小题压轴题专练2 函数的零点（2）-2021届高三数学二轮复习含答案.doc

1、小题压轴题专练小题压轴题专练 2函数零点（函数零点（2） 一、单选题 1已知函数 2 ( ) |log|f xx， 0,01 ( ) 1 |2|,1 2 x g x xx ，则方程|( )( )| 1f xg x的实根个数为 ( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 解：方程|( )( )| 1( )( )1f xg xf xg x ， 1,01 ( )1 1 |2|,1 2 x yg x xx ， 1,01 ( )1 3 |2|,1 2 x yg x xx （1）分别画出( )yf x，( )1yg x的图象 由图象可得：01x 时，两图象有一个交点；12x 时，两图象有一个交点；2x

2、 时， 两图象有一个交点 （2）分别画出( )yf x，( )1yg x的图象 由图象可知： 7 2 x 时，两图象有一个交点 综上可知：方程|( )( )| 1f xg x实数根的个数为 4 故选：C 2 已 知( )( )1fxfxx， 且( 0 )1f， 2 ( )( )1g xx f xx 若 关 于x的 方 程 2 ( ) )(1)( )0g xmg xe有三个不等的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 且 123 0 xxx ， 其中mR， 2e ，71828为自然对数的底数，则 2 123 ( ( )()()g xg xg x的值为( ) Ae Be C1 D 1 2 解：( )

3、( )1f xfxx恒成立，可设( ) x f xxe， 满足( )( )11 xx f xfxxeex ， 满足(0)1f， 2 ( )( )11 x g xx f xxxe ， 再令( )tg x，(1) x tx e ，可得1x 时，0t ，函数t递减；1x 时，0t ，函数t递 增，可得函数t在1x 处取得最大值，且为 1 1e， 由关于x的方程 2 ( ( )(1) ( )0g xmg xe有三个不等的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 且 123 0 xxx，可得 2 (1)10tmt 有两个不等实根 1 t， 2 t， 且 _1 11 1 x tx e， _2_3 223 11

4、 xx tx ex e ，且 1 2 t te， 可得 22 1231 2 ( ( )() ()()g xg x g xt te， 故选：B 3已知函数 2 ( )(1)f xxxaln x有且只有一个零点，则实数a的取值范围为( ) A(，0 B0，) C(0，1)(1，) D(，01 解： 2 ( )(1)f xxxaln x，可得(0)010faln， 由题意可得函数( )f x有且只有零点 0， 2 (1)0 xxaln x，0 x ，1x ， 可得 2 (1) xx a ln x ， 设 2 ( ) (1) xx g x ln x ， 2 (21) (1) ( ) (1) xln x

5、x g x lnx ， 当0 x 时，设( )(21) (1)h xxln xx， ( )2 (1)0 1 x h xln x x ， 可得( )h x在(0,)递增，即有( )(0)0h xh， 可得( )0g x，即( )g x在(0,)递增， 由 2 (1) ( )1 (1) xxln x g x ln x ，0 x ， 设 2 ( )(1)m xxxln x， 2 123 ( )210 11 xx m xx xx ， 可得( )(0)0m xm，即有( )1g x 恒成立； 当10 x ，可得( )2 (1)0 1 x h xln x x ， 可得( )(0)0h xh，( )0g x

6、，即( )g x在( 1,0)递增， 由( )0g x ，且 2 123 ( )210 11 xx m xx xx ， 可得( )(0)0m xm，即有( )1g x 恒成立 可得实数a的取值范围为0a或1a 故选：D 4函数 11 ( )sin( xx f xeeax xR ，e是自然对数的底数，0)a 存在唯一的零点， 则实数a的取值范围为( ) A(0， 2 B 2 (0,) C(0，2 D(0,2) 解：函数 11 ( )sin( xx f xeeax xR ，e是自然对数的底数，0)a 存在唯一的零点等 价于： 函数( )sinxax 与函数 11 ( ) xx g xee 只有唯一

7、一个交点， （1）0，g（1）0， 函数( )sinxax 与函数 11 ( ) xx g xee 唯一交点为(1,0)， 又 11 ( ) xx g xee ，且 1 0 x e ， 1 0 x e ， 11 ( ) xx g xee 在R上恒小于零，即 11 ( ) xx g xee 在R上为单调递减函数， 又( )sinxax (0)a 是最小正周期为 2，最大值为a的正弦函数， 可得函数( )sinxax 与函数 11 ( ) xx g xee 的大致图象如图： 要使函数( )sinxax 与函数 11 ( ) xx g xee 只有唯一一个交点，则（1）g（1） ， （1）cosaa

8、 ，g（1） 1 11 1 2ee ，2a，解得 2 a ， 又0a ，实数a的范围为(0， 2 故选：A 5已知函数 2 |1| 1, 2,0 ( ) 1 2 (2),(0,) x x f x x f xx ，若函数( )( )21g xf xxm在区间 2，4内 有 3 个零点，则实数m的取值范围是( ) A 11 | 22 mm B 1 | 1 2 mm C 1 | 1 2 mm 或1m D 11 | 22 mm或1m 解：当21x剟时， 2 (1) ( )11 12 1 x f xxx x ， 当10 x 剟时， 2 (1) ( )1(1)1 1 x f xxx x ， 当01x 时，

9、221x ，此时( )2 (2)2(22)2f xf xxx， 当12x 时，12 0 x ，此时( )2 (2)f xf x 2(2)24xx ， 当23x 时，02 1x ，此时( )2 (2)f xf x 4(2)48xx， 当34x 时，12 2x ，此时( )2 (2)f xf x 2(22)2xx， 当01x 时，221x ，此时( )2 (2)f xf x 2 2(2)4416xx ， 由( )( )210g xf xxm ，得21( )mf xx 2,21 2 ,10 ,01 34,12 38,23 516,34 x xx xx xx xx xx 剟 ， 设( )( )h xf

10、 xx， 2x ，4， 作出( )h x在 2，4上的图象如图： 要使21m与( )h x有三个交点，则211m 或221 0m ，即1m 或 11 22 m， 即实数m的取值范围是 11 | 22 mm或1m ， 故选：D 6定义在R上的奇函数( )f x满足，当(0,2)x时，( )cos(1) 2 f xx ，且2x时，有 1 ( )(2) 2 f xf x，则函数 2 ( )( )F xx f xx在 2，5上的零点个数为( ) A9 B8 C7 D6 解：当(0,2)x时，( )cos(1)cos()sin() 2222 f xxxx ， ( )f x是奇函数，(0)0f， 当2x时

11、，有 1 ( )(2) 2 f xf x， f（2） 1 (0)0 2 f，f（4） 1 2 f（2）0， 若( 2,0)x ，则(0,2)x ，则()sin()sin()( ) 22 fxxxf x ， 即( )sin() 2 f xx ，( 2,0)x 即当22x 剟时，( )sin() 2 f xx ， 当24x剟时，022x 剟，此时 1111 ( )(2)sin(2)sin()sin() 2222222 f xf xxxx ， 当45x剟时，223x剟，此时 1111 ( )(2)sin(2)sin()sin() 2424242 f xf xxxx ， 由 2 ( )( )0F xx

12、 f xx，得： 当0 x 时，由(0)0F，即0 x 是( )F x的一个零点， 当0 x 时，由 2 ( )0 x f xx得( )1xf x ，即 1 ( )f x x ， 作出函数( )f x与 1 ( )g x x 在， 2，5上的图象如图： 由图象知两个函数在 2，5上共有 7 个交点，加上一个0 x ， 故函数 2 ( )( )F xx f xx在 2，5上的零点个数为 8 个， 故选：B 7 已知函数 5 2 |(1)|,1 ( ) (2)2,1 logxx f x xx ， 则方程 1 (2)()f xa aR x 的实数根个数不可能( ) A5 个 B6 个 C7 个 D8

13、 个 解：如图所示：函数 5 2 |(1)|,1 ( ) (2)2,1 logxx f x xx ，即 5 5 2 log (1),0 ( )log (1),01 (2)2,1 x x f xxx xx 因为当( )1f x 时，求得4x ，或 4 5 ，或 1，或 3 则当1a 时，由方程 1 (2)()f xa aR x ，可得 1 24x x ，或 4 5 ，或 1，或 3 又因为 1 2 0 x x ，或 1 24x x ， 所以，当 1 24x x 时，只有一个2x 与之对应，其它 3 种情况都有 2 个x值与之对 应 故此时，原方程 1 (2)f xa x 的实数根有 7 个根 当

14、12a时，( )yf x与ya有 4 个交点，故原方程有 8 个根 当2a 时，( )yf x与ya有 3 个交点，故原方程有 6 个根 综上：不可能有 5 个根， 故选：A 8 2 ( )2f xxax有两个零点 1 x， 2 x， 2 ( )1g xxxa 有两个零点 3 x， 4 x，若 1342 xxxx，则实数a的取值范围是( ) A( 1,1) B(1,) C 5 (,) 4 D 5 (, 1) 4 解：由 2 ( )20f xxax得 2 2axx，则 2 22x ax xx ，则方程 2 ax x 的两个根 为 1 x， 2 x， 由 2 ( )10g xxxa 得 2 1ax

15、x，则方程的两个根为 3 x， 4 x， 由 2 2 1axxx x ，得 2 2 21xx x ，即 2 2 2(1) 1 x x x ，即 2 2 (1)(1)0 x x ， 得1x ，或2x ， 当1x 时， 2 121x x ，当1x 时， 2 121x x ， 当2x 时， 2 211x x ， 做出函数 2 yx x 和 2 1yxx的图象如图： 要使ya与 2 yx x 的交点横坐标 1 x， 2 x和 与 2 1yxx交点的横坐标 3 x， 4 x， 满足 1342 xxxx，则直线ya必须在1y 和1y 之间，即11a ， 即实数a的取值范围是( 1,1)， 故选：A 9关于

16、x的方程|0 11 4 tx xt xt 有四个不同的实数根，且 1234 xxxx，则 4132 ()()xxxx的取值范围( ) A(2 6,4 3) B(2 6,42 2) C(42 2,4 3) D2 6,4 3 解： 依题意可知， 22 |41|1xxt， 由方程有四个根， 所以函数 2 1yt与 2 |41|yxx 的图象有四个交点， 由图可知， 14 4xx， 23 4xx， 2 113t ，解得 2 (0,2)t ， 由 22 411xxt 解得 2 1 24xt； 由 22 (41)1xxt解得 2 2 22xt； 所以 22 413212 ()()82()2(42)xxxx

17、xxtt 设 2 (0,2)mt，42nmm， 222 4222862(1)9(6,64 2)nmmmmm， 即( 6m，22)，所以 4132 ()()xxxx的取值范围是(2 6，42 2) 故选：B 10已知函数 1,0 ( ) (1),0 xx f x f xx ， 3 ( )( )g xaxf x若函数( )g x恰有两个非负零点，则 实数a的取值范围是( ) A 4 (1,) 27 B 114 , 27 827 C 114 , (1,) 27 827 D 11 , (1,) 27 8 解：显然，0 x 满足( )0g x ，因此，只需再让( )0g x 有另外一个唯一正根即可 3

18、( )0axf x，即为 3 ( )axf x作出 3 ( )h xax，( )yf x图象如下： 说明：射线与线段是( )yf x的部分图象，因为要分三种情况分析，故( )yh x的图象作了 三个（只做出y轴右侧部分） ，分别对应、 （1）对于第一种情况：因为(0)01h，所以当( )yh x（如图象)与( )yf xx在0， 1)上的图象有交点A时，只需h（1）1a即可； （2）对于第二种情况：( )yh x（图象)与( )1yf xx在1，2)上的图象切于点B， 设切点为( ,1)m m，因为 2 ( )3h xax，则 2 3 31 1 am mam ，解得 4 27 a ； （3）当

19、( )yh x（图象)与1(12)yxx相交于点C，且满足h（2）1，即 1 8 a时， 只需2x，3)时，( ) 0g x 恒成立即可 所以 3 2axx，0 x，2恒成立即可，且只能在3x 处取等号，即 3 2x a x ， 3 2 ,2,3 x u xx x 令， 4 2(3) ( )0 x u x x 在2，3上恒成立，故( )u x在2，3上递增， 所以( )maxu xu（3） 1 27 ， 1 27 a故 故此时 11 278 a剟即为所求 综上可知，a的范围是 114 , (1,) 27 827 故选：C 二、多选题 11 已知函数 ,0 ( )(2 (1),0 x x m e

20、mxx f xe exx 为自然对数的底数） ， 若方程()( )0fxf x有且 仅有四个不同的解，则实数m的值不可能为( ) Ae B2e C6 D3e 解：设( )( )()F xf xfx，可得()( )FxF x，即有( )F x为偶函数， 由题意考虑0 x 时，( )F x有两个零点， 当0 x 时，0 x ，() 2 x m fxemx， 即有0 x 时，( ) 22 xxxx mm F xxeeemxxemx， 由( )0F x ，可得0 2 x m xemx， 由 x yxe， 1 () 2 ym x相切，设切点为( ,) t t te， x yxe的导数为(1) x yxe

21、 ，可得切线的斜率为(1) t te， 可得切线的方程为(1) () tt ytete xt， 由切线经过点 1 (2，0)，可得 1 (1) () 2 tt tetet，解得1t 或 1 2 （舍去） ， 即有切线的斜率为2e， 由图象可得2me时，直线与曲线有两个交点， 综上可得m的范围是(2 ,)e ，不可能是e，2e， 故选：AB 12定义在R上的函数( )f x满足 2 ()( )fxf xx，且当0 x时，( )fxx，记集合 22 11 |( )(1)(1) 22 Ax f xxfxx，若函数( ) x g xee xa在xA时存在零点，则 实数a的取值可能是( ) A 1 2

22、B 2 e C 2 e De 解：令函数 2 1 ( )( ) 2 T xf xx，因为 2 ()( )fxf xx， 222 11 ( )()( )()()( )()0 22 T xTxf xxfxxf xfxx， ( )T x为奇函数， 当0 x时，( )( )0T xfxx，( )T x在(，0上单调递减，( )T x在R上单调递减 存在 0 |( )(1)xx T xTx，得 00 ()(1)T xTx， 00 1xx，即 0 1 2 x ， ( ) x g xeexa； 1 () 2 x， 0 x为函数( )yg x的一个零点； 当 1 2 x时，( )0 x g xeex，函数(

23、)g x在 1 2 x时单调递减， 由选项知0a ，取 1 2 a x e ， 又()0 a e a ge e ，要使( )g x在 1 2 x时有一个零点， 只需使(g 11 )0 22 eea ，解得 2 e aa的取值范围为 2 e ，)， 故选：BCD 13关于函数( )sin x f xeax，(,)x ，下列结论正确的有( ) A当1a 时，( )f x 在(0，(0)f处的切线方程为210 xy B当1a 时，( )f x存在唯一极小值点 0 x C对任意0a ，( )f x在(,)上均存在零点 D存在0a ，( )f x在(,)上有且只有一个零点 解：:( )sin x A f

24、 xeax，则( )cos x fxeax， 当1a 时，( )cos x fxex，则(0)1 12f ， 因为(0)1f，所以切线过(0,1)点，斜率为 2，所以切线方程为210 xy ，故A正确； B：由A可知，当1a 时，( )sin x f xex，( )cos x fxex， 作出 x ye和cosyx 的图象，如图所示： 由图易知：存在 0 (,) 2 x 使得cos x ex ， 故当 0 (,)xx 时，( )0fx，( )f x是单调递减的； 当 0 (xx，)时，( )0fx，( )f x是单调递增的， 所以( )f x存在唯一的极小值点，故B正确； C，:( )sin

25、x D f xeax，(,)x ，令( )0f x ，即sin0 x eax， 当(,1)xZ kkk时，sin0 x ，上式显然不成立， 故上述方程可化为 sin x e a x ，令( ) sin x e g x x ，则 2 2cos() 4 ( ) sin x ex g x x ， 令 ( )0g x ，则 3 4 x k，所以当 3 (,) 4 x kk时，( )g x单调递减； 当 3 (,) 4 x kk时，( )g x单调递增，存在极小值 33 44 3 ()22 4 fee k k?， 1 (,) 4 xkk时，( )g x单调递增； 1 (,) 4 x kk时，( )g x

26、单调递减， 存在极大值 11 44 1 ()22 4 fee k k?，故选项C中任意0a 均有零点错误， 选项D中存在0a 有且仅有唯一零点，此时 1 4 2ae ，D正确 故选：ABD 14已知函数 2 2 (2) log (1) ,1 ( ) 2,1 x xx f x x ，若关于x的方程( )f xm有四个不等实根 1 x， 2 x， 3 x， 41234 ()xxxxx，则下列结论正确的是( ) A12m B 11 sincos0 xx C 34 41xx D 22 12 2 m xxlog的最小值为 10 解：作出( )f x的图像如下： 若1x 时， 2 ( ) |log (1)

27、|f xx， 令( )2f x ，得 2 |log (1)| 2x ，即 2 log (1)2x 或 2 log (1)2x ， 所以 2 12x 或 2 12x ，解得3x 或 3 4 x ， 令( )1f x ，得 2 |log (1)| 1x ，即 2 log (1)1x 或 2 log (1)1x ， 所以12x 或 1 12x ，解得1x 或 1 2 x 若1x时， 2 (2) ( )2 x f x ，令( )2f x ，得 2 (2) 22 x ，解得1x 或3， 令( )1f x ，得 2 (2) 21 x ，即 2 (2)0 x ，解得2x ， 当12m时，( )f xm有四个

28、实数根，故A正确， 由图可知 1 32x ， 2 21x ， 3 31 42 x ， 4 13x， 对于选项:12Am，( )f xm有 4 个根，故A正确 对于选项B：因为 1 32x ，所以当 1 3 3 4 x 剟， 11 sincosxx，即 11 sincos0 xx， 当 1 3 2 4 x ， 11 sincosxx，即 11 sincos0 xx，故B错误， 对于选项C：因为 3 31 42 x ，所以 3 3 42x ，所以 34 241xx ，故C错误， 对于选项D：令 22 12 log2 m yxx，由于 2 1 (2) 2 x m ， 2 2 (2) 2 x m ，

29、则 12 2xlog m ， 22 2xlog m， 所以 2222 12222 log2(2)(2)log22log8log2 mmm yxxlog mlog mm 2 22 22 21 2log82log8 2 log mm log mlog m ， 因为12m，所以 2 log0m ， 所以 2 2 1 2log8 2810 2 ym log m ，当且仅当 2 2 1 2log 2 m log m ，即2m 时，取等 号，所以 22 12 log2 m xx的最小值为 10，故D正确 故选：AD 三、填空题 15 已知函数 2 2 |2|,0 ( ) 1 ,0 3 x xaxax f

30、x eex ax x ， 若存在实数k， 使得函数( )yf xk有 6 个零点， 则实数a的取值范围为 3 ( ,3) 2 【解答】 解： 由题得函数( )yf x的图象和直线y k有六个交点， 显然有0a ， 2 0aa， 当0 x 时， 2 (1) ( )(0) x ex fxx x ， 函数( )f x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，且 2 1 (1)0 3 fa， 由题得 22 1 (,|), (0, ),(1,) 3 Aa aaBa Ca，A，B，C三点的高度应满足 ABc hhh或 BAC hhh，所以 2 1 |1| 3 a aaa或 2 1 |1| 3 a a aa

31、， 0a ， 2 0aa，23a或 3 2 2 a ，综合得 3 3 2 a 故答案为： 3 ( ,3) 2 16已知函数( )()( x f xxea xlnx e为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数a的取 值范围是 ( ,)e 解：由( )()(0) x f xxea xlnx x， 当0 xlnx时，由零点存在性定理可知， 0 (0,1)x，使得方程0 xlnx成立； 当0 xlnx时，令( )0f x ，则(0 x xe ax xlnx 且 0) xx， 令( )(0 x xe g xx xlnx 且 0) xx，则 2 (1)(1) ( ) () x exxlnx g x xln

32、x ， 当0 x 且 0 xx时，(1)0 x ex ， 又当 0 0 xx或 0 1xx时，10 xlnx ，( )0g x， 此时( )g x在 0 (0,)x和 0 (x，1)上单调递减； 当1x 时，10 xlnx ，( )0g x，此时( )g x单调递增， ( )g xg 极小值 （1）e，且极小值唯一， 要使( )g x有两个不同零点，只需函数ya与( )g x有两个交点， ag（1）e， a的取值范围为( ,)e 17已知关于x的方程 2 12 221 xax xax 在区间 1 2，3上有两个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为 5 (2, 2 解：因为方程 2 12 22

33、1 xax xax ，所以变形为 2 12 2(1)2 xax xax ， 令( )2tf tt，则有 2 (1)()f xf ax， 因为( )2tf tt在R上单调递增，所以 2 (1)()f xf ax即为 2 1xax ， 故当 1 ,3 2 x时， 2 1xax 有两个不相等的实数根， 在 2 10 xax 中，则有 1 3 22 1 0 1 ( ) 0 2 (3) 0 a f f 剟 ，即 2 16 40 11 1 0 42 931 0 a a a a 剟 ，解得 5 2 2 a ， 所以实数a的取值范围为 5 (2, 2 故答案为： 5 (2, 2 18.已知函数 2 26,0

34、( ) ,0 xxx f x lnx x ，若函数( )( )2g xf xmx有四个零点，则实数m的 取值范围是 (2, ) e 解：若函数( )( )2g xf xmx有四个零点，需( )yf x和2ymx有四个交点， 当0 x 时，作出函数( )f xlnx和2ymx的图象如下图所示， 直线2ymx恒过定点(0, 2)， 设2ymx于ylnx相切于点 0 (x， 0) y，则 00 2ymx， 00 ylnx， 由ylnx，得 1 y x ，所以 0 1 m x ，解得 0 1 ,xme e ， 即当0me时，函数( )f xlnx与2ymx有两个交点， 当0 x时，若2ymx与 2 26yxx 有两个交点，需 2 24(0)mxxxx 有两个 不相等的实根， 当0 x 时，m无解； 当0 x 时， 4 2mx x ， 由对勾函数图象可得，当24m，即2m 时，2ym与 4 yx x 有两个交点， 故2ymx与 2 26yxx 有两个交点， 综上可得，当2me时，函数( )( )2g xf xmx有四个零点 故答案为：(2, ) e