2020-2021学年人教版数学八下册：17.1 勾股定理 教案.docx

1、教师姓名教师姓名 单位名称单位名称 填写时间填写时间 学科学科 数学数学 年级年级/ /册册 八年级八年级 教材版本教材版本 人教版人教版 课题名称课题名称 1717 章章 勾股定理勾股定理 难点名称难点名称 利用勾股定理解决立体图形表面上最短路线问题 难点分析难点分析 从知识角度分析为 什么难 1. 解决立体图形问题思路是将立体图形展开成平面图形来解决，如何 展开是难点。 2. 在平面图形中找到两点最短距离。利用勾股定理来计算。 从学生角度分析为 什么难 1 如何将立体图形展开成平面图形，在平面图形中找到最短距离。 2 在平面图形中找到两点最短距离。利用勾股定理来计算 难点教学方法难点教学方

2、法 1.通过多媒体演示将立体图形展开成平面图形的过程，解决难点。 2.通过实际问题的情境教学，让学生感受如何用数学知识解决生活问题。 教学环节教学环节 教学过程教学过程 导入导入 创设情境引出问题 提到最短路线问题，大家都会想到什么知识？小老鼠面前有三座桥，它选择哪条路线 能最快吃到对面的奶酪呢？大家都选择了中间的桥。为什么呢？ 没错，因为在同一平面内两点之间，线段最短。 那这一公理在立体图形中是否适用呢？我们该怎样解决立体图形表面的最短路线问题 呢？下面，就让我们一起探究一下 知识讲解知识讲解 （难点突破）（难点突破） 一、思考探究 问题：圆柱形垃圾桶上方的边缘处有一块奶酪，老鼠站在下方边缘

3、处，与奶酪相 对应。你能为老鼠设计一条线路，让它能在最短的时间内吃到奶酪吗？ 分析：哪种路线最短呢？相信大家都看出来了，两点之间，线段最短，所以第三种设 计方案是最短距离。 实例解析： 那如果老师告诉大家垃圾桶的高为 18cm，底面周长是 60cm，你能计算出老鼠需要爬 行的距离吗？是如何计算的呢？ 我们可以把圆柱的侧面展开成长方形，老鼠在长方形的一角，而奶酪的位置则是对边 的中点。垃圾桶的高就是长方形的宽，底面周长是长方形的长，连接两点，可以看出围成 了一个直角三角形，知道直角三角形的两条直角边长，根据勾股定理可以求出斜边长，也 就是老鼠需要爬行的距离。 归纳方法： 通过这一探究，我们可以发

4、现，要想解决立体图形最短距离的问题，我们就要把立体 图形转化、展开成平面图形，找到两点之间的最短路线，再用勾股定理进行计算。 二、知识拓展 例题：老鼠发现在棱长为 8dm 的魔方茶几上有一块草莓蛋糕（位置如图所示） ，你能 帮助老鼠在最短的时间内吃到草莓蛋糕吗？ 同学们，你们能够想出多少种方法？是不是最短距离呢？ 方法一：可以把正方体的侧面展开，连接 AM 点，在直角三角形 ACM 中，利用勾股定 理求出 AM 的长度； 方法二 ：展开正方体的上面正方形展开，连接 NF，在直角三角形 NDF 中，利用勾股 定理可以求出 NF 的长度。 在转化过程中可以发现，因为正方体的六个面是一样的正方形，所

5、以不论正方体如何 展开，最终形成的直角三角形是一样的，距离都是58。 三、例题变形 如果老师把正方体换成长方体，你能设计出多少种爬行方法呢？距离是否也相同呢？ 同学们可以小组合作进行探究。 例题：已知长方体音响的长为 3dm，宽为 4dm，高为 7dm。老鼠想要喝到长方体音响上 的牛奶，你能帮它设计路线吗？最短的路线距离是多少？ 方法一：是将长方体的正面和顶面展开，连接老鼠和奶酪所在的位置可以看出形成 了直角三角形，其中一直角边长为（7+4）分米，一直角边长为 3 分米，根据勾股定理 NM 2+CN2=CM2可以求出 CM 是 130分米； 方法二：展开侧面和顶面，连接两点后同样形成了直角三角

6、形。但在这一直角三角 形中，一直角边长为（7+3）分米，一边长为 4 分米，根据勾股定理 CM 2+NM2=CN2 可以求出 CN 为116分米； 方法三：长方体的正面和侧面展开，连接两点后形成了等腰直角三角形，一条直角 边长为（3+4)分米，一条直角边长为 7 分米,根据勾股定理 CM 2+NM2=CN2可以求出 CN 为 98 分米。 通过对比三种展开结果可以发现，第三种方法的距离是最短。我们来分析一下三种展 开方式都是展开长方体的两个面得到的一个长方形，在长方形中找到两点之间的距离。我 们再观察形成的直角三角形有什么不同，三个直角三角形的直角边都和长方体的长，宽， 高有关，就是 3 分米

7、，4 分米，7 分米。有一条直角边是独立的一边，分别是 3 分米，4 分 米，7 分米：还有一条直角边是另外两个数据的和。独立边是最大的 7 分米时计算出的斜 边距离98分米是最短的。 课堂练习课堂练习 （难点巩固）（难点巩固） 练习 1：长方体的底面边长分别为 3cm、1cm，高为 6cm。如果从点 C 开始，经过 4 个 侧面缠绕 n 圈后到达点 A，那么所用细线最短需要_ 分析题意我们可以发现，细线的总长度就是 AC 之间的最短距离。所以我们要按照从 点 C 到点 A 的顺序依次展开长方体侧面，长方形的形状是固定的，在缠绕一圈时，长方形 的长为 8 厘米，宽为 6 厘米；缠绕两圈时，宽不变，长为 16cm。仔细想想，在缠绕 n 圈时， 宽依然不变， 但长是8ncm， 连接A、 C两点， 根据勾股定理可以求出， 细线最短需要36n64 2 cm。 小结小结 这节课我们学习了解决立体图形两点间最短距离的问题，主要研究了圆柱体、正方体 和长方体，解决的方法可以总结为，将几何表面进行展开，化空间为平面后，利用勾股定 理进行解决即可。