1、1 一类无理函数最大值求法一类无理函数最大值求法 提出问题提出问题 求求( )12 3f xxx的最大值的最大值 方法方法 1.1.求导法求导法. . 通性通法通性通法, ,求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性求函数最值大多可以通过求导研究函数单调性, ,极值极值 来研究来研究。 ' 31 ( ) 2 1232 fx xx , , '( ) 0fx 时时1x 0,1, ( )1,4, (
2、)xf xxf x递增；递减, ,所以所以( )f x的最大值在的最大值在1x 时取得时取得, , 最大值为最大值为(1)f= = 4 4。这是解这是解决决函数最值问题最常见的方法函数最值问题最常见的方法, ,但求导但求导 过程以及求极值点时计算量大过程以及求极值点时计算量大。 方法方法 2.2.三角三角换换元元 把代数问题转化为三角函数最值问题把代数问题转化为三角函数最值问题, ,利用辅助角公式利用辅助角公式。令令 2 4cos,0, 2 x , ,则函数可化为则函数可化为 22 12 12cos4cosy 2 3 sin2 cos, ,因为因为0, 2 所以所以2
3、3sin2cos4sin() 6 y , , 当当 3 时取最大值时取最大值, ,值为值为 4,4,即即1x 时取得时取得。 方法方法 3.3.数形结合数形结合+ +换换元元 ( ( 1 1) ) 令令12 3x，x可得可得, 的关系的关系 22 312，即，即 22 10,0 124 所以点所以点（, ）的轨的轨迹迹为第一为第一象象限的椭圆限的椭圆。 问题转化为问题转化为zu ，z 与椭圆相关的线性规划问题，与椭圆相关的线性规划问题， 斜斜率为率为- -1 1 的直线与椭圆在第一的直线与椭圆在第一象象限相限相切切时截距最大，即时截距最大，即 z z 最最 大，联立直线
4、与椭圆可得大，联立直线与椭圆可得 22 42120zz， 222 416(12)16 12 120zzz，所以，所以4z 即最大值为即最大值为 4 4。 2 ( ( 2 2) ) 在在（1 1）的基础上三角的基础上三角换换元，即利用参数方程元，即利用参数方程 2 3cos ,(0, 22sin 为参数，），2 3cos2sinz = = 4sin() 6 所以最大值为所以最大值为 4 4。 ( ( 3 3) ) 令令4x，x， 22 40,0此时此时（, ）的轨的轨 迹迹为第一为第一象象限的圆，令限的圆，令3zu，3z，与圆相关的线，与圆相关的线 性规划问题，性规划问题
5、，斜斜率为率为- 3的直线与椭圆在第一的直线与椭圆在第一象象限相限相切切时截时截 距最大，即距最大，即 z z 最大，即最大，即 2 2 ( 3)1 z , ,所以最大值为所以最大值为 4 4。 方法方法 4.4.向量法向量法 （1 1） 函数可看作是向量函数可看作是向量a= = （123x，x）与向量与向量b= = （1,11,1） 的数量积，即的数量积，即a b最大，因为最大，因为2b 所以只需所以只需a在在b的正的正摄摄 影数量最大时影数量最大时a b最大，将向量最大，将向量a的始点平移到原点，的始点平移到原点，终终点点 的轨的轨迹迹方程为方程为 22 10,0
6、124 ，做一个，做一个斜斜率为率为- -1 1 的直的直 线与椭圆在第一线与椭圆在第一象象限相限相切切，切切点即为点即为a的的终终点，点， 设直线方程为设直线方程为z ，联立椭圆可得，联立椭圆可得 22 42120zz， 222 416(12)16 12 120zzz，所以，所以4z ，此时，此时a b= = 2 2 44 2 。 （2 2） 函数函数可看作是向量函数函数可看作是向量a= = （4x，x）与向量与向量b= = （3,1,1）的数量积，即的数量积，即a b最大，因为最大，因为2b ，所以只需，所以只需a 3 在在b的正的正摄摄影数量最大时影数量最大时a b最大，将向量最大，将向量a的始点平移到的始点平移到 原点，原点，终终点的轨点的轨迹迹方程为方程为 22 40,0，因为，因为b= = （3,1,1）的的终终点也在圆上，点也在圆上， 所以所以a，b同向共线时同向共线时a b最大，值为最大，值为 2 2 2 2= = 4 4 。 方法方法 5.5.柯柯西不等式西不等式 ( )12 3f xxx= =341xx ，凑柯凑柯西不等式形式西不等式形式 2 2222 ( 4)() 31 )( 341)xxxx ，即，即 1616 2 12 3)xx，所以函数最大值为，所以函数最大值为 4 4。
