 1a ，则

18、5 11 4aq aq ， 2 1 1a q ， 解得 1 1 4 a ，2q ， 可得 13 1 22 4 nn n a ， 1 (12 ) 1 4 (21) 124 n n n S ， 则 2 22 2 9 () (22) 4 22 n n n n S a 22 22 44 24 2 248 22 nn nn ， 当且仅当3n 时，上式取得等号 则 2 9 () 4 2 n n S a 的最小值为 8 故选：C 9 （5 分）在ABC中，3BCAC，60BAC，点D与点B分别在直线AC的两侧， 且1AD ，3DC ，则BD长的最大值是( ) A4 3 B3 3 C6 D4 【解答】解：在A

19、BC中，设ACx，由3BCAC，可得3BCx， 第 10 页（共 21 页） 由60BAC，可得 sinsin ACBC ABCBAC ，即 3 sinsin60 xx ABC ， 所以 1 sin 2 ABC，30ABC，所以90ACB， 在ACD中，设ADC，可得 222 2cosACADCDAD CD， 即 2 132 3cos42 3cosx ， 由 sinsin ADAC ACD ，所以sinsinxACD， 在BCD中， 222 2cosBDBCCDBC CDBCD， 即 2222 332 33 cos(90)336 sin336sinBDxxACDxxACDx 3(42 3cos

20、 )36sin156sin6 3cos15 12sin(60 ) 27 ， 当9060150 时，BD长取得最大值3 3， 故选：B 10 （5 分）在三棱锥SABC中，SA 底面ABC，且22ABAC，30C，2SA ， 则该三棱锥外接球的表面积为( ) A20 B12 C8 D4 【解答】解：三棱锥SABC中，SA 底面ABC，且22ABAC，30C，2SA ， 如图所示： 在ABC中，利用正弦定理：24 sin AB r C ，解得2r 第 11 页（共 21 页） 1 1 2 ODSA，设外接球的半径为R， 所以 222 5RrOD， 所以球的半径为5R ， 则4520S 表 故选：A

21、 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线交 椭圆C于A，B两点，若 2 90ABF，且 2 ABF的三边长 2 |BF，|AB， 2 |AF成等差数 列，则C的离心率为( ) A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【解答】解：由已知，设 2 |BFx，|ABxd， 2 |2AFxd， 据勾股定理有3xd；由椭圆定义知 2 ABF的周长为4a， 有3ad， 21 |BFaBF； 在直角 21 BF F中，由勾股定理， 22 24ac， 离心率 2 2 e ， 故选：C 12 （5 分）设函数( )fx

22、是奇函数( )()f xxR的导函数，( 1)0f ，当0 x 时， ( )( )0 xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的取值范围是( ) A(，1)( 1，0) B(0，1)(1，) C(，1)(0，1) D( 1，0)(1，) 【解答】解：由题意设 ( ) ( ) f x g x x ，则 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x 当0 x 时，有( )( )0 xfxf x， 当0 x 时，( )0g x， 函数 ( ) ( ) f x g x x 在(0,)上为增函数， 函数( )f x是奇函数， ()( )gxg x， 函数( )g x为定义域上的偶函数， 第 1

23、2 页（共 21 页） ( )g x在(,0)上递减， 由( 1)0f 得，( 1)0g ， 不等式( )0( )0f xx g x， 0 ( )(1) x g xg 或 0 ( )( 1) x g xg ， 即有1x 或10 x ， 使得( )0f x 成立的x的取值范围是：( 1，0)(1，)， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若x，y满足约束条件 2 0 2 0 2 0 xy y xy ，则 22 xy的最小值为 2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 22 xy的几何意义是平面区域内的点到

24、原点的距离， 由图象得O到直线20 xy的距离最小， 此时最小值 2 2 2 d ， 则 22 xy的最小值是2， 故答案为：2 14 （5 分）若 23 (2)nab的二项展开式中有一项为 412 ma b，则m 15 4 【解答】解：根据二项式的展开式的通项为 223 1 2 rn rnrr rn TCab ， 第 13 页（共 21 页） 令 224 312 nr r ，解得 6 4 n r ， 所以 42 62 60mC 故答案为：60 15 （5 分）小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任 取 2 本，则这 2 本书属于不同学科的概率是 11

25、 15 （结果用分数表示） 【解答】解：小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书， 从中任取 2 本，基本事件总数 2 10 45nC， 这 2 本书属于不同学科包含的基本事件个数 2222 10433 33mCCCC， 则这 2 本书属于不同学科的概率是 3311 4515 m p n 故答案为： 11 15 16 （5 分）在等差数列 n a中，首项 1 3a ，公差2d ，若某学生对其连续 10 项求和，在 遗漏掉一项的情况下，求得余下 9 项的和为 199，则此连续 10 项的和为 220 【解答】解：由题设可知：32(1)21 n ann， 若遗漏掉的

26、是首项或末项，则1999a 中，故 1 22 9 a 中 （舍)， 故可设余下的 9 项为 n a， 1n a ， 2n a ， 1n m a ， 1n m a ， 2n m a ， 9n a ，其中 * mN 且8m， 则 1092 10199 2 nn m aa ， 即10(21)902()1 199nmn ， 故950mn， 又 * mN且8m， 4m，6n ， 故 615 196715 10() 220 2 nnn aa aaaaaa ， 故答案为：220 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 14 页（共 21 页） 17

27、 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 10 sin 24 C （1）求cosC的值； （2）若ABC的面积为 3 15 4 ，且 222 13 sinsinsin 16 ABC，求a，b及c的值 【解答】解： （1）因为 10 sin 24 C ， 所以 22 101 cos12sin12() 244 C C ； （5 分） （2）因为 222 13 sinsinsin 16 ABC，由正弦定理得： 222 13 16 abc 由余弦定理得 222 2cosabcabC，将 1 cos 4 C 代入， 得： 2 3 8 abc 由 13 15 sin 24 ABC

28、SabC 及 2 15 sin1cos 4 CC，得：6ab 联立，解得 2 3 4 a b c 或 3 2 4 a b c ，经检验，满足题意 所以 2 3 4 a b c 或 3 2 4 a b c （14 分） 18 （12 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 底面ABCD，底面ABCD是正方形， 点P为侧棱 1 CC上的一点，且 1 33AAAB （）若点P为 1 CC的中点，求证： 1/ / AC平面PBD； （）若 1 1 3 PC CC ，求直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值； （）若二面角BPDC的余弦值为 2 3 ，求PC的长 第 15 页（

29、共 21 页） 【解答】解： （）证明：连接AC，交BD于O，连接OP， 底面ABCD是正方形，O是AC的中点， 点P为 1 CC的中点， 1 / /OPAC， 1 AC 平面PBD，OP 平面PBD， 1/ / AC平面PBD （）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 1 33AAAB， 1 1 3 PC CC ， 1(1 A，0，3)，(0P，1，1)，(1B，1，0)，(0D，0，0)， 1 ( 1AP ，1，2)，(1DB ，1，0)，(0DP ，1，1)， 设平面PBD的法向量(nx，y，) z， 则 0 0 n DBxy n DPyz ，取1x

30、 ，得(1n ，1，1)， 设直线 1 A P与平面PBD所成角为， 则直线 1 A P与平面PBD所成角的正弦值为： 第 16 页（共 21 页） 1 1 |42 2 sin 3| |63 AP n APn （）设PCt，则(0P，1，) t，(0DP ，1，) t，(1DB ，1，0)， 平面PDC的法向量(1p ，0，0)， 设平面PBD的法向量(ma，b，)c， 则 0 0 m DPbtc m DBab ，取1a ，得(1m ，1， 1) t ， 二面角BPDC的余弦值为 2 3 ， 2 |12 |cos,| | |31 2 m p m p mp t ， 解得2t ，或2t （舍)，

31、PC的长为 2 19 （12 分）某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为 第 17 页（共 21 页） 研究工人的日平均生产量是否与年龄有关 现采用分层抽样的方法， 从中抽取了 100 名工人， 先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁） ”和 “25 周岁以下” 分为两组， 在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50，60)，60，70)， 70，80)，80，90)，90，100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，

32、求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的概率 （2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知条件完成22的列 联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 2 ()P Xk 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 【解答】 解： （1） 由已知得： 样本中有 25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人 40 人， 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中25周岁以上组有600.053人， 分别记

33、为： 1 A， 2 A， 3 A， 25 周岁以下组有工人400.052人，分别记为 1 B， 2 B， 从中随机抽取 2 人， 所有可能的结果共 10 种， 他们分别是 1 (A， 2) A， 1 (A， 3) A， 2 (A， 3) A， 1 (A， 1) B， 1 (A， 2) B， 2 (A， 1) B， 2 (A， 2) B， 3 (A， 2) B， 3 (A， 2) B， 1 (B， 2) B， 其中“至少有 1 名” ，25 周岁以下组的结果有 7 种， 故所求概率为 7 10 P ； （2）由频率分别直方图可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组”中的生产能手60

34、0.2515人， 第 18 页（共 21 页） “25 周岁以下组”中的生产能手400.37515人， 据此可得22列联表： 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以 22 2 ()100(152545 15) 1.7862.706 ()()()()60403070 n adbc K ab cdac bd 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 20 （12 分）已知函数( ) x me f xlnx x ，mR （1）当1m 时，求曲线( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线方程

35、； （2）当 2 2me时，证明：( )0f x 【解答】 解：（1） 当1m 时，( ) x e f xlnx x ， 则f（1）e ， 22 1 ( ) xxxx xeexxee fx xxx ， f（1）1， 故曲线( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线方程为：1yex， 即1yxe； （2）证明： 2 2me， 2 (1) ( )(0) x xm xe fxx x ， 当01x 时，(1) 0m x ，则( )0fx，( )f x递增， 故当01x 时，( )f xf（1）0me ，故( )0f x 成立， 当1x 时， 2 (1) ( ) (1) x m xx fxe xm x

36、 ，显然 2 (1) 0 m x x ， 令( )(1) (1) x x g xex m x ，则 2 1 ( ) (1) x g xe m x ， 2 20me，故( )0g x，即( )g x在(1,)递增， 2 20me，g（2） 2 2 0 me m ， 2 22 1 1 11 me meme ，且 2 1 1me ，故 2 2 12 1 me me ， 故存在t满足 2 2 12 1 me t me ，则 22 (1)t meme， 整理得： 2 (1) t e m t ，则 22 ( )0 (1) t t h teee m t ， 第 19 页（共 21 页） ( )g t g（2

37、）0，故( )g x存在唯一零点 0 (1,2)x ， 故当 0 (1,)xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x递增， 当 0 (xx，)时，( )0g x ，( )0fx，( )f x递减， 故当1x 时，( )f x的最大值是 0 ()f x，且 0 (1,2)x ， 由 0 ()0g x，可得 0 0 0 (1) x x e m x ， 故当1x 时， 0 000 00 1 ( )() 1 x max me f xf xlnxlnx xx ， 令 1 ( ) 1 xlnx x ，(1,2)x，易知( )x在(1,2)递增， 故( )2 1xln，故 0 ()210f xln

38、 ， 故当1x 时，( )0f x 成立， 综上：( )0f x 21 （12 分）已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为 2 5 e ，过椭圆的右焦 点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点 （1）求椭圆的方程； （2）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三 点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由； （3）设( ,0)M m，是线段(OF O为坐标原点）上的一个动点，且()MAMBAB，求m的 取值范围 【解答】解： （1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 椭圆C的一个顶

39、点为(0,1)，即1b 由 2 2 2 1 5 cb e aa ，解得： 2 5a ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 5 x y； （2）由得(2,0)F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 20 页（共 21 页） 设 直 线l的 方 程 为(2)(0)yk xk， 代 入 椭 圆 方 程 ， 消 去y可 得 2222 ( 51 )2 02 050kxkxk 则 2 12 2 20 51 k xx k ， 2 12 2 205 51 k x x k ， 点C与点A关于x轴对称， 1 (C x， 1) y 假设存在( ,0)N t，使得C、B、N三点共线， 则

40、 2 (BNtx， 2) y， 1 (CNtx， 1) y， C、B、N三点共线， / /BNCN， 2112 ()()0txytx y， 即 122112 ()yy tx yx y， 22 22 12211212 2 2212 2 20220 22 (2)(2)22()5 1515 20(2)(2)42 4 15 kk k xxk xxx xxx kk t kk xk xxx k 存在定点 5 ( 2 ，0)，使得C、B、N三点共线 （2）由02m剟， 12 (2MAMBxxm， 12) yy， 21 (ABxx， 21) yy ()MAMBAB， ()0MAMB AB， 12212112

41、(2 )()()()0 xxm xxyyyy 22 22 204 20 5151 kk m kk 2 85 m k m ， 2 0 85 m k m ， 解得： 8 0 5 m， 当 8 0 5 m时， 第 21 页（共 21 页） 故m的范围为 8 (0, ) 5 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线C的极坐标方程为 2 22 9 cos9sin ，以极点为平面直角坐标系的 原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 （1）求曲线C的普通方程； （2）A、B为曲线C上两个点，若OAOB，求 22 11 |OAOB 的值 【解答】解： （1）由 2 22 9 cos9sin ，得 2222 cos9sin9， 将cosx，siny代入， 得到曲线C的普通方程是 2 2 1 9 x y （5 分） （2）因为 2 22 9 cos9sin ， 所以 2 2 2 1cos sin 9 ， 由OAOB，设 1 (A，)，则B点的坐标可设为 2 (,) 2 ， 所以 22 22 2222 12 1111cossin110 sincos1 |9999OAOB （10 分）