2021年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2021 年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （理科）（一模）年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （理科）（一模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 11Mxx ， 2 |20Nx xx，则(MN ) A | 10 xx B | 12xx C |01xx D |1x x 或2x 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 3 z i i ，则(z ) A13

2、i B13i C13i D13i 3 （5 分）在二项式 25 1 ()x x 的展开式中，含x的项的系数是( ) A10 B5 C10 D20 4 （5 分）已知| 2a ，| 1b ，且()abb，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 5 （5 分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 ，t分钟 后物体的温度可由公式 0.24 010 () t e 求得 把温度是100 C的物体，放在10 C的 空气中冷却t分钟后，物体的温度是45 C，则t约为( ) (20 . 6 9 3 )ln A1.69 B2.89 C4.58 D6.61

3、6 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a ，3b ， 3 B ， 则 2 sin()( 3 A ) A 3 23 6 B 32 3 6 C 36 6 D 36 6 7 （5 分）设( )f x是定义域为R的偶函数，若 1 x， 2 (0 x ， 12 )()xx，都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，则 3 ( ) 2 f， 2 (log 3)f， 1 2 (log 3.1)f的大小关系为( ) A 12 2 3 (log 3.1)(log 3)( ) 2 fff B 21 2 3 (log 3)(log 3.1)( ) 2 fff C 12 2

4、 3 ( )(log 3.1)(log 3) 2 fff D 21 2 3 ( )(log 3)(log 3.1) 2 fff 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）常用的4A打印纸的长宽比例是2 :1，从4A纸中剪去一个最大的正方形后，剩 下的矩形长与宽之比称为“白银比例” 白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着 广泛的应用 已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台， 塔顶到塔底的高度与 第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比， 都等于白银比例，若两观景台之间高度差为 60 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近 的是( ) A285

5、 米 B268 米 C255 米 D248 米 9 （5 分） 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为矩形， 点P在平面ABCD上的射影为AD的 中点O若2AB ，6AD ，4PO ，则四棱锥PABCD的表面积等于( ) A346 5 B344 3 C66 54 3 D66 34 13 10 （5 分）由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳 灶应用了抛物线的光学性质： 一束平行于抛物线轴的光线， 经过抛物面的反射集中于它的焦 点用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴 重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 1 ( ,1) 4

6、 A，平行于对称轴的光线经过点A反射 后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为( ) A 25 4 B 25 8 C17 4 D2 11 （5 分）已知0，函数 13 ( )cossin() 22 f xxx在(,) 3 2 上单调递增，则的 取值范围是( ) A2，6 B(2,6) C 10 2, 3 D 10 (2,) 3 第 3 页（共 21 页） 12 （5 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xxx e，则函数 2 3 ( )2 ( ) 1yf xf x零点的个数是( ) A6 B5 C4 D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题

7、，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设 其回归直线方程为4yxa已知这组数据的样本中心点为(22.5,160)，若该班某学生的 脚长为 25 厘米，据此估计其身高为 厘米 14 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 2 b ，则双 曲线的离心率为 15 （5 分）用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另 一条边长1m，则该容器容积的最大

8、值为 3 m（不计损耗） 16 （5 分）如图，已知正方体 1111 ABCDABC D，点E，F，G分别是 11 C D， 1 AA，BC的 中点， 1 BD与平面EFG （填“平行”或“不平行” )；在正方体的 12 条面对角线中， 与平面EFG平行的面对角线有 条 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S （1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列 n a的通项公式； 23 11aa； 66 219Sa； 63 39SS； 注：如

9、果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分 （2）在（1）的条件下，令2 n a n b ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）2020 年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加 强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记 第 4 页（共 21 页） 指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有 高一 63 人，高二 42 人，高三 21 人报名参加志愿活动根据活动安排，拟采用分层抽样的 方法，从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者，参加为期 20 天的第一期志愿活动 （1）第一期

10、志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 4 人去粘贴宣传标语，设这 4 人中 含有高二学生X人，求随机变量X的分布列； （3）食堂每天约有 400 人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的 重量（单位：公斤） ，以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿 者记录的数据如下： 前 10 天剩菜剩饭的重量为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2 后 10 天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.

11、4 20.2 19.3 20.6 18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行 说明即可） 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，M，N 分别为PC，CD的中点，2PDAD，4AB （1）求证：BNAM； （2）求平面AMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知焦点在x轴上的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，短轴长为2 3，椭圆左顶 点到左焦点的距离为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 如图， 已知点 2 (,0) 3 P， 点A是椭圆的右顶点， 直线l与椭圆C

12、交于不同的两点E，F， E，F两点都在x轴上方，且APEOPF 证明直线l过定点，并求出该定点坐标 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 3 ( ) x f xe （1）求证：( )2f xx； （2）若1a ，xlna时，()( )3 xlna lnf x a 恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时， 用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参

13、数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 1: () 3 lR 与直线 2: 3 cos sin40l交于点P （1）求点P的直角坐标； （2）若直线 2 l与圆 3cos :( 3sin x C y 为参数）交于A，B两点，求| |PAPB的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （1）当1a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）证明：( ) 2f x 第 6 页（共 21 页） 2021 年黑龙江省大庆市高考数学第一次质检试卷 （理科）（一模）年黑龙江省

14、大庆市高考数学第一次质检试卷 （理科）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 | 11Mxx ， 2 |20Nx xx，则(MN ) A | 10 xx B | 12xx C |01xx D |1x x 或2x 【解答】解： | 11Mxx ， |0Nx x或2x ， | 10MNxx 故选：A 2 （5 分）已知i是虚数单位，复数z满足 3 z i i

15、，则(z ) A13i B13i C13i D13i 【解答】解： 3 z i i ， (3)13ziii ， 13zi ， 故选：D 3 （5 分）在二项式 25 1 ()x x 的展开式中，含x的项的系数是( ) A10 B5 C10 D20 【解答】解：二项式 2522 5 111 ()()()xxx xxx 的展开式中， 含x的项的为 5 个括号中有 3 个提供 1 () x ，另外两个括号中均提供 2 x， 故含x的项的系数是 32 52 10CC， 故选：A 4 （5 分）已知| 2a ，| 1b ，且()abb，则a与b的夹角为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解

16、答】解：根据题意，设a与b的夹角为， 若()abb，则 2 ()2cos10abba bb ， 第 7 页（共 21 页） 则 1 cos 2 ， 又由0 剟，则 2 3 ， 故选：C 5 （5 分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 ，t分钟 后物体的温度可由公式 0.24 010 () t e 求得 把温度是100 C的物体，放在10 C的 空气中冷却t分钟后，物体的温度是45 C，则t约为( ) (20 . 6 9 3 )ln A1.69 B2.89 C4.58 D6.61 【解答】解：由题意可知 0.24 4510 100( 10) t e ， 化简得

17、 0.24 1 2 t e，即 1 0.240.693 2 tln， 2.89t 故选：B 6 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a ，3b ， 3 B ， 则 2 sin()( 3 A ) A 3 23 6 B 32 3 6 C 36 6 D 36 6 【解答】解：由题意知： sinsin ab AB ，故 23 sin sin 3 A ， 解得 3 sin 3 A，因ab，故A为锐角，故 2 6 cos1 3 Asin A 所以 222 sin()sincoscossin 333 AAA 3163 () 3232 3 23 6 故选：A 7 （5 分）设( )

18、f x是定义域为R的偶函数，若 1 x， 2 (0 x ， 12 )()xx，都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，则 3 ( ) 2 f， 2 (log 3)f， 1 2 (log 3.1)f的大小关系为( ) A 12 2 3 (log 3.1)(log 3)( ) 2 fff 第 8 页（共 21 页） B 21 2 3 (log 3)(log 3.1)( ) 2 fff C 12 2 3 ( )(log 3.1)(log 3) 2 fff D 21 2 3 ( )(log 3)(log 3.1) 2 fff 【解答】解： 1 x， 2 (0 x ， 12 )()xx，

19、都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx ， ( )f x在(0,)上是增函数， 又( )f x是R上的偶函数， 122 2 (3.1)(3.1)(3.1)f logflogf log 22 3 38 2 loglog， 22 3 33.1 2 loglog， 22 3 ( )(3)(3.1) 2 ff logf log， 21 2 3 ( )(3)(3.1) 2 ff logf log 故选：D 8 （5 分）常用的4A打印纸的长宽比例是2 :1，从4A纸中剪去一个最大的正方形后，剩 下的矩形长与宽之比称为“白银比例” 白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着 广泛的应用 已

20、知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台， 塔顶到塔底的高度与 第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比， 都等于白银比例，若两观景台之间高度差为 60 米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近 的是( ) A285 米 B268 米 C255 米 D248 米 【解答】 解： 设4A纸长为2a， 宽为a， 去掉最大的正方形后矩形的长为a， 宽为( 21)a， 白银比为12 ( 21) a a ， 设塔高为y，第一观景台到塔底的高度为x，则第二观景台高度为60 x ， 由题意知 60 12 x x ，解得30 2x ， 12 60 y x ，解得247

21、.2y ， 故选：D 第 9 页（共 21 页） 9 （5 分） 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为矩形， 点P在平面ABCD上的射影为AD的 中点O若2AB ，6AD ，4PO ，则四棱锥PABCD的表面积等于( ) A346 5 B344 3 C66 54 3 D66 34 13 【解答】解：因为点P在平面ABCD上的射影为AD的中点O， 所以PO 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以CDPO， 又底面ABCD为矩形，所以CDAD，ADPOO， 所以CD 平面PAD，又PD平面PAD， 所以PDCD，故PDC为直角三角形， 在Rt PDC中，2CDAB， 2222 435PDPOOD

22、， 所以 1 255 2 PDC S ， 11 6412 22 PAD SAD PO ， 2 612 ABCD SAB AD 矩形 ， 连结OC，取BC的中点E，连结PE， 因为 22 13OCCDOD， 22 29PCOPOC， 由题意可知，PBPB，则PEBC，且 22 2 5PEPCCE， 所以 11 62 56 5 22 PBC SBC PE ， 所以四棱锥PABCD的表面积为2 PDCPADPBCABCD SSSS 矩形 25126 512346 5 故选：A 第 10 页（共 21 页） 10 （5 分）由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳 灶应用了

23、抛物线的光学性质： 一束平行于抛物线轴的光线， 经过抛物面的反射集中于它的焦 点用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴 重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 1 ( ,1) 4 A，平行于对称轴的光线经过点A反射 后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为( ) A 25 4 B 25 8 C17 4 D2 【解答】 解： 由题意设抛物线的方程为 2 ymx， 将A的坐标代入可得 2 1 1 4 m， 可得4m ， 所以抛物线的方程为： 2 4yx，可得焦点(1,0)F，准线方程为1x ， 由题意可得反射光线过焦点(1,0)，所以直线A

24、B 的方程为： 10 0(1) 1 1 4 yx ， 整理可得： 4 (1) 3 yx ， 联立 2 4 (1) 3 4 yx yx ，整理可得： 2 340yy，解得： 1 4y ， 2 1y ， 代入直线方程可得 1 4x ， 2 1 4 x ， 所以反射光线与抛物线的两个交点 1 ( 4 A，1)，(4,1)B，所以AB的中点 17 ( 8 ，1)， 所以AB的中点到准线的距离 1725 1 88 d ， 故选：B 11 （5 分）已知0，函数 13 ( )cossin() 22 f xxx在(,) 3 2 上单调递增，则的 取值范围是( ) A2，6 B(2,6) C 10 2, 3

25、D 10 (2,) 3 【解答】解： 1313 ( )cossin()cossincos() 22223 f xxxxxx ， 第 11 页（共 21 页） 令2 3 xk ，2k，kZ，则 4 2 3 k x ， 2 3 k ，kZ， ( )f x在(,) 3 2 上单调递增， 4 2 3 (,) 3 2 k ， 2 3 k ，kZ， 取1k ，则 2 (,) 3 23 ， 5 3 ，解得2，10 3 故选：C 12 （5 分）已知函数 2 ( )(23 ) x f xxx e，则函数 2 3 ( )2 ( ) 1yf xf x零点的个数是( ) A6 B5 C4 D3 【解答】解：函数 2

26、 ( )(23 ) x f xxx e， 则 2 ( )(23)(1)(23) xx fxxxexxe， 当 3 2 x 时，( )0fx，则( )f x单调递增， 当 3 1 2 x，( )0fx，则( )f x单调递减， 当1x 时，( )0fx，则( )f x单调递增， 所以当 3 2 x 时，( )f x取得极大值 3 2 3 ()9 2 fe ， 当1x 时，( )f x取得极小值f（1）e ， 作出函数( )f x的图象如图所示， 令( )f xt，因为函数 22 3 ( )2 ( ) 1321yf xf xtt ， 令 2 3210tt ，解得1t ， 1 3 t ， 故函数 2

27、 321ytt的零点为1和 1 3 ， 所以( )1f x ， 1 ( ) 3 f x ， 由图象可知( )yf x与1y 的图象有 2 个交点，( )yf x与 1 3 y 的图象有 3 个交点， 故函数 2 3 ( )2 ( ) 1yf xf x零点的个数是 5 个 故选：B 第 12 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设 其回归直线方程

28、为4yxa已知这组数据的样本中心点为(22.5,160)，若该班某学生的 脚长为 25 厘米，据此估计其身高为 170 厘米 【解答】解：把样本中心点为(22.5,160)代入回归直线方程，有160422.5a， 70a ， 回归直线方程为470yx， 当25x 时，42570170y 故答案为：170 14 （5 分）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 2 b ，则双 曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点( ,0)a到其中一条渐近线0bxay的 距离为 2 b ， 可得 22 2 ba

29、bab c ab ， 可得2 c a 故答案为：2 15 （5 分）用总长11m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另 第 13 页（共 21 页） 一条边长1m，则该容器容积的最大值为 9 16 3 m（不计损耗） 【解答】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(1)xm， 高为：11 44(1)7 2 44 xx x 由 7 20 4 x和0 x ，得 7 0 8 x， 设容器的容积为 3 ym，则有 77 (1)(2 )(0) 48 yx xxx 整理，得 32 17 2 44 yxxx ， 2 17 6 24 yxx ， 令0y，有 2 17 60 24 xx，即

30、 2 24270 xx， 解得 1 1 2 x ， 2 7 12 x （不合题意，舍去） 从而，在定义域 7 (0, ) 4 内只有在 1 2 x 处使0y 由题意，若x过小（接近0)或过大（接近 7 ) 4 时，y值很小（接近0)， 因此，当 1 2 x 时y取得最大值， 1 1719 12 2 24216 y 最大值 ， 故答案为： 9 16 16 （5 分）如图，已知正方体 1111 ABCDABC D，点E，F，G分别是 11 C D， 1 AA，BC的 中点， 1 BD与平面EFG 不平行 （填“平行”或“不平行” )；在正方体的 12 条面对角 线中，与平面EFG平行的面对角线有

31、条 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2， 则(2B，2，0)， 1(0 D，0，2)，(0E，1，2)， (2F，0，2)，(1G，2，0)，(2A，0，0)，(0C，2，0)， 可得 1 ( 2BD ，2，2)，(2EF ，1，1)，(1EG ，1，2)， 第 14 页（共 21 页） 设平面EFG的法向量是(mx，y，) z， 由 0 0 m EF m EG ，可得 20 20 xyz xyz ， 令1x ，则1y ，1z ，所以(1m ，1，1)， 因为 1 2 1( 2) 12 10BD m ， 所以 1 BD与平面EFG不平行， 又( 2,2,0)AC ，

32、且2 12 10 10m AC ， 所以AC与平面EFG平行， 又因为 11/ / ACAC， 所以 11 AC与平面EFG平行， 同理可得， 1 A B， 1 D C， 1 AD， 1 BC与平面EFG平行， BD， 11 B D， 1 AB， 1 DC， 1 A D， 1 B C与平面EFG不平行， 故与平面EFG平行的面对角线由 6 条 故答案为：不平行；6 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S （1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知

33、条件，求数列 n a的通项公式； 23 11aa； 66 219Sa； 63 39SS； 注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分 （2）在（1）的条件下，令2 n a n b ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）设数列 n a的公差为d， 第 15 页（共 21 页） 当选择条件时： 由 23 66 11 219 aa Sa 可得： 1 1 2311 4519 ad ad ，解之得： 1 1 3 a d ， 13(1)32 n ann ； 当选条件时： 由 23 63 11 39 aa SS 可得： 1 1 2311 413 ad ad ，解之得： 1 1 3 a

34、 d ， 13(1)32 n ann ； 当选条件时： 由 66 63 219 39 Sa SS 可得： 1 1 4519 413 ad ad ，解之得： 1 1 3 a d ， 13(1)32 n ann ； （2）由（1）可得： 32 22 n an n b ， 331 4732 3 2(12 )22 2222 127 nn n n T 18 （12 分）2020 年 8 月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加 强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记 指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有

35、 高一 63 人，高二 42 人，高三 21 人报名参加志愿活动根据活动安排，拟采用分层抽样的 方法，从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者，参加为期 20 天的第一期志愿活动 （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 4 人去粘贴宣传标语，设这 4 人中 含有高二学生X人，求随机变量X的分布列； （3）食堂每天约有 400 人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的 重量（单位：公斤） ，以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿 者记录的数据如下： 前 10 天剩菜剩饭的重量

36、为：24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2 后 10 天剩菜剩饭的重量为：23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行 说明即可） 第 16 页（共 21 页） 【解答】解： （1）报名的学生共有 126 人，抽取比例为 122 12621 ， 所以高一抽取 2 636 21 人，高二抽取 2 424 21 人，高三抽取 2 212 21 人 （2）随机变量X的所有可能取值为 2，3，4， 22 42

37、 4 6 2 (2) 5 C C P X C ， 31 42 4 6 8 (3) 15 C C P X C ， 40 42 4 6 1 (4) 15 C C P X C ， 所以随机变量X的分布列为： P 2 3 4 X 2 5 8 15 1 15 （3）法一： （数字特征）前 10 天的平均值为 23.5，后 10 天的平均值为 20.5， 因为20.523.5， 所以宣传节约粮食活动的效果很好 法二： （茎叶图） 因为前 10 天的重量集中在 23、24 附近， 后 10 天的重量集中在 20 附近， 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD中

38、，底面ABCD为矩形，PD 平面ABCD，M，N 分别为PC，CD的中点，2PDAD，4AB （1）求证：BNAM； （2）求平面AMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值 第 17 页（共 21 页） 【解答】 （1）证明：因为M，N分别为PC，CD的中点，则/ /MNPD， 因为PD 平面ABCD，所以MN 平面ABCD， 因为BN 平面ABCD，所以MNBN， 因为ABCD时矩形，2AD ，2DNCN，所以2 2ANBN， 在ABN中， 222 ANBNAB，所以ANBN，因为MNANN， 所以BN 平面AMN，又AM 平面AMN，所以BNAM； （2）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，

39、DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空 间直角坐标系如图所示， 则(0P，0，2)，(2B，3，0)，(0C，4，0)，(0N，2，0)， 所以( 2, 2,0),(0,4, 2),( 2,0,0)BNPCBC ， 由（1）可知，BN 平面AMN， 所以平面AMN的一个法向量为( 2, 2,0)mBN ， 设平面PBC的法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n PC n BC ，即 420 20 yz x ， 令1y ，则2z ，所以(0,1,2)n ， 所以 |210 |cos,| |102 25 m n m n m n ， 故平面AMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 10

40、 10 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知焦点在x轴上的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，短轴长为2 3，椭圆左顶 点到左焦点的距离为 1 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 如图， 已知点 2 (,0) 3 P， 点A是椭圆的右顶点， 直线l与椭圆C交于不同的两点E，F， E，F两点都在x轴上方，且APEOPF 证明直线l过定点，并求出该定点坐标 【解答】解： （1）由已知可得 222 22 3 1 b ac abc ，解得2a ，3b ，1c ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 43 xy ； （2）证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆交于不同的两

41、点分布在x轴两侧，不符 合题意， 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm， 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y， 联立方程 22 1 43 ykxm xy ，消去y可得 222 (34)84120kxmkxm， 所以 2 1212 22 8412 , 3434 mkm xxx x kk ，因为APEOPF ， 所以0 PEPF kk，即 12 12 0 22 33 yy xx ， 第 19 页（共 21 页） 整理可得 1212 24 2()()0 33 m kx xmkxx，所以6mk ， 所以直线l的方程为6(6)ykxkk x， 所以直线l过定点(6,0) 21

42、 （12 分）已知函数 3 ( ) x f xe （1）求证：( )2f xx； （2）若1a ，xlna时，()( )3 xlna lnf x a 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】 （1）证明：令 3 ( )( )(2)2 x g xf xxex ，则 3 ( )1 x g xe ， 当3x 时，( )0g x，则( )g x单调递减， 当3x 时，( )0g x，则( )g x单调递增， 所以当3x 时，函数( )g x有最小值g（3）0， 故( ) 0g x ，即( )2f xx； （2）解：因为1a ，xlna，即0 x ， 不等式()( )3 xlna lnf x a 对0 x

43、恒成立，即 33 () xx ln xlnaxlnaelne 对0 x 恒成 立， 令( )h xlnxx，则不等式等价于 3 ()() x h xlnah e 对0 x 恒成立， 因为0 x 时， 1 ( )10h x x 恒成立， 所以( )h x在(0,)上单调递增， 所以 3x xlnae 对0 x 恒成立，即 3x lnaxe 对0 x 恒成立， 由（1）可知， 3 2 x xe ， 所以2lna ，解得 2 ae， 所以实数a的取值范围为 2 (e，) 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，二题中任意选一题作答，如果多做，则按

44、所做的第一题记分作答时， 用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在直角坐标系xOy中， 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 1: () 3 lR 与直线 2: 3 cos sin40l交于点P （1）求点P的直角坐标； 第 20 页（共 21 页） （2）若直线 2 l与圆 3cos :( 3sin x C y 为参数）交于A，B两点，求| |PAPB的值 【解答】解： （1）法一： 联立3 3 cossin40 ， 解得 4 3 3 ， 所以点P的

45、极坐标为 4 3 (,) 33 ， 所以点P的直角坐标为 4 32 3 cos 333 4 3 sin2 33 x y ，即 2 3 (,2) 3 P 法二： 直线 1 l的直角坐标方程为3yx， 直线 2 l的直角坐标方程为340 xy， 联立解方程组得 2 3 3 2 x y ， 所以点P的直角坐标为 2 3 (,2) 3 （2）直线 2 l的直角坐标方程为340 xy，倾斜角为120， 所以直线 2 l的参数方程为 2 31 32 ( 3 2 2 xt t yt 为参数）， 圆C的普通方程为 22 xy 将代入得 2 4 311 0 33 tt 设点A，B对应的参数分别为 1 t， 2

46、t， 则 1212 11 | | | | | 3 PAPBtttt 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 21 页（共 21 页） 23已知函数 1 ( ) |(0)f xxxaa a （1）当1a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）证明：( ) 2f x 【解答】 （1）解：当1a 时，( ) |1|1|f xxx 当1x时，( )1124f xxxx ，解得2x ； 当11x 时，( )112 4f xxx ，无解； 当1x时，( )1124f xxxx ，解得2x；（3 分） 综上所述：( ) 4f x 的解集为 |2x x或2x（5 分） （2）证明： 111 | |xxaxaxxax aaa （7 分） 1 |2a a ，（9 分） 当且仅当1a 时等号成立， 所以( ) 2f x 10分